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2016 全国二卷理科数学高考真题及答案

2016 年全国高考理科数学试题全国卷2

一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知 z=(m+3)+(m–1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m的取值范围是 ( )

A．( –3,1)B．(–1,3)C．(1,+∞) D．( –∞ , –3)

2、已知集合 A={1,2,3} ，B={x|(x+1)(x–2)<0，x∈Z}，则A∪B=( )

A．{1}B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{ –1,0,1,2,3}

3、已知向量 a=(1,m) ，b=(3, –2) ，且(a+b ) ⊥b，则 m=()

A．–8B．–6C． 6 D．8

4、圆 x2+y2–2x–8y+13=0 的圆心到直线ax+y–1=0 的距离为 1，则 a=( )

43

A．–3B．–4C． 3 D．2

5、如下左 1 图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小

红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )

A． 24B． 18C． 12

D．9

6 、

与圆锥组合而成的几何体的三视图，

上左 2 图是由圆柱则该几何体的表面积

为()

A．20πB．24πC．28πD．32π

π

7、若将函数 y=2sin2x 的图像向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )

kππkππ

A．x=2–6(k∈Z)B．x=2+6(k∈Z)

kππ

C．x= 2 –12(k∈Z)

kπ

D． x=

2

π

+12(k∈Z)

8、中国古代有算多式的秦九韶算法，上左 3 是

算法的程序框。行程序框，若入的 x=2，

n=2，依次入的 a2，2，5，出的 s=( ) A． 7B． 12C． 17 D．34

π3

9、若 cos( 4–α )= 5， sin2 α= ()

711 A．25B．5C．–5

7

D．–25

10、从区 [0,1]随机抽取2n个数x1，x2，?，x n，y1，y2，?，

y n，构成 n 个数 (x 1,y 1) ，(x 2,y 2) ，?， (x n,y n) ，其中两

数的平方和小于 1 的数共有 m个，用随机模的方法

得到的周率π的近似 ( )

4n2n4m A．m B．m C．n

2m

D ．

n

x 2

y

2

11、已知 F 1、F 2 是双曲线 E ：a 2–b 2=1 的左，右焦点，点

M

1

在 E 上， MF 1 与 x 轴垂直， sin ∠MF 2F 1=3, 则 E 的离心率为

( )

3

A ． 2

B ． 2

C ． 3

D ．2

12、已知函数 f(x)(x

∈R)满足 f( –x)=2 –f(x) ，若函数

x+1

) ，(x

,y

) ，...(x

,y ) ，

y= x

与 y=f(x) 图像的交点为 (x ,y

11

2 2 mm

m

y i )

(

)

则 ( x

i

i 1

A ． 0

B ． m

C ． 2m

D ．4m

二、填空题：本大题共

4 小题，每小题

5 分

4

13、△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 cosA=5，

5

cosC=13，a=1，则 b=___________．

14、α、β 是两个平面， m，n 是两条直线，有下列四个命题：

(1) 如果 m⊥n，m⊥α， n∥β，那么α⊥β。(2)如果 m⊥α， n∥α，那么 m⊥n。

(3)如果α∥β， m? α，那么 m∥β。

(4)如果 m∥n，α∥β，那么 m与α所成的角和 n 与β所成的角相等。

其中正确的命题有 ____________________(填写所有正确命题的编号 ) 。

15、有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我

与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是

____________．

16、若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1) 的切线，则 b=__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、( 本题满分 12 分)S n为等差数列 {a n} 的前 n 项和，且

a1=1，S7=28。记 b n=[lga n] ，其中 [x] 表示不超过 x 的最大

整数，如 [0.9]=0 ，[lg99]=1 ．

(1)求 b1，b11，b101；

(2)求数列 {b n} 的前 1 000 项和．

18、( 本题满分 12 分) 某险种的基本保费为a( 单位：元 ) ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度

≥出险次 0 1234

5

数

保费0.8a 1.2 1. 1.2

5a5a5a75a a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：[]

一年内出

123≥

04

险次数5

0.0.0.0.00.

概率

30152020.1005

(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比

基本保费高出 60%的概率；

(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

19、( 本小题满分 12 分) 如图，菱形 ABCD的对角线 AC与

5

BD交于点 O，AB=5，AC=6，点 E、F 分别在 AD、CD上，AE=CF=， 4

EF交 BD于点 H．将△ DEF沿 EF折到△D'EF 位置，OD'= 10．

(1)证明： D'H ⊥平面 ABCD；

(2)求二面角 B–D'A–C的正弦值．

x2 y2

20、( 本小题满分12 分) 已知椭圆 E：t + 3 =1 的焦点在 X 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k>0) 的直线交 E 于 A，M 两点，点 N在 E 上， MA⊥NA．

(1)当 t=4 ，|AM|=|AN| 时，求△ AMN的面积；

(2)当 2|AM|=|AN| 时，求 k 的取值范围．

21、(本小题满分12 分)(1)讨论函数f(x)=x–2 x e 的单调 x+2

性，并证明当x>0时， (x–2)e x +x+2>0；

(2) 证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)=e x–ax–a

x2(x>0)有最

小值。设 g(x) 的最小值为 h(a) ，求函数 h(a) 的值域．

请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号

22、( 本小题满分 10 分)[ 选修 4–1：几何证明选讲 ] 如图，在正方形 ABCD中， E、G分别在边 DA，DC上( 不与端点重

合) ，且 DE=DG，过 D 点作 DF⊥CE，垂足为 F．

(1)证明： B，C，G，F 四点共圆；

(2)若 AB=1，E 为 DA的中点，求四边形 BCGF的面积．

23、( 本小题满分 10 分)[ 选修 4–4：坐标系与参数方程 ]在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x+6) 2+y2=25．(1)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；

(2) 直线l的参数方程是x=tcos α为参数 ) ，l与 C 交

(t y=tsin α

于 A，B 两点， |AB|= 10，求l的斜率．

24、( 本小题满分 10 分)[ 选修 4–5：不等式选讲 ] 已知函

11

数f(x)=|x –2|+|x+ 2| ，M为不等式 f(x)<2 的解集．

(1)求 M；

(2)证明：当 a，b∈M时， |a+b|<|1+ab| ．

参考答案

1、解析：∴ m+3>0，m–1<0，∴– 3

2、解析：B={x|(x+1)(x–2)<0，x∈Z}={x|–1

3 、解析：向量 a+b=(4,m–2) ，∵(a+b) ⊥ b ，

∴(a+b) ·b=10–2(m–2)=0 ，解得 m=8，故选 D．

4 、解析：圆

2

(x –1) +(y –4)x2+y2–2x–8y+13=0

2

=4，故圆心为 (1,4)

化为标准方程为：

|a+4 –1|

，d==1，解

a2+1

4

得 a=–3，故选A．

5、解析一： E→F有 6 种走法， F→G有 3 种走法，由乘法原理知，共 6×3=18 种走法，故选 B．

解析二：由题意，小明从街道的 E 处出发到 F 处最短有 C24条路，再从 F 处到 G处最短共有 C13条路，则小明到老年公

C21=18

B

43

6、解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，

设圆柱底面圆半径为r ，周长为 c，圆锥母线长为l，圆柱高为 h．

由图得 r=2 ，c=2πr=4 π，由勾股定理得：l = 22+(23) 2=4，21

S 表 =πr+ch+2c l =4π+16π+8π=28π，故选 C．

π7、解析：由题意，将函数y=2sin2x 的图像向左平移12个

ππ

单位得y=2sin2(x+12)=2sin(2x+6)，则平移后函数的对π ππ kπ

称轴为 2x+ 6 = 2 +kπ，k∈Z，即 x= 6 + 2，k∈Z，故选 B。

8 、解析：第一次运算： s=0×2+2=2，第二次运算：

s=2×2+2=6，第三次运算： s=6×2+5=17，故选 C ．

π

3

π

9 、 解 析 ： ∵cos(

4

–α )= 5

， sin2 α=cos(

2

–2α)=2cos 2

( π–α ) –1= 7 ，故选 D ．

425

π

3

解法二：对 cos( 4 –α )= 5展开后直接平方

解法三：换元法

10、解析：由题意得： (x i ,y i )(i=1 ，2，3， ...

，n) 在如

图所示方格中，而平方和小于

1 的点均在如图的阴影中

π/4 m

4m

由几何概型概率计算公式知

1 =n ，∴π=n ，故选 C ．

F 1F 2

F 1F 2

11、解析： 离心率 e=MF 2–MF 1，由正弦定理得

e=MF 2–MF 1

2

2 sinM

3

=

sinF 1–sinF 2

=

1= 2．故选 A ．

1–3

12、解析：由 f( –x)=2 –f(x) 得 f(x) 关于 (0,1) 对称，而

x+1

1

y= x =1+x 也关于 (0,1) 对称，

∴对于每一组对称点 x i

+x' i =0，y i +y' i =2，

m

m

m

m

m

，故选 B ．

∴

i 1

x i y i

x i

y i 0 2 i 1

i 1

2

13、解析：∵

cosA=

4

5 ，

5

cosC=13，

sinA=

3

5，

sinC=

12

13 ，

63

∴ s inB =sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= 65，

由正弦定理：

b

sinB

a

=

，解得

21

b=13．

14、解析：对于①， m ⊥n ，m ⊥α， n ∥β，则

α，β 的

位置关系无法确定，故错误；对于②，因为

n //

，所以过

直线 n 作平面γ与平面β相交于直线 c，则 n∥c，因为

m⊥α，∴ m⊥c，∴ m⊥n，故②正确；对于③，由两个

平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义

和等角定理可知其正确，故正确的有②③④ .

15、解析：由题意得：丙不拿 (2,3) ，若丙 (1,2) ，则乙 (2,3) ，

甲(1,3) 满足；若丙 (1,3) ，则乙 (2,3) ，甲 (1,2) 不满足；故甲 (1,3) ，

1

16、解析： y=lnx+2 的切线为： y=x1·x+lnx 1+1( 设切点横坐标为 x1)

1x2

y=ln(x+1) 的切线为： y= x2+1·x+ln(x 2+1) –x2+1，

1 1

=

x1 x2+1

∴

x2

lnx 1+1=ln(x 2+1) –x2+1

11

解得 x1=2，x2=–2。∴ b=lnx 1+1=1–ln2 ．

17、解析： (1) 设 {a n} 的公差为d，S7=7a4=28，∴a4=4，

a 4–a 1

∴d=

=1，∴a n =a 1+(n –1)d=n ．

3

∴b 1=[lga 1]=[lg1]=0

，

b 11=[lga 11]=[lg11]=1

，

b 101 =[lga 101]=[lg101]=2

．

(2)

记 {b n }

的 前

n

项 和 为

T n

， 则

T

=b +b +...+b

1000=[lga 1]+[lga

]+...+[lga

1000] ．

1000 1

2

2

当 0≤lga n <1 时，n=1，2，... ，9；当 1≤lga n <2 时，n=10，

11，...

，99；当 2≤lga n <3 时， n=100，101， (999)

当

lga n =3

时

，

n=1000．∴T 1000 =0×9+1×90+2×900+3×1=1893．

18、(1) 设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 P(A)=1 –P( A)=1 –(0.30+0.15)=0.55 ．

A ，

(2) 设 续保 人保 费比 基 本保 费高 出 60%为 事 件 B ，

P(AB) 0.10+0.05

3

P(B|A)= P(A) =

0.55

=11．

⑶解：设本年度所交保费为随机变量

X ．

X 0.

a

1.

1.

1.

2a

85a

25a 5a

75a

P0.0.0.0.0.0.

301520201005

平均保费EX=0.85a×0.30+0.15a+1.25a ×0.20+1.5a ×0.20+1.75a

×0.10+2a×0.05=1.23a ，

∴平均保费与基本保费比值为 1.23 ．

5AE CF 19、解析： (1) 证明：如下左 1 图，∵ AE=CF=，∴=，

4AD CD

∴E F∥AC．

∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴EF⊥DH，∴E F⊥D'H ．

AE

∵AC=6，∴AD=3；又 AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH= ·OD=1，

AO

∴D H=D'H=3 ，∴ |OD'| 2=|OH|2+|D'H| 2，∴

D'H⊥OH．又∵ OH∩EF=H，∴ D'H⊥面 ABCD．

(2) 方法一、几何法：若AB=5，AC=6，则 AO=3，B0=OD=4，

5 5 15

∵AE= ，AD=AB=5，∴ DE=5– = ，

44 4

DE EH DH 15/4 399

∵EF∥AC，∴ = = == ，∴EH= ，EF=2EH=，DH=3，

AD AC OD 5 442

OH=4–3=1，

∵HD’=DH=3， OD’=22，∴满足

222 HD’=OD’+OH，则

△OHD’为直角三角形，且OD’⊥ OH，

即 OD’⊥底面 ABCD，即 OD’是五棱锥 D’– ABCFE的高．

底面五边形的面积

(EF+AC)·OH

S= 2 ×AC·OB+2=2

9

( 2+6)×121 69

×6×4+2=12+ 4 = 4，

1169

则五棱锥D’– ABCFE体积 V=3S·OD’ =3×4×2 2 23 2

= 2

．

方法二、向量法。建立如下左 2 图坐标系 H–xyz ．B(5,0,0) ，C(1,3,0) ，D'(0,0,3) ，A(1, –3,0) ，∴向量AB=(4,3,0) ，AD'=( –1,3,3) ，AC=(0,6,0) ，

设面ABD' 法向量 n =(x,y,z)，由n1·AB=0得

1n·AD'=0

1

x=3

4x+3y=0

–x+3y+3z=0，取y=–4，∴ n1=(3, –4,5) ．

z=5

同理可得面 AD'C 的法向量 n2=(3,0,1)，