线性代数同步自修1-1 二阶与三阶行列式

同步自修1-1

第一讲 行列式的定义

一、温故而知新（微视频后练习）

1. 实现目标

(1)

1112

112212212122

a a a a a a a a =-， (2) 1112

13

2122

23313233

a a a a a a a a a 112233122331132132132231112332122133a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---． 2. 巩固练习

(1) 若

1

012

k =，则k=___________． (2) 设21

()31

x f x --=

，则方程()0f x =的根是 ________．

(3) 3阶行列式3

135220

01=_________．

(4) 已知行列式01110321

2=-a ，则数a =__________．

(5) 若210

1310,21

k k ==则_____________．

(6) 3阶行列式210

121012

=_________．

二、拓展与延伸（自修新知识）

1. n 阶行列式(n>4)

四阶行列式：由4行4列的16个元素构成，如

1112131421

222324

3132333441

424344

a a a a a a a a a a a a a a a a . n 阶行列式：由2n 个元素构成，如

11121212221

2

n n n n nn

a a a a a a a a a ij n

a =，简记为ij n a ， 其中(,1,2,,)ij a i j n =为其元素，i 表示行标，j 表示列标，分别表示该元素所在

的行与列，同时要摸清主对角线和次对角线。

2. 一阶行列式

当1n =时，为一阶行列式，1111||a a =，结果就是表示这个元素。从而有|5|5-=-，

是一阶行列式，不是这个数的绝对值，要区分开。

3. 特殊行列式

0a b a b ad d d == 0a a ad c d c d == 00a a

ad d d

== ****0**00a a b b abc c c == 00*0*****a a b b abc c c == 000000a a b b abc c c

== 注意：三角行列式考虑的是以主对角线为斜边，且由非零元素构成的等腰直角三角形在主对角线的上方还是下方，元素为0时可以省略不写。若在上方是上三角，在下方是下三角。其结果都等于主对角线上元素的乘积。 三、更上一层楼（展望未知）

1. 在概念图中标出本次课自己掌握的内容；

2. 一阶行列式值就是这个数，二阶行列式值是2个单项式（由2个数乘积构成）的代数和，三阶行列式值是6个单项式（由3个数乘积构成）的代数和， 按此规律，四阶行列式的结果应该是怎样呢？对角线法是否还可计算四阶行列式？

3. 二阶行列式可用于求解二元一次方程组，想一想三阶行列式可否有类似的应用，求三元一次方程组（未知量个数与方程个数相同）？大胆猜想，若成立，并且该方法可以推广到n 元一次方程组，那将是件极好的事！！

线性代数行列式算与性质

线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行 列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。

线性代数练习题(行列式)

线性代数练习题（行列式）A 一、填空题 1、-=--362 2 36623 2、 =00010020 03004000 3、_____________)631254 (=N 4、四阶行列式)det(ij a 的反对角线元素之积（即41322314a a a a ）一项的符号为 5. 行列式2 430123 21---中元素0的代数余子式的值为_______ 二、选择题 1、 =11 a a （ ） ----+1111A a B a C a D a 3、+=-010 111111a a （ ） +++-11(1)(1)A a B a C a D a a 5、若≠314 001 0x x x ，则=x （ ）

≠≠≠≠≠≠020202且或A x x B x x C x D x 6、=111011011011 0111 （ ） --2331A B C D 7、=222 111 x y z x y z （ ） ---+++++()()()()()()A y x z x z y B xyz C y x z x z y D x y z 三、设行列式 2 92170216 3332314----=D ，不计算ij A 而直接证明： 444342412A A A A =++

线性代数练习题（行列式）B 一、填空题 1、 设ij A 是n 阶行列式中元素ij a 的代数余子式，则 =∑1 n ik jk k a A = 2、 设=3(1,2,3,4)i A i 是行列式12345678 2348 6789 中元素3i a 的代数余子式， +++=132********A A A A 3、 各列元素之和为零的n 阶行列式之值等于 4、 设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，则 =00 A B ； =00 A B 5、 设=(,1,2)ij A i j 为行列式= 21 31 D 中元素ij a 的代数余子式，则=1121 12 22A A A A 6、 方程 -+-= ----1321360 1 2 2 14 x x x x 的根为 7、 已知齐次线性方程组λ+-=?? +-=??-+=?1231231 232020340 x x x x x x x x x 有非零解，则λ= 8、 若11223344,,,a a a a 都不等于零，则方程组 +++=??++=? ? +=??=? 1111221331441 22223324423333443 3444a x a x a x a x b a x a x a x b a x a x b a x b 有 解。

考研数学线性代数行列式的计算方法

考研数学线性代数行列式的计算方法考研数学线性代数行列式的计算方法 一、基本内容及历年大纲要求。 本章内容包括行列式的定义、性质及展开定理。从整体上来看，历年大纲要求了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列 式的性质及展开定理计算行列式。不过要想达到大纲中的要求还需 要考生理解排列、逆序、余子式、代数余子式的概念，以及性质中 的相关推论是如何得到的。 二、行列式在线性代数中的地位。 行列式是线性代数中最基本的运算之一,也是考生复习考研线性 代数必须掌握的基本技能之一(另一项基本技能是求解线性方程组)，另外，行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具，不论是后续 章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着 密切的联系。 三、行列式的计算。 由于行列式的计算贯穿整个学科，这就导致了它不仅计算方法灵活，而且出题方式也比较多变，这也是广大考生在复习线性代数时 面临的第一道关卡。虽然行列式的计算考查形式多变，但是从本质 上来讲可以分为两类：一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式 的计算。 1.数值型行列式的计算 主要方法有： (1)利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的 计算，但是它计算量大，而且容易出错;

(2)利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算; (3)利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算; (4)利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的行列式计算; (5)利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。 2.抽象型行列式的计算 主要计算方法有： (1)利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的; (2)利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的'行列式的计算; (3)利用矩阵的特征值，主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算; (4)利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算; (5)利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。 我们究竟该做多少年的真题? 建议大家在刚开始复习的时候，不要去做真题，因为以你刚开始复习的程度还不足以支撑起真题的难度和深度。我们做真题的时间是在我们的强化阶段结束之后，也就是提高阶段和冲刺模考去做真题。 应该怎么样去做真题? 第一：练习重质不重量

线性代数技巧行列式的计算方法

计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 00100 20010000 n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---= . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算

例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足 ,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j a a =-知i i i a a =-，即 0,1,2,,ii a i n == 故行列式D n 可表示为 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A ' = 1213112 23213 2331230000n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.

线性代数行列式基本概念

目录 目录 (1) 一、行列式 (2) 见ppt。 (2) 二、矩阵特征值 (2) 三、正定矩阵 (2) 四、幺模矩阵 (3) 五、顺序主子阵 (4) 六、正定二次型 (6) 七、矩阵的秩 (6) 八、初等变换（elementary transformation） (7)

一、行列式 见ppt。 二、矩阵特征值 设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。 求矩阵特征值的方法 Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。 |mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。 如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。 三、正定矩阵 设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量 X=(x_1,...x_n)，都有XMX′>0(X'为X的转置矩阵 )，就称M正定(Positive Definite)。 正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。 所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。 判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。 正定矩阵的性质： 1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则称A为非奇异矩 2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。

#线性代数技巧行列式的计算方法

计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 0010020010000 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例2 一个n 阶行列式 n ij D a =的元素满足 ,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j i a a =-知i i i i a a =-，即 0,1,2, ,ii a i n ==

故行列式D n 可表示为 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '= 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。 因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 例3 计算n 阶行列式 a b b b b a b b D b b a b b b b a = 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，

线性代数-特殊行列式及行列式计算方法总结

特殊行列式及行列式计算方法总结 一、 几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 111121 12,1221222,11,21,1 1,1 12 ,1 (1)2 12,1 1 000000000000000 00 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------= ==- 3. 分块行列式（教材P14例10） 一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????==? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????==-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！ 以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算 二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降 阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法） 【常见的化简行列式的方法】 1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例1 （2001年考研题） 0001000200019990002000000 002001 D = 分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。 解法一：定义法 (1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!n n n D τ--+++++=-=-= 解法二：行列式性质法 利用行列式性质2把最后一行依次与第n -1,n -2,…,2,1行交换（这里n =2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。 2001(20011) 20011 20011 2 000020010 001000200(1) (1) (1)2001!2001!019990002000 00 D ?---=- =--=

线性代数习题-[第一章]行列式

习题1—1 全排列及行列式的定义 1． 计算三阶行列式123 4 56789 。 2． 写出4阶行列式中含有因子1324a a 并带正号的项。 3． 利用行列式的定义计算下列行列式： ⑴0 004003002001 0004 D

⑵0 0000000052 51 42413231 2524232221 151********a a a a a a a a a a a a a a a a D = ⑶0 001 0000 200 0010 n n D n -= 4． 利用行列式的定义计算210111()0211 1 1 x x x f x x x -= 中34 , x x 的系数。

习题1—2 行列式的性质 1． 计算下列各行列式的值： ⑴ 2141 012112025 62 - ⑵ef cf bf de cd bd ae ac ab --- ⑶ 2 2 2 2 2 2 2 2 22222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a

2． 在n 阶行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 2 1 222 2111211 = 中，已知),,2,1,(n j i a a ji ij =-=， 证明：当n 是奇数时，D=0. 3． 计算下列n 阶行列式的值： ⑴x a a a x a a a x D n = ⑵n n a a a D +++= 11 1 1 1111121 ()120n a a a ≠

线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

三阶行列式展开

9.4 （2）三阶行列式 按一行（或一列）展开 一、教学内容分析 三阶行列式按一行（或一列）展开是三阶行列式计算的另外一种法 则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、 三阶行列式的 内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法， 这个 法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的 研究方法.本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究 三阶行列式按一行（或一列）展开法则. 二、教学目标设计 ⑴ 掌握余子式、代数余子式的概念； ⑵ 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的 符号的确定方法和三阶行列式按一行（或一列）展开方法，体验研究数 学的一般方法； ⑶体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂 问题简单化的数学思想. 三、 教学重点及难点 三阶行列式按一行（或一列）展开、代数余子式的符号的确定. 四、 教学过程设计 一、情景引入 【实验探究1】 （1）将下列行列式按对角线展开： （2）对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式 ［说明］ b 2 C 2 b 3 C 3 & 93 C 2 C 3 b i b 2 q C 2 92 b 2 33 b 3 b i C i b 3 C 3 a i b i a 2 b 2 93 b 3 C i C 2 C 3 a i a 2 a 3 b i c i b 2 C 2表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗? b 3 C 3

a 3 b s C 3 (i)请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的 知识；同时，有意识地设计这几个行列式的展开，有助于学生发现三 a i b i C, a ? b ? C ? a 3 b 3 C 3 请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式 的？ a i bl C i 开式 a 2 b 2 C 2 a i b 2C 3 a zd c, a s b? a s b ?? a z b? a i b s C ?变形为: 与相应的二阶行列式间的关系. 阶行列式 (2)将二阶行列式 a i a ? a 3 b i b ? b 3 C i C ? C 3 a i b i C i 表示成几个含有二阶行列式运算的 式子，结果可能不唯一，可以有a 2 b 2 C 2 a i a 3 b 3 C 3 b ? C ? b 3 C 3 b i a 2 a 3 C 2 C 3 C i a ? b ? a 3 b 3 等等. 二、学习新课 1.知识解析 在刚才的实验中，将三阶行列式 阶行列式运算的式子，主要有: a i a 2 a 3 b i C i b ? C ?表示成了含有三个二 b 3 C 3 a i a ? a 3 a i a 2 a 3 a i a ? a 3 b i C i b ? C ? b 3 C 3 b i C i b ? C ? b 3 C 3 b i C i b ? C ? b 3 C 3 b ? C ? b i a ? C ? a ? b ? a i b 3 C 3 a 3 C 3 C i a 3 b 3 b ? C ? bl C i b i C i a i b 3 C 3 a ? a 3 C 3 a 3 b ? C ? a ? C ? a i C i a i C i b ? b 3 a 3 C 3 a 3 C 3 a ? C ? 等等. 事实上，以 ai a 2 a 3 bl b 2 b 3 C i C ? C 3 a i b ? b 3 C 2 C 3 bl a 2 a 3 C 2 C 3 C i a ? b ? a 3 b 3 为例，先将展 b

三阶行列式

9.4（1）三阶行列式 一、教学内容分析 三阶行列式是二阶行列式的后继学习，也是后续教材学习中一个有力的工具．本节课的教学内容主要围绕三阶行列式展开的对角线法则进行，如何理解三阶行列式展开的对角线法则和该法则的应用是本节课的重点内容． 二、教学目标设计 经历观察、比较、分析、归纳的数学类比研究，从二阶行列式的符号特征逐步形成三阶行列式的符号特征，从二阶行列式展开的对角线法则逐步内化形成三阶行列式展开的对角线法则，感悟类比思想方法在数学研究中的应用． 三、教学重点及难点 三阶行列式展开的对角线法则、三阶行列式展开的对角线法则形成的过程． 四、教学用具准备 可以计算三阶行列式值的计算器 五、教学流程设计 六、教学过程设计

一、情景引入 1．观察 (1)观察二阶行列式的符号特征： 13 25 02 31 - 612 711 - a b c d (2)观察二阶行列式的展开式特征： 13 112321=?-? 02 013(2)31-=?-?- 612 6(11)712711 =?--?- a b a d c b c d =?-? 2．思考 (1)二阶行列式算式的符号有哪些特征？ (2)你能总结一下二阶行列式的展开式有哪些特征吗？ [说明] (1)请学生观察二阶行列式的符号特征，主要是观察二阶行列式有几个元素，这几个元素怎么分布？从而可以类比得到三阶行列式的符号特征． (2)请学生观察和总结二阶行列式的展开式特征，可以提示学生主要着力于以下几个方面： ① 观察二阶行列式的展开式有几项？ ② 二阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘；这几个元素在行列式中的位置有什么要求吗？ ③ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了几次？每个元素出现的次数一样吗？ 二、学习新课 1．新课解析 【问题探讨】 结合情景引入的两个思考问题，教师可以设计一些更加细化的问题引导学生发现二阶行列式的符号特征以及二阶行列式的展开式特征，从而类比得到三阶行列式相应特征．比如教师可以设计如下几个问题： 问题一，通过学习和观察，我们发现二阶行列式就是表示四个数(或式)的特定算式，这四个数分布成两行两列的方阵，那么三阶行列式符号应该有怎么样的特征呢？

线性代数之行列式的性质及计算讲解学习

线性代数之行列式的性质及计算

第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质 考虑11 1212122212n n n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 将它的行依次变为相应的列，得 11 21112 222 12n n T n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =） 事实上，若记111212122212n n T n n nn b b b b b b D b b b = L L L L L L L L L L 则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==L 1212() 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑L L 1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑L L 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?)，行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即

111211112112121212 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面； (2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =； 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零． 性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即 11121112212 n i i i i in in n n nn a a a a b a b a b a a a +++=L L L L L L L L L L L 1112112 12 n i i in n n nn a a a a a a a a a +L L L L L L L L L L L 111211212 n i i in n n nn a a a b b b a a a L L L L L L L L L L L . 证: 由行列式定义 1212()12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑L L L 12121212()()1212(1)(1).n n i n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑L L L L L L 性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i j r kr D D +=，即 111211212 i j n r kr i i in n n nn a a a a a a a a a +=L L L L L L L L L L L 11121112212 n i j i j in jn n n nn a a a a ka a ka a ka a a a +++L L L L L L L L L L L 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值．

二阶三阶行列式

精锐教育学科教师辅导讲义 年 级：高二 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题 二阶三阶行列式 教学目的 1、掌握行列式及算法有关的概念；掌握行列式的初等变换;理解行列式的意义； 2、掌握二阶行列式展开的对角线法则。 教学内容 【知识梳理】 1、掌握行列式展开的对角线法则：11 122122 b b a a b a b a =- 2、二元一次方程组：111222 , a x b y c a x b y c +=??+=?，其中x,y 为未知数，方程组系数不全为0 系数行列式11 22 b b a D a =；11 22 b b x c D c =；1122 c c y a D a = （1）当0D ≠时，方程有唯一解x y D x D D y D ?=????=?? （2）当0D =，0x y D D ==时，方程组有无穷多解； （3）当0D =，,x y D D 中至少有一个不为零，方程组无解. 3、掌握三阶行列式展开的对角线法则，以及按某一行（列）展开的方法； 【典型例题分析】 【例1】展开并化简下列行列式： （1）3423- （2）245lg 2lg - （3）432101421--

巩固练习1.计算 a b b a log 21log =__________________ 2． y x y x y x y x sin sin cos cos cos cos sin sin +-+- 3．将函数 3sin ()1cos x f x x = 的图像向左平移a （0a >）个单位，所得图像对应的函数为偶函数， 则a 的最小值为___________ 【例2】不解方程，判断下列方程组解的情况 （1）?? ?=-=+1232y x y x （2）???=+=+5918324y x y x 巩固练习：1. 用行列式法求解下列方程组： （1）???=-=+1232y x y x （2）???=-+-=-0 9218.05.1y x y x

线性代数行列式基本概念

目录 一、行列式 (2) 二、矩阵特征值 (2) 三、正定矩阵 (2) 四、幺模矩阵 (3) 五、顺序主子阵 (4) 六、正定二次型 (6) 七、矩阵的秩 (6) 八、初等变换（elementary transformation） (7)

一、行列式 见ppt。 二、矩阵特征值 设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。 求矩阵特征值的方法 Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。 |mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。 如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。 三、正定矩阵 设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量 X=(x_1,...x_n)，都有XMX′>0(X'为X的转置矩阵 )，就称M正定(Positive Definite)。 正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。 所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。 判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。 正定矩阵的性质： 1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则称A为非奇异矩 2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。

3阶行列式计算方法-三对角行列式计算方法

2017年9月13日15:53:58 由于本人最近在学习线性代数，刚学，很多东西不懂。于是边学边总结经验。 三阶行列式比二阶行列式计算难一些。于是总结计算方法如下。 二阶行列式 要计算三阶行列式的前提条件是，你要会计算二阶行列式 如下就是一个二阶行列式 222112 11a a a a 二阶行列式的计算方法非常简单，就是对角线互乘. 然后主对角线乘积(a 11a 22)减去副对角线乘积(a 12a 21). 222112 11a a a a =a 11a 22-a 12a 21 会了二阶行列式之后，你会发现二阶行列式其实不难。但是三阶行列式其实跟二阶行列式相比，难度就不在一个等级。我通过看书自学，发现有两个比较好的办法去解决这个问题。 方法一：对角线 只不过这次对角线比较多，而且比较繁琐 3332 312322 211312 11a a a a a a a a a 这个行列式中，我们计算，如果是用对角线去计算的话。方法如下 a 11a 22a 33 + a 12a 23a 31 + a 13a 21a 32 – a 13a 22a 31 – a 12a 21a 33 – a 11a 23a 32 例题 2 131323 21=1*3*2 + 2*1*3 + 3*2*1 – 3*3*3 – 2*2*2 – 1*1*1 = -18 理解对角线的关键在哪里呢？？？ 这里也是我做这个文档的原因。因为我发现很多教材包括我看到的，都是让你圈让你找。。。其实都太繁琐。我理解之后发现其实只有两个字就可以理解对角线。那就是——位移。 当然我发现更多的教材，对于基础问题，它都不怎么提及。你看吧。看得懂是你的悟性。看不懂来报我们的辅导班……这个怪现象真的容易把你带进沟你，因为所有的东西都涉及商业利益的时候，其实你看到的都不是真相，看到的只是教材编辑者想给你看到的。 是的。比如说a 12a 21a 33的时候，你可以通过对角线找到a 12a 21但是你怎么确定a 31的位置?关键其实只要把第三列整体移动到第一列前面就可以了。别的以此类推。 方法二：转换为二阶行列式 因为二阶行列式很简单，非常容易计算，虽然我们有了方法一可以解决大部分问题，但是有的时候还是计算太麻烦了。于是我们要升级方法。让原本可以解决的问题，我们用更简便的方法解决它。已达到省时省力的效果学习也事半功倍。

三阶行列式展开

9.4 （2）三阶行列式按一行（或一列）展开 一、教学内容分析 三阶行列式按一行（或一列）展开是三阶行列式计算的另外一种法 则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、三阶行列式的内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法，这个法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的研究方法.本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究三阶行列式按一行（或一列）展开法则. 二、教学目标设计 ⑴ 掌握余子式、代数余子式的概念； ⑵ 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行（或一列）展开方法，体验研究数学的一般方法； ⑶体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂问题简单化的数学思想. 三、教学重点及难点 三阶行列式按一行（或一列）展开、代数余子式的符号的确定. 四、教学过程设计 一、情景引入 【实验探究1】 （1）将下列行列式按对角线展开： （2）对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式 a1 b1 c1 a2 b2 C2表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗？ a3 b3 C3 ［说明］

(i)请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的 知识；同时，有意识地设计这几个行列式的展开，有助于学生发现三 G C 2 C 3 等等. 二、学习新课 1 .知识解析 阶行列式运算的式子，主要有: 请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式 的？ a i b i a 2 b 2 a 3 b 3 与相应的二阶行列式间的关系. 阶行列式 (2)将三阶行列式 a i b i a 2 b 2 a 3 b 3 式子，结果可能不唯一，可以有 表示成几个含有二阶行列式运算的 a i b i a 2 b 2 a 3 b 3 C i C 2 C a i b 2 C 2 b 3 C 3 b i a 2 C 2 a 3 C 3 C i a 2 b 2 a 3 b 3 在刚才的实验中，将三阶行列式 a i b i C i a 2 b 2 C 2 a 3 b 3 C 3 表示成了含有二个二 a i a 2 a 3 a i a 2 a 3 a i a 2 a 3 b i C i b 2 C 2 b 3 C 3 b i C i b 2 C 2 b 3 C 3 b i C i b 2 C 2 b 3 C 3 b 2 C 2 b i a 2 C 2 a 2 b 2 a i b 3 C 3 a 3 C 3 C i a 3 b 3 b 2 C 2 bi C i b i C i a i b 3 C 3 a 2 a 3 C 3 a 3 b 2 C 2 a 2 C 2 b 2 a i C i b 3 a i C i a 3 C a 3 C 3 a 2 C 2 等等. 事实上，以 ai bi a 2 b 2 a 3 b 3 C i C 2 C a i b 2 C 2 b 3 C 3 bi a 2 C a 3 C 3 C i a 2 a 3 b 2 b 3 为例，先将展 开式 a i bi C i a 2 b 2 C 2 a 3 b 3 C 3 a a b 2C i a 2b i C 3 a 〔b 3C 2 变形为: C i C 2 C b i

线性代数之行列式的性质和计算

第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质 考虑11 12121 22 212 n n n n nn a a a a a a D a a a = 将它的行依次变为相应的列，得 11 21112 22212n n T n n nn a a a a a a D a a a = 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =） 事实上，若记1112 12122212 n n T n n nn b b b b b b D b b b = 则(,1,2, ,)ij ji b a i j n == 12 12 () 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑12 12() 12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑ 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?)，行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即 111211112 112121 2 1 2 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；

线性代数习题册行列式-习题详解

行列式的概念 一、选择题 1． 下列选项中错误的是( ) (A) b a d c d c b a - = ； (B) a c b d d c b a = ； (C) d c b a d c d b c a = ++33； (D) d c b a d c b a ----- =. 答案：D 2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（ ）． (A)保持不变； (B)可以变成任何值； (C)保持不为零； (D)保持相同的正负号． 答案：C 二、填空题 1. a b b a log 1 1 log = . 解析： 0111log log log 1 1log =-=-=a b a b b a b a . 2. 6 cos 3sin 6sin 3 cos π π ππ = . 解析： 02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6 cos 3 sin 6sin 3 cos ==-=πππππππ π π 3.函数x x x x x f 1213 1 2)(-=中，3x 的系数为 ； x x x x x x g 2 1 1 12)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2.

阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1. 5. 三阶行列式11342 3 2 1-中第2行第1列元素的代数余子式 等于 . 答案：5. 6.若 02 1 8 2=x ，则x = . 答案：2. 7.在 n 阶行列式ij a D =中，当i