浙教版八年级数学第三章知识点+经典例题+解析
第三章不等式
重点：不等式的性质和一元一次不等式的解法。
难点：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。
知识点一：不等式的概念
1. 不等式：用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
要点诠释：
(1)不等号的类型:
①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个
量谁大谁小；
②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；
！
③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；
④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；
⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；
(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。
(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
要点诠释：
由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。
3．不等式的解集：
一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。如：不等式x－4＜1的解集是x＜5.
~
不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.
二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。
要点诠释：
不等式的解集必须符合两个条件：
(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；
(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。
知识点二：不等式的基本性质
基本性质1：如果a 基本性质2：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。 | 基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 基本性质4：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 要点诠释： (1)不等式的基本性质1的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握； (2)要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多项式； (3)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”； (4)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘(除) 同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。 知识点三：一元一次不等式的概念 ： 只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样的不等式，叫做一元一次不等式。 要点诠释： (1)一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解： ①左右两边都是整式(单项式或多项多)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1。 (2)一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1，左右两边都是整式； 不同点：一元一次不等式表示不等关系(用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接)，一元一次方程表示相等关系(用“＝”连接)。 》 知识点四：一元一次不等式的解法 1.解不等式： 求不等式解的过程叫做解不等式。 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步 骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1. 要点诠释： （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用。（2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ' ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。 3.不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助。 要点诠释： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左。 < 规律方法指导（包括对本部分主要题型、思想、方法的总结） 1、不等式的基本性质是解不等式的主要依据。（性质 2、3要倍加小心） 2、检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式 是否成立，若成立，就是不等式的解；若不成立，则就不是不等式的解。 3、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原 不等式变为或的形式，其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同项；（5）化未知数的系数为1。这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。但要注意，去分母或化未知数的系数为1时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，如果是个正数，不等号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。 去括号根据题意，由内而外或由外而内去括号均 可 （1）运用分配律去括号时，不要漏乘 括号内的项 （2）如果括号前是“—”号，去括号 时，括号内的各项要变号 移项把含未知数的项都移到不等式的一边（通 常是左边），不含未知数的项移到不等式 的另一边 移项（过桥）变号 合并同类项 ; 把不等式两边的同类项分别合并，把不等 式化为或的形式 合并同类项只是将同类项的系数相 加，字母及字母的指数不变。 系数化1在不等式两边同除以未知数的系数，若 且，则不等式的解集为 ；若且，则不等式的 解集为；若且，则不 等式的解集为；若且， 则不等式的解集为； （1）分子、分母不能颠倒 （2）不等号改不改变由系数的正负 性决定。 （3）计算顺序：先算数值后定符号 4、将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，是数学中数形结合思想的重要体现，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实。 5、用一元一次不等式解答实际问题，关键在于寻找问题中的不等关系，从而列出不等式并求出不等式的解集，最后解决实际问题。 6、常见不等式的基本语言的意义： （1），则x是正数；（2），则x是负数； （3），则x是非正数；（4），则x是非负数； （5），则x大于y；（6），则x小于y； （7），则x不小于y；（8），则x不大于y； （9）或，则x，y同号；（10）或，则x，y异号； （11）x，y都是正数，若，则；若，则； （12）x，y都是负数，若，则；若，则 第三章一元一次不等式 。 复习总目 1、理解不等式的三个基本性质 2、会用不等式的基本性质解一元一次不等式并掌握不等式的解题步骤 3、会解由两个一元一次不等式组成的不等式组 知识点概要 一、不等式的概念 1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的 未知数的值，都叫做这个不等式的解。 3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集 合，简称这个不等式的解集。 4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 … 5、用数轴表示不等式的方法 二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或 乘的运算改变。②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立； 三、一元一次不等式 1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的 次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合 并同类项（5）将x项的系数化为1 四、一元一次不等式组 * 1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个 一元一次不等式组。 2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式 组的解集。 3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为 空集。 5、一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 6、不等式与不等式组 不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。 7、不等式的解集： > ①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 ②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式 中考规律盘点及预测 一元一次不等式（组）的解法及其应用，在初中代数中有比较重要的地位，它是继一元一次方程、二元一次方程的学习之后，又一次数学建模思想的学习，是培养学生分析问题和解决问题能力的重要内容，在近几年来的考试中会出现此类型的题目 ： \ 典型分析 例1 解不等式组 分析解不等式(1)得x>-1, 解不等式(2)得x≤1, 解不等式(3)得x<2, ∴∵在数轴上表示出各个解为： ∴原不等式组解集为-1 注意：借助数轴找公共解时，应选图中阴影部分，解集应用小于号连接，由小到大排列，解集不包括-1而包括1在内，找公共解的图为图（1），若标出解集应按图（2）来画。 点评这类题型是常见的解一元一次不等式组，并结合数轴解题，在解题过程 中要注意运算的准确性及数轴的表示法 例2 求不等式组的正整数解。 分析解不等式3x-2>4x-5得：x<3， 解不等式≤1得x≤2，1、先求出不等式组的解集。 、 ∴ 2、在解集中找出它所要求的特 殊解，正整数解。 ∴原不等式组解集为x≤2， ∴这个不等式组的正整数解为x=1或x=2 点评此类题型关键是正整数解，这要结合数轴将其正整数解出来，在运算过程中要注意正负数的运算，这在考试中是会经常出现的题型 例3 m为何整数时，方程组的解是非负数 分析解方程组得 ∵方程组的解是非负数，∴ 即解不等式组∴此不等式组解集为 ≤m≤, 又∵m为整数，∴m=3或m=4。 点评本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即。 先解方程组用m的代数式表示x, y, 再运用“转化思想”，依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求m的取值范围，最后切勿忘记确定m的整数值。 例4 解不等式-3≤3x-1<5。 分析解法（1）:原不等式相当于不等式组 解不等式组得-≤x<2，∴原不等式解集为-≤x<2。 解法（2）:将原不等式的两边和中间都加上1，得-2≤3x<6, 将这个不等式的两边和中间都除以3得， -≤x<2, ∴原不等式解集为-≤x<2。 点评这题把不等式拆分成两个不等式并组成不等式组，做题很灵活，解法有两种，在解题过程中要注意正负数移项时的符号 例5 有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小2，如果这个两位数大于20并且小于40，求这个两位数。 分析解法（1）:设十位上的数为x, 则个位上的数为(x+2), 原两位数为10x+(x+2), % 由题意可得：20<10x+(x+2)<40, 解这个不等式得，1 ∵x为正整数，∴1 ∴当x=2时，∴10x+(x+2)=24, 当x=3时，∴10x+(x+2)=35, 答：这个两位数为24或35。 解法（2）:设十位上的数为x, 个位上的数为y, 则两位数为10x+y, 由题意可得（这是由一个方程和一个不等式构成的 整体，既不是方程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”）。 将(1)代入(2)得，20<11x+2<40, 解不等式得：1 / ∵x为正整数，1 ∴当x=2时，y=4，∴10x+y=24, 当x=3时，y=5, ∴10x+y=35。 答：这个两位数为24或35。 解法（3）:可通过“心算”直接求解。方法如下：既然这个两位数大于20且小于40，所以它十位上的数只能是2和3。当十位数为2时，个位数为4， 当十位数为3时，个位数为5，所以原两位数分别为24或35。 点评这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决。题目中有两个主要未知数------十位上的数字与 个位上的数；一个相等关系：个位上的数＝十位上的数+2,一个不等关系：20<原两位数<40。 基础练习 一、选择题（每小题3分，共30分） > 1、a、b、c在数轴上的对应点的位置如图1所示，下列式子中正确的有（） 图1 ○1b+c>0，○2a+b>a+c，○3bc>ac，○4ab>ac 个；个；个；个. 2、不等式2x－5≤0的正整数解有( ) A．1个；B．2个；C．3个；D．0个． 3、如图2，能表示不等式组???<-<1 2 x x 解集的是 （ ） $ B ． C ． D ． 图2 4、如图3，不等式组240, 10 x x - +?≥的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 图3 ` 5、不等式组??? ? ?x －2≤0x ＋1＞0 的解是( ) A 、x ≤2 B 、x ≥2 C 、－1＜x ≤2 D 、x ＞－1 6、下面不等式组无解的是（ ） A.?? ?<+<-0201x x ； B.???>+<-0201x x ； C.? ??<+>-0201x x ； D.?? ?>+>-020 1x x . 7、已知a 、b 为实数，且1=ab ，设11+++=b b a a M ，1 1 11+++=b a N ，则M 、N 的 大小关系是（ ） A ．N M B ．N M = C ．N M D ．不确定 8、已知关于x 的不等式组?? ? ??>-> 无解，则a 的取值范围是（ ） ≤－1 ≥2 C. －1＜a ＜2 D. a ＜－1，或a ＞2 @ @ 9、小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小明最多能买钢笔（ ）． A. 12支； B. 13支； C. 14支； D. 15支． { 10、小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板,三人的体重一共为150千克,爸爸坐在跷跷板的一端；体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端.这时,爸爸的那一端仍然着地.请你猜一猜小芳的体重应小于（ ） A. 49千克 B. 50千克 C. 24千克 D. 25千克 二、填空题（每小题3分，共30分） 11、若a>b ，则2b _____2a -- ． 12、如果 >0，那么xy__0． 13、不等式 5x －9≤3（x ＋1）的解集是______. 14、不等式组 的整数解为______. 15、已知4 x 33 x 22 x 1-<+≤-，则x 的最大整数值为_________． 16、在关于x 1，x 2，x 3的方程组??? ??=+=+=+313 2321 21a x x a x x a x x 中，已知321a a a >>，那么将x 1， x 2，x 3从大到小排起来应该是____________. 17、对于整数a,b,c,d ，符号c b d a 表示运算ac-bd ，已知1<4 1b d <3，则b+d 的值是____________． ~ 18、已知关于x 的不等式组? ??>--≥-0a x 1 x 25无解，则a 的取值范围是_____． 19、已知不等式4x －a ≤0的正整数解是1，2，则a 的取值范围是_________． 20、为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通 秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．则这个中学共选派值勤学生______人，共有_____个交通路口安排值勤． 三、解答题（每小题7分，共35分） 21、解不等式组?? ? ??>-≥--②① 32x -11-x )1(2)3(410x x ，并写出此不等式组的整数解． 22、已知关于x 、y 的方程组???=++=-a y x a y x 523 的解满足x>y>0，化简|a|+|3－a|． 23、有一个两位数，其中十位上的数字比个位上的数字小2，如果这个两位数大于20而小于40，求这个两位数． 24、慧秀中学在防“非典”知识竞赛中，评出一等奖4人，二等奖6人，三等奖20人，学校决定给所有获奖学生各发一份奖品，同一等次的奖品相同． （1）若一等奖，二等奖、三等奖的奖品分别是喷壶、口罩和温度计，购买这三种奖品共计花费113元，其中购买喷壶的总钱数比购买口罩的总钱数多9元，而口罩的单价比温度计的单价多2元，求喷壶、口罩和温度计的单价各是多少元 （2）若三种奖品的单价都是整数，且要求一等奖的单价是二等奖单价的2倍，二等奖的单价是三等奖单价的2倍，在总费用不少于90元而不足150元的前提下，购买一、二、三等奖奖品时它们的单价有几种情况，分别求出每种情况中一、二、三等奖奖品的单价 % 25、某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评．A 、B 、C 、D 、E 五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评．结果如下表所示： 表1 演讲答辩得分表（单位：分） 表2 民主测评票数统计表（单位：张） 规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定； 民主测评得分＝“好”票数×2分＋“较好”票数×1分＋“一般”票数×0分； 综合得分＝演讲答辩得分×（1－a ）＋民主测评得分×a （≤a ≤）． ⑴ 当a ＝时，甲的综合得分是多少 ⑵ a 在什么范围时，甲的综合得分高a 在什么范围时，乙的综合得分高 四、探索题（第26、27小题，每小题8分，第28小题9分，共25分） 26、马小虎同学在做练习时，有两道不等式组是这样解的： （1）解不等式组? ?? ??2x+3<7 ①5x-6>9 ② [ 小虎解法：由不等式①，得 x<2 由不等式②，得 x>3 所以，原不等式组的解集为 2>x>3． （2）解不等式组? ?? ??2x<7+x ① 3x 小虎解法：②-①，得不等式组的解集为 x<-13． 你认为小虎的解法对吗为什么如果有错误，请予以改正． … 27、a 克糖水中有b 克糖(a>b>0)，则糖的质量与糖水的质量比为_________；若 再加c 克糖(c>0)，则糖的质量与糖水的质量比为___________．生活常识告诉我 们：加的糖完全溶解后，糖水会更甜，请根据所列式子及这个生活常识提炼一个不等式． 28、某园林的门票每张10元，一次性使用．考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法(个人年票从购买日起，可供持票者使用一年).年票分A 、B 、C 三类,A 类年票每张 120元，持票者进人园林时，无需再购买门票；B 类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C 类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元. （1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式； （2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A 类年票比较合算 参考答案 一、C B A B C ，C B B B D ． 二、11、<； 12、>； 13、x ≤6； 14、-3，-2； 15、0； 16、x 2>x 1>x 3； 17、3或者-3； 18、a ≥3； 19、8≤a<12； 20、158，20． 三、21、不等式①的解是x ≤4， · 不等式②的解是5 4 x >， 所以不等式组的解为4x 5 4≤<， 所以它的整数解为1，2，3，4． 22、由方程组?? ?=++=-a 5y x 23 a y x ，解得 ? ? ?-=+=2a y 1 a 2x 由x>y>0，得 ?? ?>-->+0 2a 2 a 1a 2 解得 a>2