【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：5.1 数列的概念与简单表示法 Word版含解析]

第五章 第1讲

(时间：45分钟 分值：100分)

一、选择题

1. 下列四个关于数列的说法：

①数列可以看成一个定义在N *(或它的有限子集{1,2，…，n })上的函数；

②数列的项数是有限的；

③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；

④数列的通项公式是唯一的．

其中正确说法的序号是( )

A. ①②③

B. ②③④

C. ①③

D. ①②③④

答案：C

解析：∵②中数列项数可以有无限项，故②错．④中数列的通项公式不一定唯一，有的有多个，故④错．①③正确．故选C.

2. [2013·陕西五校模拟]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，则a 2等于 ( )

A. 4

B. 2

C. 1

D. －2 答案：A

解析：∵S n ＝2a n －2，∴S 1＝a 1＝2a 1－2.

即a 1＝2，又S 2＝a 1＋a 2＝2a 2－2，∴a 2＝4.

3. [2013·西安模拟]已知数列2，5，22，11，…，则25在这个数列中的项数为( )

A. 6

B. 7

C. 19

D. 11 答案：B 解析：设2，5，8，11，…形成的数列为{a n }，被开方数形成的数列为{b n }，从形式上讲，每一项都有二次根号，被开方数为2,5,8,11，…，易归纳出数列{b n }的一个通项公式为b n ＝3n －1，所以a n ＝3n －1，25＝20＝3n －1，解得n ＝7，所以25是这个数列的第7项．

4. [2013·金版原创]已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n

，若a 1＝12，则a 2012＝( ) A. 12 B. 2

C. －1

D. 1

答案：B 解析：由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n 得a 2＝11－a 1＝2，a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4

＝2，…，于是a 3n ＋1＝12

，a 3n ＋2＝2，a 3n ＋3＝－1，因此a 2012＝a 3×670＋2＝2，故选B. 5. [2013·济宁质检]已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *)，则此数列是

( )

A. 递增数列

B. 递减数列

C. 常数列

D. 摆动数列 答案：C

解析：∵S n ＋S n ＋1＝a n ＋1，

∴当n ≥2时，S n －1＋S n ＝a n .

两式相减得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ，

∴a n ＝0(n ≥2)．

当n ＝1时，a 1＋(a 1＋a 2)＝a 2，∴a 1＝0，

∴a n ＝0(n ∈N *)，故选C.

6. [2013·赤峰模拟]已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)(78

)n ，则当a n 取得最大值时，n 等于( )

A. 5

B. 6

C. 5或6

D. 7 答案：C

解析：由题意知?????

a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1， ∴??? (n ＋2)(78)n ≥(n ＋1)(78)n －1，(n ＋2)(78)n ≥(n ＋3)(78)n ＋1.

∴?????

n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6. 二、填空题

7. 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2n a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.

答案：2n (n －1)2

解析：由题意知，a n ＋1a n ＝2n ，a n a n －1＝2n －1，a n －1a n －2

＝2n －2，…，a 2a 1＝2，又a 1＝1，

所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1

·a 1＝2n －1·…·2·1＝2n (n －1)2. 8. [2013·唐山模拟]在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n ＋1，则数列的通项a n ＝________. 答案：n 2

解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ＋1.

∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝n 2(n ≥2)．当n ＝1时，也适用a n ＝n 2.

9. [2013·海口质检]如图是同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖________块．

答案：100

解析：用a n 表示第n 个图的黑色瓷砖块数，则a 1＝12，a 2＝16，a 3＝20，…，由此可得{a n }是以12为首项，以4为公差的等差数列．

∴a 23＝a 1＋(23－1)×4＝12＋22×4＝100.

三、解答题

10. 已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式：

(1)S n ＝2n 2－3n ；

(2)S n ＝3n ＋2.

解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，

由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.

(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1

＝(3n ＋2)－(3n －1＋2)＝2·3n －

1. ∴a n ＝?????

5， n ＝1，2·3n －1 n ≥2. 11. [2013·宜春月考]数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.

(1)这个数列的第4项是多少？

(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？

(3)该数列从第几项开始各项都是正数？

解：(1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.

(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16，即150是这个数列的第16项．

(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)，∴从第7项起各项都是正数．

12. [2013·金版原创]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1

(n >1)． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若a n ＝2013，求n .

解：(1)∵a 1＝1，且a n ＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1(n >1)． ∴a 2＝a 1＝1，a n ＋1＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1

a n －1＋1n a n (n ≥1)． ∴a n ＋1－a n ＝1n

a n (n ≥2)． ∴a n ＋1＝n ＋1n a n

， ∴a n ＋1n ＋1＝a n n

(n ≥2)． ∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 22＝12

， ∴a n ＝n 2

(n ≥2)． ∴a n ＝?????

1 (n ＝1)n 2

(n ≥2). (2)∵a n ＝n 2

＝2013，∴n ＝4026.