乘法公式培优辅导讲义
乘法公式培优训练
题型一：a±型
1．已知x2﹣3x+1=0，则= ．
2．若a2+=14，则a+﹣5的值为．
3．已知a+=7，则a3+的值是．
4．已知=3，则= ．
5．（1）猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；
（2）应用：已知x﹣，求x2+的值；
（3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值．
题型二：换元，整体思想
1．已知a+b=4，则= ．
2．已知（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，则（2017﹣a）（2016﹣a）= ．
3．已知（2017﹣A）2（2015﹣A）2=2016，则（2017﹣A）2+（2015﹣A）2的值为．4．计算（1﹣﹣）（++）﹣（1﹣﹣﹣）（+）的结果是．
5．计算（a
1+a
2
+…+a
n﹣1
）（a
2
+a
3
+…+a
n﹣1
+a
n
）﹣（a
2
+a
3
+…+a
n﹣1
）（a
1
+a
2
+…+a
n
）
= ．
题型三、添与凑
1．对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）计算出算式的结果；
（2）结果的个位数字是几？
2．化简：6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1= ．
3．计算下列各式：
（1）1﹣= ；
（2）（1﹣）（1﹣）= ；
（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）= ；
（4）请你根据上面算式所得的简便方法计算下式：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）
4．（1）计算：
（a﹣1）（a+1）= ；
（a﹣1）（a2+a+1）= ；
（a﹣1）（a3+a2+a+1）= ；
（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：
（a﹣1）（a2017+a2016+a2015+a2014+…+a2+a+1）= ；
（3）利用上面的结论，求下列各式的值．
①22017+22016+22015+22014+…+22+2+1 ②52017+52016+52015+52014+…+52+5+1．
题型四、化简求值
1．已知代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2
（1）当x=1，y=3时，求代数式的值；
（2）当4x=3y，求代数式的值．
3．已知a2+2a﹣2=0，求代数式（3a+2）（3a﹣2）﹣2a（4a﹣1）的值．
3．（1）已知a2+b2=3，a﹣b=1，求（2﹣a）（2﹣b）的值．
（2）设b=ma（a≠0），是否存在实数m，使得（2a﹣b）2﹣（a﹣2b）（a+2b）+4a（a+b）能化简为12a2？若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．
4．计算：
（1）（﹣48a6b5c）÷（24ab4）?（﹣a5b2）；
（2）已知x m=3，x n=2，求x2m﹣3n的值；
（3）已知6x=5y，求代数式（x﹣3y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2的值．
题型五、综合运用
1．如果等式x2+3x+2=（x﹣1）2+B（x﹣1）+C恒成立，其中B，C为常数，B+C= ．2．已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1=0，求其面积．
3．两个不相等的实数a，b满足a2+b2=5．
（1）若ab=2，求a+b的值；
（2）若a2﹣2a=m，b2﹣2b=m，求a+b和m的值．
4．已知|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．
5．将4个数a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad﹣bc．上述记号叫做2阶行列式，若=8．求x的值．
6．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．（1）图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论？请写出来．
（2）图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连结BD、BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，试求阴影部分的面积．
7．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形纸片（其中m＞n），先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全相同的小长方形，然后拼成如图2所示的大正方形．
（1）请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积：①；②．
（2）写出关于（m+n）2，（m﹣n）2，mn的一个等式．
（3）若m+n=10，mn=20，求图2中阴影部分的面积．
8．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2
B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab=a（a+b）
（2）若x2﹣9y2=12，x+3y=4，求x﹣3y的值；
（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
9．有一系列等式：
1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）2
2×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）2
3×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）2
4×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2
…
（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果
（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．
10．（1）已知a+b=3，ab=﹣2，求代数式（a﹣b）2的值．
（2）已知a、b满足（2a+2b+3）（2a+2b﹣3）=55，求a+b的值．
11．如图①，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图②，长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）
（1）图①中长方形的面积S
1= ；图②中长方形的面积S
2
=
比较：S
1S
2
（填“＜”、“=”或“＞”）
（2）现有一正方形，其周长与图①中的长方形周长相等，则①求正方形的边长（用含m的代数式表示）；
②试探究：该正方形面积S与图①中长方形面积S
1的差（即S﹣S
1
）是一个常数，求出这个常
数．
（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于S
1、S
2
之间（不包括S
1
、S
2
）并且面积为整
数，这样的整数值有且只有10个，求m的值．
12．先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0
∴（m+n）2+（n﹣3）2=0
∴m+n=0，n﹣3=0
∴m=﹣3，n=3
问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
26．已知x、y互为相反数，且（x+3）2﹣（y+3）2=6，求x、y的值．
2017年12月02乘法公式培优训练
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．已知x2﹣3x+1=0，则= 7 ．
【解答】解：∵x2﹣3x+1=0，
∴x+=3，
∴（x+）2=x2++2=9，
∴x2+=7．
故答案为：7．
2．化简：6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1= 732．
【解答】解：原式=（7﹣1）（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1 =（72﹣1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1
=（74﹣1）（74+1）（78+1）（716+1）+1
=（78﹣1）（78+1）（716+1）+1
=（716﹣1）（716+1）+1
=732﹣1+1
=732．
故答案为：732
3．已知（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，则（2017﹣a）（2016﹣a）= 0 ．【解答】解：∵（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，
∴[（2017﹣a）﹣（2016﹣a）]2+2（2017﹣a）（2016﹣a）=1，
即1+2（2017﹣a）（2016﹣a）=1，
∴2（2017﹣a）（2016﹣a）=0，
∴（2017﹣a）（2016﹣a）=0，
故答案为：0．
4．若a2+=14，则a+﹣5的值为﹣1或﹣9 ．
【解答】解：∵a2+=14，
∴a2+2+=14+2，
即=16，
∴a+=±4，
∴a+﹣5=﹣1或﹣9，
故答案为：﹣1或﹣9．
5．已知a+b=4，则= 8 ．
【解答】解：
=（a2+2ab+b2）
=（a+b）2
=×42
=8．
故答案是：8．
6．已知=3，则= 119 ．
【解答】解：，
=119，
故答案为：119．
7．已知（2017﹣A）2（2015﹣A）2=2016，则（2017﹣A）2+（2015﹣A）2的值为4+24．
【解答】解：设x=2017﹣A，y=2015﹣A，
∴x2y2=2016，
∴xy=±12，
∴x﹣y=2
∴x2+y2=（x﹣y）2+2xy
=4±24
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2=4+24
∴（2017﹣A）2+（2015﹣A）2=4+24
故答案为：4+24
8．已知a+=7，则a3+的值是322 ．
【解答】解：∵a+=7，
∴（a+）2=49，
∴a2++2=49，
∴a2+=47，
∴a3+=（a+）（a2﹣1+）
=7×46
=322．
故答案为：322．
9．如果等式x2+3x+2=（x﹣1）2+B（x﹣1）+C恒成立，其中B，C为常数，B+C= 11 ．
【解答】解：∵x2+3x+2=（x﹣1）2+B（x﹣1）+C=x2+（B﹣2）x+1+C恒成立，
∴B﹣2=3，1+C=2，
∴B=5，C=6，
故B+C=11．
故答案为：11．
10．计算（1﹣﹣）（++）﹣（1﹣﹣﹣）（+）的结果是．
【解答】解：（1﹣﹣）（++）﹣（1﹣﹣﹣）（+）
=（1﹣﹣）×（+）+（1﹣﹣）×﹣（1﹣﹣）×（+）﹣（﹣）×（+）
=（1﹣﹣）×+×（+）
=（1﹣﹣++）×=．
故答案为：．
11．计算（a
1+a
2
+…+a
n﹣1
）（a
2
+a
3
+…+a
n﹣1
+a
n
）﹣（a
2
+a
3
+…+a
n﹣1
）（a
1
+a
2
+…+a
n
）= a
1
a
n
．
【解答】解：设x=a
1+a
2
+…+a
n
，y=a
2
+a
3
+…+a
n﹣1
，
则原式=（x﹣a
n ）（y+a
n
）﹣yx
=xy+xa
n ﹣a
n
y﹣a
n
2﹣xy
=a
n （x﹣y）﹣a
n
2
=a
n [（a
1
+a
2
+…+a
n
）﹣（a
2
+a
3
+…+a
n﹣1
）]﹣a
n
2
=a
n （a
1
+a
n
）﹣a
n
2
=a
1a
n ，
故答案为：a
1a
n ．
二．选择题（共16小题）
12．已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1=0，求其面积．
【解答】解：由题意得：2（x+y）=16，
解得：x+y=8①；
∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1=（x﹣y﹣1）2=0，
∴x﹣y=1②．
联立①②成方程组，
解得：，
∴长方形面积S=xy=×=cm2．
答：长方形的面积为cm2．
13．两个不相等的实数a，b满足a2+b2=5．
（1）若ab=2，求a+b的值；
（2）若a2﹣2a=m，b2﹣2b=m，求a+b和m的值．
【解答】解：（1）∵a2+b2=5，ab=2，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2=5+2×2=9，
∴a+b=±3；
（2）∵a2﹣2a=m，b2﹣2b=m，
∴a2﹣2a=b2﹣2b，a2﹣2a+b2﹣2b=2m，
∴a2﹣b2﹣2（a﹣b）=0，
∴（a﹣b）（a+b﹣2）=0，
∵a≠b，
∴a+b﹣2=0，
∴a+b=2，
∵a2﹣2a+b2﹣2b=2m，
∴a2+b2﹣2（a+b）=2m，
∵a2+b2=5，
∴5﹣2×2=2m，
解得：m=，
即a+b=2，m=．
14．已知|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．
【解答】解：∵|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，
∴|x﹣y+1|与（x+4）2互为相反数，
即|x﹣y+1|+（x+4）2=0，
∴x﹣y+1=0，x+4=0，
解得x=﹣4，y=﹣3．
当x=﹣4，y=﹣3时，原式=（﹣4﹣3）2=49．
15．将4个数a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad﹣bc．上述记号叫做2阶行列式，若=8．求x的值．
【解答】解：根据题意化简=8，
得：（x+1）2﹣（1﹣x）2=8，
整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8=0，即4x=8，
解得：x=2．
16．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．（1）图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论？请写出来．
（2）图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连结BD、BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，试求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）∵a+b=10，ab=20，
=a2+b2﹣（a+b）?b﹣a2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣ab=×102﹣×20=50﹣∴S
阴影
30=20．
17．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形纸片（其中m＞n），先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全相同的小长方形，然后拼成如图2所示的大正方形．
（1）请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积：①（m﹣n）2；②（m+n）2﹣4mn ．
（2）写出关于（m+n）2，（m﹣n）2，mn的一个等式（m+n）2=（m﹣n）2+4mn ．
（3）若m+n=10，mn=20，求图2中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）图2中阴影部分的面积：①（m﹣n）2；②（m+n）2﹣4mn；
故答案为：（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；
（2）关于（m+n）2，（m﹣n）2，mn的一个等式：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn；
故答案为：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn；
（3）∵m+n=10，mn=20，
∴图2中阴影部分的面积为：（m+n）2﹣4mn=102﹣4×20=20．
18．对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．
（1）计算出算式的结果；
（2）结果的个位数字是几？
【解答】解：（1）原式=（3﹣1）×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1
=（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1
=（34﹣1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1
=（332﹣1）×（332+1）+1
=364；
②∵31=3，32=9，33=27，34=8135=243，36=729，…
∴每3个数一循环，
∵64÷3=21…1，
∴364的个位数字是3．
19．计算下列各式：
（1）1﹣= ；
（2）（1﹣）（1﹣）= ；
（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）= ；
（4）请你根据上面算式所得的简便方法计算下式：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）
【解答】解：（1）1﹣=；
（2））（1﹣）（1﹣）=；
（3）原式=；
故答案为；；；
（4）原式=???…?=．
20．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 B （请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2
B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab=a（a+b）
（2）若x2﹣9y2=12，x+3y=4，求x﹣3y的值；
（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
【解答】解：（1）根据阴影部分面积相等可得：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），
上述操作能验证的等式是B，
故答案为：B；
（2）∵x2﹣9y2=12，
∴x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）=12，
∵x+3y=4，
∴x﹣3y=3；
（3）原式=
=
=
=．
21．有一系列等式：
1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）2
2×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）2
3×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）2
4×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2
…
（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果892
（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．
【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到8×9×10×11+1=（82+3×8+1）2=892；
故答案为：892；
（2）依此类推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2，
理由如下：等式左边=（n2+3n）（n2+3n+2）+1=n4+6n3+9n2+2n2+6n+1=n4+6n3+11n2+6n+1，
等式右边=（n2+3n+1）2=（n2+1）2+2?3n?（n2+1）+9n2=n4+2n2+1+6n3+6n+9n2=n4+6n3+11n2+6n+1，左边=右边．
22．（1）已知a+b=3，ab=﹣2，求代数式（a﹣b）2的值．
（2）已知a、b满足（2a+2b+3）（2a+2b﹣3）=55，求a+b的值．
【解答】解：（1）∵a+b=3，ab=﹣2，
∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=32﹣4×（﹣2）=17；
（2）（2a+2b+3）（2a+2b﹣3）=55，
4（a+b）2﹣9=55，
（a+b）2=16，
a+b==±4．
23．如图①，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图②，长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）
（1）图①中长方形的面积S
1= m2+8m+7 ；图②中长方形的面积S
2
= m2+6m+8
比较：S
1＞S
2
（填“＜”、“=”或“＞”）
（2）现有一正方形，其周长与图①中的长方形周长相等，则①求正方形的边长（用含m的代数式表示）；
②试探究：该正方形面积S与图①中长方形面积S
1的差（即S﹣S
1
）是一个常数，求出这个常
数．
（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于S
1、S
2
之间（不包括S
1
、S
2
）并且面积为整
数，这样的整数值有且只有10个，求m的值．
【解答】解：（1）图①中长方形的面积S
1
=（m+7）（m+1）=m2+8m+7，
图②中长方形的面积S
2
=（m+4）（m+2）=m2+6m+8，
比较：∵S
1﹣S
2
=2m﹣1，m为正整数，m最小为1，
∴2m﹣1≥1＞0，
∴S
1＞S
2
；
（2）①2（m+7+m+1）÷4=m+4；
②S﹣S
1
=（m+4）2﹣（m2+8m+7）=9定值；
（3）由（1）得，S
1﹣S
2
=2m﹣1，
∴当10＜2m﹣1≤11时，
∴＜m≤6，
∵m为正整数，
∴2m﹣1=11，
m=6．
故答案为：m2+8m+7，m2+6m+8，＞．
24．（1）计算：
（a﹣1）（a+1）= a2﹣1 ；
（a﹣1）（a2+a+1）= a3﹣1 ；
（a﹣1）（a3+a2+a+1）= a4﹣1 ；
（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：
（a﹣1）（a2017+a2016+a2015+a2014+…+a2+a+1）= a2018﹣1 ；（3）利用上面的结论，求下列各式的值．
①22017+22016+22015+22014+…+22+2+1
②52017+52016+52015+52014+…+52+5+1．
【解答】解：（1）（a﹣1）（a+1）=a2﹣1；
（a﹣1）（a2+a+1）=a3﹣1；
（a﹣1）（a3+a2+a+1）=a4﹣1；
故答案为：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；
（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：
（a﹣1）（a2017+a2016+a2015+a2014+…+a2+a+1）=a2018﹣1；
故答案为：a2018﹣1；
（3）理利用上面的结论，求下列各式的值．
①22017+22016+22015+22014+…+22+2+1=（2﹣1）×（22017+22016+22015+22014+…+22+2+1）=22018﹣1；
②52017+52016+52015+52014+…+52+5+1=（5﹣1）×（52017+52016+52015+52014+…+52+5+1）=×（52018﹣1）．
25．先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0
∴（m+n）2+（n﹣3）2=0
∴m+n=0，n﹣3=0
∴m=﹣3，n=3
问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
【解答】解：（1）x2+2y2﹣2xy+4y+4
=x2﹣2xy+y2+y2+4y+4
=（x﹣y）2+（y+2）2
=0，
∴x﹣y=0，y+2=0，
解得x=﹣2，y=﹣2，
∴x y=（﹣2）﹣2=；
（2）∵a2+b2=10a+8b﹣41，
∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16=0，
即（a﹣5）2+（b﹣4）2=0，
a﹣5=0，b﹣4=0，
解得a=5，b=4，
∵c是△ABC中最长的边，
∴5≤c＜9．
26．已知x、y互为相反数，且（x+3）2﹣（y+3）2=6，求x、y的值．
【解答】解：∵x、y互为相反数，
∴y=﹣x，
∴（x+3）2﹣（y+3）2，
=（x+3）2﹣（﹣x+3）2，
=x2+6x+9﹣x2+6x﹣9，
=6，
即12x=6，
解得x=，
∴y=﹣x=﹣．
故答案为：x、y的值分别是，﹣．
27．（1）猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；
（2）应用：已知x﹣，求x2+的值；
（3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出
最小值．
【解答】解：（1）猜想a2+b2≥2ab，理由为：
∵a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，
∴a2+b2≥2ab；
（2）把x﹣=5两边平方得：（x﹣）2=x2+﹣2=25，
则x2+=27；
（3）x2+≥2，即最小值为2．
三．解答题（共4小题）
28．已知代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2
（1）当x=1，y=3时，求代数式的值；
（2）当4x=3y，求代数式的值．
乘法公式--培优
乘法公式--培优-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
第三讲 乘法公式 【易错点剖析】 1.注意乘法公式的特点，符合公式的特点的多项式乘法才能套用公式. 2. 在混合运算时，运用乘法公式计算出来的积要添括号，如果前面是 “-”要注意变号 ⑤()()22 22x y x y +- ⑥()()()()24832124515151...51+++++ ⑦221.2340.766 2.4680.766++? ⑧2222211111111...11234910??????????----- ????? ?????????????
【能力提高】 整体思想 1、 若()2 23m -=，求246m m -+的值. 2、 已知22227,+9a ab b a ab b ++=-=，求()2 a b +的值. 3、 已知5,4a b ab ++=，求（1）22a b +；（2）44a b +；（3）44a b -的值 4A 、已知2510x x -+=，求（1）221x x + （2）322143x x x --+的值 4B 、已知0a ≠，且满足()()()222112329147a a a a a +---+=-， 求（1）2 21a a +（2）24255a a a ++的值. 5、 已知()()22 201820171a a -+-=，求()()20182017a a --的值
配方法 1、已知()22116x m x --+是一个完全平方式，则m = . 2、已知264A x x +-+是一个完全平方式，则A = . 1B 、已知()()2222116x xy y m x y ++--++是一个完全平方式，则m = . 2B 、已知()()()()22 2210024400a b k b a a b +++--是一个完全平方式，则k = . 3、把代数式223x x --化为()2 x m k -+的形式，则m k += . 4、若22 28170x y x y ++-+=，求y x 的值. 5A 、当x 为多少时，代数式245x x -+有最小值，最小值为多少 5B 、求多项式222451213x xy y y -+-+的最小值及此时,x y 的值. 6、试说明：无论x 取何值，225x x ++的值一定为一个正数. 7、已知111100,99,101100100100 a x b x c x = +=+=+，求222a b c ab bc ac ++---的值
(完整word版)《幂的运算》提高练习题-(培优)
《幂的运算》提高练习题 一、选择题（共5小题，每小题4分，满分20分） 1、计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（） A、﹣299 B、﹣2 C、299 D、2 2、当m是正整数时，下列等式成立的有（） （1）a2m=（a m）2；（2）a2m=（a2）m；（3）a2m=(﹣a m)2；（4）a2m=(﹣a2)． A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 3、下列运算正确的是（） A、2x+3y=5xy B、（﹣3x2y）3=﹣9x6y3 C、D、（x﹣y）3=x3﹣y3 4、a与b互为相反数，且都不等于0，n为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（） A、a n与b n B、a2n与b2n C、a2n+1与b2n+1 D、a2n﹣1与﹣b2n﹣1 5、下列等式中正确的个数是（） ①a5+a5=a10；②（﹣a）6?（﹣a）3?a=a10；③﹣a4?（﹣a）5=a20；④25+25=26． A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 二、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分） 6、计算：x2?x3=_________；（﹣a2）3+（﹣a3）2=_________． 7、若2m=5，2n=6，则2m+2n=_________． 三、解答题（共17小题，满分70分） 8、已知3x（x n+5）=3x n+1+45，求x的值． 9、若1+2+3+…+n=a，求代数式（x n y）（x n﹣1y2）（x n﹣2y3）…（x2y n﹣1）（xy n）的值． 10、已知2x+5y=3，求4x?32y的值． 11、已知25m?2?10n=57?24，求m、n． 12、已知a x=5，a x+y=25，求a x+a y的值．
乘法公式培优训练
乘法公式培优训练 一、平方差公式 1、计算： (1) (4x-5)(4x+5) （2） (12-+2m)(1 2 --2m) (3) (3b+a)(a-3b) (4) (3+2a)(-3+2a) 2、（－2x+y ）（ ）=224x y -． （－32x +22y ）（______）=94 x －44y ． 3、下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A ．（a+b ）（b+a ） B ．（－a+b ）（a －b ） C ．（13a+b ）（b －13 a ） D ．（a 2－ b ）（b 2 +a ） 4、下列计算中，错误的有（ ） ①（3a+4）（3a －4）=92a －4；②（22a －b ）（22a +b ）=42a －2 b ； ③（3－x ）（x+3）=2x －9；④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）=－2 x －2y ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5、若2x －2 y =30，且x －y=－5，则x+y 的值是___________ 6、计算：（a+2）（a 2 +4）（a 4 +16）（a －2）． 7、利用平方差公式计算： （1）2009×2007－20082． （2）2 2007 200720082006 -?． 二、完全平方公式 1、计算（1） 2 )2 1(b a + （2）2 )23(y x - （3） 2 )3 13(c ab + - （4）2)12(--t
2、利用完全平方公式计算： （1）1022 （2）1972 3、下列各式中，能够成立的等式是（ ）． A ． B ． C ． D ． 4、 （ ） A ． B ． C ． D ． 5、若 ，则M 为（ ）． A ． B ． C ． D ． 6、如果 是一个完全平方公式，那么a 的值是（ ）． A ．2 B ．－2 C ． D ． 7、222()x y x y +=+-__________=2()x y -+________． 8、(.)0222a a + = ++ 9、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。 10、已知 2()16,4,a b ab +==求22 a b +与2()a b -的值。 11、已知()5,3a b ab -==求2 ()a b +的值。 12、已知(a +b)2 =60，(a -b)2 =80，求a 2 +b 2 及a b 的值 13、已知1 6x x - =，求221x x +的值。
乘法公式培优
乘法公式培优-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
第三讲 乘法公式 【易错点剖析】 1.注意乘法公式的特点，符合公式的特点的多项式乘法才能套用公式. 2. 在混合运算时，运用乘法公式计算出来的积要添括号，如果前面是 “-”要注意变号 ⑤()()22 22x y x y +- ⑥()()()()24832124515151...51+++++ ⑦221.2340.766 2.4680.766++? ⑧2222211111111...11234910??????????----- ????? ?????????????
【能力提高】 整体思想 1、 若()2 23m -=，求246m m -+的值. 2、 已知22227,+9a ab b a ab b ++=-=，求()2 a b +的值. 3、 已知5,4a b ab ++=，求（1）22a b +；（2）44a b +；（3）44a b -的值 4A 、已知2510x x -+=，求（1）221x x + （2）322143x x x --+的值 4B 、已知0a ≠，且满足()()()222112329147a a a a a +---+=-， 求（1）2 21a a +（2）24255a a a ++的值. 5、 已知()()22 201820171a a -+-=，求()()20182017a a --的值
配方法 1、已知()22116x m x --+是一个完全平方式，则m = . 2、已知264A x x +-+是一个完全平方式，则A = . 1B 、已知()()2222116x xy y m x y ++--++是一个完全平方式，则m = . 2B 、已知()()()()22 2210024400a b k b a a b +++--是一个完全平方式，则k = . 3、把代数式223x x --化为()2 x m k -+的形式，则m k += . 4、若22 28170x y x y ++-+=，求y x 的值. 5A 、当x 为多少时，代数式245x x -+有最小值，最小值为多少 5B 、求多项式222451213x xy y y -+-+的最小值及此时,x y 的值. 6、试说明：无论x 取何值，225x x ++的值一定为一个正数. 7、已知111100,99,101100100100 a x b x c x = +=+=+，求222a b c ab bc ac ++---的值
第14讲 整式的乘法期末复习培优专题
第14讲 整式的乘法期末复习培优专题 一、知识点： 1. 幂的运算性质（其中m 、n 、p 都为正整数）： 1.m n m n a a a +?=2．()m n mn a a =3．()n n n ab a b = 4．m n m n a a a -÷= 5．011(0)(0)p p a a a a a -=≠= ≠， 2. 整式的乘法 3．乘法公式：⑴()()22b a b a b a -=-+. ⑵()2222b ab a b a +±=± ⑶()bc ac ab c b a c b a 2222222+++++=++ ⑷()()3322b a b ab a b a ±=+± ⑸()3223333b ab b a a b a ±+±=± 专题一 ：幂的运算性质及其逆用 例、1、计算⑴（-0.125）2013× 82014＝_______ 2001100021()(2)34 -?＝_______________ ⑵200120022003113(1)(1)()345 ?-?-＝____________________ 2、（1）若10x =2 ,10y =3，求103x+2y 和102x-3y 的值。 (2)若的值。，求正整数n n 24n 21682=??（3）若的值。，求b a b a 2395 110,2010÷== 专题二、整式的乘法及除法 例1计算 （1）35433660)905643(ax .ax .x a x a ÷-+- (2）)250(24 1)2)(5(54423x .x x x x -?-?-- (3))13)(25()13)(34()2)(1(3---+-+-+x x x x x x
2020-2021学年数学初一培优和竞赛讲练-14-乘法公式
2020-2021学年人教版数学初一讲练 （培优和竞赛二合一） （14）乘法公式 【知识精读】 1． 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。 公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。 公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。 2． 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2, 平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2 立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b3 3.公式的推广： ① 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。 ② 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3 (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4） （a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5） ………… 注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ③ 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式 （a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4 (a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5 (a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 ………… 注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数 (a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n (a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地： （a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n 4. 公式的变形及其逆运算 由（a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)2－2ab 由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b) 由公式的推广③可知：当n为正整数时 a n－ b n能被a－b整除, a2n+1+b2n+1能被a+b整除, a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
乘法公式培优训练题
乘法公式培优训练 班次＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿ 一、选择题： 1．下列各多项式中，可以用平方差公式计算的是（ ） A ．()()a b a b --+ B ．()()a b a b --- C ．()()a b a b -+- D ．()()a b a b ++ 2．已知2249x kxy y ++是一个完全平方，则k 的值为（ ） A ．6 B ．±6 C ．12 D ．±12 3．计算：2200820092007-?的值为（ ） A ．2009 B ．2009 C ．1 D ．－1 4．在下列各式中，运算结果是2416a b -的是（ ） A ．222244()()b a b a +-+ B ．()()2228a b a b +- C ．()()222244b a b a --+ D ．()()2244b a b a -++ 5．已知()()29x a x a x -+=-，则a 的值为（ ） A ．9 B ．－9 C ．3 D ．±3 6．不论,x y 取何值时，22425x y x y +--+的值一定是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．不确定 7．如果2222220a b c ac bc +++-=，则a b +的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．不能确定 二、填空题： 8．一个正方形桌子的边长为a ，若将一正方形桌布放在上面，四周下垂部分为3㎝，则下垂部分的面积是＿＿＿＿＿＿ 9．已知54,a b ab +==，则()2a b -=＿＿＿＿＿＿＿ 10．计算：()()22a b a b --+＝＿＿＿＿＿＿＿ 11．已知5x y +=，()21x y -=，则xy =＿＿＿＿＿＿ 12．已知14a a -=，则221________a a += 13．若225a b +=，2a b -=，则______ab = 三、解答题：
整式的乘法与因式分解培优
第二章 整式的乘法 【知识点归纳】 1.同底数幂相乘， 不变， 相加。a n.a m = (m,n 是正整数) 2.幂的乘方， 不变， 相乘。(a n )m = (m,n 是正整数) 3.积的乘方，等于把 ，再把所得的幂 。 (ab)n = (n 是正整数) 4.单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘。 5.单项式与多项式相乘，先用单项式 ，再把所得的积 ，a （m+n ）= 6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积 ，（a+b ）（m+n ）= 。 7.平方差公式，即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差（a+b ）（a-b ）= 8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 。（a+b ）2= ,（a-b ）2= 。 9.公式的灵活变形： （a+b ）2+（a-b ）2= ，（a+b ）2-（a-b ）2= ， a 2+b 2=（a+b ）2- ， a 2+ b 2=（a-b ）2+ ，（a+b ）2=（a-b ）2+ ， （a-b ）2=（a+b ）2- 。 【例1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数 式234a -+2221 2(3)4b a b --的值 【例2】已知两个多项式A 和B ， 43344323,321,n n n A nx x x x B x x x nx x +-+=+-+-=-++--试判断是否存在整数n ，使A B -是五次六项式？
【例3】已知,,x y z 为自然数，且x y <，当1999,2000x y z x +=-=时，求x y z ++的所有值中最大的一个是多少？ 【例4】如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7,那么当2x =时,该式的值是 . 【例5】已知a 为实数,且使323320a a a +++=,求199619971998(1)(1)(1)a a a +++++的值. 【例6】（1）已知2x+2=a ，用含a 的代数式表示2x ； （2）已知x=3m +2，y=9m +3m ，试用含x 的代数式表示y ． 【例7】我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b ）（a+b ）=2a 2+3ab+b 2就能用图1或图2等图形的面积表示： （1）请你写出图3所表示的一个等式： ． （2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b ）（a+3b ）=a 2+4ab+3b 2．
培优专题整式的乘法
整式的乘法培优训练 教师寄语：任何的限制，都是从自己的内心开始的。忘掉失败，不过要牢记失败中的教训。 【知识精要】 1、幂的运算性质 （m、n为正整数） （m为正整数） （m、n为正整数） （m、n为正整数，且a≠0，m＞n） （a≠0） （a≠0，p为正整数） 2、整式的乘法公式： 3、科学记数法 其中（1≤|a|＜10） 4、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 5、单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 6、多项式与多项式相乘：先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 7、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 8多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。 例1．已知15 8 2= +x x，求2)1 2( )1 ( 4 )2 )( 2 (+ + - - - +x x x x x的值. 练习： 1．若0 4 2 2= - -a a, 求代数式2 ]3 )2 ( )1 )( 1 [(2÷ - - + - +a a a的值. 2．已知0 1 2= - -x x，求)5 ( )3 ( )2 )( 2 (2- - - + - +x x x x x的值．
3. 已知)1()3)(3(1,0932 2---+++=-+x x x x x x x ）求（的值. 4．已知222x x -=，求代数式2(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x -++-+--的值． 5. 已知132=-x x ，求)1)(4()2()2(22--+-+-+x x x x x ）（的值. 例2：已知012=-+x x ，求代数式3223++x x 的值。 练习： 1. 已知0332=-+x x ，求代数式103523-++x x x 的值。 2. 已知012=-+a a ，求代数式3432234+--+a a a a 的值。 3. 已知0132=+-x x ，求代数式200973223+--x x x 的值。 例3. 已知当x ＝1时，代数式ax 5 ＋bx 3 ＋cx ＋6的值为4，求当x ＝－1时，该代数式的值. 练习： 1. 已知当x=3时,代数式ax 5＋bx 3＋cx －6的值为17，求当x=－3时，该代数式的值.
北师大版七年级下册-第1章《整式的乘除》培优拔尖习题训练(带答案)
北师大版第1章《整式的乘除》培优拔尖习题训练 一．选择题（共10小题） 1．下面计算正确的是（） A．a2?a3＝a5B．3a2﹣a2＝2 C．4a6÷2a3＝2a2D．（a2）3＝a5 2．化简（x+4）（x﹣1）+（x﹣4）（x+1）的结果是（） A．2x2﹣8 B．2x2﹣x﹣4 C．2x2+8 D．2x2+6x 3．若要使4x2+mx+成为一个两数差的完全平方式，则m的值应为（）[ A．B．C．D． 4．下列计算错误的是（） A．（﹣2a3）3＝﹣8a9B．（ab2）3?（a2b）2＝a7b8 C．（xy2）2?（9x2y）＝x6y6D．（5×105）×（4×104）＝2×1010 5．已知长方形ABCD可以按图示方式分成九部分，在a，b变化的过程中，下面说法正确的有（） ①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长 ②长方形ABCD的长宽之比可能为2 ③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形 ^ ④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100． A．①②B．①③C．②③④D．①③④ 6．若（x2+x+b）?（2x+c）＝2x3+7x2﹣x+a，则a，b，c的值分别为（）A．a＝﹣15，b＝﹣3，c＝5 B．a＝﹣15，b＝3，c＝﹣5 C．a＝15，b＝3，c＝5 D．a＝15，b＝﹣3，c＝﹣5
7．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是（） ~ A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 8．若（a﹣c+b）2＝21，（a+c+b）2＝2019，则a2+b2+c2+2ab的值是（）A．1020 B．1998 C．2019 D．2040 9．我们知道，同底数幂的乘法法则为a m?a n＝a m+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）?h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）?h（2020）的结果是（） A．2k+2020 B．2k+1010C．k n+1010D．1022k 10．观察下列各式： （x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1． % （x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1， （x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1， （x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1， 根据上述规律计算2+22+23+…+262+263的值为（） A．264﹣1 B．264﹣2 C．264+1 D．264+2 二．填空题（共8小题） 11．2015年诺贝尔生理学或医学奖得主中国科学家屠呦呦，发现了一种长度约为毫米的病毒，把用科学记数法表示为． 12．已知x2﹣2（m+3）x+9是一个完全平方式，则m＝． :
培优专题：整式的乘法公式
整式的乘法（二）乘法公式 一、公式补充。 计算：)1)(1(2+-+x x x = 练习：)1)(1(2++-x x x = )964)(32(2+-+x x x = )3 2 94)(32(22b ab a b a ++-= 计算： 9.131.462 .329.131.463 3?+- 二、例：已知3=+b a ，2=ab ，求22b a +，2)(b a -，33b a +的值。
练习： 1. 已知5=+b a ，6=ab ，求22b a +，2)(b a -，33b a +的值。 2. 已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。 3. 已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值。 4. 已知1=+y x ，322=+y x ，求33y x +的值。
5. 已知13x x -=，求4 41x x +的值。 三、例1：已知3410622-=++-y y x x ，求y x ,的值。 练习： 1. 已知04012422=+-++y x y x ，求y x 2+的值。 2. 已知0966222=+--++y x y xy x ，求y x +的值。
3. 已知b a ab b a ++=++122，求b a 43-的值。 4.已知c b a ,,满足722=+b a ，122-=-c b ，1762-=-a c ，求c b a ++的值。 例2.计算： ()()()()111142-+++a a a a 练习： 1. 计算：1)17()17()17()17(6842++?+?+?+? 2. 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
八年级数学人教版上册【能力培优】14.2乘法公式(含答案)
14.2乘法公式 专题一乘法公式 1 .下列各式中运算错误的是( )[i 仙响 2 2 2 2 2 A . a +b =(a+b) - 2ab B . (a- b) =(a+b) - 4ab C. (a+b)( — a+b)= — a 2+ b 2 D . (a+b)( — a — b)= — a 2— b 2 ...... .. (2) 2. 代数式(x+1)(x —1)(x+1)的计算结果正确的是( ) A . x 4 — 1 B. x 4+1 C. (x- 1)4 D. (x+1)4 3. 计算：(2x+y)(2x-y)+(x+y)2— 2(2x 2— xy)(其中 x=2, y=3). 专题二 乘法公式的几何背景 4. 请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟 悉的公式，这个公式是（ ） 5. 如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（ ） A . (a+b) (a — b) =a — b C. (a — b) 2=a 2— 2ab+b 2 B. (a+b) 2=a 2+2ab+b 2 D . (a+b) 2=a 2+ab+b 2 ….， A . a 2 — b 2= (a+b) (a — b) C. (a — b) 2=a2— 2ab+b 2 6.我们在学习完全平方公式( B. (a+b) 2=a 2+2ab+b 2 D. a (a+b) =a 2+ab a+b) 2=a 2+2ab+b 2时，了解了一下它的几何背景，即通过图 来说明上式成立.在习题中我们又遇到了 题目 从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（ 计算：（a+b+c ） 2”，你能将知识进行迁移, a+b+c ） 2 吗？
乘法公式培优提高专题
乘法公式培优专题 知识要点： 平方差公式：22))((b a b a b a -=-+ 完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 立方和（差）公式：) )((2233b ab a b a b a +±=±μ 三项的完全平方公式：ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 一、选择题 1．下列式子：①2)13()13)(13(-=-+x x x ； ②22293)3(y xy x y x +-=-； ③422241)21(y x xy -=-； ④ 22212)1(a a a a ++=+中正确的是（ ） A ．① B ．①② C ．①②③ D ．④ 2．=--2 )(y x （ ） A ．222y xy x ++ B ．222y xy x --- C ．222y xy x +- D ．222y xy x -+ 3．若,)()(22y x M y x -=-+，则M 为（ ）． A ．xy 2 B ．xy 2± C ．xy 4 D ．xy 4± 4．一个正方形的边长为,acm 若边长增加,6cm 则新正方形的面积增加了（ ）． A ．236cm B ．212acm C ．2 )1236(cm a + D ．以上都不对 5．若一个多项式的平方的结果为,12422m ab a ++则=m （ ） A ．29b B ．23b C ．29b - D ．b 3 6．下列多项式不是完全平方式的是（ ）． A ．442--x x B ． m m ++241 C ．2269b ab a ++ D ．91242++t t 7．已知,21=+ x x 则下列等式成立的是（ ） ①2122=+x x ②2144=+x x ③218 8=+x x ④01=-x x A ．① B ．①② C ．①②③ D ．①②③④ 8．若)1)((2 +-=--x m x m x x 且,0≠x 则m 等于（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 9．)(q x +与)5 1 (+x 的积不含x 的一次项，则q 应是（ ）
初中数学因式分解培优训练.doc
第一讲：因式分解 (一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许 多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容 所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生 的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材 中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解 法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现 将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a 2 2 -b) ；-b =(a+b)(a (2)a 2±2ab+b2=(a ±b) 2； (3)a 3 3 2 2 ；+b =(a+b)(a -ab+b ) (4)a 3 3 2 2 ．-b =(a -b)(a +ab+b ) 下面再补充几个常用的公式： (5)a 2 2 2 2 +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) ； (6)a 3+b3 +c3 -3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2 -ab-bc -ca) ； (7)a n n n-1n-2 n-3 2 n-2n-1 ) 其中 n -b =(a -b)(a +a b+a b +?+ab +b 为正整数； (8)a n n n-1n-2 n-3 2 n-2 n-1 ) ，其中 n -b =(a+b)(a -a b+a b -? +ab -b 为偶数； (9)a n+b n =(a+b)(a n-1 -a n-2 b+a n-3 b2-? -ab n-2 +b n-1 ) ，其中 n 为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根 据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例 1 分解因式： (1)-2x5n-1 y n+4x3n-1 y n+2-2x n-1 y n+4； 33 3 (2)x -8y -z -6xyz ； (3)a 2+b2 +c2-2bc+2ca -2ab； 7 5 2 2 57 (4)a -a b +a b -b ． =-2x n-1 y n(x 2n-y2) 2 =-2x n-1 y n(x n- y) 2(x n+y) 2． (2) 3 3 3 原式 =x +( -2y) +( -z) -3x( -2y)( -Z) =(x -2y-z)(x 2 2 2 ． +4y +z +2xy+xz -2yz) (3) 原式 =(a 2 2 2 -2ab+b )+( -2bc+2ca)+c 2 2 ＝ (a -b) +2c(a -b)+c 2 =(a -b+c) ． 本小题可以稍加变形，直接使用公式(5) ，解法如下：原式 =a2+( -b) 2+c2+2( - b)c+2ca+2a( -b) =(a -b+c) 2 (4) 原式 =(a 7 5 2 2 5 7 -a b )+(a b -b ) 5 2 2 5 (a 2 2 =a (a -b )+b -b ) =(a 2 2 )(a 5 5 -b +b ) =(a+b)(a -b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) 2 4 3 2 2 3 4 =(a+b) (a -b)(a -a b+a b -ab +b ) 例2 分解因式： a3+b3+c3-3abc． 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的 公式 (6) ． 分析我们已经知道公式 (a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正确性，现将此公式变形为 a3+b3=(a+b) 3 -3ab(a+b) ． 这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来 推导． 3 3 解原式 =(a+b) -3ab(a+b)+c -3abc = ［(a+b)3+c 3］ -3ab(a+b+c) =(a+b+c) ［ 2 2 ] - 3ab(a+b+c) (a+b) -c(a+b)+c =(a+b+c)(a 2+b2+c2- ab-bc- ca) ． 说明公式 (6) 是一个应用极广的公式，用它可以推 出很多有用的结论，例如：我们将公式 (6) 变形为a3+b3 +c3-3abc
乘法公式培优辅导讲义
^ 乘法公式培优训练 题型一：a±型 1．已知x2﹣3x+1=0，则= ． 2．若a2+=14，则a+﹣5的值为． 3．已知a+=7，则a3+的值是． 4．已知=3，则= ． 5．（1）猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由； （2）应用：已知x﹣，求x2+的值； … （3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由； 若存在，请求出最小值． 题型二：换元，整体思想 1．已知a+b=4，则= ． 2．已知（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，则（2017﹣a）（2016﹣a）= ．3．已知（2017﹣A）2（2015﹣A）2=2016，则（2017﹣A）2+（2015﹣A）2的值为．4．计算（1﹣﹣）（++）﹣（1﹣﹣﹣）（+）的结果是． 5．计算（a 1+a 2 +…+a n﹣1 ）（a 2 +a 3 +…+a n﹣1 +a n ）﹣（a 2 +a 3 +…+a n﹣1 ）（a 1 +a 2 +…+a n ） 、 = ． 题型三、添与凑 1．对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）计算出算式的结果； （2）结果的个位数字是几 2．化简：6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1= ．
~ 3．计算下列各式： （1）1﹣= ； （2）（1﹣）（1﹣）= ； （3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）= ； （4）请你根据上面算式所得的简便方法计算下式： （1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）4．（1）计算： * （a﹣1）（a+1）= ； （a﹣1）（a2+a+1）= ； （a﹣1）（a3+a2+a+1）= ； （2）由上面的规律我们可以猜想，得到： （a﹣1）（a2017+a2016+a2015+a2014+…+a2+a+1）= ； （3）利用上面的结论，求下列各式的值． ①22017+22016+22015+22014+…+22+2+1 ②52017+52016+52015+52014+…+52+5+1．￥ 题型四、化简求值 1．已知代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2 （1）当x=1，y=3时，求代数式的值； （2）当4x=3y，求代数式的值．
初中数学培优竞赛讲座第18讲__乘法公式
第十八讲 乘法公式 乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点： 1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式； 2．根据待求式的特点，模仿套用公式； 3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式； 4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式． 例题 【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题) (2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形． 注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式． 从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法． 乘法公式常用的变形有： (1)ab b a b a 2)(2 22 ±=+，2 )()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++； (3) ab b a b a 4)()(2 2=--+； （4）4 )()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++ 【例2】 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ） A ．M>N B ． M
人教版初一数学培优竞赛讲炼教程：乘法公式
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程 （14）乘法公式 【知识精读】 1． 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。 公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。 公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。 2． 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2, 平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2 立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b3 3.公式的推广： ① 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。 ② 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3 (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4） （a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5） ………… 注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ③ 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式 （a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4 (a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5 (a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 ………… 注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数 (a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n (a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地： （a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n 4. 公式的变形及其逆运算 由（a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)2－2ab 由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b) 由公式的推广③可知：当n为正整数时 a n－ b n能被a－b整除, a2n+1+b2n+1能被a+b整除, a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
36【提高】乘法公式(培优课程讲义例题练习含答案)
乘法公式（提高） 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式：2 2 ()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3 2 3 2()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+ （6）增因式变化：如2 2 4 4 ()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式 完全平方公式：()2 2 2 2a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ()2222a b a b ab +=+-()2 2a b ab =-+ () ()2 2 4a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查
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