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最新高中数学竞赛模拟题1-5

最新高中数学竞赛模拟题1-5
最新高中数学竞赛模拟题1-5

全国高中数学联赛模拟试题一

一试

一.填空题(每小题8分,共64分)

1.函数2

54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 .

2. 函数x

x x

x y cos sin 1cos sin ++=

的值域是 .

3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同。甲从袋中摸出一个球,其号码为a ,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于 .

4.设数列{}n a 的前n 项和n S 满足:1

(1)

n n n S a n n -+=+,1,2,n = ,则通项n a = .

5.已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>与直线1x y +=交于M,N 两点,且OM ON ⊥,(O 为

原点),当椭圆的离心率2

e ∈时,椭圆长轴长的取值范围是 .

6.函数 y =的最大值是 .

7.在平面直角坐标系中,定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为

.

),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等,其

中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ,则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为 .

8.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 . 二.解答题(共56分)

9.(16分) 已知定义在R 上的函数()f x 满足:5

(1)2

f =,且对于任意实数x y 、,总有()()()()f x f y f x y f x y =++-成立.

(1)若数列{}n a 满足2(1)()(1,2,3,)n a f n f n n =+-= ,求数列{}n a 的通项公式; (2)若对于任意非零实数y ,总有()2f y >.设有理数12,x x 满足12||||x x <,判断1()

f x 和2()f x 的大小关系,并证明你的结论.

10.(20分)设0b >,数列{}n a 满足1a b =,1

122

n n n nba a a n --=+-(2)n ≥.

(1)求数列{}n a 的通项公式;

(2)证明:对于一切正整数n ,1

112

n n n b a ++≤+.

11.(20分)若a 、b 、c R +∈,且满足22)4()(c b a b a c

b a kabc

++++≤++,求k 的最

大值。

加试

一.(40分)在平面直角坐标系xOy 上,给定抛物线L :2

14

y x =

.实数,p q 满足 24p q -≥0,12,x x 是方程20x px q -+=的两根,记12(,)max{,}p q x x ?=.

(1)过点2

001(,)4

A p p 0(0)p ≠作L 的切线交y 轴于点

B .证明:对线段AB 上的

任一点(,)Q p q ,有0

(,)2p p q ?=;

(2)设{(,)|D x y y =≤1x -,y ≥2

15(1)}44

x +-.当点(,)p q 取遍D 时,求

(,)p q ?的最小值 (记为min ?)和最大值(记为max ?).

二.(40分)如图,给定凸四边形ABCD ,180B D ∠+∠< ,P 是平面上的动点,令()f P PA BC PD CA PC AB =?+?+?.

(Ⅰ)求证:当()f P 达到最小值时,P A B C ,,,四点共圆; (Ⅱ)设E 是ABC ?外接圆O

的弧AB上一点,满足:

AE AB =

,1BC

EC =,1

2

ECB ECA ∠=∠,又,DA DC

是圆O的切线,AC ()f P 的最小值.

二题图

三.(50分)如图,在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点,那么称这两个棋子相连。现从这56个棋子中取出一些,使得棋盘上剩下的棋子,没有五个在一条直线(横、竖、斜方向)上依次相连。问最少取出多少个棋子才可能满足要求?并说明理由。

四.(50分)求证:对1,2,3,i =均有无穷多个正整数n ,使得,2,28n n n ++中恰有i 个可表示为三个正整数的立方和。

模拟试题一参考答案

第一试

一. 填空题(每小题8分,共64分)

1.2.当2x <时,20x ->,因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+--

-2≥2=,当且仅当122x x

=--时上式取等号.而此方程有解1(,2)x =∈-∞,因此()f x 在

(,2)-∞上的最小值为2.

2. 11,11,22????-

--? ??? ????

设t =s inx +co s x =).4sin(2cos 22sin 222π+=???

?

??+x x x 因为,1)4

s i n

(1≤+≤-πx 所以.22≤≤-t 又因为t 2=1+2s inxco s x ,所以s inxco s x =212-t ,所以21121

2-=+-=

t t x y ,所以.2

12212-≤≤--y 因为t ≠-1,所以121

-≠-t ,所以y ≠-1. 所以函数值域为.212,11,212???

?

?--???????-+-∈ y 3. 8161。

甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果,故基本事件总数为92

=81个。由不等式a ?2b +10>0得2b

61

81135745=++++。

4.

112

(1)n n n -+。111

1

(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++, 即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=

+)

1(1

11)2)(1(221

=)

1(1

)2)(1(2++

+++-n n a n n n , 由此得 2)

1(1

))2)(1(1(1++

=++++n n a n n a n n .

答图1

令1

(1)

n n b a n n =++,111122b a =+= (10a =),

有112n n b b +=,故12n n b =,所以)1(1

2

1+-

=n n a n n .

5. 。

由22

2211x y a b x y ?+

=???+=?

,可得2222222()20a b x a x a a b +++-= ①

由OM ON ⊥得12120x x y y +=,即12122()10x x x x -++=,将2

1222

2a x x a b +=-+,

2221222

a a

b x x a b -=+代入得22112a b +=,即22112b a =-,

因为32

c a ≤≤,得 2211132b a ≤-≤,得221223

b a ≤≤,有2231

(2)22a a ≤?-≤,

2a ≤

6. [15],

,且0y >

。5y =

22≤

==

5=,等号成立,即127

27

x =

时函数取最大值

7.

1)。由条件得 9

631-+-=-+-y x y x --------①

当9≥y 时,①化为6

61-=+-x x ,无解;

当3≤y 时,①化为661-+=-x x ,无解;

当93≤≤y 时,①化为 16122---=-x x y -------②

若1≤x ,则5.8=y ,线段长度为1;若61≤≤x ,则5.9=+y x ,线段长度为

25;若6≥x ,则5.3=y ,线段长度为4.综上可知,点C 的轨迹的构成的线段长度之和为()

1254251+=++。

8.

如答图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为r ,作平面111A B C //平面ABC ,与小球相切于点

D ,则小球球心O 为正四面体111

P A B C -的中心,111

P O A B C ⊥面,垂足D 为111A B C 的中心. 因111

111

1

3P A B C A B C V S PD -?=?

1114O A B C V -=?

答图

2

1111

43

A B C S OD ?=???,

故44PD OD r ==,从而43PO PD OD r r r =-=-=.

记此时小球与面PAB 的切点为1P ,连接1

OP ,则

22

11PP PO OP =-=

=. 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况,易知小球在面PAB 上

最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为1PEF ,如答图2.记正四面体 的棱长为a ,过1P 作1

PM PA ⊥于M . 因16MPP π∠=

11

cos PM PP MPP =?==,故小三角形的边

长1

2PE PA PM a =-=-. 小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为(如答图2中阴影部分)

1

PAB PEF S S ??

-22())

a a =-

-2

=-. 又1r =,a

=

1PAB P EF S S ??-=

由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为二. 解答题(共56分)

9.解:(1)令1,0x y ==,()()()()1011f f f f ∴?=+,又5

(

1)2

f = ,()02f ∴=. 令0x =,得 (0)()()()f f y f y f y =+-,即2()()()f y f y f y =+-

∴()()f y f y =-对任意的实数y 总成立, ()f x ∴为偶函数. 令1x y ==,得 ()()()()1120f f f f =+,∴25(2)24f =+,∴17(2)4

f =. ∴1175

2(2)(1)622

a f f =-=

-=. 令1,1x n y =+=,得(1)(1)(2)()f n f f n f n +=++,

∴5

(2)(1)()2

f n f n f n +=+-.

()()()()()()()

152212114122n a f n f n f n f n f n f n f n +??

∴=+-+=+--+=+-????

2[2(1)()]2(1).n f n f n a n =+-=…

∴{}n a 是以6为首项,以2为公比的等比数列. ∴162n n a -=?.

(2)结论:12()()f x f x <. 证明:∵0y ≠时,()2f y >, ∴()()()()2()

f x y f x y f x f y f x ++-=>,

()()()()f x y f x f x f x y +->--.

∴令x ky =(k ∈+N ),故k ?∈+N ,总有[(1)]()()[(1)]f k y f ky f ky f k y +->--成立. 则

[(1)]()()[(1)]

f k y f ky f ky f k y +->--[(1)][(2)]()(0)0f k y f k y f y f >--->>-> .

∴对于k ∈+N ,总有[(1)]()f k y f ky +>成立. ∴对于,m n ∈+N ,若n m <,则有()()1()f ny f n y f my <-<

∵12,x x ∈Q ,所以可设121212

||,||q q

x x p p ==,其中12,q q 是非负整数,12,p p 都是正整数,则1212121212||,||q p p q x x p p p p ==,令12

1y p p =,1212,t q p s p q ==,则,t s ∈+

N .

∵12||||x x <,∴t s <,∴()()f ty f sy <,即12(||)(||)f x f x <.

∵函数()f x 为偶函数,∴1122(||)(),(||)()f x f x f x f x ==.∴12()()f x f x <.

10解:∵1122n n n nba a a n --=

+-,∴1122n n n a ba n a n --=+-,∴1211

n n n n a b a b

--=?+

① 当2b =时,1112n n n n a a ---=,则{}n

n

a 是以12为首项,12为公差的等差数列

∴11(1)22

n n n a =+-?,即2n a = ② 当0b >且2b ≠时,11211

()22n n n n a b b a b

--+=+--

当1n =时,12

2(2)

n n a b b b +=

-- ∴1

{}2n n a b

+-是以

2(2)b b -为首项,2b 为公比的等比数列 ∴112()22n n n a b b b

+=?-- ∴212(2)2(2)n n n n n

n n b a b b b b b -=-=

--- ∴(2)2n

n n n

n b b a b

-=- 综上所述(2),02222n

n n n n b b b b a b b ?->≠?

=-??=?

 且,

(2)方法一:

(完整word版)No.31全国高中数学联合竞赛模拟试题.doc

No.31 高中数学联赛模拟试卷 1、已知0 a b, x a b b, y b b a,则 x, y 的大小关系是. 2、设a b c , n N ,且 1 1 c n 恒成立,则 n 的最大值为 a b b a c 3、对于m 1 的一切实数 m ,使不等式 2 x 1 m(x2 1) 都成立的实数x 的取值范围是 4 、已知 f x log sin x, 0, ,设 a f sin cos , b f sin cos , 2 2 c f sin 2 ,那么 a、b、 c的大小关系是 cos sin 5、不等式4x 2 2 3 x 2000 . 的解集是 1999 6、函数f x x 2 2x 2 2 x 1 的最小值为 2x 7、若a,b,n R ,且a b n ,则 1 1 1 1 的最小值是. a b 8、若3x2 xy 3y 2 20 ,则 8x 2 23y 2的最大值是. 9、设n N ,求 | n 1949 | | n 1950 | | n 2001 |的最小值. 1 1 L 1 10、求s 1 ,则 s 的整数部分 2 3 106 11、圆周上写着红蓝两色的数。已知,每个红色数等于两侧相邻数之和,每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。证明,所有红色数之和等于0。(俄罗斯) 12、设a, b, c R ,求证:a2 b2 c2 a b c . b c c a a b 2 (第二届“友谊杯”国际数学竞赛题)

乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题 2 参考答案 1、解法 1 x a b b a , y b b a a . a b b b b a 0 a b, a b b b b a, x y . 解法 2 x a b b b b a x y b b a a b , a b b a, 1, x y . b y 解法 3 1 1 1 1 a b b b b a x y a b b b b a a a a b b a 1 1 0, x y . = a 0, x y 解法 4 原问题等价于比较 a b b a 与 2 b 的大小 . 由 x 2 y 2 ( x y) 2 , 得 2 ( a b b a )2 2(a b b a) 4b , a b b a 2 b . a b b a , a b b a 2 b , x y . 解法 5 如图 1,在函数 y x 的图象上取三个不同的 y C 点 A ( b a , b a )、B ( b , b )、C ( a b , a b ). B 由图象,显然有 k BC k AB ,即 a b b b b a , A (a b) b b (b a) 即 a b b b b a ,亦即 x y . O b-a b b+a x a 图 1 解法 6 令 f (t) a t t , f (t ) 单 a t t 调递减,而 b b a , f (b) f (b a) ,即 a b b b b a , x y . 2、解法 1 原式 a c a c n . n a c a c .而 a c a c a b b c a b b c min a b b c a b b c b c a b 2 + b c a b 4 ,且当 b c a b ,即 a c 2b a b b c a b b c a b b c 时取等号. a c a c 4 . n 4.故选 C . a b b c min

2012年全国高中数学联赛模拟试题二

2012年全国高中数学联赛模拟试题二 一、选择题:每题6分,满分36分 1、数列10021,,,x x x 满足如下条件:对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ,已知 n m x = 50,m ,n 是互质的正整数,则m+n 等于( ) A 50 B 100 C 165 D 173 2、若2 6cos cos ,22sin sin = +=+y x y x ,则)sin(y x +等于( ) A 2 2 B 2 3 C 2 6 D 1 3、P 为椭圆 19 162 2 =+y x 在第一象限上的动点,过点P 引圆92 2 =+y x 的两条切线PA 、PB ,切点分 别为A 、B ,直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ,则MON S ?的最小值为( ) A 2 9 B 32 9 C 4 27 D 34 27 4.函数2 0.3()log (2)f x x x =+-的单调递增区间是( ) . (A) (,2)-∞- (B) (,1)-∞ (C) (-2,1) (D) (1,) +∞ 5.已知,x y 均为正实数,则22x y x y x y + ++的最大值为( ) . (A) 2 (B) 23 (C) 4 (D) 43 6.直线y=5与1y =-在区间40, πω????? ? 上截曲线 sin (0, 0)2y m x n m n ω =+>>所得的弦长相等且不为零,则下列描述正确的是( ) . (A )35,n= 2 2 m ≤ (B )3,2m n ≤= (C )35,n=2 2 m > (D )3,2m n >= 二、填空题:每小题9分,满分54分 7、函数)(x f 满足:对任意实数x,y ,都有 23 ) ()()(++=-y x xy f y f x f ,则=)36(f . 8、正四面体ABCD 的体积为1,O 为为其中心. 正四面体D C B A ''''与正四面体ABCD 关于点O 对 称,则这两个正四面体的公共部分的体积为 . 9、在双曲线xy =1上,横坐标为 1 +n n 的点为n A ,横坐标为 n n 1+的点为)(+∈N n B n .记坐标为 (1,1)的点为M ,),(n n n y x P 是三角形M B A n n 的外心,则=+++10021x x x . 10.已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-,[]0,,x π∈ 则=x . 11.设,A B 为抛物线2 2(0)y px p =>上相异两点,则2 2 O A O B AB +- 的最小值为 ___________________. 12.已知A B C ?中,G 是重心,三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且

各省高中数学竞赛预赛试题汇编

2012各省数学竞赛汇集

目录 1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页 2. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷(高一年级)---第7页 3. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷(高二年级)---第10页 4. 20XX年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页 5. 20XX年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页 6. 20XX年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页 7. 20XX年高中数学联赛福建省预赛试卷(高一年级)---第35页 8. 20XX年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页 9. 20XX年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页 10. 20XX年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页 11. 20XX年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页 12. 20XX年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页 13. 20XX年高中数学联赛新疆区预赛试卷(高二年级)---第77页 14. 20XX年高中数学联赛河南省预赛试卷(高二年级)---第81页 15. 20XX年高中数学联赛北京市预赛试卷(高一年级)---第83页

2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题(70分) 1、当[3,3]x ∈-时,函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中,已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率为_____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数,方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b (i 是虚部单位),则||a bi +的值 为_____5、在平面直角坐标系xOy 中,双曲线:C 221124 x y -=的右焦点为F ,一条过原点O 且倾斜角 为锐角的直线l 与双曲线C 交于 ,A B 两点.若FAB ?的面积为,则直线的斜率为 ___ 1 2 ____. 6、已知a 是正实数,lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中,5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为 _____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足:1123, 7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b += ___ 132n n -+___. (* n N ∈) 9、将27,37,47,48,557175, ,这7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数,则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31,三边,,a b c 均为整数,且a b c ≤≤,则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___. 二、解答题(本题80分,每题20分) 11、在ABC ?中,角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ,证明:

高中数学竞赛试题

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2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷

2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷(3) 姓名_______ 一、填空题,每题8分 1.设1 sin cos 2 +=x x ,则33sin cos +=x x 2.设i 为虚数单位,化简20162016(1)(1)++-=i i 3.已知等差数列121000,,a a a 的前100项之和为100,最后100项之和为1000,则1=a 4. 集合 [][][]{}{}231,2,,100++∈x x x x R 共有 个元素,其中[]x 表示不超过x 的 最大整数。 5.若关于x 的方程2=x x ae 有三个不同的实根,则实数a 的取值范围是

6. 在如图所示的单位正方体1111-ABCD A BC D 中,设 O 为正方体的中心,点,M N 分别在棱111,A D CC 上,112 ,23 ==A M CN ,则四面体1OMNB 的体积等于 7. 已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点,P 经过E 的两个焦点,并且P 与E 恰有三个交点,则E 得离心率等于 二、简答题 8.已知数列{}n a 满足211012 2391,5,2-----===n n n n a a a a a a ,2≥n 。用数学归纳法证明: 223+=-n n a

9.证明:对任意的实数,,a b c ≥并 求等号成立的充分必要条件。 10.求满足1≤-≤n m m n mn 的所有正整数对(,)m n

2017年高中数学竞赛模拟试卷(3)答案 一、 填空题,每题8分 1.设1 sin cos 2 += x x ,则33sin cos +=x x 解答:由1sin cos 2+= x x ,可得112s i n c o s 4+=x x ,故3 sin cos 8 =-x x ,从而33sin cos +=x x 221311 (sin cos )(sin cos sin cos )(1)2816 +-+= +=x x x x x x 2.设i 为虚数单位,化简20162016(1)(1)++-=i i 解答:由2(1)2+=i i ,可得2016 1(1)2+=i ,同理可得20161(1)2-=i 故 201620161009(1)(1)2++-=i i 3.已知等差数列121000,, a a a 的前100项之和为100,最后100项之和为1000,则1=a 解答:设等差数列的公差为d ,则有11004950100+=a d ,1100949501000+=a d 解得 10.505=a 4. 集合 [][][]{}{}231,2,,100++∈x x x x R 共有 个元素,其中[]x 表示不超过x 的 最大整数。 解答:设[][][]()23=++f x x x x 则有(1)()6+=+f x f x ,当01≤

2011年河北省高中数学竞赛试题

河北省高中数学竞赛试题2011年 一、填空题(本大题共8小题,每小题9分,满分72分) 1. 已知数列{}n a 满足:,2011,1,2403121==+≤ ++a a a a a n n n 则5a 的最大值为 . 2. 若y x ,均为正整数,且55y x -的值恰好是由一个2,一个0,两个1组成的四位数,则 满足条件的所有四位数是 . 3. 已知1222=++c b a ,则ac bc ab ++的值域为 . 4. 标号1,2,…,13号共4种颜色的卡片共计52张,加上两张空白卡片,平均放入三个不同的盒子,若某个盒子中有两张空白卡片,4张1,且2,3,…,13号卡片各一张,称该盒是“超级盒“。则出现超级盒的概率为 (列出算式即可). 5. 已知,)2()3(,3,11221n n n a n a n a a a +-+===++当n m ≥时,m a 的值都能被9整除,则n 的最小值为 . 6. 函数2011 201032211)(+++++++++++=x x x x x x x x x f 的图像的对称中心为 . 7. 6名大学毕业生到3个用人单位应聘,若每个单位至少录用其中一人,则不同的录用情况的种数是 . 8. 已知O 为坐标原点,),0,5(),0,4(C B 过C 作x 轴的垂线,M 是这垂线上的动点,以O 为圆心,OB 为半径作圆,21,MT MT 是圆的切线, 则21T MT ?垂心的轨迹方程是 . 二、解答题(本大题共6小题,每题的解答均要求有推理过程,9、10、11、12小题各12分,13、14小题各15分,共78分) 9. 解不等式.11122x x x x x <--+

高中数学竞赛模拟试题一汇总

高中数学竞赛模拟试题一 一 试 (考试时间:80分钟 满分100分) 一、填空题(共8小题,5678=?分) 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n (十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =, 1()(()) k k f n f f n +=, 1,2,3... k =,则 =)2010(2010f 。 3、如图,正方体1 111D C B A ABCD -中,二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+,则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中,给定两点(1,2)M -和(1,4)N ,点P 在X 轴上移动,当MPN ∠取最大值时,点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ,则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。

二、解答题(共3题,分44151514=++) 9、设数列}{n a 满足条件:2,121==a a ,且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证:对于任何正整数n ,都有:n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:,0>x ,m 为正常数.直线l 与曲线M 的实轴不垂直,且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点,O 为坐标原点。 (1)若||||||CD BC AB ==,求证:AOD ?的面积为定值; (2)若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1,求证:||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根,函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. (Ⅰ)求);(min )(max )(x f x f t g -= (Ⅱ)证明:对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ,若1sin sin sin 321=++u u u ,则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 (考试时间:150分钟 总分:200分) 一、(本题50分)如图, 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切,,,,E F G H 为切点,并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证:直线PA 与BC 垂直。 二、(本题50分)正实数z y x ,,,满 足 1≥xyz 。证明: E F A B C G H P O 1。 。 O 2

2018年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 精品

2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题(70分) 1、当[3,3]x ∈-时,函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中,已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数,方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b (i 是虚部单位) ,则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中,双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ,一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为,则直线的斜 率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数,lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中,5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的 体积为_____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足: 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. (* n N ∈) 9、将27,37,47,48,557175, ,这7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数,则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31,三边,,a b c 均为整数,且a b c ≤≤,则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___.

1999年河北省高中数学竞赛试题

1999年河北省高中数学竞赛试题 班级 姓名 一、选择题 1、已知log a b+3log b a=213,当a>b>1时,2 24b a b a ++的值是 ( ) A 、13 B 、4 C 、2 D 、1 2、设M={a|a=z y x 532??,x,y,z 均为非负整数}的子集为N={b|b 101,≤≤∈b M },则N 的子集中包含元素1和10的集合有 ( ) A 、10个 B 、64个 C 、128个 D 、256个 3、将边BC=15cm 的ABC 绕边AC 旋转一周,所得旋转体是有公共底面的两个圆锥,边AB 形成的圆锥的侧面展开图是半径为20cm ,圆心角为2160的扇形,则此旋转体内切球的半径是 ( ) A 、cm 760 B 、cm 548 C 、cm 5 36 D 、60cm 4、设x 2+3y 2 -4x+6y+3≤0,则x-3y 的范围是 ( ) A 、[3,7] B 、[1,9] C 、[3-32,7+32] D 、(5-32,7) 5、x+y+z=1999的正整数解的个数是 ( ) A 、998·1997 B 、999·1997 C 、999·1999 D 、1000·1999 6、一个正方体内接于一个圆锥(其中一个底面在圆锥底面上,相对的面的四个顶点 均在圆锥的侧面上),经过圆锥的两条母线作截面,则下列图形中不可能出现的图形 个数是 ( ) A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 二、填空题(每小题9分) 7、βα, 是x 2 +2px+1=0的两个虚根,若复平面上βα,,1对应的点构成正三角形,那么实数P= ; 8、设三棱锥P —ABC 中,PC ⊥平面ABC ,PC=AB=3,AC=2,∠C 为锐角,K 为棱 AB 上的动点,则?PCK 面积的最小值为 ; 9、已知函数2 2)(+=x x x f ,当x 1=1,x n =f(x n-1)(n ∈≥n ,2N)时,x 1999= ; 10、若复数z 满足|z+1+i|+|z-1-i|=22,记|z+i|的最大值和最小值分别为M ,m , 则m M = ; 11、设a>1,m>p>0,若方程x+log a x=m 的解为p ,则方程x+a x =m 的解是 ; 12、从6名男运动员中选4人,5名女运动员中选3人,分成3个小组去参加三个不同城市的体育比赛,要求每组中男运动员和女运动员至少各有1人,则不同的选派方案种数为 。(用数字作答) 三、解答题 13、(本题20分)设点P 是双曲线122 22=-b y a x 上除顶点外的任意一点,F 1,F 2分别为 左、右焦点,c 为半焦距,?PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2切于点M ,求|F 1M|·|F 2M|的 值。

高中数学竞赛预选赛试题

2020年学科知识竞赛预赛遴选 高中数学试题 考试时间:2020年5月10日 10:00-11:30 (全卷共120分) 一、填空题.(每题8分,一共10个题目) .______________,4)1,1,21122的方程为最小时,直线为圆心,当两点,交于:(与圆的直线、过点l ACB C B A y x C l M ∠=+-??? ??._________,2343cos ,,,,,,,2=+=?=?c a BC BA B c b a c b a C B A ABC 则,且成等比数列,已知的对边分别为中,内角、在._______1,23的最大值为那么满足、如果复数++=-++i z i z i z z .______________0)10(,2110)(4为的解集则或的解集为、已知一元二次不等式>??????>-<

全国高中数学联赛河北省预赛高三数学试题解析版

2018年全国高中数学联赛河北省预赛 高三数学试题 一、填空题 1.若 ,且 ,则 的最小值为______________. 【答案】3 【解析】试题分析:设Z=a+bi (a ,b∈R),满足|Z-2-2i|=1的点均在以C 1(2,2)为圆心,1为半径的圆上,所以|Z+2-2i|的最小值是C 1,C 2连线的长为4与1的差,即为3. 【考点】复数模的几何意义及数形结合的思想方法, 2.若,,且满足那么. 【答案】1 【解析】【详解】 把已知条件变形为函数 在上为增函数且是奇函数,另 ,故 即 ,所以 . 3.设点O 为三角形ABC 内一点,且满足关系式: _____. 【答案】 【解析】【详解】 将 化为 , . 设M 、N 分别是AB 、AC 的中点,则 . 设△ABC 的面积为S ,由几何关系知,,, 所以 . 4.过动点M 作圆: ()()2 2 221x y -+-=的切线MN ,其中N 为切点,若MN MO =(O 为坐标原点) ,则MN 的最小值是__________.

【答案】 72 8 【解析】解答:由圆的方程可得圆心C 的坐标为(2,2),半径等于1. 由M (a ,b ),则|MN |2=(a 2)2+(b 2)212=a 2+b 24a 4b +7, |MO |2=a 2+b 2. 由|MN |=|MO |,得a 2 +b 2 4a 4b +7=a 2 +b 2 . 整理得:4a +4b 7=0. ∴a ,b 满足的关系为:4a +4b 7=0. 求|MN |的最小值,就是求|MO |的最小值。 在直线4a +4b 7=0上取一点到原点距离最小, 由“垂线段最短”得,直线OM 垂直直线4a +4b 7=0, 由点到直线的距离公式得:MN 的最小值为: 22 77 28 44= + . 5.欲登上7阶楼梯,某人可以每步跨上两阶楼梯,也可以每步跨上一阶楼梯,则共有_____种上楼梯的方法. 【答案】21 【解析】【详解】 本题采用分步计数原理. 第一类:0次一步跨上2阶楼梯,即每步跨上一阶楼梯,跨7次楼梯,只有1种上楼梯的方法; 第二类,1次一步跨上2阶楼梯,5次每步跨上一阶楼梯,跨6次楼梯,有种方 法; 第三类:2次一步跨上2阶楼梯,3次每步跨上一阶楼梯,跨5次楼梯,有种方法; 第四类:3次一步跨上2阶楼梯,1次每步跨上一阶楼梯,跨4次楼梯,有种方法;共计21种上楼梯的方法. 6.已知棱长 的正方体 内部有一圆柱,此圆柱恰好以直线 为轴,则该圆柱体积的最大值为_____. 【答案】 【解析】【详解】

全国高中数学联合竞赛试题(校模拟)附答案

全国高中数学联合竞赛试题(校模拟) 第 一 试 时间:10月16日 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1、设锐角θ使关于x 的方程2 4cos cot 0x x θθ++=有重根,则θ的弧度数为( ) A. 6 π B. 512 12 or π π C. 56 12 or π π D. 12 π 2、已知2 2 {(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。若对所有 ,m R M N ∈≠? 均有,则b 的取值范围是( ) A. ???? B. ? ?? C. (,33 - D. ???? 3、 312 1 log 202x +>的解集为( ) A. [2,3) B. (2,3] C. [2,4) D. (2,4] 4、设O 点在ABC ?内部,且有230OA OB OC ++= ,则ABC ?的面积与AOC ?的面积 的比为( ) A. 2 B. 32 C. 3 D. 53 5、设三位数n abc =,若以a ,b ,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有( ) A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个 6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内的点,O 为底面圆的圆心,AB OB ⊥,垂足为B ,OH PB ⊥,垂足为H ,且PA=4,C 为PA 的中点,则当三棱锥O -HPC 的体积最大时,OB 的长是( ) A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 7、在平面直角坐标系xoy 中,函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的 区间上的图像与函数()g x = ________________。 8、设函数:,(0)1f R R f →=满足,且对任意,,x y R ∈都有 (1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+,则()f x =_____________________。

全国高中数学联赛预赛试题(含详细答案)

全国高中数学联赛江西省预赛试题 一、选择题(每小题6分,共36分) 1、若函数()()2lg 43f x ax x a =-+-的值域为R ,则实数a 的取值范围是( ). A 、()4,+∞ ;B 、[]0,4;C 、()0,4;D 、()(),14,-∞-+∞U . 2、设2 2 1a b +=,()0b ≠,若直线2ax by +=和椭圆22162x y + =有公共点,则a b 的取值范围是( ). A 、11,22?? -???? ; B 、[]1,1-; C 、(][),11,-∞-+∞U ; D 、[]2,2-. 3、四面体ABCD 的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41,且知41AB =,则CD = . A 、7 ; B 、13 ; C 、18 ; D 、27. 4、若对所有实数x ,均有sin sin cos cos cos 2k k k x kx x kx x ?+?=,则k =( ). A 、6; B 、5; C 、4; D 、3. 5、设(21 2n n a +=+,n b 是n a 的小数部分,则当*n N ∈时,n n a b 的值( ). A 、必为无理数; B 、必为偶数; C 、必为奇数; D 、可为无理数或有理数. 6、设n 为正整数,且31n +与51n -皆为完全平方数,对于以下两个命题: (甲).713n +必为合数;(乙).()28173n n +必为两个平方数的和. 你的判断是( ) A.甲对乙错; B. 甲错乙对; C.甲乙都对; D.甲乙都不一定对. 二、填空题(每小题9分,共54分) 7、过点()1,1P 作直线l ,使得它被椭圆22 194 x y + =所截出的弦的中点恰为P ,则直线l 的方程为 . 8、设x R ∈,则函数()f x =的最小值为 . 9、 四面体ABCD 中,面ABC 与面BCD 成060的二面角,顶点A 在面BCD 上的射影H 是BCD ?的垂心,G 是ABC ?的重心,若4AH =,AB AC =,则GH = . 10、000sin 20sin 40sin80??= . 11、数列{}n a 满足:11a =,且对每个*n N ∈,1,n n a a +是方程230n x nx b ++=的两根,

2012年河北省高中数学竞赛试题

2012年河北省高中数学竞赛试题 说明:本试卷分为A卷和B卷:A卷由本试卷的22题组成,即10道选择题,7道填空题、3道解答题和2道附加题;B卷由本试卷的前20题组成,即10道选择题,7道填空题和3道解答题。 一、选择题(本大题共有10小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题5分,共50分) 1. 已知,则可化简为( D ) A. B. C. D. 解答:因为,所以= 。正确答案为D。 2.如果复数的模为4,则实数a的值为( C ) A. 2 B. C. D. 解答:由题意得。正确答案为C。 3. 设A ,B为两个互不相同的集合,命题P:,命题q:或,则p是q的( B ) A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件 解答:P是q的充分非必要条件。正确答案为B。 4. 过椭圆的右焦点作倾斜角为弦AB,则为( C ) A. B. C. D. 解答:椭圆的右焦点为(1,0),则弦AB为代入椭圆方程得 。正确答案为C。 5. 函数,则该函数为( A ) A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数 解答:由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。 6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( A ) 2 2 3 1 2 2 1 2

2 正视图侧视图俯视图(圆和正方形) A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+ 解答:该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分(),所以该几何体的体积为。正确答案为A。 7.某程序框图如右图所示,现将输出(值依 次记为:若程序运行中 输出的一个数组是则数组中的( B ) A.64 B.32 C.16 D.8 答案经计算。正确答案为 B。 8. 在平面区域上恒有,则动点所形成平面区域的面积为( A ) A. 4 B.8 C. 16 D. 32 解答:平面区域的四个边界点(—1,—1),(—1,1),(1,—1),(1,1)满足,即有 由此计算动点所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。 9. 已知函数在上有两个零点,则m的取值范围为( C ) A. B C. D. 解答:问题等价于函数与直线在上有两个交点,所以m的取值范围为。

高中数学竞赛模拟题1-5

2011年全国高中数学联赛模拟试题一 一试 一.填空题(每小题8分,共64分) 1.函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 . 2. 函数x x x x y cos sin 1cos sin ++= 的值域是 . 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同。甲从袋中摸出一个球,其号码为a ,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于 . 4.设数列{}n a 的前n 项和n S 满足:1 (1) n n n S a n n -+=+,1,2,n =,则通项n a = . 5.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>与直线1x y +=交于M,N 两点,且OM ON ⊥,(O 为 原点),当椭圆的离心率]2 e ∈时,椭圆长轴长的取值范围是 . 6.函数 y =的最大值是 . 7.在平面直角坐标系中,定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为 . ),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等,其 中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ,则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和 为 . 8.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 . 二.解答题(共56分) 9.(16分) 已知定义在R 上的函数()f x 满足:5 (1)2 f =,且对于任意实数x y 、,总有()()()()f x f y f x y f x y =++-成立. (1)若数列{}n a 满足2(1)()(1,2,3, )n a f n f n n =+-=,求数列{}n a 的通项公式; (2)若对于任意非零实数y ,总有()2f y >.设有理数12,x x 满足12||||x x <,判断1() f x 和2()f x 的大小关系,并证明你的结论.

2011年河北省高中数学竞赛试题

2011年河北省高中数学竞赛试题 一、填空题(本大题共8小题,每小题9分,满分72分) 1. 已知数列{}n a 满足:,2011,1,2 403121==+≤ ++a a a a a n n n 则5a 的最大值为 . 2. 若y x ,均为正整数,且55y x -的值恰好是由一个2,一个0,两个1组成的四位数,则 满足条件的所有四位数是 . 3. 已知1222=++c b a ,则ac bc ab ++的值域为 . 4. 标号1,2,…,13号共4种颜色的卡片共计52张,加上两张空白卡片,平均放入三个不同的盒子,若某个盒子中有两张空白卡片,4张1,且2,3,…,13号卡片各一张,称该盒是“超级盒“。则出现超级盒的概率为 (列出算式即可). 5. 已知,)2()3(,3,11221n n n a n a n a a a +-+===++当n m ≥时,m a 的值都能被9整除,则 n 的最小值为 . 6. 函数2011 20103 22 11 )(+++ ++++ +++ += x x x x x x x x x f 的图像的对称中心为 . 7. 6名大学毕业生到3个用人单位应聘,若每个单位至少录用其中一人,则不同的录用情况的种数是 . 8. 已知O 为坐标原点,),0,5(),0,4(C B 过C 作x 轴的垂线,M 是这垂线上的动点,以O 为 圆心,OB 为半径作圆,21,MT MT 是圆的切线,则21T MT ?垂心的轨迹方程是 . 二、解答题(本大题共6小题,每题的解答均要求有推理过程,9、10、11、12小题各12分,13、14小题各15分,共78分) 9. 解不等式.1112 2 x x x x x < - -+

高中数学竞赛模拟题(十六套)

模拟试题一 2010年全国高中数学联赛模拟试题 一 试 一、填空题(每小题8分,共64分) 1.方程错误!未找到引用源。 2.如图,在错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,则m+2n 的值为 错误!未找到引用源。 3.错误!未找到引用源。 4.单位正方体错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。这八个面截这个单位正方体,则含正方体中心的那一部分的体积为 . 5.设数列错误!未找到引用源。 6.已知实数x ,y ,z 满足xyz=32,x+y+z=4,则|x|+|y|+|z|的最小值为错误!未找到引用源。 7.若错误!未找到引用源。 8.空间有100个点,任4点不共面,用若干条线段连结这些点,如果不存在三角形,最多 可连错误!未找到引用源。条线段. 二、解答题(共56分) 9.(16分)设错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。之和为21,第2项、第3项、第4项之和为33. (1)求数列错误!未找到引用源。的通项公式; (2)设集合错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。, 求证:错误!未找到引用源。. 10.(20分)过抛物线错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。的距离均不为整数. 11.(20分)已知二次函数错误!未找到引用源。有两个非整数实根,且两根不在相邻两整数之间.试求a , b 满足的条件,使得一定存在整数k ,有错误!未找到引用源。成立. 二 试 一.(40分)如图,已知错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。求证:错误!未找到引用源。 N D C A M B P E F A

二.(40分)设错误!未找到引用源。. 三. (50分)已知n 个四元集合错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。,试求n 的最大值.这里错误!未找到引用源。 四.(50分)设错误!未找到引用源。为正整数错误!未找到引用源。 的二进制表示数的各位数字之和,错误!未找到引用源。为数列错误!未找到引用源。的前n 项和. 若存在无穷多个正整数n ,满足错误!未找到引用源。,且m 错误!未找到引用源。,则称错误!未找到引用源。是“好数”.试问: (1)2,3,5是否都是好数? (2)错误!未找到引用源。是否都是好数? 模拟试题二 全国高中数学联赛模拟试题 江苏省盐城中学 陈健 第一试 一、填空题:(每小题7分,共计56分) 1. 若函数)(x f y =图象经过点(2,4),则)22(x f y -=的反函数必过点__________ 2. a 、b 、c 是从集合{ }54321,,,,中任意选取的3个不重复的数,则c ab +为奇数的概率为___________ 3. 已知数列{}n a 的通项公式是1 )1(1)1(2 244++++++=n n n n a n ,则数列{}n a 的前n 项和n S =_____ 4. 抛物线2 8 1x y - =的准线与y 轴交于点A ,过A 作直线交抛物线于点M 、N ,点B 在抛物线对称轴上,且MN MN BM ⊥+ )2 (,则OB 的取值范围是____________ 5. 已知,R αβ∈,直线 1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x y αβαβ +=++ 的交点在直线y x =-上,则cos sin c in s s o ααββ+++= 6. 如图,四面体ABCD 中,ADB ?为等腰直角三角形, 090=∠ADB ,1=AD ,且0 60=∠=∠ADC BDC , 则异面直线AB 与CD 的距离为______________ 7. 已知点)2,2(A 、),(y x P ,且y x ,满足 A B C D

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