一种基于切比雪夫不等式的自适应阈值背景建模算法
第４０卷 第４期２０１３年４月计算机科学
Ｃｏｍｐ
ｕｔｅｒ ＳｃｉｅｎｃｅＶｏｌ．４０Ｎｏ．４
Ａｐ
ｒ ２０１３到稿日期：２０１２－０６－１３ 返修日期：２０１２－１０－１７
张 琨（１９７８－），女，博士生，讲师，主要研究方向为数字图像处理、模式识别，Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｋｈｂｑｈｄ＠１６３．ｃｏｍ；王翠荣（１９６３－），女，博士，教授，主要研究方向为智能信息处理、下一代互联网体系结构；万 聪（１９８３－），男，博士生，主要研究方向为数字图像处理、Ｍａｐ
－ｒｅｄｕｃｅ并行化大数据处理。一种基于切比雪夫不等式的自适应阈值背景建模算法
张 琨１，２ 王翠荣２ 万 聪
１，２
（东北大学信息科学与工程学院 沈阳１１０８１９）１ （
国家９８５工程下一代网络技术实验室 秦皇岛０６６００４）２
摘 要 背景建模是实现运动目标检测与跟踪的关键技术之一。在实时视频监控系统中，对背景建模算法的运行时间及所提取出的背景图像的实时性有很高的要求，针对这一问题，提出了一种基于切比雪夫不等式的自适应阈值背景建模算法。算法利用切比雪夫不等式计算像素点色度变化的概率估计值，提出了一种自适应阈值分类方法，它将像素点快速分类为前景点、背景点及可疑点，再利用核密度估计方法对可疑点进行进一步分类，最后利用背景更新算法提取实时背景图像。实验结果证明，该算法能快速有效地区分特征明显的背景点与前景点，提高了背景图像提取的速度，对可疑点利用核密度估计方法降低了背景分割的误差，背景建模效果理想，运算速度快，适用于实时视频监控系统。
关键词 切比雪夫不等式，自适应阈值，核密度估计，背景更新算法中图法分类号 ＴＰ３９１．４１ 文献标识码 Ａ
Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ Ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ
Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ ＩｎｅｑｕａｌｉｔｙＺＨＡＮＧ Ｋｕｎ１，
２ ＷＡＮＧ Ｃｕｉ－ｒｏｎｇ２ ＷＡＮ Ｃｏｎｇ
１，
２
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ １１０８１９，Ｃｈｉｎａ）１（Ｎａｔｉｏｎ ９８５Ｐｒｏｇｒａｍ Ｎｅｘｔ Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ Ｎｅｔｗｏｒｋ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Ｌａｂ，Ｑｉｎｈｕａｎｇｄａｏ ０６６００４，Ｃｈｉｎａ）２
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｉｓ ａ ｃｒｉｔｉｃａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｄｅｔｅｃｔｉｎｇ ａｎｄ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｍｏｖｉｎｇ ｏｂｊｅｃｔｓ．Ａ ａｄａｐｔｉｖｅ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｂｏｕｔ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄｍｏｄｅｌｉｎｇ ｏｆ ｍｏｒｅ ｒｅａｌ－ｔｉｍｅ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ ｉｎ ｒｅａｌ－ｔｉｍｅ ｖｉｄｅｏ ｓｕｒｖｅｉｌｌａｎｃｅ ｓｙｓｔｅｍ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ ａ－ｄａｐｔｉｖｅ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｅａｃｈ ｐｉｘｅｌ ｂｅｌｏｎｇｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｆｏｒｅｇｒｏｕｎｄ ｏｒ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ，ｓｏ ｔｈｅｐｉｘｅｌｓ ａｒｅ ｃｌａｓｓｉｆｉｅｄ ａｓ ｔｈｅ ｆｏｒｅｇｒｏｕｎｄ ｐｏｉｎｔｓ，ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｐｏｉｎｔｓ ａｎｄ ｓｕｓｐｉｃｉｏｕｓ ｐｏｉｎｔｓ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｋｅｒｎｅｌ ｄｅｎｓｉｔｙ
ｅｓｔｉｍａ－ｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｔｈｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｓｕｓｐｉｃｉｏｕｓ ｐｏｉｎｔｓ ｆｏｒ ｆｕｒｔｈｅｒ ｄｉｓｃｒｉｍｉｎａｔｉｏｎ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ｂａｃｋ－ｇｒｏｕｎｄ ｉｍａｇｅ ｉｓ ｅｘｔｒａｃｔｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｒｅａｌ－ｔｉｍｅ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｕｐｄａｔｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｃｈｅｂｙ－ｓｈｅｖ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｃａｎ ｑｕｉｃｋｌｙ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈ ｔｈｅ ｆｏｒｅｇｒｏｕｎｄ ａｎｄ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｐｏｉｎｔｓ．Ｆｕｒｔｈｅｒ ｋｅｒｎｅｌ ｄｅｎｓｉｔｙ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｍｅ－ｔｈｏｄ ｃａｎ ｒｅｄｕｃｅ ｔｈｅ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒ，ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅａｌ－ｔｉｍｅ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｉｍａｇｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｓａｔｉｓｆａｃｔｏｒｙ．Ｔｈｉｓ ａｌ－ｇｏｒｉｔｈｍ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｌｙ ｉｍｐｒｏｖｅｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｓｐｅｅｄ，ｉｓ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｆｏｒ ｒｅａｌ－ｔｉｍｅ ｖｉｄｅｏ ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ
ｓｙｓｔｅｍ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，Ａｄａｐｔｉｖｅ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ，Ｋｅｒｎｅｌ ｄｅｎｓｉｔｙ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ，Ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｕｐｄａｔｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ
１ 引言
随着计算机硬件设备和软件技术的不断成熟，各种多媒体技术开始蓬勃发展起来，
其中网络视频监控系统在维护社会安全、打击犯罪方面的作用日益突出。面对海量的实时和录像视频内容，以往单纯依靠人工观察和分辨的传统监控方式已经不能满足应用的需求，急需一种能够对视频内容中人和车辆等关键目标进行自动分析的智能视频监控系统，而实现这一系统的关键是从视频图像中检测并分割出运动目标。
目前，运动目标分割的主要方法有背景差分法［１］
、帧间差分
法
［２，３］
以及光流法
［４］
等。其中背景差分法是最常用的一种方
法，背景建模是背景差分法的关键，它要求建立的背景模型能够快速准确地提取背景图像，
背景的变化特性对背景模型的动态更新提出了很高的要求，目前能适应场景中光照及背景
缓慢变化的有卡尔曼滤波和混合高斯模型法［５－
７］等。
近年来，新的背景建模方法不断涌现。高韬等［８］
针对智
能监控的需求，提出自适应Ｍａｒｒ小波核函数背景建模算法，
其在冗余离散小波域进行多运动目标识别。运动跟踪采用ＳＩＦＴ特征粒子滤波算法，
并采用队列链表法记录多运动目标之间的数据关联，在提高识别准确率的同时降低了运算的复
杂度。Ｅｌｇ
ａｍｍａｌ等［９］提出用核密度估计方法对视频序列中各个像素位置建立非参数概率模型，利用邻近帧的若干个样本值构造接近实际的分布。这种算法虽然具有更高的鲁棒性，但由于只利用了时域信息而忽略了其他信息，因此在恶劣
条件下分割精度不高。Ｓｈｅｉｋｈ［１
０］融合空间位置和颜色信息分别对前景和背景进行建模，在马尔可夫随机场（Ｍａｒｋｏｖｒａｎｄｏｍ
ｆｉｅｌｄ，ＭＲＦ）框架下考虑各像素的空间连续性，通过能量最小化获得最终的分割结果。顾建栋等［１１］针对前景与背
·
７８２·
景具有相似颜色时的运动对象分割问题，提出了一种结合核密度估计和边缘信息的运动对象分割算法，并引入ＭＲＦ框架，把对象分割问题转化为求最小能量问题，但该算法依赖于
前景模型的准确性。张水发等［１］提出一种结合基于像素的背
景建模方法以及光流描述物体运动准确优点的背景建模和目标检测方法，
其综合性能超越了上述２种方法。一般来说，像素分布的概率密度函数都是不规则的，与任何一种简单的参数形式的密度函数都不会相似。因此，无参数的核密度估计算法是一种有效的图像前景与背景分割算法，然而无参数的核密度估计法计算量大，背景分割速度慢，不适用于实时视频监控系统。我们不难发现，在监控视频的画面中，
有许多区域不经常出现甚至不出现运动目标，例如天空、街道的死角、建筑物外观等，这些区域的背景特征明显，同时，
也存在着一些前景特征显著的区域，如行人、行驶的车辆等。无参数的核密度估计算法平等对待图像中的所有像素点，
算法运行时所有像素点都参与计算，对视频图像的不同区域没有区别对待，这样就无法充分利用到某些区域中像素点的显著背景特征或显著前景特征。
本文设计了一种基于切比雪夫不等式的自适应阈值背景建模算法，即对那些背景或前景特征显著的像素点利用切比雪夫不等式先进行快速判别并分类为背景点与前景点，将那些特征不显著的像素点分类为可疑点，再利用核密度估计算法将可疑点进一步进行前景背景分类，最后通过背景更新算法求得背景图像。本文算法的优势在于切比雪夫不等式算法简单，运算速度快，自适应阈值法能使得像素点的分类阈值随着视频帧图像的变化而自动进行调整，在加快了背景与前景图像分割的速度的同时还能得到理想的实时背景图像。
２ 切比雪夫不等式
切比雪夫不等式是由随机变量的分布确定的，能描述随机变量某一个方面的特征，其中最重要的数字特征是数学期望Ｅ（Ｘ）和方差Ｄ（Ｘ）
。它给出了在随机变量分布未知、只知道Ｅ（Ｘ）和Ｄ（Ｘ）的情况下，对事件｛｜Ｘ－Ｅ（Ｘ）｜＜ε｝发生的概率值的一种估计法：
设随机变量具有数学期望Ｅ（Ｘ）＝μ，方差Ｄ（Ｘ）＝σ２
，
则对于任意正数ε，有不等式：
Ｐ｛｜Ｘ－μ｜≥ε｝≤σ２
ε２（１
）或
Ｐ｛｜Ｘ－μ｜＜ε｝≥１－σ２
ε
２（２）成立，这一不等式称为切比雪夫（Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ）不等式。通过切比雪夫不等式可以看出对于某一给定的ε值，Ｄ（Ｘ）越小，则Ｐ｛｜Ｘ－μ
｜＜ε｝越大，此时随机变量Ｘ的取值基本上集中在Ｅ（Ｘ）附近。当Ｅ（Ｘ）和Ｄ（Ｘ）已知时，切比雪夫不等式给出了概率Ｐ｛｜Ｘ－μ｜＜ε｝的一个下界，该下界并不涉及随机变量Ｘ的具体概率分布，而只与其方差Ｄ（Ｘ）
和ε有关。在视频图像背景与前景分割中，引入随机变量表示视频图像中各个像素点灰度值，该随机变量的概率分布未知，但可以通过计算样本均值与样本方差来估计像素点概率分布的总体均值与方差，通过切比雪夫不等式计算式（２），得到事件｛｜Ｘ－Ｅ（Ｘ）｜＜ε
｝的概率估计，而该事件恰好体现了像素点所对应的灰度值在一系列视频序列图像中变化的情况。如果是背景点对应的像素点，可选取较小的ε值，ε的值越小，则说明该像素点色度值与均值之差越小，切比雪夫不等式说明像素
点与均值的差小于ε的概率大于１－σ２／ε２
，
求得的概率下限值越大，则该像素点成为背景点的可能性越大。
３ 核密度估计法
核密度估计法是采用历史帧图像数据来计算当前帧图像对应像素点色度值的概率估计、再通过设定概率密度阈值来取得运动背景的方法。具体算法描述如下：
假设Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＮ为某一像素（ｉ，ｊ
）特征空间内的一个样本，ｘ１，ｘ２，…，ｘＮ是相应于该样本的观察值，那么在ｔ时刻像素特征值为ｘｔ的概率可用核函数的密度估计为：
Ｐｒ（ｘｔ）
＝１Ｎ∑Ｎｉ＝１
Ｋ（ｘｔ－ｘｉ）（３）式中，Ｋ是核函数，
如果选择的核估计函数Ｋ是正态函数Ｎ（０，σ２）
，其中σ２表示核函数的宽度，则密度可以由下式计算：Ｐｒ（ｘｔ）＝１Ｎ∑Ｎｉ＝１１２πσ
槡２ｅ－１
（ｘｔ－ｘｉ
）２σ
（４
）常用的可见光视频，一般选择图像的颜色特征作为样本观察值，对于其他的应用可以根据目标特性分析来给出最适合的特征。当各颜色通道相互独立时（如ＲＧＢ图像）
，不同的颜色通道有不同的核函数宽度，则用σ２
ｊ表示ｊ颜色通道的核
函数宽度，密度函数可写为：
Ｐｒ（ｘｔ）
＝１Ｎ∑Ｎｉ＝１∏
ｄ
ｊ＝１１
２π
σ２
槡ｊｅ－
１
２
（ｘｔｊ－ｘｉ
ｊ
）２σ２ｊ
（５
）式中，ｄ是颜色通道个数，例如对ＲＧＢ颜色通道可设ｄ＝３。
核函数的宽度σ２
由下式求得：σ∧
＝ｍ／（０．槡
６８ ２），ｍ＝ｍｅ－ｄｉａｎ（｜ｘｉ＋１－ｘｉ｜），σ＝ｍａｘ（１，σ∧
），其中｜ｘｉ＋１－ｘｉ
｜是每相邻两帧对应像素的颜色值的差，ｍｅｄｉａｎ为取中值运算。假设ｘｉ
在时域服从正态分布Ｎ（μ，σ２
），则（ｘｉ＋１－ｘｉ）服从正态分布Ｎ（μ，
２σ２
），因此其标准差可以由公式σ∧
＝ｍ／（０．槡６８ ２）计算。当图像质量较好时，会有许多像素对应的σ∧
＝０，使得概率密度函数无法计算，并影响到后续的运算，因此由公式σ＝ｍａｘ（１，σ∧
）确保σ最小值为１。对于样本数Ｎ的选择需要综合考虑，因为Ｎ影响到抗噪声干扰的能力，从抗干扰角度考虑Ｎ要尽可能的大，但是这会影响到算法的计算速度以及计算时资源的需求，所以需要折中选取，Ｎ不能太小以至于失去抗噪声干扰的能力，Ｎ也不能太大以至于无法计算。
４ 一种基于切比雪夫不等式的自适应阈值背景建
模算法
本文设计了一种结合切比雪夫不等式和核密度估计的自适应阈值背景建模算法，提出了一种自适应分类阈值算法，其对那些具有显著背景或前景特征的像素点利用切比雪夫不等式先进行快速判别，再利用核密度估计算法细化那些分类难度较大的像素点。具体算法描述如下：
引入随机变量Ｘ表示某一视频帧图像，并设Ｘｋ（ｉ，ｊ）表示第Ｋ帧视频图像在位置（ｉ，ｊ）处像素点的灰度值（也可以是不同颜色通道所对应的色度值），随机变量Ｘ（ｉ，ｊ）的总体概率分布未知。
（１）读取相邻Ｎ帧视频图像，得到样本Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＮ及其观察值ｘ１，ｘ２，
…，ｘＮ；（２）计算总体Ｘ（ｉ，ｊ）的样本均值：珡Ｘ（ｉ，ｊ）
＝１Ｎ∑Ｎ
ｋ＝１
ｘｋ（ｉ，·
８８２·
ｊ），样本二阶中心距：Ｓ２（ｉ，ｊ）＝１Ｎ∑Ｎ
ｋ＝１
（ｘｋ（ｉ，ｊ）－珡Ｘ（ｉ，ｊ））２，因为珡Ｘ
与Ｓ２是随机变量Ｘ的数学期望与方差的最大似然估计量，则得到随机变量Ｘ（ｉ，ｊ）的数学期望μ（ｉ，ｊ）和方差σ２
（ｉ，ｊ
）的估计值μ∧
（ｉ，ｊ）＝珡Ｘ（ｉ，ｊ），σ∧
２（ｉ，ｊ）＝Ｓ２（ｉ，ｊ）。（３）计算对应第Ｋ帧图像Ｘｋ（ｉ，ｊ）
，（ｋ＝１，２，…，Ｎ）的切比雪夫不等式：
ＰＣ｛｜Ｘｋ（ｉ，ｊ）－μ∧
（ｉ，ｊ）｜＜ε｝≥１－σ２ｋ
（ｉ，ｊ）ε
２
式中，σ２ｋ（ｉ，ｊ）＝（Ｘｋ（ｉ，ｊ）－μ∧
（ｉ，ｊ））２
表示像素点Ｘｋ（ｉ，ｊ）
的灰度值与数学期望估计量μ∧
（ｉ，ｊ
）之差的平方数。当σ２ｋ（ｉ，ｊ）＜σ∧
２
（ｉ，ｊ）时，像素点Ｘｋ（ｉ，ｊ）
的灰度值变化程度比均方差小，该像素点是背景点的可能性大，此时有：１－
σ２ｋ／ε２＞１－σ∧
２
／ε２，若σ２
ｋ（ｉ，ｊ）＞σ∧２
（ｉ，ｊ）
，则该像素点是前景点的可能性大，此时有１－σ２
ｋ
／ε２
＜１－σ∧２
／ε２
。
取不同的ε值１－σ∧
２
／ε２
的计算结果如表１所列。
表１ 切比雪夫不等式概率估计值
εσ∧
２／ε
２ １－σ∧
２／ε
２σ∧
１ ０
１．２２５σ∧０．６６７ ０．３３３１．４１４σ∧０．５ ０．５１．５８１σ∧０．４ ０．６１．７３２σ∧０．３３３ ０．６６７１．８７１σ∧０．２８６ ０．７１４２σ
∧０．２５
０．７５
（４）自适应分类阈值设定，调节系数θ１，θ２与判别阈值
Ｔ１，Ｔ２的设定算法如下：
Ｔ１＝（１－σ∧２
ε２１
）＋０．５２
，ε１＝１．４１４σ∧＋θ１
σ∧
Ｔ２＝（１－σ∧２
ε２２
）＋０．５２，ε２＝１．４１４σ∧－θ２
σ烅
烄烆
∧
（６
） （０＜θ１，θ２＜１
）阈值Ｔ１，Ｔ２的设定是随着样本均方差σ∧
的变化而变化的
（见图１
）
。图１ 像素点分类阈值设定
对于不同样本Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＮ，算法能自适应进行阈值调整，在不同的视频帧图像选取条件下，都能有效进行背景点与前景点判别。调节系数θ１与θ２的设定使得０＜｜ε１－ε２｜＜２σ∧
，调节系数有对称的取法（θ１＝θ２）和不对称的取法（θ１≠θ２）
，θ１越大Ｔ１值越大，像素点被判别为背景点的准确性越高，同理θ２越大Ｔ２值越小，
像素点被判别为前景点的准确性越高。（５）设定分段函数Ｍ１
ｋ（ｉ，ｊ）
，对像素点的背景点、前景点及可疑点进行分类：
Ｍ１
ｋ（ｉ，ｊ）＝１， （
１－σ２
ｋ
（ｉ，ｊ）ε
２
）≥Ｔ１０， （１－σ２
ｋ（ｉ，ｊ）ε２
）
≤Ｔ烅烄烆
２，ε＝１．４１４σ∧
（７）当Ｍ１（ｉ，ｊ）＝１时，像素点被分类为背景点，当Ｍ１（ｉ，ｊ）＝０时，像素点被分类为前景点，当Ｔ２＜（１－σｋ２
（ｉ，ｊ）ε
２）＜Ｔ１时，像素点被分类为可疑点，对可疑点将使用核密度估计法进
行进一步判别。特殊地，当Ｔ１＝Ｔ２＝０．５时，算法中只利用了切比雪夫不等式进行背景点提取，当Ｔ１＝１，Ｔ２＝０时，算法中像素点的分类以核密度估计法为主。
（６
）对可疑点利用核密度估计法来进一步判别背景点与前景点，
设定概率阈值Ｔ３，定义下面的二值函数：Ｍ２
ｋ（ｉ，ｊ
）＝１， Ｐｒ（ｘｋ）≥Ｔ３０， Ｐｒ（ｘｋ）
＜Ｔ｛
３（８
）Ｍ２ｋ（ｉ，ｊ）＝１的像素点被进一步判别为背景点，而对应Ｍ２
ｋ（ｉ，ｊ）＝０的点被判别为前景点。若概率阈值Ｔ３选取过大，背景点漏检率变大，若选取太小，则误判率越大，核密度估
计法中阈值Ｔ３是一种经验值，一般通过具体的试验数据来选取得到。
（７
）设定背景图像更新算法，算法描述如下所示。设Ｂ（ｉ，ｊ）表示背景图像在位置（ｉ，ｊ）处像素点的灰度值，Ｘｋ（ｉ，ｊ）表示第Ｋ帧图像在位置（ｉ，ｊ）
处像素点的灰度值，Ｍ１ｋ（ｉ，ｊ）与Ｍ２
ｋ（ｉ，ｊ
）是上述阈值化方法得到的判别函数。被判别为可疑点的像素点其坐标集记为Ｋ。
当（ｉ，ｊ） Ｋ时，利用判别函数Ｍ１
ｋ（ｉ，ｊ）计算：Ｈ１Ｎ＝∑Ｎ
ｋ＝１Ｘｋ（ｉ，ｊ）·Ｍ１
ｋ（ｉ，ｊ
）Ｇ１Ｎ＝∑Ｎｋ＝１
Ｍ１
ｋ（ｉ，ｊ烅烄
烆）（９
）当（ｉ，ｊ）∈Ｋ时，利用判别函数Ｍ２
ｋ（ｉ，ｊ）计算：Ｈ２Ｎ＝∑Ｎ
ｋ＝１Ｘｋ（ｉ，ｊ）·Ｍ２
ｋ（ｉ，ｊ
）Ｇ２Ｎ＝∑Ｎｋ＝１
Ｍ２
ｋ（ｉ，ｊ烅烄
烆）（１０
）背景图像更新算法：
ＢＮ（ｉ，ｊ）＝Ｈ１Ｎ＋Ｈ２
Ｎ
Ｇ１Ｎ＋Ｇ２
Ｎ
（１１
）背景图像提取效果与相邻视频帧图像数Ｎ有关，若Ｎ的取值过小，则提取的背景图像中容易出现一些空点，若Ｎ的取值过大时，则运算量大，还会影响实时背景图像提取效果。一般地，
可以结合运动目标移动速度、背景的遮挡和显露、拍摄画面的大小、视频帧的时间差等因素，根据不同的情况来选择不同的Ｎ。
（８
）实时背景图像更新算法。设Ｓ（ｉ，ｊ）表示实时背景图像在位置（ｉ，ｊ）
处像素点的灰度值，Ｎｍ表示某时间段内的视频帧数，在这一时间段内不同时刻的实时背景图像为ＢＮｓ（ｉ，ｊ），（ｓ＝１，２，…ｍ），算法如式（１２
）所示：Ｓ（ｉ，ｊ）＝α１ＢＮ１（ｉ，ｊ）＋α２ＢＮ２（ｉ，ｊ）＋…＋αｍＢＮｍ（ｉ，ｊ
）αｓ＝ｑｍ－ｓ
，（ｓ＝１，２，…，ｍ，｜ｑ
｜＜１，∑ｍ
ｓ＝１αｓ≈１）（１２
）式中，αｓ＝ｑｍ－ｓ
是调节权值，因为｜ｑ
｜＜１，所以αｓ是ｓ的增函·
９８２·
数，能取得的最大值为αｓ＝ｑ０
＝１（ｓ＝ｍ），调节权值的作用是以当前提取到的背景图像为主来更新背景图像。通过实时背景更新算法可以得到对应的实时背景图像。
应当指出，在最初若选取较少的相邻视频帧图像提取背景图像，会有一些背景点遗漏，但可以通过调整Ｎ的大小来减少背景点遗漏，
而且随着算法的不断运算，最初提取的背景图像会不断地更新，最终得到理想的实时背景图像。
在本文算法中，样本的观察值还可以是彩色图像的不同颜色通道所对应的色度值，例如对ＲＧＢ图像则读取三组观察值，相应地调整算法的第（２）至第（５）步骤，独立计算不同颜色通道对应的样本均值、
样本方差及切比雪夫不等式并判别像素点的分类，将第（６
）步骤核密度估计法公式调整为：Ｐｒ（ｘｔ）
＝１Ｎ∑Ｎｉ＝１ ∏ｄ
ｊ＝１１
２πσ２槡ｊ
ｅ－
１２（ｘｔｊ－ｘｉｊ）２σ２
ｊ
（１３
）对彩色视频图像的运动目标进行分割时，算法步骤可相应改成分别在不同颜色通道独立进行类似灰度图像目标分割的步骤。因此，
本文提出的算法不论是对灰
度图像还是对彩
色图像都能快速提取背景图像。
本文算法的流程图如图２所示。
图２ 程序流程图
５ 实验结果
图３ 监控视频帧图像
为了验证本文提出的算法的可行性、有效性与实时性，使用Ｉｎｔｅｌ（Ｒ）Ｃｏｒｅ（ＴＭ）２ ６３００ＣＰＵ，１．８６ＧＨｚ，１ＧＢ内存的ＰＣ机，利用Ｊａｖａ语言进行编程，在Ｅｃｌｉｐｓｅ开发平台上，对分辨率为３３６×４４８的交通路口监控视频（如图３所示）进行基于切比雪夫不等式的自适应阈值前景与背景分离及背景建模实验。在大量的实验数据基础上，分析和比较了在不同阈值设置下的本文算法实验结果。在运算时间上，选取文献［２］
中的帧差法、文献［８］中的核密度估计法作为比较算法，对算法的实时性进行了分析与比较。５．１ 算法可行性、
有效性分析选取不同的Ｎ，θ１，θ２（０＜θ１，θ２＜１）
和Ｔ３来进行背景点、可疑点和前景点分类，再应用背景图像更新算法得到实时背景提取图，
对应的不同参数设置的实验结果如图４所示。（ａ）Ｎ＝２０，θ１＝θ２＝０．５，Ｔ３＝０．０１（ｂ）Ｎ＝２０，θ１＝θ
２＝０．５，Ｔ３＝
０．００５ （ｃ）Ｎ＝２０，θ１＝０．６，θ２＝
０．４，Ｔ３＝
０．００５（ｄ）Ｎ＝２０，θ１＝１，
θ２＝０，Ｔ３＝０．００５
（ｅ）Ｎ＝４０，θ１＝θ２＝０．５，Ｔ３＝０．０１（ｆ）Ｎ＝４０，θ１＝θ２
＝０．５，Ｔ３＝
０．００５ （ｇ）Ｎ＝４０，θ１＝０．６，θ２＝０．４，Ｔ３＝
０．００５（ｈ）Ｎ＝４０，θ１＝１，θ
２＝０，Ｔ３＝０．００５
（ｉ）Ｎ＝８０，θ１＝θ２＝０．５，Ｔ３＝
０．０１（ｊ）Ｎ＝８０，θ１＝θ
２＝０．５，Ｔ３＝
０．００５ （ｋ）Ｎ＝８０，θ１＝０．６，θ２＝０．４，Ｔ３＝
０．００５（ｌ）Ｎ＝８０，θ１＝１，θ２＝０，Ｔ３＝０．００５
图４ 本文算法背景图像提取
从实验结果可以看出，若判别背景点的阈值选得过大，则会漏判一些背景像素点，如图４（ｄ
）所示，应适当增大Ｎ来防止背景点漏判。比较图４（ｆ）与４（ｈ）、４（ｊ）与４（ｌ），可以看出当Ｔ３的取值固定时，随着θ１，θ２从θ１＝θ２＝０．５变化到θ１＝１，θ２＝０，背景图像的提取效果在逐渐变好。为了分析阈值Ｔ１，Ｔ２的设定对算法的影响，在相同样本数Ｎ＝４０和Ｔ３＝０．００５的情况下，通过设置不同的θ１，θ２参数值，来统计和比较算法不同的运行时间以进行阈值有效性分析。
算法的运行可按顺序划分为以下８个进度：①读取样本图像；②像素点灰度值获取；③样本均值计算；④样本方差计
·
０９２·
算；⑤分类阈值计算；⑥背景点、前景点、可疑点分类；⑦背景图像更新；⑧算法运行结果输出。为了更好地比较算法的运行时间，本文按照进度完成算法运行时间的统计，固定θ２，取不同θ１时算法的运行时间比较图如图５（ａ）所示，固定θ１，
取不同θ２时算法的运行时间比较图如图５（ｂ）所示，从图５中可以看出随着θ１或θ２的增大，
对算法进度⑥的运行时间影响最大，
即像素点被分类为可疑点的个数增加，算法中核密度概率估计运算时间增多，最终导致算法整体运算时间变长。若权衡θ１，θ２的取值，则可以使得算法既能快速运行又能得到理想的背景图像
。
（ａ）调节系数θ１变化算法运算时间
比较图
（ｂ）调节系数θ２变化算法运行时间
比较图
图５ 不同θ１，θ２取值本文算法运行时间比较
在θ１＝θ２＝
０．００５时，分别设定不同的Ｎ与Ｔ３比较算法的运行时间，分析样本个数Ｎ及阈值Ｔ３对本文算法的影响，阈值Ｔ３是一种经验值，根据核密度的概率估计结果选取。
从实验结果（见图６）中可以看出：随着样本个数Ｎ的增加，
算法运行时间增多，进行像素点分类的运算时间占整体运行时间的比例也随之增大，但阈值Ｔ３的变化对算法运行时间影响不大
。
（
ａ）视频帧数变化算法运算时间比较图
（ｂ）阈值Ｔ３变化算法运行时间
比较图
图６ 相同θ１，θ２本文算法运行时间比较
５．２ 算法实时性分析
为了比较本文算法的运行时间，验证本文算法的实时性，选取帧差法及核密度估计法作为比较算法，对相同的２０帧视频图像进行背景建模实验。本文提出的算法中设置参数Ｎ＝２０，θ１＝０．６，θ２＝０．４，Ｔ３＝０．００５，３种不同算法所提取的背景图像如图７所示
。
图７ 相同２０帧图像３种算法背景图像比较
从图７中可以看出，在Ｎ取值较小时，帧差法在复杂弯路及有缓慢运动目标时，背景提取效果较差，出现了明显的车型虚影。核密度估计方法的背景提取效果也不太理想，虽然增加视频帧数可以提高其背景提取效果，
但会使得算法运算时间过长，
不适用于实时监控系统。本文算法由于引入切比雪夫不等式，简化了特征明显的背景点提取运算，算法运行时间远少于核密度估计法（如图８（ａ）所示）。以４０帧图像为例，核密度估计法运算时间为２２２１９毫秒，本文算法为４９６９毫秒，帧差法为１７１９毫秒，本文算法运算时间虽稍高于帧差法，
但随着帧数的增加，运算时间增加的幅度并不大
。（ａ）３种算法运算时间比较图
（２）调节θ１，θ２取值本文算法运行时间
比较图
图８ 算法运行时间比较图
若适当选取调节系数θ１，θ２，
调整分类阈值（如图８（ｂ）所示）
，则可以使得本文算法在减少运算时间的同时又能得到理想的背景图像。全面考虑算法运算时间及实时背景图像提取效果，本文提出的算法优于帧差法和核密度估计法，既保证了背景图像的提取效果又满足了视频监控系统对算法的实时性要求。
结束语 本文主要研究了实时视频监控系统中的自适应阈值背景建模问题，
提出了一种基于切比雪夫不等式的自适应阈值背景建模算法。算法充分利用特殊监控区域中像素点的显著背景和前景特征，引入切比雪夫不等式，简化了特征明显的背景点提取运算，增强了算法的实时性。提出了一种自适应阈值分类算法，自适应分类阈值可以随着实时的视频帧图像来调整变化，
最后通过与之相应的背景图像更新算法完成实时背景建模。实验结果证明了本文提出的算法是可行的，自适应阈值的设定是有效的，尤其是当较少的视频帧图像参与背景建模时，
在出现缓慢移动物体或出现较多运动目标的复杂环境下，本文算法的背景建模实验结果明显优于帧差法及核密度估计法。综上所述，
本文算法具有良好的实时性与有效性，背景提取效果理想，适用于实时视频监控系统。
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（下转第２９７页）
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１９２·
果。该组实验图像分别说明了模型（４）和模型（３）对纹理图像和光滑图像有较好的修复效果。虽然两种模型都可以降低噪声，但从处理结果看出，第３种模型在保持图像边缘纹理方面优于第４种模型，而且与第１列含噪图像对比可以看出，两种模型都能有效降低源图像中的噪声。ＰＳＮＲ由降噪前的８．３６８ｄＢ上升至３２．５６８ｄＢ和３３．１６６７ｄＢ。
边缘保持指数α定义为［
１１］
：α＝
∑ｉ＜ｊ
ｍｓ－ｍｓｎ
∑ｉ＜ｊ
ｍ０－ｍ０ｎ
（１１
）式中，ｍｓ是平滑后的像素值，ｍｓｎ为ｍｓ的第ｉ个同质区域的均值；ｍ０是原图像像素值，ｍ０ｎ是原始图像的第ｉ个同质区域的均值。边缘指数越大，边缘保持越好。计算结果如表３所列。
表３ 边缘保持指数结果
图像
模型
模型３模型４图１
ａ
０．４０１５ ０．５３２６ｂ ０．４９５６ ０．５１２３ｃ ０．５１０６ ０．５４５０ｄ
０．５２３２ ０．５３３６图２
ａ ０．１７８８ ０．２３３０ｂ
０．１８５４
０．２６５７
第２组实验对两幅待修复的经典图像进行了修复。图２给出了实验结果，其中第１列图像表示待修复图像，第２列图像表示式（４）模型的求解结果
，第３列图像表示式（３）模型的求解结果。ＰＳＮＲ由降噪前的７．５６１ｄＢ上升至２８．２２５ｄＢ和２９．４５７ｄＢ。
图２ 本文两种模型对待修复图像的修复结果
结束语 本文提出了两种解决图像修复问题的模型，利用分裂Ｂｒｅｇｍａｎ得到了模型的求解算法，通过实验结果表明该模型能有效地去除图像中的噪声，也能有效地对图像进行修复。
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专题4.8：切比雪夫多项式的研究与拓展.pdf
专题4.8：切比雪夫多项式的研究与拓展 【课本溯源】由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式. 再如： 1cos 22cos 2-=x x x 2cos x cos x x x x x x x x x x x x sin )cos (sin 2cos )1cos 2(sin 2sin cos 2cos )2cos(3cos 2--=-=+=，可见可以表示为的三次多项式. x x x x x x cos 3cos 4cos )cos 1(2cos cos 2323-=---=x 3cos x cos 一般地，存在一个次多项式，使得这些多项式称为切比雪夫（P. L. n )(t P n ),(cos cos x P nx n =)(t P n Tschebyscheff ）多项式. （1）请尝试求出，即用一个的四次多项式来表示)(4t P x cos x 4cos （2）利用结论：，求出的值（） x x x cos 3cos 43cos 3-= 18sin 18290183?-=?本例是一道阅读题，给出切比雪夫多项式的定义，由定义可知：任意一个都可以表示为nx cos x cos 的次多项式.第（1）问利用二倍角公式和完全平方公式即可解决：n . 1)1cos 2(212cos 24cos 222--=-=x x x 1cos 8cos 824+-=x x 第（2）问根据所给提示，自然想到对进行赋值，令 18290183?-=?x 18=x 化简后可得： 18cos 18sin 2)182sin()18290cos(18cos 318cos 4183cos 3=?=?-=-=?，解得：3)18sin 1(418sin 2318cos 422--==- 41518sin -= 【探究拓展】 探究1：观察下列等式：观察下列等式： ①; 1-cos 22cos 2αα=② ; 42cos 48cos 8cos 1ααα=-+③ ; 642cos 632cos 48cos 18cos 1αααα=-+-④ ;8642cos8128cos 256cos 160cos 32cos 1ααααα=-+-+⑤ .10 8642cos10cos 1280cos 1120cos cos cos 1m n p αααααα=-+++-可以推测，._________=+-p n m 962 =+-p n m 探究2：3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a =
otsu自适应阈值分割的算法描述和opencv实现,及其在肤色检测中的应用
otsu算法选择使类间方差最大的灰度值为阈值，具有很好的效果 算法具体描述见otsu论文，或冈萨雷斯著名的数字图像处理那本书 这里给出程序流程： 1、计算直方图并归一化histogram 2、计算图像灰度均值avgValue. 3、计算直方图的零阶w[i]和一级矩u[i] 4、计算并找到最大的类间方差（between-class variance） variance[i]=(avgValue*w[i]-u[i])*(avgValue*w[i]-u[i])/(w[i]*(1-w[i])) 对应此最大方差的灰度值即为要找的阈值 5、用找到的阈值二值化图像 我在代码中做了一些优化，所以算法描述的某些地方跟程序并不一致 otsu代码，先找阈值，继而二值化 // implementation of otsu algorithm // author: onezeros(@https://www.sodocs.net/doc/9016648465.html,) // reference: Rafael C. Gonzalez. Digital Image Processing Using MATLAB void cvThresholdOtsu(IplImage* src, IplImage* dst) { int height=src->height; int width=src->width; //histogram float histogram[256]= {0}; for(int i=0; i 1平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式 一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为 12...,n n a a a A n +++= 几何平均值记为 112(...)n n n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 12...n a a a n +++≥ 即 n n A G ≥， 当且仅当12...n a a a ===时，等号成立。 上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明 证法一（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 1 1212...(...)k k n a a a a a a k +++≥。 那么，当1n k =+时，由于 121 1 (1) k k a a a A k +++++= +，1k G +=， 关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥. 所以 1111211 1(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-= == 2111...()k k k a a a a A k ++++++-=≥即12111...()k k k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +，得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。 从而，有11k k A G ++≥ 证法二（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 12...k a a a +++≥ 那么，当1n k =+时，由于 方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cos n α都是关于2cos α的首项系数为1的、次数等于α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cos n α的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为 切比雪夫多项式． 在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如： 2cos 22cos 1αα=- ，(1) 3cos34cos 3cos ααα=-． (2) 它们都是由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得 42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3) 53cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4) 观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明． 猜想 2,02cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N + ∈∈) (5) (5)式可改写为： n/3 12112cos (2cos )(1)(2cos )ent n m m n m n m m n n C m ααα----==+-∑ ，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式． 12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，其中i α为正整数． 因为余弦cos α在[]0,απ∈上单调，对应值为1降到1-，即cos α[]1,1∈-，[]0,απ∈ ．因此存在反函数，若令cos x α=，则arccos x α=，[]1,1x ∈-，[]0,απ∈．因此，在余弦n 倍角公式中令arccos x α=，[]0,απ∈，[]1,1x ∈-，则倍角公式为 于是cos(arccos )n x 首项系数为12n -的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x 的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零． 若记cos(arccos )n x =()n T x ，则()n T x 满足，12()2()()n n n T x xT x T x --=-，()n T x 称为切比雪夫多项式．从递推关系可以得到： 第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如： 1．(cos )cos(),,n T n R n N θθθ=∈∈．(分析：令cos x θ=，arccos x θ=) 2．()(1)()n n n T x T x -=-，,x C n N ∈∈． 这表明()n T x 当n 为奇(偶)数时是奇(偶)函数． 3．()1,,1n T x x R x ≤∈≤． 4．21(0)0m T +=，2(0)(1),m m T m N =-∈． 5．函数列{}()n T x 的生成函数为 （分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．） 6．函数列{}()n T x 满足2阶递推关系 关于切比雪夫不等式的题目现有一大批种子，其中良种占1/6，现从中任取6000颗种子，请用切比雪夫不等式计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超过0.01的概率。利用切比雪bai夫不等式回答下面du两个问题均值为zhi3,方差为dao4的随机变量X,利用切比雪夫专不等式确定P（-2 < X < 8)的下界属限.2 .均值为3,方差为4的随机变量X,且X的概率分布以均值3为中心对称,利用切比雪夫不等式确定P（X <= 0)的上界限|EX=9 DX=9,EY=9 DY=4E(X-Y)=9-9=0D(X-Y)=DX+DY- 2ρxy(DX*DY)^bai0.5=9+4-2*0.5*(9*4)^0.5=7P(|X?Y|≤du4)=1-P(|X?Y-E(X-Y)|≥4)而由切比zhi雪夫不等dao式P(|X?Y-E(X-Y)|≥4)≤D(X-Y)/4^2=7/16所以P(|X?Y|≤4)≥1-7/16=9/16切切比雪夫不等式：对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε＞0, 恒有 P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2 在你这题中,X~N（2,4） 所以EX=2 ε=3 DX=4 所以P{|X-2|>=3}<=4/(3^2)=4/9方法点拨: 设随机变量X的数学期望和方差都存在，有或 .切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知，而只知道和的情况下估计概率 的界限。例1已知随机变量的密度函数为偶函数，$D(X)=1$，且用切比雪夫不等式估计得$P\left\{ \left| X \right|<\varepsilon \right\}\ge 0.96$，则常数$\varepsilon =\_\_\_\_\_.$ 【答案】5 例2设随机变量和的数学期望分别-2和2，方差分别1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式有____ 【答案】^$的均bai值=10000*3/4=7500方差=10000*3/4*（1-3/4）=1625根据切比du雪夫不zhi等式P{0.74< $/10000 <0.76}=( P{|$/10000-0.75 |<0.01}>=1-(1625/10000^dao2)/0.01^2 =0.837519世纪俄国数学家bai切比雪夫研究统计规律中，du论证并用标准差表达zhi了一个不等式，这个不等式具有普遍的dao意义，被称作切比雪夫定理chebyshev's theorem 其大意是：任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1-1/㎡，其中m 为大于1的任意正数。对于m=2，m=3和m=5有如下结果：所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。其计算公式通常表示为：μ为X的均值，sigma为X的标准差。若和则有它是由排序不等式而来。切比雪夫不等式的积分形式如下:若f 和g 是区间[0,1]上的可积的实函数，并且两者都是递增（或递减）的，则有上式可推广到任意区间。 利用切比雪夫不等式证明_切比雪夫不等式证明一、 试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。 分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此 1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布. 解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且 ~XB1000,1/2.因此 500 2 1 1000=×==npEX, 250 2 答题完毕，祝你开心! 1 1 2 1 10001= ××= =pnpDX, 而所求的概率为 }500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP }100{< =EXXP 975.0 100 1 2 = ≥ DX . 二、 切比雪夫Chebyshev不等式 对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0, 恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2 切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε} 越小，P{|X-EX|<ε}越大，也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进 一步说明了方差的意义。 同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|>=ε}的一个上界，该 上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫 不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。 切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多 是1/K^2。 在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。 这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近： 与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4 与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9 与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16 …… 与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/K^2 举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分， 我们便可得出结论：少于50分与平均相差3个标准差以上的人，数目不多于4个=36*1/9。 其他不等式综合问题 例1：（第26届美国数学奥题之一）设a、b、c∈R+，求证： （1） 分析；最初，某刊物给出了一种通分去分母的较为复杂的证法，这里试从分析不等式的结构出发，导出该不等式的编拟过程，同时，揭示证明此类问题的真谛，并探索其推广命题成功的可能性。 思考方向：（1）的左边较为复杂，而右边较为简单，所以，证明的思想应该从左至右进行, 思考方法：（1）从左至右是一个由简单到复杂的逐步放大过程，所以，一个简单的想法就是将各分母设法缩小，但考虑到各分母结构的相似性，故只要对其中之一做恰倒好处的变形，并构造出右边之需要即便大功告成. 实施步骤；联想到高中课本上熟知的不等式： x3+y3≥x2y+xy2=xy(x+y) (x、y∈R+)（*） 知（1）的左端 这一证明是极其简单的，它仅依赖高中数学课本上的基础知识，由此可见，中学课本上的知识也能用来攻克高层次的数学竞赛题，看来，我们要好好守住课本这快阵地。 （1）刻画了3个变量的情形，左端的三个分式分母具有如下特征：三个字母中取两个的三次方与这三个变量的乘积之和，那么，对于更多个变量会有怎样的结论？ 以下为行文方便，记（1）的左端为 ，表示对a、b、c轮换求和，以下其它的类似处理，不再赘述, 为了搞清多个变量时（1）的演变，首先从4个变量时的情形入手, 推广1：设a、b、c、d∈R+，求证： 。（2） 分析：注意到上面的（*），要证（2），需要证 x4+y4+z4≥xyz(x+y+z)（**） （**）是（*）的发展，它的由来得益于证明（1）时用到的（*），这是一条有用的思维发展轨道。 事实上，由高中数学课本上熟知的不等 式x2+y2+z2≥xy+yz+zx易知 x4+y4+z4≥x2y2+y2z2+z2x2≥xy·yz+yz·zx+zx·xy=xyz(x+y+z),这样 （**）得证, 从而（2）便可仿（1）不难证明，略, 推广2：设ai∈R+(i=1、2、3，…，n),求证： 。（3） 有了前面的推广1的证明，这里的推广2的证明容易多了，联想（**），只要能证明 切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。 切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。 在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程 和 相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形. 定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定 也可以用母函数表示 第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出 此时母函数为 从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定 其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看： 是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的， 从而可以表示成的幂。 用显式来表示 尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有 类似，第二类切比雪夫多项式满足 以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程 在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出: 归递公式 两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出: T0(x) = 1 U ? 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) ? (1 ? x2)Un ? 1(x) Un(x) = xUn ? 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替 xTn(x) ? (1 ? x2)Un(x) 正交性 Tn 和Un 都是区间[?1,1] 上的正交多项式系. 第一类切比雪夫多项式带权 即: 可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明. 类似地，第二类切比雪夫多项式带权即: 其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布). 基本性质 对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数，在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。 时，Tn 的最高次项系数为2n ? 1 ，n = 0时系数为1 。 自适应阈值化的函数为： AdaptiveThreshold 自适应阈值方法 void cvAdaptiveThreshold( const CvArr* src, CvArr* dst, double max_value, int adaptive_method=CV_ADAPTIVE_THRESH_MEAN_C, int threshold_type=CV_THRESH_BINARY, int block_size=3, double param1=5 ); src 输入图像. dst 输出图像. max_value 使用CV_THRESH_BINARY 和CV_THRESH_BINARY_INV 的最大值. adaptive_method 自适应阈值算法使用：CV_ADAPTIVE_THRESH_MEAN_C 或 CV_ADAPTIVE_THRESH_GAUSSIAN_C （见讨论）. threshold_type 取阈值类型：必须是下者之一 ?CV_THRESH_BINARY, ?CV_THRESH_BINARY_INV block_size 用来计算阈值的象素邻域大小: 3, 5, 7, ... param1 与方法有关的参数。对方法CV_ADAPTIVE_THRESH_MEAN_C 和 CV_ADAPTIVE_THRESH_GAUSSIAN_C，它是一个从均值或加权均值提取的常数（见讨论）, 尽管它可以是负数。 函数cvAdaptiveThreshold 将灰度图像变换到二值图像，采用下面公式： threshold_type=CV_THRESH_BINARY: dst(x,y) = max_value, if src(x,y)>T(x,y) 几个经典不等式的关系 一 几个经典不等式 （1）均值不等式 设12,,0n a a a >L 是实数 其中0,1,2,i a i n >=L .当且仅当12n a a a ===L 时，等号成立. （2）柯西不等式 设1212,,,,,n n a a a b b b L L 是实数，则 当且仅当0(1,2,,)i b i n ==L 或存在实数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n ==L 时，等号成立. （3）排序不等式 设12n a a a ≥≥≥L ，12n b b b ≥≥≥L 为两个数组，12n c c c L ，， ，是12n b b b L ，,，的任一排列，则 当且仅当12n a a a ===L 或12n b b b ===L 时，等号成立. （4）切比晓夫不等式 对于两个数组：12n a a a ≥≥≥L ，12n b b b ≥≥≥L ，有 当且仅当12n a a a ===L 或12n b b b ===L 时，等号成立. 二 相关证明 （1）用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明：由 而 根据“顺序和≥乱序和”（在1n -个部分同时使用），可得 即得 同理，根据“乱序和≥反序和”，可得 综合即证 （2）用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”12n a a a n +++≤ L 证明：构造两个数列： 其中 c =因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．和：．． 总是两数组的反序和．．．．．．．．． .于是由“乱序和≥反序和”，总有 于是 即 即证 （3）用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式”： 12n a a a n +++≤ L 证明：不妨设12n a a a ≥≥≥L ， 切比雪夫多项式是与有关，以递归方式定义的一系列序列。通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式T n或U n代表n阶多项式。 切比雪夫多项式在中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低，并且提供多项式在的最佳一致逼近。 在的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程 和 相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。这些方程是的特殊情形. 定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定 也可以用表示 第二类切比雪夫多项式由以下给出 此时为 从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定 其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么 看：是:的实部（参见），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。 用显式来表示 尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有 类似，第二类切比雪夫多项式满足 以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为 在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见, p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出: 归递公式 两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出: T0(x) = 1 U ? 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) ? (1 ? x2)Un ? 1(x) Un(x) = xUn ? 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替 万方数据 万方数据 ?２３８２?计算机应用研究第２７卷 称为（Ｆ，Ｂ）的最大类间方根一算术均值距离（ｍａｘｃｌｕｓｔｅｒｓ’ｓｑｕａｒｅｒｏｏｔａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｍｅａｎｄｉｖｅｇｅｎｃｅ，ＭＣＳＡＭ）。 ２．２算法步骤 自适应阈值的运动目标提取算法的具体步骤如下： ａ）初始化：Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ＝Ａｖｅ，Ｎｏ＝０，Ｎ１＝０，Ｇｍｙｏ＝０，Ｇｒａｙ。＝０，ＭＣＳＡＭ（Ｆ，Ｂ）＝０，Ｔｉｍｅｓ＝０（表示迭代次数）。 ｂ）如果Ｔｉｍｅｓ＜Ｔ（Ｔ为阈值调整次数，即最大迭代次数），Ｔｉｍｅｓ＋＋；否则，转步骤ｆ）。 ｃ）遍历图像，由上述定义分别计算Ⅳｏ，Ｎ。，Ｇｒａｙｏ，Ｇｒａｙ。。 ｄ）计算Ａｖｅｏ，ＡｖｅＩ，∞ｏ，∞１，Ａｖｅ，ＣＳＡＭ（Ｆｉ，Ｂ１）。 ｅ）如果ＭＣＳＡＭ（Ｆ，Ｂ）＜ＣＳＡＭ（ｆ，曰；），则令ＭＣＳＡＭ（Ｆ，Ｂ）＝ＣＳＡＭ（Ｆｉ，Ｂ；），Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ＝Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ＋Ｓｔｅｐ（Ｓｔｅｐ表示阈值调整步长），转步骤ｂ）；否则，不变，Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ＝Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ—Ｓｔｅｐ，转步骤ｂ）。 ｆ）此时的ＭＣＳＡＭ（，，鳓就是所要寻找的最佳阈值，算法结束。 将运动目标和背景作为两个聚类，把聚类问的方根一算术均值距离最大作为阈值选择的准则是本算法的核心。背景和运动目标之间的ＣＳＡＭ越大，说明构成图像的两部分差别越大，当部分目标错分为背景或者部分背景错分为目标时，都会导致两部分差别变小，使得ＣＳＡＭ值变小。因此，ＭＣＳＡＭ意味着错分的概率最小，该方法能保证运动目标提取的准确性。２．３阈值更新策略 本文的算法主要采用两种方法进行阈值更新。第一种是定时更新，即在规定时间段中（通常３—５ｍｉｎ），抽取１０张连续图像序列利用该算法计算下一时间段差分图像的分割阈值。这种方式适用于背景缓慢变化的情况，如一天当中太阳光照的缓慢变化。第二种方法¨２１是实时更新，若在当前帧图像与背景模型差分后所得差分图像中，∞。大于某一个阈值（通常取８０％），则认为整个背景发生了变化；若连续多帧图像中这一比值依然很大，则不仅更新背景模型，同时更新阈值Ｔｈｒｅｓｈ—ｏｌｄ。这种方式适用于背景发生突变时的情况，如室内突然开灯或关灯。此外，如果图像中某些固定区域（非整幅图像）在较长时间内一直保持变化状态，有两种情况：一种是该区域像素灰度均值平稳变化，则认为该处背景的实际状态发生了变化（如户外汽车的停泊和驶走），此时执行分割阈值更新操作；另一种情况是该区域像素灰度均值变化不平稳，则该处背景可能存在显示器屏幕一类的物品，此时标记该区域，只检测该区域以外的图像，进行阈值更新。 ３实验结果 利用本文的算法对大量实际视频图像序列进行了运动目标提取的实验，并且在实验中总结了阈值调整次数Ｔｉｎ螂和阈值调整步长Ｓｔｅｐ的最优选择方法。 ３．１阈值调整次数和阈值调整步长的确定 阈值调整次数和阈值调整步长为本算法中可调整的参数。对视频中图像序列计算分割阈值时，可通过改变阈值调整步长Ｓｔｅｐ和阈值调整次数Ｔｉｍ鹤的值，比较每帧图像的分割阈值。由实验统计数据可知：分割阈值准确度与阈值调整步长成反 比，与阈值调整次数成正比，即阈值调整步长Ｓｔｅｐ越小，阈值调整次数Ｔｉｍｅｓ越大，得到的分割阈值准确度越高，但同时也带来了巨大的计算量。因此，本文采用如下办法解决此问题：首先固定Ｔｉｍｅｓ值，选择阈值变化减缓时的最小Ｓｔｅｐ值；然后固定Ｓｔｅｐ，寻找阈值变化减缓时的最小Ｔｉｍｅｓ值；将选定的Ｓｔｅｐ作为阈值调整步长，Ｔｉｍｅｓ作为阈值调整次数。 ３．２运动目标提取实验 利用本文算法对不同情况下的多组视频序列进行了运动目标提取实验，视频包括室内、室外、开关照明等场景，并将运动目标区域提取结果与基于背景差法的运动目标提取结果进行了比较。其中，后处理采用数学形态学的开运算。 实验１图３为摄像头获取的室内场景关灯条件下的视频序列，其中，（ａ１）（ａ２）（ａ３）分别是该图像序列中第５０、１１０和１５０帧图像；图３（ｃ）为利用本文算法分别对图１（ａ）中图像进行运动目标提取的结果，运动目标完整，且干扰噪声点较少；图３（ｂ）是利用普通背景差法进行运动目标提取的结果，可以看到除由于未进行阴影消除出现伪影外，效果与图３（ｃ）相差不多。 （ｃ）基于自适应闻值运动目标提取算法的提取结果 图３室内人侧面走过摄像头视频（关灯情况下）实验２图４为摄像头获取的室内场景突然开灯情况下的视频序列。其中，（ａ１）（ａ２）（ａ３）分别是该图像序列中第２５０、３１０和３５０帧图像；图４（ｂ）是利用背景差法进行运动目标提取的结果，可以看到，提取效果较差，这是由于照明环境的突然变化，使背景模型发生改变，而运动目标提取阈值固定不变所导致的结果；图４（Ｃ）是利用本文算法对运动区域提取阈值进行了自动调整，使得分割更灵活可行，因此，提取结果依然是运动目标完整，且干扰噪声点较少，从而验证了本算法对环境亮度突变的鲁棒性。 实验３图５为摄像头获取的室外场景视频序列，室外场景中通常存在一些微小的变化区域，如树叶的轻微摆动。由于本文算法后处理采用了数学形态学方法，可以有效去除这些微小变化引起的误检。但是，当背景中变动区域的运动幅度非常大，如狂风中摇摆的树木等，则该处理方法便无法完全去除变动区域的影响。 执行时间也是本算法的一个重要检测指标，本文使用１．８ＧＨｚＩｎｔｅｌＰｅｎｔｉｕｍ＠ＤＣＰＵ，５１２ ＭＢ内存的普通Ｐｃ机，图像分 万方数据 2016届本科毕业论文(设计) 题目：不等式的若干证明方法 学院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学12-1班 学生姓名：高春 指导教师：马昌秀 答辩日期：2016年5 月3日 新疆师范大学教务处 目录 1.引言 (1) 2.证明不等式的常用方法 (2) 2.1比较法 (2) 2.1.1 作差法 (2) 2.1.2作商法 (2) 2.2 分析法 (3) 2.3 综合法 (3) 2.4 反证法 (4) 2.5 放缩法 (5) 2.6 数学归纳法 (5) 2.7换元法 (6) 2.7.1增量换元法.. (6) 2.7.2三角换元法 (6) 2.7.3 比值换元法 (7) 2.8 标准化法 (7) 2.9 公式法 (8) 2.10 分解法 (8) 2.11 构造法 (9) 2.11.1 构造对偶式模型 (9) 2.11.2 构造函数模型 (9) 2.12 借助几何法 (10) 3.利用函数证明不等式 (10) 3.1 极值法 (10) 4.利用著名不等式 (11) 4.1 均值不等式 (11) 4.2 柯西-施瓦茨不等式 (12) 4.3 拉格朗日中值定理 (12) 4.4 赫尔德不等式 (13) 4.5 詹森不等式 (13) 4.6 闵可夫斯基不等式 (14) 4.7 伯努利不等式 (15) 4.8 切比雪夫不等式 (15) 4.9 琴生不等式 (16) 4.10 艾尔多斯—莫迪尔不等式 (16) 4.11 排序不等式定理 (16) 5.小结 ..................................................... 错误！未定义书签。参考文献 . (18) 谢辞 ..................................................... 错误！未定义书签。 浅谈切比雪夫多项式 数学与应用数学（师范）2008级 石晓萌 0807402049 指导老师刘长剑 摘要 本文通过三角函数和复数方法得到切比雪夫多项式，对两类切比雪夫多项式的定义和性质做了全面而又简练的概括和说明．除此之外，本文也研究了两类切比雪夫多项式之间的关系，并进一步讨论了切比雪夫多项式在处理实际问题的应用． 关键词：切比雪夫多项式三角函数复数正交性最小偏差插值 Discussion on the chebyshev polynomials Mathematics and Applied Mathematics (normal school) ShiXiaomeng 0807402049 Supervisor Liu Changjian Abstract This paper through the triangle function and complex method obtains chebyshev polynomial and describes two groups of chebyshev polynomial of the definitions and properties in detail. In addition，this paper also studies relationships between the two groups of chebyshev polynomial and further discusses the application of he chebyshev polynomial in dealing with practical problems. Key word: chebyshev polynomial trigonometric function Plural orthogonality minimum deviation interpolation 目录 计算机研究与发展 ISSN 100021239/CN 1121777/TP Journal of Computer Research and Development 42(10):1752～1757,2005 收稿日期:2005-06-14 基金项目:北京交通大学科技基金项目(2004sm013) 基于自适应阈值的自动提取关键帧的聚类算法 王方石 须 德 吴伟鑫 (北京交通大学计算机与信息学院 北京 100044)(wfs @computer 1njtu 1edu 1cn ) A Cluster Algorithm of Automatic K ey Frame Extraction B ased on Adaptive Threshold Wang Fangshi ,Xu De ,and Wu Weixin (School of Com puter &Inf orm ation Technology ,Beijing Jiaotong U niversity ,Beijing 100044) Abstract It is a common method to extract key frames using the unsupervised cluster algorithm 1But the algorithm is sensitive to the initial number of the classes and the initial classification 1It is problematic to predefine the absolute number of key frames without knowing the video content 1An approach for two times clustering is presented 1In the first time ,the similarity distances of the consecutive frames in a shot are clustered into two classes so that the thresholds needed in the second time clustering process can be deter 2mined adaptively 1In the second time clustering ,all the frames in the shot are clustered using dynamic clus 2ter ISODA TA algorithm 1Then the frame nearest to the center of its class is automatically extracted as one key frame in the shot 1It is simple and effective with no need to predefine any threshold 1Experimental re 2sults of many videos with different traits demonstrate the good performance of the proposed algorithm 1K ey w ords key frame ;unsupervised cluster ;ISODA TA algorithm ;adaptive threshold 摘 要 利用无监督聚类算法来提取关键帧是一种常用的方法,但该算法对类别数和初始类划分较敏 感,在对视频内容一无所知的情况下,要求预先指定聚类数目是一个很困难的问题1提出一种二次聚类的方法;第1次以镜头内相邻两帧的相似度为数据样本进行聚类(分成两类),计算确定第2次聚类所需的阈值;第2次采用动态聚类的ISODA TA 算法,以视频序列的帧为数据样本进行聚类,得到最终聚类结果1最后在每类中自动提取距其类中心最近的帧为关键帧1该算法简单且行之有效,无需预定义任何阈值(如聚类数目)1对大量不同特点的视频进行了实验,该算法均取得了较好的实验结果1 关键词 关键帧;无监督聚类;ISODA TA 算法;自适应阈值中图法分类号 TP391 1 引 言 为了有效地访问视频内容,首先需要将视频分解为一系列镜头,然后从每个镜头中提取最具代表性的、反映该镜头主要内容的若干帧,称之为关键 帧1使用关键帧可简洁地表达镜头,为视频索引、浏 览和检索提供合适的摘要,大大减少了视频操作的数据处理量1关键帧的提取主要涉及两个问题:①关键帧要具有代表性,能反映镜头内容;②关键帧的数量应根据镜头内容的变化程度而确定,内容变化大的镜头提取关键帧的数量要多1 平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多 竞赛的书籍中，都有专门的章节和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析 综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1平均值不等式 一般地，假设，，，为n个非负实数，他们的算术平均值记为 几何平均值记为 算术平均值和几何平均值之间有如下的关系。 即， 当且仅当时，等号成立。 上述不等式成为平均值不等式，或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和使用非常灵活、广泛，有多 重不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。 供大家参考学习。 1.2平均值不等式的证明 证法一（归纳法） （1）当n=2时，已知结论成立。 （2）假设对n=k（正整数k）时命题成立，即对 ，，，，有 。 那么，当n=k+1时，由于 ， 关于，，，是对称的，任意对调和，和的值不改变，因此不妨设，，，，，，，显然，以及（）（）可得 （） 所以 （） （） 即（）两边乘以，得 从而，有 证法二（归纳法） （1）当n=2时，已知结论成立。 （2）假设对n=k（正整数k）时命题成立，即对，，，，有 。 那么，当n=k+1时，由于 从而，有 证法三（利用排序不等式） 设两个实数组，，，和，，，满足 ；， 则（同序乘积之和） （乱序乘积之和） （反序乘积之和） 其中，，，是，，的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条件是或成立。 证明： 切比雪夫不等式（利用排序不等式证明） 杨森不等式（Young）设，，，则对 ，有等号成立的充分必要条件是。 琴生不等式（Jensen） 设，（，）为上凸（或下凸）函数，则对任意，（，，），我们都有 或 其中，， 习题一 1.设，求证：对一切正整数n，有 （） 2.设，，，求证 （）（）（）（ 3.设，，为正实数，证明：(完整版)均值不等式及其证明
高中数学竞赛切比雪夫(Chebyshev)多项式知识整理
切比雪夫不等式例题
利用切比雪夫不等式证明_切比雪夫不等式证明
重要不等式汇总(例题答案)
切比雪夫多项式-详细-Chebyshev polynomials
自适应阈值化的函数
经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式
切比雪夫多项式详细
一种自适应阈值的运动目标提取算法
不等式的若干证明方法
浅谈切比雪夫多项式1
基于自适应阈值的自动提取关键帧的聚类算法(1)
均值不等式的证明