成人高考专升本《高等数学二》公式大全
第一章节公式
1、数列极限的四则运算法则 如果,lim ,lim B y A x n n n n ==∞
→∞
→那么
B
A y x y x n n n n n n n -=-=-∞
→∞
→∞
→lim lim )(lim B A y x y x n n n n n n n +=+=+∞
→∞
→∞
→lim lim )(lim
B A y x y x n n n n n n n .(lim ).(lim ).(lim ==∞→∞→∞→） )0(lim lim lim ≠==∞
→∞
→∞→B B A y x y x n n n n n n n
推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况。例如，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限，则：
n n n n n n n n n n c b a c b a ∞
→∞
→∞
→∞
→++=++lim lim lim )(lim
特别地，如果C 是常数，那么
CA a C a C n n n n n ==∞
→∞
→∞
→lim .lim ).(lim
2、函数极限的四算运则
如果,)(lim ,)(lim B x g A x f ==那么
B
A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )(lim )(lim
B
A x g x f x g x f ?=?=?)(lim )(lim )(lim )(lim
)
0)(lim ()(lim )(lim )()(lim ≠===x g B B A x g x f x g x f
推论设)(lim ),(lim ),......(lim ),(lim ),(lim 321x f x f x f x f x f n 都存在，k 为常数，n 为正整数，则有：
)
(lim ....)(lim )(lim )](....)()([lim 2111x f x f x f x f x f x f n n ±±±=±±
)
(lim )]([lim x f k x kf =
n
n x f x f )](lim [)]([lim =
3、无穷小量的比较：
.0lim ,0lim ,,==βαβα且穷小是同一过程中的两个无设
);(,,0lim
)1(βαβαβ
α
o ==记作高阶的无穷小是比就说如果;),0(lim
)2(同阶的无穷小是与就说如果βαβ
α
≠=C C ;~;,1lim
3βαβαβ
α
记作是等价的无穷小量与则称如果）特殊地（= .),0,0(lim
)4(阶的无穷小的是就说如果k k C C k βαβ
α
>≠= .,lim
)5(低阶的无穷小量是比则称如果βαβ
α
∞= ,
0时较：当常用等级无穷小量的比→x
.2
1~
cos 1,
~1,~)1ln(,~arctan ,~tan ,~arcsin ,~sin 2x x x e x x x x x x x x x x x --+ e
n e x e x x x n n x x x x x
=+=+=+=∞→→→→)11(lim )1(lim .)11(lim .1sin lim 1
000对数列有重要极限
第二章节公式
1.导数的定义：
函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是
lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0
Δf
Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0即f ′(x 0)
＝lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
.
2．导数的几何意义
函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
＝f ′(x 0)．
3．导函数(导数)
当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)，y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即
f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0
f (x ＋Δx )－f (x )
Δx
.
4．几种常见函数的导数
(1)c ′＝0(c 为常数)，(2)(x n
)′＝nx n －1
(n ∈Z )，(3)(a x
)′＝a x
lna(a ＞0,a ≠1), (e x
)′＝e x
(4)(ln x )′＝1x ，(log a x )′＝1
x
log a e=
a
x ln 1
(a ＞0,a ≠1) (5)(sin x )′＝cos x ，(6)(cos x )′＝－sin x (7) x x 2cos 1)'(tan =
, (8)x
x 2
sin 1
)'(cot -= (9) )11(11)'(arcsin 2
<<--=
x x
x , (10) )11(11)'(arccos 2
<<---
=x x
x
(11) 211)'(arctan x x +=
, (12)2
11
)'cot (x
x arc +-= 5．函数的和、差、积、商的导数
(u ±v )′＝u ′±v ′，(uv )′＝u ′v ＋uv ′
? ??
??u v ′＝u ′v －uv ′v 2，(ku )′＝cu ′(k 为常数)．
(uvw )′＝u ′vw ＋uv ′w + uvw ′ 微分公式：
（1）为常数）c o c d ()(= 为任意实数）
）（a dx ax x d a a ()(21-=
),1,0(ln 1)(log )3(≠>=
a a dx a x d x
a
dx x x d 1)(ln = )1,0(ln )(4≠>=a a adx a a d x x ）（
dx
e e d x x =)(
xdx x d cos )(sin )5(=
xdx x d sin )(cos )6(-=
(7) dx x x d 2cos 1)(tan =
, (8)dx x
x d 2
sin 1
)(cot -= (9) dx x
x 2
11)'(arcsin -=
, (10) dx x
x 2
11)'(arccos --
=
(11) dx x x d 211)(arctan +=
, (12) dx x
x arc d 2
11
)cot (+-= 6．微分的四算运则
d(u ±v )＝d u ±d v ， d(uv )＝v du ＋udv
)0()(2
≠-=v v
udv
vdu v u d d(ku )＝k du (k 为常数)． 洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。
）或‘∞===→→→()('')(''lim )(')(lim )()(lim
A x g x f x g x f x g x f a x a x a
x
7.导数的应用：
)('x f =0 的点为函数)(x f 的驻点，求极值；
(1)0x x <时，0)('>x f ;时0x x >,0)'( (2)0x x <时，0)(' )(''x f =0 的点为函数)(x f 的拐点，求凹凸区间； 为凸的（下凹）取值范围内，曲线的)(0)(''x f y x x f =< 为凹的（上凹）取值范围内，曲线的)(0)(''x f y x x f => 第三章知识点概况 不定积分的定义：函数f(x)的全体原函数称为函数f(x)的不定积分，记作? dx x f )(，并称 ? 为积分符号，函数 ) (x f 为被 积函数， dx x f )(为被积表达式，x 为积分变量。 ?+=C x F dx x f )()(因此 不定积分的性质： ??==dx x f dx x f d x f dx x f )()()(]')()[1(或 ??+=+=C x F x dF C x F dx x F )()()()(')2(或 ????±±±=±±±dx x dx x dx x f dx x x x f )(....)()()](....)()([)3(ψ?ψ? ) 0()()()4(≠=??k k dx x f k dx x kf 为常数且 基本积分公式： C dx =?0)1( ) 1(11)2(1 -≠++= +?a C x a dx x a a C x dx x +=?ln 1)3( )1,0(ln 1)4(≠>+=?a a C a a dx a x x C e dx e x x +=?)5( C x xdx +-=?cos sin )6( C x xdx +=?sin cos )7( C x dx x +=? tan cos 1 )8(2 C x dx x +-=? cot sin 1)9(2 C x dx x +=?arcsin -11 )10(2 C x dx x +=+?arctan 11)11(2 换元积分（凑微分）法： 1.凑微分。对不定积分?dx x g )(，将被积表达式g(x)dx 凑成? =dx x x dx x g )(')]([)(?? 2.作变量代换。令 ???===du u f dx x x f dx x g dx x x d du x u )()(')]([)()(')(),(变换带量凑微分代入上式得：则????? 3. 用公式积分，，并用)(x u ?=换式中的u C x F C u F du u f ++?)]([)()(?回代公式 常用的凑微分公式主要有： )()(1)(1b ax d b ax f a dx b ax f ++= +）（)()(1)(21b ax d b ax f ka dx x b ax f k k k k ++=?+-）（ )()(21 )(3x d x f dx x x f =? ）（ )1()1(1)1(42x d x f dx x x f -=?）（ )()()(5x x x x e d e f dx e e f =?）（ )(ln )(ln 1 )(ln 6x d x f dx x x f =?）（ )(sin )(sin cos )(sin 7x d x f xdx x f =?）（ )(cos )(cos sin )(cos 8x d x f xdx x f -=?）（ )(tan )(tan cos 1)(tan 92x d x f dx x x f =? ）（ )(cot )(cot sin 1 )(cot 102 x d x f dx x x f -=?）（ )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin 112 x d x f dx x x f =-? ）（ )(arccos )(arccos 11)(arccos 122x d x f dx x x f -=-?）（ )(arctan )(arctan 11 )(arctan 132 x d x f dx x x f =+? ）（ )0)()()((ln ) () ('14≠=x x d dx x x ????） （ 分部积分法：???? ??-=-=+=+=udv uv vdu vdu uv udv udv vdu uv x udv vdu uv d 或移项得积分得两边对)(适用于分部积分法求不定积分的常见题型及u 和dv 的选取法 dx e dv x P u dx x P e ax ax ==?),()(1设）（ axdx dv x P u axdx x P sin ),(sin )(2==?设）（ axdx dv x P u axdx x P cos ),(cos )(3==?设）（ dx x P dv x u xdx x P )(,ln ln )(4==?设）（ dx x P dv x u xdx x P )(,arcsin arcsin )(5==?设）（dx x P dv x u xdx x P )(,arctan arctan )(6==?设）（为任意选取，其中为任意选取，其中）（v u bxdx e v u bxdx e ax ax ,cos ,sin 7?? 上述式中的P （x)为x 的多项式，a,b 为常数。 一些简单有理函数的积分，可以直接写成两个分式之和，或通过分子加减一项之后，很容易将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和，再求出不定积分。 定积分: 此式子是个常数△） （△i n i i b a x f n dx x f )(lim )(10∑? =∞→=→ξ (1)定积分的值是一个常数，它只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的字母无关，即应有 ?? =b a b a dt t f dx x f )()( （2）在定积分的定义中，我们假定a =a b b a dx x f dx x f )(-)( 如果a=b,则规定： 0)(? =a a dx x f （3）对于定义在],[a a -上的连续奇（偶）函数)(x f ，有 0)(=? -dx x f a a )(x f 为奇函数 ??=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( )(x f 为偶函数 定积分的性质：为常数））（k dx x kf dx x kf b a ()()(1? =?? ? ±= ±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([2）（ 的内外点） 为）（b a c dx x f dx x f dx x f b c c a b a ,()()()(3???±=（单调性）则上总有）如果在区间（?? ≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f b a )()(),()(],[4a b dx b a -=?15）（) ()()(],[)(6a b M dx x f a b m b a x f m M b a -≤≤-?则有上的最大值和最小值，在区间分别是和）设（) )(()(],[],[)(7a b f dx x f b a b a x f b a -=?ξξ使得下式成立：，上至少存在一点上连续，则在在闭区间函数）积分中值定理：如果（定积分的计算： 一、变上限函数 设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，并且设x 为[]b a ,上的任一点，于是，()x f 在区间[]b a ,上的定积分为()dx x f x a ? 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 ()dt t f x a ? 如果上限x 在区[]b a ,间上任意变动，则对于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在[]b a ,上 定义了一个以x 为自变量的函数()x ?，我们把()x ?称为函数()x f 在区间[]b a ,上变上限函数 记为()()() b x a dt t f x x a ≤≤=?? 推理：? ==x a x f dt t f x )(]')([ )('φ )(')]([)('])([]')([)(') () (x a x a f x b x b f dt t f x x b x a -==? φ 定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度()()()0?t v t v 作直线运动，那么在时间区间[]b a ,上所经过的路程s 为()dt t v s b a ?= 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数()t s ，那么物体从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 ()()()a s b s dt t v b a -=? 由导数的物理意义可知：()()t v t s =' 即()t s 是()t v 一个原函数，因此，为了求出定积分 ()dt t v b a ?，应先求出被积函数() t v 的原函数()t s ，再求()t s 在区间[]b a ,上的增量()()b s a s -即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分 ()dx x f b a ?的一般方法： 设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，()x F 是()x f 的一个原函数，即()()x f x F =' ，则 ()()()a F b F dx x f b a -=? 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 )()() ()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数 值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 定积分的换元公式： ? ?=b a dt t t f dx x f β α ??)(')([)(计算要领是： ) ('],[)(,)(t t x b a x t t x ?βα?βα?有连续导数上在且变到严格单调地从时，变到从，要求当作代换==定积分的分部积分法： ? ?-=b a b a b a dx vu uv dx uv '' 图 5-11 5.4.2定积分求平面图形的面积 1.直角坐标系下面积的计算 (1)由曲线)(x f y =和直线0,,===y b x a x 所围成曲边梯形的面积 的求法前面已经介绍，此处不再叙述. (2)求由两条曲线)(),(x g y x f y ==， ))()((x g x f ≥及直线 b x a x ==,所围成平面的面积A （如图5.8所示）. 下面用微元法求面积A . ①取x 为积分变量，],[b a x ∈. ②在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，该区间上小曲边梯形的面积dA 可以用高)()(x g x f -，底边为dx 的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素 dx x g x f dA )]()([-=. ③写出积分表达式，即 ?-=b a dx x g x f A )]()([. ⑶求由两条曲线)(),(y x y x ?ψ==，))()((y y ?ψ≤及直线d y c y ==,所围成平 面图形（如图5.9）的面积. 这里取y 为积分变量，],[d c y ∈， 用类似 (2)的方法可以推出： ?-=d c dy y y A )]()([ψ?. 第四章知识点多元函数微分学 §4.1 偏导数与全微分 一. 主要内容： ㈠. 多元函数的概念 1. 二元函数的定义：D y x y x f z ∈=),() ,( )(f D 定义域： 2. 二元函数的几何意义： 二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线） Z=ax+by+c 表示一个平面； 222y x R z --= 表示球心在原点、半径为R 的上半个球面； 22y x z += ，表示开口向上的圆锥面； 2 2 y x z +=，表示开口向上的旋转剖物面。 ㈡. 二元函数的极限和连续： )(x f y = )(x g y = y a o dx x x + b x 图5.8 )(y x ψ= o )(y x ?= x y d y+dy y c 1. 极限定义：设z=f(x,y)满足条件： 的某个领域内有定义。在点)0 ,0(.1y x 可除外）（点)0,0(y x A y x f y y x x =→→),(0 0lim 2、。极限存在，且等于在则称A y x y x f z )0,0(),(= 2. 连续定义：设z=f(x,y)满足条件： 的某个领域内有定义。在点)0 ,0(1y x ) ,0(),(0 0lim 2 y x f y x f y y x x =→→ 处连续。在则称)0 ,0(),(y x y x f z = ㈢.偏导数： 改变量。 保持不变时，得到一个而（△在处取得改变量△当自变量的某个邻域内有定义，在点设函数定义0),00)0,0(),,(:y y x x x y x y x f z =≠=x y x f y x x f x y x x f x ?-?+→?= ') ,0()0,0 (0 lim )0 ,0(的偏导数：对 y y x f y y x f y y x y f y ?-?+→?= ') ,0()0,0(0 lim )0 ,0(的偏导数：对 的偏导数。处对在分别为函数y x y x y x f y x y f y x x f ,)0 ,0(),()0,0(),0,0(''处的偏导数记为：内任意点在),(),(y x D y x f z = x z x z x y x f y x x f '=??=??=') ,(),( y z y z y y x f y x y f ' =??=??= ') ,(),( ㈣.全微分： 1.定义：z=f(x,y) ),(),(y x f y y x x f z -?+?+=?若)(ρo y B x A +?+?= , 2)(2)(y x o y x B A △△较高阶的无穷小量（）是比（无关，、与、其中，+= ??ρρρ则称 处 的 是函数),(y x f z y B x A =?+? y B x A y x df dz ?+?==),(:则),(y x f z =是 在点(x,y)处的全微分。 3. 全微分与偏导数的关系 .),(),(),,(D y x y x y f y x x f ∈''连续，定理：若 处可微且在点则：),(),(y x y x f z = dy y x y f dx y x x f dz ),(),('+'= ㈤.复全函数的偏导数： 1.),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===设 ： [] ) ,(),,(y x v y x u f z =∴ x v v z x u u z x z ??? ??+?????=??则： y v v z y u u z y z ?????+?????=?? 2. )(),(),,(x v v x u u v u f y ===设 )] (),([x v x u f y =∴ ㈥.隐含数的偏导数： 1.0),,(,0),,(≠'==z F y x f z z y x F 且设 z F y F y z z F x F x z ''- =??'' - =??,则 dx dv v y dx du u y dx dy ???+???= 2. 0),(,0),(≠'==y F x f y y x F 且设 y F x F dx dy ''- =则 ㈦.二阶偏导数： )(22 "),(x z x x z xx z y x xx f ????= ??=='' )( 2 2 "),(y z y y z yy z y x yy f ????=??=='' )(2 "),(x z y y x z xy z y x xy f ????= ???=='' )(2 "),(y z x x y z yx z y x yx f ????= ???=='' 的连续函数时，为和结论：当y x y x yx f y x xy f ,),(),(''''),(),(y x yx f y x xy f ''=''则： （八）隐函数的导数和偏导数 的导数 对，可以求出所确定的）对于方程x y x f y y x F y x x F y y x F y )(0,(),('') ,('=== ),,(),,(.... ..........),,(),,(z y x z F z y x y F y z z y x y F z y x x F x z ''= ??''=?? (九).二元函数的无条件极值 1. 二元函数极值定义： 某一个邻域内有定义，在设)0 ,0(),(y x y x z [] )0 ,0(),(),0,0(),(y x z y x z y x z y x z ≥≤或若 , )(),()0,0(值或极小的一个极大是则称y x z y x z 值点。 或极小的一个极大是称)(),()0,0(y x z y x ☆ 极大值和极小值统称为极值， 极大值点和极小值点统称为极值点。 2.极值的必要条件： )0 ,0()0,0(),(y x y x y x f z 有极值，且在在点若= 两个一阶偏导数存在，则： 0)0,0(0)0,0(='='y x y f y x x f ，的点使)0 ,0(0)0,0()0,0(1y x y x y f y x x f ='=' 的驻点。 称为),(y x f z = 的必要条件，定理的结论是极值存在 2 而非充分条件。 例： 12 2 +-=x y z ?? ?===+='=-='00 00 0202y x y y z x x z 解出驻点 1)0,0(=z 112 ),0(0,0>+=≠=y y z y x 时，当 112 )0,(0,0<+-==≠x x z y x 时，当 ∴驻点不一定是极值点。 3. 极值的充分条件： 的某个领域内在设：函数)0 ,0(),(y x y x f y = 为驻点，有二阶偏导数，且)0 ,0(y x [ ] )0,0()0,0(2 )0 ,0(y x yy f y x xx f y x xy f p ''?''-''= 若： ?? ??>''?<''<为极小值。 时，为极大值。 时，且当：)0,0(0)0 ,0()0,0(0)0 ,0(0y x f y x xx f y x f y x xx f p 不是极值。当：)0 ,0(,0y x f p ?> 不能确定。当：?=,0p 求二元极值的方法： 出驻点。一阶偏导数等于零，解求一阶偏导数，令两个 1 。判断驻点是否是极值点根据极值的充分条件，求出,2p 极值。若驻点是极值点，求出 3 二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ212cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ222 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④2 2cos 11sin 222 θθθθ-= +=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+= 第五章排列与组合 （1）加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可完成。 （2）乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能完成。 排列：从n 个不同元素里，任取)1(n m ≤≤个元素，按照一定的顺序排列成一列，称为从n 个不同元素里取出m 个元素的一个排列，计算公式： 1 !0,!)! (!)]1()......[2)(1(==-= ----=n n n P m n n m n n n n m n P 规定 组合：从n 个不同元素里，任取)1(n m ≤≤个元素组成一组，叫做从n 个不同元素里取出m 个元素的一个组合，组合总 数记为） 或（n n m n C ，计算公式： 1 0)! (!!! )] 1()......[2)(1(=-= ----= n C m n m n m m n n n n m n C 规定 11 ),2 (-+=+-=m n C m n C m n C n m m n n C m n C ＞组合的性质： m m P m n P m n C m m P m n C m n P = ?=或 第六章概率论 符号 概率论 集合论 样本空间 全集 不可能事件 空集 基本事件 集合的元素 A 事件 子集 A的对立事件A的余集 事件A发生导致 A是B的子集 事件B发生 A=B A与B两事件相等集合A与B相等 事件A与事件B A与B的并集 至少有一个发生 事件A与事件B同时发生A与B的交集 A-B 事件A发生而事件B不发生A与B的差集 事件A与事件B互不相容A与B没有相同元素由于随机事件都可以用样本空间中的某个集合来表示，于是事件间的关系和运算就可以用集合论的知识来讨论和表示，为了直观，可以用集合的韦恩图来表示事件的各种关系和运算法则，一般用某个矩形区域表示样本空间，该区域的一个子区域表示某个事件。于是各事件的关系运算如图中的图示所示。 各事件的关系运算如图示： 9.完备事件组 n个事件，如果满足下列条件： （1）； （2）， 则称其为完备事件组。 显然任何一个事件A与其对立事件构成完备事件组。 10.事件运算的运算规则： （1）交换律 （2）结合律 （3）分配律 （4）对偶律 率的古典定义 定义：在古典概型中，若样本空间所包含的基本事件总数为n，事件A包含的基本事件数为m，则事件A发生的概率为 。概率的基本性质与运算法则 性质1.0≤P(A)≤1 特别地，P(Φ)=0，P(Ω)=1 性质2.若，则P(B-A)=P(B)-P(A) 性质3.（加法公式）．对任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 。 推论1.若事件A，B互不相容（互斥），则P(A+B)=P(A)+P(B) 推论2.对任一事件A,有 推论3.对任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 条件概率、乘法公式、事件的独立性 条件概率 定义1：设有事件A，B，且P(B)>0,称 类似地，如果P(A)>0，则事件B对事件A的条件概率为 概率的乘法公式 乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件A,B,C,有 事件的独立性 一般地说, P(A︱B)≠P(A)，即说明事件B的发生影响了事件A发生的概率。若P(A︱B)≠P(A)，则说明事件B的发生在概率意义下对事件A的发生无关,这时称事件A，B相互独立。 定义：对于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B) ，则称事件A与事件B相互独立。独立试验序列概型在相同的条件下，独立重复进行n次试验，每次试验中事件A可能发生或可能不发生，且事件A发生的概率为p，则在 n次试验中事件A恰好发生k次的概率为 一维随机变量及其概率分布 （一）随机变量 1.随机变量 定义：设Ω为样本空间，如果对每一个可能结果，变量X都有一个确定的实数值与之对应，则称X为定义 在Ω上的随机变量，简记作。 2.离散型随机变量 定义：如果随机变量X只能取有限个或无限可列个数值，则称X为离散型随机变量。 （二）分布函数与概率分布 1.分布函数 定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数。 分布函数F(x)有以下性质： （2）F(x)是x的不减函数，即对任意 （4）F(x)是右连续的，即 （5）对任意实数a＜b,有P{a＜X≤b}=F(b)-F(a) 2.离散型随机变量的概率分布 则称上式为离散型随机变量X的概率分布（或概率函数或分布列）。 离散型随机变量X的概率分布也可以用下列列表形式来表示： 3.分布函数与概率分布之间的关系 若X为离散型随机变量，则。 随机变量的数字特征 1.数学期望 （1）数学期望的概念 定义：设X为离散型随机变量，其概率函数为 若级数绝对收敛，则称为X的数学期望，简称期望或均值，记作EX，即 （2）数学期望的性质 ①若C为常数，则E(C)=C ②若a为常数，则E(aX)=aE(X) ③若b为常数，则E(X+b)=E(X)+b ④若X,Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y) 2.方差 （1）方差的概念 定义：设X为随机变量，如果存在，则称为X的方差，记作DX，即方差的算术平方根称为均方差或标准差， 对于离散型随机变量X，如果X的概率函数为， 则X的方差为 （2）方差的性质 ①若C为常数，则D(C)=0 ②若a为常数，则 ③若b为常数，则D(X+b)=D(X) ④ 专升本高等数学公式大全 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ 成人高考专升本高等数 学公式大全 文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688] 2016年成人高考(专升本)高等数学公式大全 提高成绩的途径大致可以分为两种：一是提高数学整体的素质和能力，更好的驾驭考试;二是熟悉考试特点，掌握考试方法，将自己已有的潜能和水平发挥到极致。 如果说在复习中，上面两种方法那一种更能在最短的时间内提成人高考试的分数呢？对于前者，是需要我们在整个高中乃至以前的学习积累下来的综合能力，这个能力的提高需要时间和积累，在短期内的提高是有限的;对于后者能力的了解和掌握对短期内迅速提成人高考试成绩的成效是很明显的。而且，在一般的学校教育中，往往只重视前者而忽视后者。我们用以下几个等式可以很好的说明上述两者的关系和作用。 一流的数学能力 + 一流的考试方法和技巧 = 顶尖的成绩 一流的数学能力 + 二流的考试方法和技巧 = 二流的成绩 二流的数学能力 + 一流的考试方法和技巧 = 二流的成绩其实对于考试方法和技巧的掌握，大致包含以下几个方面： 一、熟悉考试题型，合理安排做题时间。 其实，不仅仅是数学考试，在参任何一门考试之前，你都要弄清楚或明确几个问题：考试一共有多长时间，总分多少，选择、填空和其他 主观题各占多少分。这样，你才能够在考试中合理分配考试时间，一定要避免在不值得的地方浪费大量的时间，影响了其他题的解答。 拿安徽省的数学成人高考题为例，安徽省数学成人高考满分为150分，时间是2小时，其中选择题是12道，每题5分，共60分;填空题4道，每题是4分，共16分，解答题一共74分。所以在了解这些内容后，你一定要根据自己的情况，合理安排解题时间。 一般来说，选择题填空题最迟不宜超过40分钟，按照尚博学校的教学标准是让学生在30分钟之内高效的完成选择填空题。你必须留下一个多小时甚至更多的时间来处理后面的大题，因为大题意味着你不仅要想，还要写。 二、确保正确率，学会取舍，敢于放弃。 考试时，一定要根据自己的情况进行取舍，这样做的目的是：确保会做的题目一定能够拿分，部分会做或不太会做的题目尽量多拿分，一定不可能做出的题目，尽量少投入时间甚至压根就不去想。 对于基础较好的学生，如果感觉前面的选择填空题做的很顺利，时间很充裕，在前面几道大题稳步完成的情况下，可以冲击下最后的压轴题，向高分冲击。对于基础一般的学生，首先要保证的是前面的填空选择题大部分分值一定能够稳拿，甚至是拿满分。对于大题的前几题，也尽量多花点时间，一定不要在会做的题目上无谓失分，对于大题的后两 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 2012年成人高等学校专升本招生全国统一考试 高等数学（二） 一、选择题：每小题10分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题 目要求。 1. 3 lim →x （ ） A. 1 B. C. 0 D. π 答案：B 解读：3 lim →x cos1 2. 设函数y= , 则 （ ） A. B. C. 2x D. 答案：C 3. 设函数 , 则f ’( π （ ） A. B. C. 0 D. 1 答案：A 解读：()12sin 2,sin -=-=?? ? ??'-='ππf x x f 4. 下列区间为函数 的单调增区间的是（ ） A. (0,π B. π π C. π π D. (0, π 答案：A 5. =（ ） A. 3 B. C. D. +C 答案：C 解读：由基本积分公式C x a dx x a a ++= +? 1 1 1可得 6. （ ） A. B. C. D. ln|1+x|+C 答案：D 解读： ()C x x d x dx x ++=++=+??1ln 11111 7. 设函数z=ln(x+y), 则 （ ） A. B. C. D. 1 答案：B 解读： ,将1,1==y x 代入， 8. 曲线y= 与x 轴所围成的平面图形的面积为（ ） A. B. C. π D. π 答案：C 解读：画图可知此图形是以坐标原点为圆心，半径为2且位于x 轴上方的半圆， 也可用定积分的几何意义来做 9. 设函数 , 则22z x ?=?（ ） A. B. C. D. 答案：D 解读：x e x z =??，x e x z =??22 10. 设事件A,B 互不相容, P(A)=0.3, P(B)=0.2, 则P(A+B)=（ ） A. B. C. D. 答案：B 解读：因为A ，B 互不相容，所以P(AB)=0，P(A+B)= P(A)+ P(B)- P(AB)=0.5 二、填空题：每小题4分，共40分. 11. 1 lim →x =. 答案：2- 解读：1 lim →x 12. → =. 成人高考数学知识点总结 (B) 甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 (C) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 (D) 甲是乙的充分必要条件 2、设命题甲：x=1 ； 命题乙:02=-x x (A) 甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 (B) 甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 (C) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 (D) 甲是乙的充分必要条件 3、设x 、y 是实数，则22y x =的充分必要条件是 （A ）x=y （B ）x=-y （C ）33y x = （D ）|x|=|y| (一) 不等式的性质 [说明] 判断不等式是否成立，在试题中也常出现。一定要明白不等式性质中的条件是什么结论是什么；此外用作差比较法可解决一些问题；最后还可根据函数单调性判断某些不等式能否成立（见指数函数对数函数） 1、若a 握这些基础知识并提高运算能力 1、不等式组? ??->->-2154723x x 的解集为 2、解不等式 03452>+-x x (三) 解绝对值不等式 [说明] 这部分内容重要，在历年试题中几乎都出 现过。有时直接求解集，有时转为求函数定义 域等问题。 1、不等式| 3x-1 | < 1的解集为 | 3x-1 | ≥ 1 的解集为 2、 解不等式 6|1|3<+≤x 3、设集合}1|||{≤=x x A ，集合x x B |{=>0} 求B A ? (四) 解一元二次不等式 [说明] 求一元二次不等式解集，主要用在求函数 定义域。基本要求是对应的一元二次方程有 不相等实根的情形。 1、不等式12>x 的解集是 2、不等式012112<-+x x 的解集是 3、不等式4 382>-x x 的解集是 (五) 指数与对数 [说明] 没有冗长的计算和太多的技巧。要掌握幂的运算法则和对数运算法则，此外就是指数式与对数式互换。第4题在近几年试题中不曾出现。 学习必备欢迎下载 成人高考高升专数学常用知识点及公式 温馨提示：数学公式不能死记硬背，而是理解掌握后灵活运用，上课 第一章 集合和简易逻辑 知识点1：交集、并集、补集 1、交集：集合A 与集合B 的交集记作A ∩B ，取A 、B 两集合的公共元素 2、并集：集合A 与集合B 的并集记作A ∪B ，取A 、B 两集合的全部元素 3、补集：已知全集U ，集合A 的补集记作A C u ,取U 中所有不属于A 的元素 解析：集合的交集或并集主要以列举法或不等式的形式出现 知识点2：简易逻辑 概念：在一个数学命题中，往往由条件甲和结论乙两部分构成，写成“如果甲成立，那么乙成立”。若为真命题，则甲可推出乙，记作“甲=乙”；若为假命题，则甲推不出乙，记作“甲≠乙”。 题型：判断命题甲是命题乙的什么条件，从两方面出发： ①充分条件看甲是否能推出乙 ②必要条件看乙是否能推出甲 A 、 若甲=乙 但 乙=甲，则甲是乙的充分必要条件（充要条件） B 、若甲=乙 但 乙≠甲，则甲是乙的充分不必要条件 C 、若甲≠乙 但 乙=甲，则甲是乙的必要不充分条件 D 、若甲≠乙 但 乙≠甲，则甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 技巧：可先判断甲、乙命题的范围大小，再通过“大范围≠小范围，小范围=大范围”判断甲、乙相互推出情况 第二章 不等式和不等式组 知识点1：不等式的性质 1. 不等式两边同加或减一个数，不等号方向不变 2. 不等式两边同乘或除一个正数，不等号方向不变 3. 不等式两边同乘或除一个负数，不等号方向改变（“>”变“<”） 解析：不等式两边同加或同乘主要用于解一元一次不等式或一元二次不等式移项和合并同类项方面 知识点2：一元一次不等式 1. 定义：只有一个未知数，并且未知数的最好次数是一次的不等式，叫一元一次不等式。 2. 解法：移项、合并同类项（把含有未知数的移到左边，把常数项移到右边，移了之后符号 要发生改变）。 2011-15成考数学真题题型分类汇总（文） 一、 集合与简易逻辑 (2011) 已知集合A={1,2,3,4}, B={x|—1 浙江专升本—高等数学复习公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 成考高数二知识点总结 成考高数二知识点总结 成考高数二知识点总结 1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。 2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。 3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。 4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。 5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。 6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线 性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法 由于微积分的知识是一个完整的体系，考试的题目往往带有很强的综合性，跨章节的题目很多，需要考生对整个学科有一个完整而系统的把握。最后凯程考研名师预祝大家都能取得好成绩。 凯程教育张老师整理了几个节约时间的准则：一是要早做决定，趁早备考;二是要有计划，按计划前进;三是要跟时间赛跑，争分夺秒。总之，考研是一场“时间战”，谁懂得抓紧时间，利用好时间，谁就是最后的胜利者。 1.制定详细周密的学习计划。 这里所说的计划，不仅仅包括总的复习计划，还应该包括月计划、周计划，甚至是日计划。努力做到这一点是十分困难的，但却是非常必要的。我们要把学习计划精确到每一天，这样才能利用好每一天的时间。当然，总复习计划是从备考的第一天就应该指定的;月计划可以在每一轮复习开始之前，制定未来三个月的学习计划。以此类推，具体到周计划就是要在每个月的月初安排一月四周的学习进程。那么，具体到每一天，可以在每周的星期一安排好周一到周五的学习内容，或者是在每一天晚上做好第二天的学习计划。并且，要在每一天睡觉之前检查一下是否完成当日的学习任务，时时刻刻督促自己按时完成计划。 方法一：规划进度。分别制定总计划、月计划、周计划、日计划学习时间表，并把它们 贴在最显眼的地方，时刻提醒自己按计划进行。 方法二：互相监督。和身边的同学一起安排计划复习，互相监督，共 专升本高等数学公式 一、求极限方法： 1、当x 趋于常数0x 时的极限： 02 2 00x x lim(ax bx c)ax bx c →++=++；0000 0ax b cx d ax b lim cx d cx d x x ++≠+??????→ ++→当； 00000cx d ,ax b ax b lim cx d x x +=+≠+???????????→∞+→当但； 222000ax bx f cx dx e ,ax bx f lim x x cx dx e ++++=++=??????????????→→++当且可以约去公因式后再求解。 2、当x 趋于常数∞时的极限： 1n n ax bx f n m,lim {x cx dx e n m -++???+>=∞???????????????→→∞++???+只须比较分子、分母的最高次幂若则。若n 成人高考高升专数学笔记 第一章 集合和简易逻辑 一 、 考点：交集、并集、补集 概念：（必考） 1、由所有既属于集合A 又属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 和集合B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”（求公共元素） A ∩B={x|x ∈A,且x ∈B} 2、由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 和集合B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”（求全部元素） A ∪B={x|x ∈A,或x ∈B} 3、如果已知全集为U ，且集合A 包含于U ，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 的补集，记作, 读作“A 补” ={ x|x ∈U ，且x A } 今年选择题第一题必考： 例1、设集合，集合 ，则集合（ D ） （A ） （B ） （C ） （D ） 例2、集合U={1,2,3,4,5,6,7} ,，集合 ，则 （C ）， =（D ） （A ） （B ） （C ） （D ） 解析：集合的交集或并集主要以例举法或不等式的形式出现 二、考点：简易逻辑 概念： 在一个数学命题中，往往由条件A 和结论B 两部分构成，写成“如果A 成立，那么B 成立”。 1. 充分条件：如果A 成立，那么B 成立，记作“A →B ”“A 推出B ，B 不能推出A ”。 2. 必要条件：如果B 成立，那么A 成立，记作“A ←B ”“B 推出A ，A 不能推出B ”。 3. 充要条件：如果A →B,又有A ←B ，记作“A ←B ”“A 推出B ，B 推出A ”。 解析：分析A 和B 的关系，是A 推出B 还是B 推出A ，然后进行判断 第二章 不等式和不等式组 三 、 考点：不等式的性质 1. 如果a>b ，那么ba ，那么ab ，且b>c ，那么a>c 3. 如果a>b ，存在一个c （c 可以为正数、负数或一个整式），那么a+c>b+c ，a-c>b-c 4. 如果a>b ，c>0，那么ac>bc （两边同乘、除一个正数，不等号不变） 5. 如果a>b ，c<0，那么ac 成人高考高等数学复习及考试方法 考生要在成人高考中取得好成绩，必须深刻理解《复习考试大纲》所规定的内容及相关的考核要求，在知识内容上要分清主次、突出重点。在考核要求方面，弄清要求的深度和广度。要全面复习、夯实基础，要将相关知识点进行横向和纵向的梳理，建立知识网络，对考试大纲所列知识点，力求做到心中有数、融会贯通。 高数一大纲提示（总分150分、考试时间150分钟、闭卷、笔试）： 高数二大纲提示（总分150分、考试时间150分钟、闭卷、笔试）： 一元函数、极限连续大概占20多分，这些都是每年必须要考到的。一元微积分、微分学，这个占得挺多的，大概占40—50%。如果要是高数二，知识面考得少一些，集中一些，但是题的分量就重一些，比如说每年有二元的微积分，多元函数的微积分，这里面可能会出现比较难、刁钻一些的题。 高数一、数二，不像高中起点的，可能差异稍稍大一点。考生可以根据不同的专业、考试类别，不管怎么样，前面的一元函数、极限、一元函数的微分、积分是一个基本的东西，也是最拿分的东西，一定要把它们做熟了。比如说求极限的几种方式，求微分的几种方式，以及求倒数，都会面面俱到，学员还是要把握住历年的考题，把握住大纲的要求，把握住考试卷，就应该能把握住会考什么。 1、注意以《大纲》为依据。 弄清《高等数学》（一）和《高等数学》(二)在知识内容及相关考核要求上的区别。这种区别主要体现在两个方面：其一是在共有知识内容方面，同一章中要求掌握的知识点，或同一知识点要求掌握的程度不尽相同。如在一元函数微分学中，《高等数学》(一)要求掌握求反函数的导数、掌握求由参数方程所确定的函数的求导方法，会求简单函数的n阶导数，理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，但上述知识点对《高等数学》(二)并不做要求；又如在一元函数积分学中，《高等数学》(一)要求掌握三角换元求不定积分，其中包括正弦变换、正切变换和正割变换，而《高等数学》(二)对正割变换不做考核要求。 其二是在不同的知识内容方面，《高等数学》（一）考核内容中有二重积分，而《高等数学》(二)对二重积分并不做考核要求；再有《高等数学》（一）有无穷级数、常微分方程，高数(二)均不做要求。从试卷中可以看出，高等数学（一）比《高等数学》(二)多出来的这部分知识点，在考题中大约能占到30%的比例。共计45分左右。所以理科、工科类考生应按照《大纲》的要求全面认真复习。 2、对概念的理解。 考生要加强对高等数学中基本概念、基本方法和基本技能的理解和掌握，要努力提高运用数学知识分析问题和解决问题的能力，特别是综合运用知识解决实际问题的能力。 3、要在学习方法上追求学习效益。 加强练习，注重解题思路和解题技巧的培养和训练，对基本概念、基本理论、基本性质能进行多侧面、多层次、由此及彼、由表及里的思索和辨析，对基本公式、基本方法、基本技能要进行适度、适量的练习，在练习中加强理解和记忆，理解和记忆是相辅相承的，理解中加深记忆，记忆有助于更深入地理解，死记硬背是暂时的，只有理解愈深，才能记忆愈牢。 4、加强练习 熟悉考试中各种题型，要掌握选择题、填空题和解答题等不同题型的解题方法与技巧。练习中要注意分析、总结、归纳、类比，掌握思考问题和处理问题的正确方法，寻求一般性的解题规律，从而提高解题能力。 在专升本考试中，《高等数学》是一门重要的公共基础课程，也是考试成绩上升空间较大的一门课程。学好数学同学好其他学科一样，都要付出辛勤的汗水和艰辛的努力。 5、考前一个月冲刺备考建议 全国成人高考数学公式汇总 1.平方差公式 2 2 ))((b a b a b a -=-+完全平方公式 2 2 2 2)(b ab a b a +±=± 2.一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式 a ac b b x 242-±-=. 3.充分条件与必要条件： B A ? A 叫B 的充分条件 B A ? A 叫B 的必要条件 B A ? A 叫B 的充分必要条件(充要条件) 4.函数定义域的求法:(1)分母不能为0；(2)偶次根内大于等于0；(3)对数的真数 大于0. 5.函数的奇偶性： 奇函数(图象关于原点对称):y=sinx 、y=tanx 、y=n x (n 为奇数) 偶函数(图象关于y 轴对称)：y=c(常量函数)、y=cosx 、y=n x (n 为偶数) 奇+奇=奇、偶+偶=偶、奇+偶=非奇非偶、奇?奇=偶、偶?偶=偶、奇?偶=奇 6.二次函数的图象和性质:y=ax 2 +bx+c(a ≠0) a >0 a <0 图象 顶点 24(,)24b ac b a a -- 对称轴 2b x a =- 单调性 (,]2b a -∞- 为减区间[,)2b a - +∞为增区间 (,]2b a -∞-为增区间[,)2b a - +∞为减区间 最值 当2b x a =-时，2min 44ac b y a -= 当2b x a =- 时，2 max 44ac b y a -= o x y o x y(完整版)专升本数学公式大全
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