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数值分析第五版_李庆扬

一、课程基本信息

课程中文名称：

数值分析

课程英文名称：

Numerical Analysis

课程类别：

专业基础课

开课学期：

秋

适用专业：

信息与计算科学；应用数学

总学时：

86学时（其中理论课56学时，上机实习30学时）

总学分：

5（理论课3学分；上机实习2学分）

预修课程（编号）：

数学分析，高等代数，常微分方程

课程简介：

本课程是大学本科信息与计算科学和应用数学专业的一门基础课，也是工科研究生的必修课。本课程的主要内容是研究各种数学问题的数值计算方法的设计、计算误差分析以及有关理论和具体实现的一门数学课程。是应用数学的重要分支之一。

建议教材：

《计算方法》（二版）（邓建中、刘之行），西安，西安交通大学出版社，2001 参考书：

[1]数值分析学习指导，关治编，出版社：清华大学出版社，出版时间：2008年；

[2]数值分析，何汉林，梅家斌，科学出版社，2007年；

[3]《数值计算引论》白峰杉高等教育出版社 2005年

[4]《数值分析》（第五版）李庆扬易大义等清华大学出版社 2008年

[5]Numerical Analysis，R.Kress，世界图书出版公司2003

6、数值分析学习辅导习题解析，李宏、徐长发编，华中科技大学出版社，2001年。

二、理论课程教育目标

通过本课程的教学使学生能了解现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本理论，系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为运用数值分析的理论知识并为掌握更复杂的现代计算方法打好。

三、理论教学内容与要求（含学时）

第一章：计算方法的一般概念（4学时）

本章教学内容：

理解计算方法的意义、研究内容与方法，理解并掌握误差的概念（包括误差的来源、绝对误差、相对误差），掌握有效数字及舍入误差对计算的影响。

第二章：解线性方程组的直接法（8学时）

本章教学内容：

1、高斯消去法；选主元的高斯消去法；

2、矩阵的LR分解；解三对角方程组的追赶法；解方程组的平方根法；矩阵的求逆；

3、方程组的数；病态方程组的判断。

第三章：插值法（8学时）

本章教学内容：

1、拉格朗日插值多项式的计算，误差的表达式；逐次线性插值；

2、差分、差商的计算；牛顿插值多项式的计算及误差估计；

3、带导数的插值，埃尔米特插值；

4、样条函数插值计算。

第四章：平方逼近与一致逼近（8学时）

本章教学内容：

1、最小二乘法拟合多项式（包含最小二乘的性质、计算方法）；

2、正交多项式的构造，常见的正交多项式（包含勒让德多项式、埃尔米特多项式、切比雪夫多项式）的计算公式；

3、最优一致逼近的概念，用切比雪夫多项式和泰勒级数展开作最优一致逼近的近似计算。

第五章：数值微积分（6学时）

本章教学内容：

1、等距节点的求积分公式，牛顿型数值积分公式，重点掌握梯形公式和辛浦生公式，掌握复化梯形公式和复化辛浦生公式；

2、掌握代数精度的概念和误差的表达式；

3、掌握龙贝格积分法；

4、重点掌握不等距节点的高斯积分公式；

5、掌握数值微分公式及误差计算。

第六章：迭代法（6学时）

本章教学内容：

1、简单迭代法；牛顿迭代法及其变形；

2、线性代数方程组的迭代法及误差估计；逐次松弛迭代；

3、非线性方程组的迭代法简介。

第七章：矩阵的特征值与特征向量

本章教学内容：

1、用乘幂法和反幂法计算方阵的特征值，并掌握技术的加速技巧；

2、掌握计算对称矩阵的雅可比方法以及实用雅可比法；

3、掌握矩阵的Householder变换，能构造Horseholder变换矩阵，并用变换矩阵实现矩阵的QR分解；用QR分解技术计算一般的方阵的全部特征值；掌握带原点位移的QR分解技巧。

第八章：常微分方程初值问题的数值解法

本章教学内容：

1、欧拉法及改进欧拉法；

2、误差估计，绝对稳定性，隐式计算格式的使用；

3、泰勒级数法和龙格—库塔法及其绝对稳定性分析；

4、多步法（包括哈明公式、Adams公式及其隐式计算格式）；

5、外推法；

6、微分方程组的常用计算格式；

7、刚性微分方程及微分方程组初步。

四、上机实习教学目标

作为应用性非常强的一门数学分支，《数值分析》是架设在数学与各实际应用科学领域之间的一道桥梁，《数值分析》主要研究如何构造数值算法利用计算机解决实际问题。因此，为使学生能更好的学习和掌握《数值分析》，上机实习是必不可少的。

上机实习的目的旨在引导学生使用计算机开展数值试验，掌握数值算法和程序设计的基本原理和技能。学生通过选择算法，编写程序，分析数值结果，写数值实验报告，课堂讨论等环节的综合训练，从而逐步掌握数值试验的方法和技巧，获得多方面的计算经验。通过实验，加深学生对一些重要算法的理解，提高学生的编程能力与解决实际问题的能力，培养学生应用计算方法解决工工程计算的能力，以期达到初步的科学计算和研究的目的。

五、上机实习教学内容与要求（含学时）

上机实习总学时数为30学时。

上机实习共由八个上机实习的数值实验构成，其中，第一个是关于Matlab 的基本操作，然后是六个与理论教学配套的数值实验，最后第八个是一个综合实验。

具体内容如下：

实验一、MATLAB基本操作(4学时)

实验内容： MATLAB软件的基本操作方法；矩阵和数组的基本运算；循环和判断，常见平面图形的制作等。

实验二、线性方程组的直接法(4学时)

实验内容：高斯消元法，选主元素法和追赶法及其误差分析等在计算机上用MATLAB软件实现，并用实例在计算机上计算。

实验三、插值与拟合 (4学时)

实验内容：Lagrange插值、分段线性插值、三次样条和曲线拟合在计算机上用MATLAB软件实现，并用实例在计算机上计算和作图。

实验四、数值积分与数值微分(4学时)

实验内容：牛顿—柯特斯公式，龙贝格算法、高斯公式和数值微分等在计算机上用MATLAB软件实现，并用实例在计算机上计算和作图。

实验五、方程求根的迭代法(4学时)

实验内容：牛顿法、弦截法等在计算机上用MATLAB软件实现，并用实例在计算机上计算和作图。方程组雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法及其收敛性等在计算机上用MATLAB软件实现，并用实例在计算机上计算。

实验六、矩阵特征值计算（4学时）

实验内容：利用计算特征值的乘幂法、反幂法、雅可比法以及QR法编程计算矩阵的特征值，并熟悉Matlab的相关命令。

实验七、常微分方程的数值计算(4学时)

实验内容：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙格—库塔方法等在计算机上用MATLAB软件实现，并用实例在计算机上计算和作图。

实验八、综合实验（2学时）

实验内容：把学生按照学习的情况分成3个大组，每个组给出一个相应的比

较综合的开放性的问题，让学生综合运用所学的数值分析知识，给出问题的算法和程序，并给出计算结果。

六、作业

《数值分析》每次课后都布置作业，每周收作业一次，一学期作业总量大约50道题。我们对作业的要求是，首先构造问题的计算方法，然后附上相应的计算程序（程序可以使用C语言、Matlab或者Fortran语言编写），在最后再附上程序的计算结果，因此，50道题的作业量并不小。

作业占最后理论课成绩的20%，发现作业抄袭，该次作业作废。

七、考核方式

本课程的考试可以开卷也可以选择闭卷，具体由当年任课老师根据当年情况决定，考试时间为120分钟。具体考试时间至少提前一周通知学生。

八、成绩评定

1、理论课成绩评定：

作业占理论课成绩的20%，期末考试的成绩占70%，平时考勤10%。

2、上机实习成绩评定：

前面7个实验每个10分，最后一个综合实验20分，还有10分是出勤。

李庆扬数值分析第五版习题复习资料清华大学出版社

第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= = = 而ln x 的误差为()1 ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -=Q , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?Q 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,* 57 1.0.x =? 解：* 1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中**** 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。解：

*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ===g g (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g 又(*)1r V ε=Q

李庆扬-数值分析第五版第7章习题答案(0824)汇编

第7章复习与思考题

求f (X )= 0的零点就等价于求(x )的不动点，选择一个初始近似值X 0，将它代入X =「(X ) 的右端，可求得 X 1 h%X °)，如此反复迭代有 X k 1 二(X k ), k =0,1,2,..., (X)称为迭代函数，如果对任何 X 。? [a,b]，由x k 卜h%x k ),k =0,1,2,...得到的序列〈X k 1有极限则称迭代方程收敛，且X* =?(x*)为?(X )的不动点故称 X k q 二(X k ), k =0,1,2,...为不动点迭代法。 5?什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定 X k 1 二「(X k )(k =0,1,2,...)的收敛阶 P219 设迭代过程X k 1'h%X k )收敛于 (X)的根X*，如果当k > 时，迭代误差 e k = x k - x *满足渐近关系式 —t C,C =const 式 0 e/ 则称该迭代过程是 p 阶收敛的，特别点，当 p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛， p=2时称为平方收敛。以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。 6?什么是求解f(x)=0的牛顿法？它是否总是收敛的？若 f(X*) =0，X*是单根，f 是光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。牛顿法: 当| f (X k )卜J 时收敛。 7?什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。在牛顿法的基础上使用 2点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2 计算量弦截法 <牛顿法(减少了倒数的计算量) 8?什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？ P229 X - m X k 1 =X k f (X k ) f (X k )

数值分析报告 (李庆扬版)

《数值分析》作业学院：机械学院专业：机械工程姓名：赵博学号：2014520024 日期：2015年6月29日

第二章作业问：用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。答：VB程序如下： Option Explicit Sub czfl(ByRef x() As Single, y() As Single, n As Integer, x1 As Double, f As Double) Dim i, j As Integer Dim p As Single Dim appexcel As Object Dim wbmybook As Object Dim wsmysheet As Object Set appexcel = CreateObject("excel.application") Set wbmybook = appexcel.workbooks.Add Set wsmysheet = appexcel.worksheets.Add f = 0 For i = 0 To n p = 1 For j = 0 To n If i <> j Then p = p * (x1 - x(j)) / (x(i) - x(j)) End If Next j wsmysheet.cells(i + 1, 1) = Str(p) wsmysheet.cells(i + 1, 2) = Str(p * y(i)) f = f + p * y(i) Next i wsmysheet.cells(n + 1, 3) = "最终结果" + Str(f) appexcel.Visible = True End Sub Private Sub Command1_Click(Index As Integer) Dim x() As Single

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1

数值分析第五版_李庆扬

数值分析第五版_李庆扬一、课程基本信息课程中文名称：数值分析课程英文名称： Numerical Analysis 课程类别：专业基础课开课学期：秋适用专业：信息与计算科学；应用数学总学时： 86学时（其中理论课56学时，上机实习30学时）总学分： 5（理论课3学分；上机实习2学分）预修课程（编号）：数学分析，高等代数，常微分方程课程简介：本课程是大学本科信息与计算科学和应用数学专业的一门基础课，也是工科研究生的必修课。本课程的主要内容是研究各种数学问题的数值计算方法的设计、计算误差分析以及有关理论和具体实现的一门数学课程。是应用数学的重要分支之一。建议教材：《计算方法》（二版）（邓建中、刘之行），西安，西安交通大学出版社，2001 参考书： [1]数值分析学习指导，关治编，出版社：清华大学出版社，出版时间：2008年； [2]数值分析，何汉林，梅家斌，科学出版社，2007年； [3]《数值计算引论》白峰杉高等教育出版社 2005年 [4]《数值分析》（第五版）李庆扬易大义等清华大学出版社 2008年 [5]Numerical Analysis，R.Kress，世界图书出版公司2003 6、数值分析学习辅导习题解析，李宏、徐长发编，华中科技大学出版社，2001年。二、理论课程教育目标通过本课程的教学使学生能了解现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本理论，系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为运用数值分析的理论知识并为掌握更复杂的现代计算方法打好。三、理论教学内容与要求（含学时）第一章：计算方法的一般概念（4学时）本章教学内容：理解计算方法的意义、研究内容与方法，理解并掌握误差的概念（包括误差的来源、绝对误差、相对误差），掌握有效数字及舍入误差对计算的影响。第二章：解线性方程组的直接法（8学时）

李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社.

第一章绪论 1设x 0,x 的相对误差为，求In x 的误差进而有(In x*) 2.设x 的相对误差为2%，求x n 的相对误差。 xf '(x) 解：设f(x) x n ，则函数的条件数为 C p | | f(x) n 1 x nx n 1 又Q f '(x) nx , C p | | n n 又Q r ((x*) n) C p r (x*) 且 e r (x*)为 2 r ((x*)n ) 0.02 n 3?下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： x ； 1.1021,x 2 0.031 , x 3 385.6, x 4 56.430,x ； 7 1.0. 解：x * 1.1021是五位有效数字； x 2 0.031是二位有效数字； X 3 385.6是四位有效数字； x 4 56.430是五位有效数字； x ； 7 1.0.是二位有效数字。 4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限： ⑴X ； X ； X ；,(2) x ；x ；x ；,(3) X ；/X 4. 其中x ；,x 2,x 3,x 4均为第3题所给的数。解: 解：近似值x *的相对误差为 e* x* x x* x* 而In x 的误差为e In x* In x* Inx 1 x* e*

* 1 4 (X 1) 2 10 * 1 ,亠 3 (X 2) 2 10 * 1 1 (X 3) 2 10 * 1 ,亠 3 (X 4) 2 10 * 1 1 (X 5) 10 2 (2) (x ；x ；x ；) * * * X 1X 2 (X 3) 0.215 ⑶(X ；/X ；) * I * * * X 2I (X 4) X 4 (X 2) n & 4 3 解：球体体积为V - R 3 则何种函数的条件数为 C P r (V*) C p g r (R*) 3 r (R*) (1) (X 1 * (X 1) 1 10 2 1.05 10 X 2 X 4) * (X 2) 4 1 2 3 10 (X 4) 3 1.1021 0.031 101 1 0.031 385.6 - 104 1.1021 385.6 10 0.031 1 3 1 3 10 3 56.430 10 3 2 2 10 5 56.430 56.430 5计算球体积要使相对误差限为 X 2X 3 * * * X 1X 3 (x 2) 1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? Rg/' V

李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社

李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-= = = 而ln x 的误差为()1 ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -=, 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,* 20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,* 57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) *** 123x x x ,(3) ** 24/x x .

其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。解： *4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 * 4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为

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