椭圆问题中最值得关注地基本题型
椭圆问题中最值得关注的基本题型
［题型分析?高考展望］椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，井且占的分值也较多?分析历年的高考试题，在填空题、解答题中都涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的学握?对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解.
常考题型精析
题型一利用椭圆的几何性质解题
例1如图，焦点在x轴上的椭圆乎+豊=1的离心率吗，F、力分别是椭圆
的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求諾?斎的最大值和最小值.
点评熟练学握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用&、b. c之间的关系和椭圆的对称性可构造方程.
x2 v2
变式训练1 (2014 ?课标全国I )已知点力(0, -2),椭圆￡：臣(日">0)的离心率为半，F是椭圆F的右焦点，直线SF的斜率为罟，0为坐标原点.
(1)求F的方程； (2)设过点力的动直线/与F相交于只0两点，当△0%的面积最大时，求/的方程.
题型二直线与椭圆相交问题
例2 (2015 -山东)在平面直角坐标系"如中，已知椭圆。臣+口=1(曰>6>°)的离心率左、右焦点分别是斤，怠以斤为圆心、以3为半径的圆与以尺为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
x 2 2
⑵设椭圆F：爲+話=1, P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆F于儿
8两点，射线〃交椭圆F于点0.
(i )求器的值；
(ii)求面积的最大值.
点评解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决?求范围或最值问题，也可考虑求“交点"，由'‘交点”在椭圆内（外），得出不等式，解不等式.
变式训练2 （2014 ?四川）已知椭圆C：誇+普=1（&>b>0）的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
⑴求椭圆G的标准方程；
⑵设F为椭圆Q的左焦点，；■为直线x=~3上任意一点，过F作庐的垂线交椭圆G于点P,
0.①证明刀平分线段〃（其中0为坐标原点）;②当背最小时，求点厂的坐标.
题型三利用“点差法，设而不求思想”解题
x2
例3已知椭圆y+y2=1,求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程.
点评当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程时，用“点差法”来求解.
x2 v2
变式训练3 （2015 ?扬州模拟）已知椭圆乏+寺=1（日>少0）的一个顶点为0（0, 4）,离心率e
直线/交椭圆于必"两点.
⑴若直线/的方程为y=x-4,求弦例的长.
（2）如果△胸/的重心恰好为椭圆的右焦点F,求直线/方程的一般式.
高考题型精练
1.（2015 ?课标全国I改编）已知椭圆F的中心在坐标原点，离心率为刍F的右焦点与抛物
线G y=8x的焦点重合，儿8是C的准线与F的两个交点，贝IJS4 ___________ .
x2 v9
2.（2014 ?大纲全国改编）已知椭圆。臣+金=1（日>6>°）的左、右焦点分别为斤、九离
心，过斤的直线/交C于儿B两点?若△朋B的周长为4羽，则C的方程为
3. ____________ （2014 ?福建改编）设几0分别为圆x + （y-6）2=2和椭圆—+? = 1 ±的点，则P, 0两点间的最大距离是?4?若椭圆和双曲线具有相同的焦点斤，F u离心率分别为c, % P是两曲线的一个公共点,
且满足彤丄％,则丄+2的值为 ____________ .
e2 e2
5?椭圆O吕+呂=1 （日">0）的两个焦点为几〃为椭圆上一点，且谄?战的最大值 a2 D2
的取值范围是[c 2c2],其中c是椭圆的半焦距,则椭圆的离心率取值范围是________________ ?
6.（2014 ?辽宁）已知椭圆C：亍=1，点"与C的焦点不重合?若〃关于C的焦点的对称点分别为儿B,线段例的中点在G上，则M+砂_________________ .
1 x
2 v9
7.（2014 ?江西）过点4/（1. 1）作斜率为一二的直线与椭圆C：乏+奋=2">0）相交于儿B 两点，若〃是线段处的中点，则椭圆c的离心率等于__________ ?
8.（2014 ?安徽）设斤，E分别是椭圆F： /+普=1（051）的左，右焦点，过点E的直线交椭圆F于儿B两点?若AF、= 3F、B、仍丄"轴，则椭圆F的方程为__________________ ?9.（2014 ?江苏）如图，在平面直角坐标系"如中，F-庁分别是椭圆 x2
v2
莎扁=1（日>6>0）的左，右焦点，顶点B的坐标为（0, 6）.连接脈并
延长交椭圆于点儿过点力作X轴的垂线交椭圆于另一点。连结FC ⑴若
点C的坐标为伶导，且旺=农,求椭圆的方程;
（2）若斤C丄力&求椭圆离心率&的值.
10.(2015 ?重庆)如图，椭圆臣+訪=1 @>6>0)的左，右焦点分别为
F、、忌过月的直线交椭圆于P、0两点，且〃丄彤.
⑴若PF、= 2+晶PF2=2-y[2i求椭圆的标准方程；⑵若PF、= PQ、求椭圆的
离心率e?
11.(2015 -陕西)已知椭圆/+訪=2>6>°)的半焦距为G原点0到经过两点(。0), (0, 6)的直线的距离为*C.
(1)求椭圆F的离心率；
5
(2)如图，舶是圆弘(x+2)2+(y-1)2=-的一条直径，若椭圆F经过儿8两
点，求椭圆F的方程.
12.(2015 ?泰州模拟)已知椭圆G：等+着=1(4">0)的离心率为平，右焦点为(2^2, 0). 斜率为1的直线/与椭圆G交于力，B两点,以朋为底边作等腰三角形，顶点为P(-3,2).
(1)求椭圆G的方程；
(2)求的面积.
答案精析
第29练椭圆问题中最值得关注的基本题型
常考题型典例剖析
例1解设P点坐标为(xo, M).由题意知a=2,
C 1 2 2 2
.\c=1, :.b =a —c =3.
a L
所求椭圆方程为T+V=1-
4 3
又 F(—1,0), >4(2. 0),升=(—1—xo, —y>),
P^= (2 —Xo, —>b),
/.pf ?武=垃一Ab —2+N=*W—"O+1 =*“0—2)1
当&=2时，P^-Pl取得最小值0,
当xo=_2时，P?-Pi取得最大值4.
变式训练1解⑴设F(c,0),由条件知，|=萼，得c=羽.
又纟=半，所以a=2, t}=a—c=\.
a z
故F的方程为乎+/=1.
(2)当/丄“轴时不合题意，故设 /：y=kx—2、P(x\、yi), Qg刃)，
将y=kx~2代入Y +/=1得
(1+4卩),一16心+12 = 0?
3
当 / =16(4#—3)>0,即 #>玄时,
从而%=也2 + 1 |“一匕 _4讥2 + 1 ?寸 4k2_3
=
4k2 + 1
设p4k2-3=h 贝'J t>0,邑亦=七2+4=
4
因为当且仅当t=2.
即斤=±￥时等号成立，
且满足4 >0,
所以，当△0〃的面积最大时/的方程为丫=辱-2或尸=一平力一2.
例2解 ⑴由题意知2日=4,则日=2,
又謬H
a 2
可得6=1,所以椭圆G 的方程为y+y=1.
x2 v2
⑵由(1)知椭圆F 的方程为-+Y =1?
16 4
(门设*。，yo),器=人，由题意知0(— A xo, — Ayo).
X\.2 = 8k±2j4k2-3 4k2 + 1 又点0到直线巾的距离Q 2 讥2 + 1 所以△QP0的面积、d ，PQ=
心 k2-3
4k2 + 1
因为才+N=1,
…_ 入 xO 2 , -XyO 2 4口门入 2fxQ , \
又一U—+—4—=1,即〒匕+两n，
0Q
所以久=2,即~=2.
(ii)设力3, Xi), Bg /2).
将y— kx+m代入椭圆F的方程，
可得(1 +4#) ,+8加+4异一16=0, 由力＞0,可得分＜4+16乳①
8km 4m2 — 16
则有 xi + x2=-l+4k2，x、X2= i+4k2?
因为直线y= kx+m与y轴交点的坐标为(0, ni), 所以
△QS8的面积S=^\m\ lx. —x2|
= 2(16k2+4—m2|m| 2p 16k2+4—m2 m2
=1+4k2 =1+4k2
将y=kx+m代入椭圆C的方程，
可得(1 +4#) X +8/C/77X+4/77 —4 = 0,
由4 M0,可得ZT/W1+4#?② 由①②可知0 因此S= 2yj 4-t t = 2^/-t2+4t, 所以\x\ —
X2\
4寸16k2+4—m2
1 +4k2
设 1+4k2
故 SW2?
当且仅当t=1,即分=1+4卩时取得最大值2羽.
由(i )知，面积为3S,
所以面积的最大值为6^3.
解得/ = 6, 8=2、 所以椭圆C 的标准方程是y+y=1.
(2)①证明由⑴可得F 的坐标是(-2.0), 设厂点的坐标为(一3,讥
m —0
则直线/的斜率伽=二匚二2 =_皿
当〃工0时，直线％的斜率辰=?
m
直线P0的方程是x=my —2.
当刃=0时，直线％的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.
x=my —2,
设心,从心，心将直线〃的方程与椭圆。的方程联立，得屆+J
消去"，得 km +3) y —4/77/—2 = 0,
其判别式4 =16卅+8 (异+3) >0,
4m -2 所以上+必一谥+3, 皿-m2+3.
xi + x 2=/77(yi + yD —' -~12
m2+ 3* 所以〃的中点"的坐标为(;^帀，亦帀). 所以直线如的斜率也=_￡? 又直线"的斜率 伽=一扌，
所以点"在直线。厂上，因此07平分线段P0.
变式训练2 (1)解由已知可得
Qa2+b2 = 2b,
②解由①可得庐=心2 + 1,
PQ=\j x1-x2 2+ y1~y2 2
= yj~m2 + 1 [~y1 4-y2~2—4y1y2]
T * ［磊 2—4 ?箱］
^24 m2 + 1
一 m2+ 3 ■
所以当两最小时，匚点的坐标是(-3.1)或(一3, -1). 例3解设弦的两端点分别为"3, “)，Ng y2), 剜的中点为/?(*, y),
则 %2 + 2y2 = 2, x2 + 2y2 = 2,
两式相减并整理可得，
y[—y2 x〔+x2 __x_ 介
x1-x2 = _2 y1+y2 ①
将总1=2代入式①, 得所求的轨迹方程为x+4y=0(-廊巒 ?
变式训练3解(1)由已知得6=4,且￡=車，即
a 0 az o
?
??椭圆的方程为—=1. 则 4X 2+5J /=80 与 y=x-4 联立，
40 消去 P 得 9x — 40x=0, /.xi=0, X2=~,
设线段剜的中点为0仏，M), 由三角形重心的性质知
弗=2血
又 8(0,4), .?.(2, 一4)=2g —2, M ),
故得 Xo=3, yo= —2,
即得0的坐标为(3, -2).
设"Cm yi), Ng y 2) 9
则 ”I + “2=6,朋 + 乃=一4,
」x2 , y2 x2 t y2
且20 + 16=1, 20+16
=1,
???所求弦长4-121X2—
xi
⑵如图，椭圆右焦点F 的坐标为(2. 0), x2 t y2
故直线榊的方程为y+2=|(x-3), 即 6x-5y-28=0.
常考题型精练
1.6
〔 2 2 解析 因为&=-=刁y=8x 的焦点为(2.0),所以。=2,日=4,故椭圆方程为衫+豊=1, a z Io 1z
将x=_2代入椭圆方程，解得y=±3,所以AB=6.
2空+ J 3 2
解析由e=￥得:=￥?①
又△/!斤8的周长为4羽，
由椭圆定义，得4日=4宀，得5=^3, 代入①得 c=1, ：.b'=a —c=2.
故C 的方程为￥+券=1?
解析 如图所示，设以(0,6)为圆心，以厂为半径的圆的方程为 x + (y-6)2=/(r>0),与椭圆方程^+y=1联立得方程组， 消掉，得 9y 2+12y+r 2-46=0.
令 J=122-4X9(r-46)=0,解得 r =50,即 r=5? yi_y2二
x1 —x2 x1+x2 yi+y2
4 6 6
由题意易知只0两点间的最大距离为r+y[2=6y]2.
4.2 解析由题意设焦距为2c、椭圆的长轴长为2彳双曲线的实轴长为2/77,不妨令P在双曲线的右支上由双曲线的定义知|P刃一 |豁|=2刃，①
由椭圆的定义知I彤| + |仍1=2彳② 又P斤丄用，
???Z斤厢=90。, |￥|?+|%|2=4耳③ ①式的平方加上②式的平方得
\PF\2+\PF2\2=2a+2/n9④
解析设 Mxo, y>),则M?1 = (―c—xo, —>D) , hi?2= (c—xo, —yO, ? M?2 = xQ —c
+ W = A Q—c' + //| 1 —= —気xQ —分+62 = ||边一c'+bl TxoE [―曰，a], .?.当 xo = ±日时，M?1 ?战有最大值庆
.e.c WO?W2c[ c ^a~c W2c[ .e.2c WmW3c[
6.
12
解析椭圆#+寻=1中，日
=3.
由③④得3 +/n=2c ,即Q
5?史返
如图，设剜的中点为2则亦+加=2日=6???”，斤，月分别为剜，AM,印/的中点，:.BN=2DF2.
AN=2DF、、
???AN+Bt/=21DF、+ DF} =12.
. x1—
x2 x1+x2 y1—y2 y1+y2 …S b2
.y1 ~y2 _b2 x1 +x2
"x1 —x2 a2 y1 +y2*
..yW2=_l
?x1 — x2_ 21
K + X2=2, / + y?=2,
b2 1
a2 2’
解析设点8的坐标为(&, y0).
解析设力(x, yi), Bg y2),则
??击(一(一b2, 0), 4? _b2, 0).
'：AF2丄x轴，.?.佝1-b2, 6).
?.?力￡ = 3斤8, /.A?1=3F?B,
?*■ (_2心—b2, — F) = 3 (*o+p1 _b2, y0).
???点8的坐标为(一汕一b2, — y |. 将彳-討1-匕2, 一劄代入'+鈴=1, 得b-l-
3
???椭圆F的方程为x2+-y2 = 1.
9 ?解设椭圆的焦距为2°则斤(一。0), FA C. 0).
(1)因为 40, 6).所以更=7b2+c2 = a
又BF2=y[2,故a=yj2.因为点晴，在椭圆上,
〔6 1_
V 9 2
所以解得疔=1?
故所求椭圆的方程为y+y2=1.
(2)因为3(0, 6),总°0)在直线朋上, 所以亶线朋的方程为卅=1?
又4?垂直于入轴，由椭圆的对称性，
可得点c 的坐标为［舟备b ；2鳥 b a2 —c2 °
因为直线/的斜率为 一話
a2 + c2
直线朋的斜率为-?，且〃丄他
又/ =孑一区整理得/=5c1
i A /5
故/=引因此e=*-? 10?解（1）由椭圆的定义，得 2日=
彤 +笳=（2+也）+ （2-￡）=4,故日=2.
设椭圆的半焦距为G 由已知牛丄仍， 因此2c=斤月
=Q PF +F2
=7 2+迈 2+ 2-也 2=2 羽, 即 C =A /3,从而 />=^/a2 —
c2 = 1.
故所求椭圆的标准方程为￥+^=1. 2a2c
x1=a2+c2, b c2 —a2 y = a24-c2
x2=0,
y2 =
（2a2c 所以点s 的坐标为Id 琵, b c2—a2 ) a2
+ c2 /
a2—c2
3a2c+c3
(2)方法一如图，设点Pg,为)在椭圆上，且彤丄％,则
昭,血+心,
a I -------
求得 x0= ±- pa2 —2b2,
+ b2
M>=±—.
c
电PF、= PQ>PF］得 xo>O,从而
旳=严2「2辺+寸+鈴
=2 (a- b2) + 2“2_2b2 = (a+7a2-2b2)2.
由椭圆的定义，PFAPFEa、QF、+ QF2=2a,从而由PF—PgPFdQR、有QF、=Aa-2PF、.又由彤丄PQ PF、= PQ.知QF、=pPF—
因此，(2+也)彤=4日，
即(2+农)(日+Pa2-2b2) =4日，
于是(2+^2) (1+^2e2-1)=4,解得
方法二如图，由椭圆的定义，得PF、+ PF)= 2a.
Or + OF2 = 2a.
从而由PF、= PQ= PFAQF“
有QF、=4a — 2PF、?
又由";丄 PQ PF、= PQ.知QF'f^PF、、
因此，4a-2PF、=pZPF—得砂= 2(2-农)彳
从而 PR=2a- PF 、= 2a-2 (2-^2) a=2 (农一 1) a.
由P 斤丄朋，知PF1 + PFL = F 、FL = 因此
c QPF2 + PF2
&=_= o
a 2a
=7 2-也 2+ 也一 1 2
=曲一驱=心一心
11 ?解 ⑴过点(。0), (0, 6)的直线方程为bx+cy-bc=Q,
则原点0到该直线的距离d=-^==-9
Qb2+c2 a
由d=jc,得a=2b=2pa2—c2,解得离心率；=爭.
(2)方法一 由⑴知，椭圆F 的方程为x 2+4y 2=4b 2.① 依题意，圆心M-2, 1)是线段朋的中点，且购=丽
易知，朋与X 轴不垂直，设其方程为y=Hx+2)+1,代入①得(1+4A 2)X 2+8A(2A+1)X +
4(2斤+1)2—4F=0,
由 AB=y[W 9 得“0 b2-2 =VW,解得 F=3,由
Xi + x 2 = =4,得眷囂二1
一纭解得心，
1+4k2
设力(巾肿)，B 〈X2、刃)，贝1]& +力= 8k 2k + 1
1+4k2
XyX2 = 4 2k + 1 2-4b2
x1+x2 2-4X 1X 2=A /10 b2-2
从而 X 、X2 = 8
椭圆的常见题型及解法(一).
椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导 设P （，）是椭圆上的任意一点， 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆 ，求证，。证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴， 证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知1 1 PF e d ，又，所 以， 而 。
∴，。 2.公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4， 0）的距离成等差数列，则 12 x x + . 解：在已知椭圆中，右准线方程为 25 4x = ，设A 、B 、C 到右准线的距离为 ， 则、、。 ∵ ， ， ，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 例2.12,F F 是椭圆22 14x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求 的最大值和最 小值。 解：设 ，则10202,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ?的最大值为4，最小值为1. 变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。 解：由已知 可得 ，所以直线AB 的方程 为 ，代入椭圆方程 得 设 ，则 ，从而 变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为
椭圆典型题型归纳(供参考)
椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 练习： 1.6=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是 5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的 另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ； 6.设圆22 (1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例1.方程22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程； 例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程； 注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 2221()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程； 例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>
椭圆知识点及经典例题
椭圆知识点 知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=； 3.椭圆的参数方程)(sin cos 为参数?? ? ?? ?==b y a x 注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 2 2 b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、 或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴 的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
椭圆练习题(经典归纳)
初步圆锥曲线 感受：已知圆O 以坐标原点为圆心且过点1 3, 22?? ? ??? ,,M N 为平面上关于原点对称的两点,已知N 的坐标为30,3? ? - ? ??? ,过N 作直线交圆于,A B 两点 （1）求圆O 的方程; （2）求ABM ?面积的取值范围 二. 曲线方程和方程曲线 （1）曲线上点的坐标都是方程的解； （2）方程的解为坐标的点都在曲线上. 三. 轨迹方程 例题：教材P .37 A 组.T3 T4 B 组 T2 练习1.设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为3 3 ，则动点P 的轨迹方程是____ 练习2.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -，动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为___________ 总结：求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系 （2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 四. 设直线方程 设直线方程：若直线方程未给出，应先假设. （1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()y y k x x -=-； （2）若已知直线恒过y 轴上一点()t ，0，则假设方程为t kx y +=； （3）若仅仅知道是直线，则假设方程为b kx y += 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；
（4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设 直线为x my t =+。【反斜截式，1 m k = 】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 例题：圆C 的方程为：.0222=-+y x （1）若直线过点）（4,0且与圆C 相交于A,B 两点，且2=AB ,求直线方程. （2）若直线过点）（3,1且与圆C 相切，求直线方程. （3）若直线过点） （0,4且与圆C 相切，求直线方程. 附加：4)4(3:22=-+-y x C ）（. 若直线过点）（0,1且与圆C 相交于P 、Q 两点，求CPQ S ?最大时的直线方程. 椭 圆 1、椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离c 2叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有 21||||2MF MF a +=. 注意：212F F a >表示椭圆；212F F a =表示线段21F F ；212F F a <没有轨迹； 2、椭圆标准方程 椭圆方程为12 2 222=-+c a y a x ，设2 2c a b -=，则化为()012222>>=+b a b y a x 这就是焦点在x 轴上的椭圆的标准方程,这里焦点分别是1F ()0,c -，2F ()0,c ，且22c a b -=. 类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的 标准方程()22 2210y x a b a b +=>>． 椭圆标准方程：22 221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上） 或122 22=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。 注：（1）以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b a c =-； （2）要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小，“谁大焦点在谁上”
(完整版)椭圆常见题型总结
椭圆常见题型总结 1、椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决； 椭圆 22 2 21(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -，2(,0)c F 为顶点的12PF F ?中，12F PF α=∠，则当P 为短轴端点时α最大，且 ① 122PF PF a +=； ②22 2 12122cos 4c PF PF PF PF α=+-； ③12 121 sin 2PF F S PF PF α?= =2tan 2 b α?（b 短轴长） 2、直线与椭圆的位置关系：直线y kx b =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>交于 1122(,),(,)A x y B x y 两点，则12AB x =-=3、椭圆的中点弦：设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上不同两点， 00(,)M x y 是线段AB 的中点，可运用点差法可得直线AB 斜率，且20 20 AB b x k a y =-； 4、椭圆的离心率 范围：01e <<，e 越大，椭圆就越扁。 求椭圆离心率时注意运用：c a e = ，222c b a += 5、椭圆的焦半径 若00(,)P x y 是离心率为e 的椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任一点，焦点 为1(,0)c F -，2(,0)c F ，则焦半径10PF a ex =+，10PF a ex =-； 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法：根据椭圆定义，确定2 a ，2 b 值，结合焦点位置直接写出椭圆方程； ⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出2 a ，2 b ，从而求出标准方程； ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为221Ax By +=；
直线与椭圆经典例题
【直线与椭圆】典例精讲 已知直线:1l y kx =+与椭圆2 2 :14y C x +=相交于两点,A B . （1）若AB 的中点的横坐标等于 14，求k 的值； （2）若AB 的中点在直线14x = 上，求k 的值； （3）若AB 的中点在直线12y = 上，求k 的值； （4）若AB 的中点的横坐标大于 15 ，求k 的取值范围；
（5）求AB 的中点横坐标的取值范围； （6）求A B x x 的取值范围； （7）若AB 的中点在圆2212 x y +=上，求k 的值； （8）若AB 的中点与短轴右顶点的连线斜率为1-，求k 的值；
（9）若0OA OB =,求k 的值； （10）设点(2,0)N ,若0NA NB =，求k 的值； （11）设点(2,0)N ,若ABN 为直角三角形，是否与（13）同解，为什么？
（12）设1(,0)2 P ，若PA PB =,求k 的值； （13）设过AB 的中点且与l 垂直的直线为m ，求直线m 与x 轴交点横坐标的取值范围； （14）设直线l 与y 轴交于点M ，若2AM MB =,求k 的值；
（15）若AB 求k的值； （16）求OAB面积的最大值及此时k的值；
1. 如图，,A B 是椭圆2 2:13 x W y +=的两个顶点，过点A 的直线与椭圆W 交于另一点C . （Ⅰ）当AC 的斜率为3 1时，求线段AC 的长； （Ⅱ）设D 是AC 的中点，且以AB 为直径的圆恰过点D . 求直线AC 的斜率. 2. 已知直线:l y x n =+与椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-交于两点,B C . （Ⅰ）若椭圆G 的焦点在y 轴上，求m 的取值范围； （Ⅱ）若(0,1)A 在椭圆上，且以BC 为直径的圆过点A ，求直线l 的方程. 3. 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴长为22，离心率22=e ，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求△POQ 的面积；（Ⅲ）若以OP ，OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程。 x y O A B C D
椭圆常见题型总结
椭圆常见题型总结 1椭圆中的焦点三角形： 通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决; 0)上一点P(x 0, y 0)和焦点F i ( c,0) ， F 2(C ,0)为顶点的 ① PF [ PF 2 2a ； 人任孑)，B(X 2, y 2)两点，贝U AB| J i|x 1 x 2| J ik 2J (x 1 X 2)24x 1x 2 2 2 3、椭圆的中点弦： 设A(X i , yj, B(X 2,y 2)是椭圆 务% 1(a b 0)上不同两点, a b M(x °,y °)是线段AB 的中点，可运用 点差法可得直线 AB 斜率，且k AB 4、椭圆的离心率 求椭圆离心率时注意运用： e C , a 2 b 2 C 2 a 2 2 若P(x 0, y 0)是离心率为e 的椭圆^2 1(a a b 椭圆 x 2 y2 !(a b a b PF i F 2 中，F 1PF 2 ，则当P 为短轴端点时 最大，且 ②4C 2 2 PF i 2 PF 2 2 PF 1 PF 2 COS ③ S PF 1F 2 1 1|PF i |PF 2 sin 2 =b tan ( b 短轴长) 2 2、直线与椭圆的位置关系： 直线y 2 kx b 与椭圆笃 a 2 b 1(a b 0)交于 b 2X o ； ~2~ ； a y 。 范围：0 e 1, e 越大，椭圆就越扁。 5、椭圆的焦半径 b 0)上任一点，焦点
为 F i （ c,0） , F 2C O ），则焦半径 PF i a ex o , PR a ex o ； 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法：根据椭圆定义，确定 a 2, b 2值，结合焦点位置直接写出椭圆方程; ⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出 准方程; ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为 Ax 2 By 2 1； 椭圆方程的常见题型 2 x 2、已知x 轴上一定点 A （1,0），Q 为椭圆 y 2 1上的动点，贝U AQ 中点M 的轨迹方程 4 的轨迹方程是（ ） 2 x 2 “ C y 1 4 6、设一动点P 到直线x 3的距离与它到点 A （1,0）的距离之比为-.3，则动点P 的轨迹方 2 2 a ， b ,从而求出标 1、点P 到定点F （4,0）的距离和它到定直线 10的距离之比为 1:2，则点P 的轨迹方程 3、平面内一点 M 到两定点F 2（0, 5）、F 2（0,5）的距离之和为 10,则M 的轨迹为（ A 椭圆 B 圆 4、经过点（2, 3）且与椭圆9x 2 4y 2 2 2 2 2 A 乞匕1 B x L 1 15 10 10 15 C 直线 D 线段 36有共冋焦点的椭圆为 （ ) 2 2 2 2 C0匕1 x D — 工1 5 10 10 5 2 2 5、已知圆x y 1，从这个圆上任意一点 P 向y 轴做垂线段 PR ，则线段PR 的中点M A 4x 2 y 2 1 B x 2 4y 2 1
椭圆经典例题分类汇总
椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由2 1= e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12． 由21= e ，得4191=-k ，即4 5-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由?? ???-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<
椭圆常考题型汇总及练习进步
椭圆常考题型汇总及练习 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数 ()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ()c 2. 椭圆的几何性质:以 ()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用 于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e =，()10,0<<∴>>e c a Θ （2）22F OB Rt ?, 2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且 22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -= 越小， 椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而2 2c a b -=越大，椭圆越接近圆。
特别解析：椭圆经典例题分类
特别解析：椭圆经典例题分类 题型一 .椭圆定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：1142 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2 已知椭圆 19822=++y k x 的离心率2 1 =e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12 -=k c ．由2 1 =e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92 =a ，82 +=k b ，得k c -=12 ． 由21= e ，得4191=-k ，即4 5-=k ． ∴满足条件的4=k 或4 5 -=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程 1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由?? ? ??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<
高中数学椭圆经典例题(学生 +老师)
（教师版）椭圆标准方程典型例题 例1已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值．解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得． 又，所以，适合．故． 例2已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为． 当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为． 例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹． 分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解． （2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程． 解：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有， 故其方程为． （2）设，，则．① 由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）． 例4已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即． 从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，， 可求出，，从而． ∴所求椭圆方程为或．
例5已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知： ·．① 由椭圆定义知：②，则得． 故． 例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式． 解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点， 即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径， 即．∴点的轨迹是以，为两焦点， 半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标
高中数学椭圆题型完美归纳(经典)
椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形， 可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置，求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．|x|≤a ，|y|≤b ． 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 5.顶点 椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .
|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2． 6.离心率 7.椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8.椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20 ||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2 OM AB b k k a ?=-，即0 2 02y a x b K AB -=。 )10(<<= e a c e
椭圆题型归纳大全
椭圆题型归纳大全
椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆2 2:(4)100 C x y ++=相内切，且 过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 例2. 方程 2 x =++所表示的曲线是 练习： 1.方程 6 =对应的图形是 （ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2. 10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 3.方程 10 =成立的充要条件是 （ ） A. 2 2 12516x y += B.2 2 1 259 x y += C. 22 11625 x y += D. 22 1925 x y +=
4. 1 m =+表示椭圆，则 m 的取值范围是 5.过椭圆2 2941 x y +=的一个焦点1 F 的直线与椭圆相 交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2 F 构成的2 ABF ?的周长等于 ； 6.设圆2 2(1) 25 x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点， Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点 M ，则点M 的轨迹方程 为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例 1.方程 22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例 3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 1 P 、2 (P ，求椭圆的方程；
椭圆经典例题答案版
椭圆标准方程典型例题 例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系2 2 2 c b a +=可求出m 的值． 解：方程变形为 1262 2=+m y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2 262=-m ，5=m 适合．故5=m ． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数a 和b （或2 a 和2 b ）的值，即可求得椭圆的标准方程． 解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b y a x ． 由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92 =a ，故椭圆的方程为19 22=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b x a y ． 由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，联立解得812=a ，92 =b ，故椭圆的方程为19 8122=+ x y ． 例3 ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹． 分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解． （2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程． 解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ， 知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ， 故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则 ()0136 1002 2≠'='+'y y x ． ① 由题意有??? ????='='33 y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
椭圆与双曲线常见题型归纳 题型一：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点， 在x 轴上是否存在一点E(0 x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0 x ；若不存在，请说明理由。 分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2 y x =相交A 、B 两点， 则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E 3 倍。运用弦长公式求弦长。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+， k ≠，1 1 (,)A x y ，2 2 (,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =? 消y 整理，得2 2 22(21)0 k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2 242(21)4410 k k k ?=--=-+>即2 104 k << ② 由韦达定理，得： 2122 21 ,k x x k -+=-121 x x =。则线段AB 的中点为
22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得0 211 22x k = -，则2 1 1 (,0)22E k -ABE ?Q 为正三角形，∴2 1 1(,0)22 E k -到 直线AB 的距离d 为 32 AB 。 2 2 1212()()AB x x y y =-+-Q 22141k k -= +g 212k d k +=222 23141122k k k k k -+∴+=g 解得39 13 k =± 满足②式此时0 53 x = 。 思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 3倍，将k 确定，进而求出0 x 的坐标。 例题2、已知椭圆 12 22 =+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。
高中数学椭圆的经典知识总结
高中数学椭圆的经典知识总结 椭圆知识点总结 1. 椭圆的定义：1,2 （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （222a b c =+）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？ （ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 2. 椭圆的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个 焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥通径2 2b a 2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>； （2）点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 3．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离： 0?
椭圆练习题(经典归纳)
初步圆锥曲线 感受：已知圆0以坐标原点为圆心且过点, M , N为平面上关于原点对称的两点,已知N的坐 I2 2丿 ( !3 \ 标为0,—、3,过N作直线交圆于A,B两点 I 3丿 (1) 求圆0的方程; (2)求：ABM面积的取值范围 二.曲线方程和方程曲线 (1)曲线上点的坐标都是方程的解； (2)方程的解为坐标的点都在曲线上. 三.轨迹方程 例题：教材R37 A组.T3 T4 B组T2 练习1?设一动点P到直线I :x=3的距离到它到点A 1,0的距离之比为f，贝y动点P的轨迹方程是 A -1,0 , B 2,0 ,动点满足条件.MBA =2. MAB ,则动点M的轨练习2?已知两定点的坐标分别为 迹方程为____________ 总结：求点轨迹方程的步骤： (1 )建立直角坐标系 (2) 设点：将所求点坐标设为x,y，同时将其他相关点坐标化(未知的暂用参数表示) (3) 列式：从已知条件中发掘x,y的关系，列出方程 (4) 化简：将方程进行变形化简，并求出x,y的范围 四.设直线方程设直线方程：若直线方程未给出，应先假设. (1)若已知直线过点(x0,y0)，则假设方程为y- y0二k(x- x0); (2)若已知直线恒过y轴上一点0, t，则假设方程为y二kx ? t ； (3)若仅仅知道是直线，则假设方程为y = kx ? b 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；
（4）若已知直线恒过x轴上一点（t,0），且水平线不满足条件（斜率为0）,可以假设 1 直线为x = my+t。【反斜截式，m二一】不含垂直于y轴的情况（水平线） k 例题：圆C的方程为：x2? y2 -2 = 0. （1）若直线过点（0,4）且与圆C相交于A,B两点，且AB =$2,求直线方程? （2）若直线过点（1,3）且与圆C相切，求直线方程. （3）若直线过点（4,0）且与圆C相切，求直线方程. 附加：C（x -3）2 - （y _4）2 =4. 若直线过点（1,0）且与圆C相交于P、Q两点，求S CPQ最大时的直线方程 椭圆 1、椭圆概念 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （大于| F1F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有 |M F |+ |M F 牛2a 注意：2a > F1F2表示椭圆；2a = F1F2表示线段F1F2；2a < F）F2没有轨迹； 2、椭圆标准方程 2 2 2 2 椭圆方程为—y —2 -1，设b = a2- c2，则化为笃■占-1a b 0 a a -c a b
椭圆各类题型分类汇总情况
椭圆经典例题分类汇总 1. 椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ，求k 的值． 例3 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值围． 例4 已知1cos sin 2 2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值围． 例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322 =+-y x B ：的部与其相切，求动圆圆心P 的轨迹方程．
2.焦半径及焦三角的应用 例1 已知椭圆13422=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2 已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积（用a 、b 、α表示）． 3.第二定义应用 例1 椭圆112162 2=+y x 的右焦点为F ，过点() 31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．
例2 已知椭圆1422 22=+b y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离． 例3 已知椭圆15 92 2=+y x 有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点． (1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求22 3PF PA + 的最小值及对应的点P 的坐标． 4.参数方程应用 例1 求椭圆13 22 =+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．
完整椭圆经典基础题型适合初学者.docx
椭圆经典基础题型（适合初学者） 一、选择题： 1、已知 F1 2 是定点，|F1F2|=8, 动点 M 满足 | M F1 |+| M F2|=8 ，则点 M 的轨迹是（） , F （A）椭圆（B）直线（C）圆（D）线段 2、过椭圆4x2 2 y 21的一个焦点 F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点 F2构 成 ABF 2，那么ABF 2的周长是（） A. 22 B. 2 C.2 D. 1 3、方程 x2y2 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 ( ) 25 - m 16 m (A)-16< m<25(B)-16 椭圆常见题型与典型方法归 纳 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 椭圆常见题型与典型方法归纳 考点一 椭圆的定义 椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两 定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e= a c (0椭圆常见题型与典型方法归纳