高考数学专题：数列八

模块八：裂项求和

题型一例题一：求数列})

1(1

{

+n n 的前n 项和。

本题解析：裂项：

1

1

1)1(1+-=+n n n n 。

通分验证：

)

1(1)1(1)1()1(1111+=+-+=+-++=+-n n n n n n n n n n n n n n 。 )1

11()111(...)4131()3121()2111(+-+--++-+-+-=n n n n S n

11

1111...413131212111+-

+--++-+-+-=n n n n 1

111111+=

+-+=+-

=n n

n n n 。 例题二：求数列}223

{

2

n

n +的前n 项和。 本题解析：裂项：

)1

1

1(23)1(123)1(232232+-?=+?=+=+n n n n n n n n 。

通分验证：

)

1(1)1(1)1()1(1111+=+-+=+-++=+-n n n n n n n n n n n n n n 。 )1

11(23)111(23...)4131(23)3121(23)2111(23+-?+--?++-?+-?+-?=n n n n S n

)111111...413131212111(23+-+--++-+-+-?=n n n n 2

2312311123)111(23+=+?=+-+?=+-?=

n n n n n n n 。 例题三：已知：记n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，21==d a 。 （1）求解：}1

{

n

S 的前n 项和；

（2）求解：})

1(1

{

+n a n 的前n 项和。

本题解析：（1）根据等差数列的前n 项和公式得到：22

)

1(22)1(1?-+=-+=n n n d n n na S n n n n n n n n n +=-+=-+=2

2

2)1(2。 裂项：

1

1

1)1(1112+-=+=+=n n n n n n S n 。 通分验证：

)

1(1)1(1)1()1(1111+=+-+=+-++=+-n n n n n n n n n n n n n n 。 )1

11()111(...)4131()3121()2111(+-+--++-+-+-=n n n n T n

11

1111...413131212111+-

+--++-+-+-=n n n n 1

111111+=

+-+=+-

=n n

n n n 。 （2）根据等差数列的通项公式得到：n n d n a a n 22)1(2)1(1=?-+=-+=。 裂项：

)1

1

1(21)1(121)1(21)1(1+-?=+?=+=+n n n n n n n a n 。

通分验证：

)

1(1)1(1)1()1(1111+=+-+=+-++=+-n n n n n n n n n n n n n n 。 )1

11(21)111(21...)4131(21)3121(21)2111(21+-?+--?++-?+-?+-?=n n n n D n

)111111...413131212111(21+-+--++-+-+-?=n n n n 2

212111121)111(21+=+?=+-+?=+-?=

n n n n n n n 。 例题四：已知：等差数列}{n a ，41=a ，2=d 。 求解：}1

{

n

na 的前n 项和。 本题解析：根据等差数列的通项公式得到：222)1(4)1(1+=?-+=-+=n n d n a a n 。

裂项：

)1

11(21)1(121)1(21)22(11+-?=+?=+=+=n n n n n n n n na n 。 通分验证：

)

1(1)1(1)1()1(1111+=+-+=+-++=+-n n n n n n n n n n n n n n 。 )1

11(21)111(21...)4131(21)3121(21)2111(21+-?+--?++-?+-?+-?=n n n n S n

)111111...413131212111(21+-+--++-+-+-?=n n n n 2

212111121)111(21+=

+?=+-+?=+-?=

n n

n n n n n 。 跟踪训练一：求数列}2{2

n

n --的前n 项和。

跟踪训练二：已知：记n 为等差数列n 的前项和，1。 （1）求解：}1

{

n

S 的前n 项和； （2）求解：})

1(2

{+n a n 的前n 项和。

跟踪训练三：已知：等差数列n ，1，。

（1）求解：}1

{

n

na 的前n 项和； （2）求解：}221

{

n

S n -的前n 项和。

题型二例题：已知：等差数列}{n a ，11=a ，2=d 。 求解：}1

{

1

+?n n a a 的前n 项和。

本题解析：；裂项：

)1

1(21)11(111

11+++-?=-?=?n n n n n n a a a a d a a 。

通分验证：

1

111111

1++++++?-=?-?=-n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ，d a a n n =-+1

)11(11111

111++++-?=???=-n n n n n n n n a a d a a a a d a a 。

)11(21)11(21...)11(21)11(21)11(2111433221+--?+-?++-?+-?+-?=

n n n n n a a a a a a a a a a S )1111...111111(2111433221+--+-++-+-+-?=

n n n n a a a a a a a a a a )11(211

1+-?=n a a 。 根据等差数列通项公式得到：122)1(1)1(1-=?-+=-+=n n d n a a n )1

21

11(21)11(21121)1(2111+-?=-?=

?+=-+=?++n a a S n n a n n n 1

2122211211221)1211212(21+=

+?=+-+?=+-++?=

n n

n n n n n n n 。 跟踪训练一：已知：等差数列}{n a ，21=a ，2=d 。 求解：}1

{1

+?n n a a 的前n 项和。

跟踪训练二：已知：等差数列}{n a ，11=a ，2

=d 。 求解：}1

{1

+?n n a a 的前n 项和。

题型三例题：已知：等差数列}{n a ，31=a ，1=d 。 求解：}1

{

1

212+-?n n a a 的前n 项和。

本题解析：裂项：

)1

1(21)11(2111

21212121212+-+-+--?=-?=?n n n n n n a a a a d a a 。

通分验证：

1

2121212121212121212121211+--++--+-++-?-=?-?=-n n n n n n n n n n n n a a a

a a a a a a a a a ，d a a n n 21212=--+

)1

1(2112111

212121212121

21

2+-+-+-+--?=???=

-n n n n n n n n a a d a a a a d a a 。

)1

1(21...)11(21)11(21)11(211

232755331---?++-?+-?+-?=

n n n a a a a a a a a S )1

1(211

212+--?+

n n a a )11(21)11...111111(211

211232755331----?=-++-+-+-?=

n n n n a a a a a a a a a a S 。 根据等差数列通项公式得到：21)1(3)1(1+=?-+=-+=n n d n a a n )3

21

31(21)11(213221212112+-?=-?=?+=++=?++n a a S n n a n n n 9

6)32(3221)32(333221])32(33)32(332[21+=+?=+-+?=+?-++?=

n n

n n n n n n n 。 跟踪训练一：已知：等差数列}{n a ，11=a ，2=d 。

求解：}1

{1

212+-?n n a a 的前n 项和。

跟踪训练二：已知：等差数列}{n a ，21=a ，2

=d 。 求解：}1

{1

212+-?n n a a 的前n 项和。

题型三：连续三项乘积的倒数求前n 项和 例题：求})

2)(1(1

{

++n n n 的前n 项和。

本题解析：裂项：

])

1(1

)1(1[21)1)(1(1)1(112

3+--?=+-=-=-n n n n n n n n n n n 。

通分验证：

)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)1(1++-+++=++-+n n n n

n n n n n n n n

)

2)(1(2

)2)(1(2)2)(1()2(++=++-+=++-+=

n n n n n n n n n n n n n 。

)2)(1(2

)2)(1(1)1(1++=++-+n n n n n n n

])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+?=++?

n n n n n n n 。

++?-??+?-??+?-??=...)5

41431(21)431321(21)321211(21n S

])

2)(1(1)1(1[21])1(1)1(1[21++-+?++--?n n n n n n n n +

+?-?+?-?+?-??=

(541)

431431321321211[21)1(1)1(1+--n n n n ])

2)(1(1

)1(1++-++

n n n n

-

??=

211

[21])

2)(1(1++n n )2)(1(42)2)(1()2)(1(22)2)(1(21++-++=++-++?=n n n n n n n n 8

12432

2+++=n n n

n 。 题型四：等差数列，正切两角差求前n 项和 例题：已知：等差数列}{n a ，21==d a 。 求解：}tan {tan 1+?n n a a 的前n 项和。 本题解析：裂项：)

tan(tan tan tan 1tan 1tan tan )tan(111111n n n

n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --=+?+-=-++++++

1)

tan(tan tan tan 111---=

+++n n n

n n n a a a a a a 。根据等差数列定义：21==-+d a a n n

12

tan tan tan tan 11--=?++n

n n n a a a a 。

12

tan tan tan ...12tan tan tan 12tan tan tan 1231

2--++--+--=

-n n n a a a a a a S

12

tan tan tan 1--++n

n a a

n a a a a a a a a n

n n n --+-++-+-=+-2tan tan tan tan tan ...tan tan tan tan 112312

n a a n -+-=

+2

tan tan tan 1

1。

根据等差数列的通项公式得到：

22)1(222)1(2)1(11+=+=?=?-+=-+=+n n a n n d n a a n n 。

n n n a a S n n -++-=-+-=

+2

tan )

22tan(2tan 2tan tan tan 11。

跟踪训练：已知：等差数列}{n a ，11=a ，2=d 。 求解：}tan {tan 1+?n n a a 的前n 项和。