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尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第2章 最优化的数学表达)

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尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第2章  最优化的数学表达)

985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解 尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)

第2章 最优化的数学表达

课后习题详解

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1.已知()22,43U x y x y =+。

(1)计算偏导数U x ∂∂,U y ∂。

(2)求出上述偏导数在1x =,2y =处的值。

(3)写出U 的全微分。

(4)计算d 0U =时d /d y x 的值——这意味着当U 保持不变时,x 与y 的替代关系是什么?

(5)验证:当1x =,2y =时,16U =。

(6)当保持16U =时,且偏离1x =,2y =时,x 和y 的变化率是多少?

(7)更一般的,当16U =时,该函数的等高线是什么形状的?该等高线的斜率是多少? 解:(1)对于函数()22,43U x y x y =+,其关于x 和y 的偏导数分别为:

8U x x

∂=∂,6U y y ∂=∂ (2)当1x =,2y =时,(1)中的偏微分值分别为:

18x U

x =∂=∂,2

12y U

y =∂=∂ (3)U 的全微分为:

d d d 8d 6d U U U x y x x y y x y

∂∂=+=+∂∂ (4)当d 0U =时,由(3)可知:8d 6d 0x x y y +=,从而可以解得:

d 84d 63y x x x y y --==。 (5)将1x =,2y =代入U 的表达式,可得:413416U =⨯+⨯=。

(6)由(4)可得,在1x =,2y =处,当保持16U =不变,即d 0U =时,有:

d 412/3d 32

y x -⨯==-⨯ (7)当16U =时,该函数变为:224316x y +=,因而该等高线是一个中心在原点的椭圆。由(4)可知,该等高线在(x ,y )处的斜率为:

d 4d 3y x x y =-。

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