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Solow-Swan模型

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第1章索洛-斯旺模型

从本章开始,我们将利用三章的篇幅来探讨增长经济学的内容。从初、中级的教科书中我们已经知道,增长经济学研究的是经济的长期行为,它重点要阐明一个国家或一个地区中生产能力的变化原因。具体而言,我们要探讨生产要素的积累和技术的改进是如何导致了生活水平的提高。在这部分内容中,我们将忽略经济的短期波动,并且假定劳动、资本以及原材料等生产要素都是被充分利用的。

经济的增长率一般是指国内生产总值(GDP)的增长率,这一指标衡量了一个经济的发展水平。图1-1给出了我国在1978-2001年间的人均GDP水平。从图中我们可以看到,以GDP衡量的我国经济水平经历了迅猛的发展。

图1-1 1978-2001年我国的人均GDP水平(单位:元/人)

实际上,这并不是我国所特有的现象,如果我们考察一下整个世界范围内的经济数据也会发现,与三百年前相比,甚至与五十年前相比,整个世界的平均生活水平都有了大幅度的提高。但是,与此同时,在世界上的不同国家之间,或者在同一国家的不同地区之间,生活水平之间的差异却又大得惊人。图1-2描绘的是我国2001年度31个省市自治区的人均GDP情况。图中的横坐标从左到右依次代表北京、天津、河北、山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江、上海、江苏、浙江、安徽、福建、江西、山东、河南、湖北、湖南、广东、广西、海南、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆。从图中我们可以看到,最富裕地区上海的人均GDP(横坐标9)与最贫穷地区(横坐标24)之间的差距达到了34517元。

图1-2 2001年我国31个省市自治区的人均GDP(单位:元/人)

单单只就上面提到的这两个事实(即在纵向上世界整体生活水平的迅速提高和在横向上各国之间或一国内的各个地区之间生活水平的巨大差异),关于经济增长研究的现实意义已不言而喻。正如卢卡斯(Robert E. Lucas)所言:“印度政府是否可以采取一些手段来使得印度经济像印度尼西亚或埃及一样增长?如果可以,是什么手段?如果不可以,那么使得它之所以如此的印度国情究竟是什么?对于涉及于此类问题之中的人类福利而言,结果是令人惊愕的:一旦你开始考虑它们,就很难再考虑其他的事情了。”1

本章所要探讨的索洛-斯旺模型2是几乎所有增长问题研究的出发点,甚至于那些从根本上不同于索洛-斯旺模型的理论通常也需要在与索洛-斯旺模型的比较中才能得到最好的理解。因此,要理解现代的各种经济增长理论就得首先理解索洛-斯旺(索洛-Swan)模型。

§1. 模型的基本假定

1Lucas, Robert E., Jr. (1988). ―On the Mechanics of Economic Development,‖ Journal of Monetary Economics, 22, 1 (July), 3-42.

2Solow, Robert M. (1956). ―A Contribution to the Theory of Economic Growth,‖ Quarterly Journal of Economics, 70, February, 65-94.

Swan, Trevor W. (1956). ―Economic Growth and Capital Accumulation,‖ Economic Record,

32 (November), 334-361.

索洛-斯旺模型考虑的是单部门经济,并且假定经济是封闭的。经济的产出有两种用途:消费或者投资。投资的多少取决于储蓄的多少,这是因为在一个封闭的经济中,产出是等于收入的,从而投资也就恰好等于储蓄。

于是,在任何一个时间点上,物资资本存量的净增加等于总投资减去折旧:

()K L K sF K I K

δδ-=-=, (1.1) 其中I 表示总投资,K 表示资本存量(K

表示对时间的导数,即资本存量关于时间的变化率),L 表示劳动投入(如果我们将每个人的工作强度标准化为1,则L 也可看作是经济的人口数量。在索洛-斯旺模型中,假定人口以外

生不变的速率0≥n 增长,即n L L =/ );0>δ,表示资本的折旧率,即在

每一时点上都有一个固定份额的资本要损耗掉;s 是外生给定的储蓄率,10≤≤s ;()L K F ,表示生产函数。

值得指出的是,方程(1.1)不过是大家熟悉的国民收入核算中“储蓄等于投资”这一性质的另一种表达方式。要想进一步得到资本和产出的运动规律,我们就要具体地讨论生产函数的性质。实际上,关于生产函数假定的不一样,可以导出各种截然不同的增长理论。在索洛-斯旺模型中,假定生产函数是新古典的,即()L K F ,满足下面三个性质:

1. 具有正且递减的边际产品:>K F ,0>L F ;0

2. 规模报酬不变,即对于任意的0>λ,有:()()L K F L K F ,,λλλ=。

3. 满足稻田(Inada )条件

3:()()∞==→→L L K K F F 00lim lim ;()()0lim lim ==∞→∞

→L L K K F F 。

利用规模报酬不变的性质,我们可将方程(1.1)重新表述为所谓的人均量形式(per capita form ),或称集约形式(intensive form )。为此,记k 和()k f 分别表示人均资本存量和人均产出: 3 Inada Ken-Ichi (1963). ―On a Two-Sector Model of Economic Growth: Comments and a Generalization,‖ Review of Economic Studies, 30 (June), 119-127.

L K k /≡,()()()()1,1,//,k F L K F L L K F k f ==≡

将方程(1.1)两端同除以L ,并考虑到:

()()nk k L L k L k L L K

+=+= /// 我们可得到:

()()k n k sf k

δ+-= (1.2) 这就是索洛-斯旺模型的基本微分方程,其中的()δ+n 可以理解为人均资本k 的有效折旧率。我们可以想象一下,如果经济的储蓄率s 为零,则由方程(1.2)可知,人均资本存量k 将以速率()δ+n 递减,这有两方面的原因:一是总资本存量K 总是以速率δ折旧;二是总人口L 以速率n 递增。从另一个角度来说,如果经济的投资恰好等于()k n δ+,则人均资本存量k 就可以保持一个不变的水平,因此我们也可将()k n δ+称为持平投资。

图1-3描绘了方程(1.2)所定义的资本存量的变化规律。

§2. 模型的稳态

前面说到,增长理论研究的是经济的长期行为。换句话说,我们要通过模型来确定出经济的长期发展路径,而与经济的长期发展路径密切相关的一个概念是稳定性。试想,如果我们已经通过模型分析知道了经济的长期发展

*k

图1-3 索洛-斯旺模型

路径,但是这条路径却是不稳定的,即初始状态的稍有不同都会导致将来结果的巨大偏差,那么,基于这样的长期发展路径所做出的各种预测又有什么意义呢?因此,现代大多数的增长理论都着重分析经济增长的“稳态(Steady State)”和“平衡增长路径(Balanced Growth Path)”。

简言之,“稳态”是指一种在其中各种经济变量都以不变速率增长的状态。在此状态下,经济的增长路径我们就称之为“平衡增长路径”。按照这样的定义,我们将会发现,所谓“稳态(Steady State)”和“平衡增长路径(Balanced Growth Path)”不过是一种非现实的理想状态而已4。从更现实的角度出发,索洛认为,如果一个经济的增长行为符合下面所描述的增长特征中的前三种或者前四种,那么我们就可认为经济大致地处于平衡增长路径上:5

1.人均(或每人时)实际产出在相当长的时期内以大致不变的速率增长。

2.粗略地讲,实际资本存量以一种大致不变的速率增长,且这种速度超过劳动投入的增长速度。于是,在长期内,人均资本也以大致稳定的

速度增长。

3.实际产出的增长率与资本存量的增长率大致上趋于一致。因而,资本产出比并未表现出一种系统化的变化趋势。

4.除了由有效需求的急剧变动偶尔引起的强烈变动之外,资本的利润率呈现出水平的趋势。

5.人均产出的增长率可以在不同的国家之间呈现出巨大的差异。

6.一种经济中,如果利润占收入的比例越较高,则投资占产出的比例也越高。

进一步地,索洛还认为,“现代经济增长理论的大部分被用来分析稳定状态的特征,以及被用来考察最初未处于稳定状态的经济在按特定的运动规律运行的情况下能否进入稳定状态。”6

下面我们来考察由方程(1.2)所定义的索洛-斯旺模型的稳态。将方程(1.2)两端同除以k得到:

()()δ+

sf

/ (1.3)

k/

k

-

k

=n

k

上式左端表示的是人均资本存量的增长率,在稳态中应当是不变的;因此,上式右端中的()k

f/在稳态中也应是不变的(参见上面提到的特征3),即

k

在稳态中关于时间的导数为零:

4Robinson, Joan (1969). The Accumulation of Capital, London: Macmillan Co., Ltd.

5Solow, Robert (1970). Growth Theory: An Exposition, Oxford: Clarendon Press.

6Solow, Robert (1970). Growth Theory: An Exposition, Oxford: Clarendon Press.

()[]()()[]{}()0////=?'--=k k

k k f k k f dt k k f d (1.4) 上式当中的()()[]k f k k f '-表示的是劳动的边际产品,应为正。由此可知,

在稳态中必有0=k

。因此,索洛-斯旺模型的稳态*k 由下式决定(参见图1-3):

()()**+=k n k sf δ (1.5)

进一步地,我们还可知道,在平衡增长路径上,人均产出()**≡k f y 和人均消费()()**-≡k f s c 1都是固定不变的。如果从总量的角度来看,总资本存量K 、总产出Y 、以及总消费C 在平衡增长路径上都是以人口增长率n 的速度增长。

为讨论稳态*k 的稳定性,我们考察索洛-斯旺模型在*k 附近的线性化系统:

()()()[]()*

**-+-'=-k k n k f s dt k k d δ / (1.6) 可以证明,()()[]0<+-'*δn k f s 7,从而*

k 是稳定的,这就意味着无论经济的初始状态如何,最后经济都会收敛到系统的平衡增长路径上来。

索洛-斯旺模型的这一结论与人们所观察到的一个多世纪以来的正的人均增长率的经验事实是不相符合的8

,在这个意义上我们说,索洛-斯旺模型并没有对长期人均增长的决定给予合理的解释。

由上面的模型还可知,储蓄率、人口增长率以及资本折旧率都可以影响到稳态中各种人均量的数值,但是对于人均量的长期增长率却没有影响。这就是说,不同的经济系统可以有不同的稳态,并且从初始状态到稳态的转移路径也可以不尽相同,但是最终的长期增长结果却是一样的,即都是零增长(在稍后我们要讨论的具有技术进步的索洛-斯旺模型中,长期的增长率是外生的技术进步率)。但是我们知道,真正对人类的经济福利有意义的经济变量正是上面提到的这些人均量,因此,在索洛-斯旺模型中这些人均量的长期增

7 凹函数()k sf 的斜率在0=k 时为无穷大,然后随着k 的增加而减少,即曲线()k sf 随着k 的增加而变得逐渐平坦,并在*k 处与直线()k n δ+相交。此时必有曲线()k sf 的斜率小于直线()k n δ+的斜率。

8 Barro, Robert and Xavier Sala-i-Martin (1995). Economic Growth. McGraw-Hill, Inc.

长为零意味着探求更好的理论增长模型的工作才刚刚开始。

§3. 模型的转移动态

由于稳态*k 是稳定的,因此,随着时间的推移,人均资本存量水平最终会收敛到其自身的稳态值上来。在增长理论中,我们一般用符号γ来表示其

下标所代表的经济变量的增长率,因此,人均资本存量的增长率k k

k / ≡γ由下式决定:

()()δγ+-=n k k sf k / (1.7)

其中()k k sf /是一条负斜率的曲线。9

因此,上式表明,人均资本存量的增长率由资本的平均产品中的储蓄部分和资本的有效折旧率之间的差额所决定。如图1-4所示,当人均资本存量小于稳态水平时,增长率是正的,但随着资本存量水平的增加,增长率在不断地递减,最终递减为零,而资本存量水平达到了稳态水平;当人均资本存量大于稳态水平时,增长率是负的,从而资本存量水平不断递减,最终达到稳态的资本存量水平,增长率为零。

图1-4 索洛-斯旺模型的转移动态

由此可知,导致索洛-斯旺模型中长期的人均增长率为零的根本原因是递

9 ()[]()()[]0///2<'--=k k f k k f dk k k f d 。

k

*

k

减的资本报酬(参见本章的脚注9)。对外生给定的储蓄率和资本的有效折旧率而言,当资本存量较低时,资本的平均产品相对较高,从而资本存量的增长率也就相对较高;但是,随着资本存量的不断增加,资本的平均产品将不断递减,从而在弥补了资本的有效折旧之后所达到的增长率也就不断地递减,最终下降到零。

§4. 条件收敛

索洛-斯旺模型的一个重要预言是条件收敛的性质。由图1-4可以看出,初始的人均资本存量水平越低,则相应的增长率也就越高10。这似乎意味着穷国或者贫穷的地区(即初始的资本水平或产出水平较低)要比富国或者富裕的地区(即初始的资本水平或产出水平较高)增长得要快。于是,一个有着巨大现实意义的问题油然而生:随着时间的推移,贫穷的经济和富裕的经济之间是否将出现收敛(或者说,趋同)的倾向?

要回答上述问题,我们首先必须区分绝对收敛和条件收敛这两个概念。所谓绝对收敛,是指在人均量上贫穷的经济要比富裕的经济增长得快,并且这不以经济当中的任何其他特征为前提条件。按照这种含义,从长期来看,在贫穷的经济和富裕的经济之间就确实会出现收敛的现象。但是,这一概念并没有得到经验数据的支持11。

和绝对收敛相联系的另一概念是条件收敛。所谓条件收敛,是指贫穷经济和富裕经济之间的收敛倾向是以经济当中的一些其他特征为前提条件的。具体而言,如果这两种经济具有相同的稳态水平的话,则收敛的性质才成立,而这正是索洛-斯旺模型所预言的性质。利用方程(1.5)和(1.7)我们可得: ()()()??

????-?+=**1//k k f k k f n k δγ (1.8)

上式清楚地表明,只有当人均资本存量的较低水平是相对于其稳态值而言时,一个更低的k 值才会和一个更高的k γ相对应。

我们从(1.5)式可知,一个经济的稳态水平是由经济的生产函数、储蓄率、人口增长率以及折旧率共同决定的。一般来说,不同的国家在这些经济特征上必定存在着巨大的差异,因此,基于较广泛的跨国数据集的经验研究并不支持条件收敛的结论(这和本章的脚注11中所谈到的绝对收敛性缺乏经济证据支持是一致的)。另一方面,如果我们考虑的跨国数据集中所涉及的国家都具有相似的经济结构(比如,OECD 国家),或者我们考虑的是同一个国

10

利用(4.7)式,可得()()[]0///<'--=??k k f k k f s k k γ。

11 巴罗(Robert Barro )和萨拉伊马丁(Xavier Sala-i-Martin ) 在其著作《经济增长》一书中利用涉及118个国家的跨国数据样本考察了这一性质,结论是否定的。

家内的不同地区(比如,我国的各个省市,美国的各州,或者日本的各县等),则大致上可以认为它们具有相同的稳态,从而条件收敛的性质应该成立12。 如果经济具有条件收敛的性质,则另一个令人感兴趣的问题是收敛速度的快慢。如果这个速度很快的话,则我们只需关心稳态附近的经济行为,因为大多数经济将很快地接近其稳态;如果这个速度很慢的话,则经济系统的行为将由转移动态所主导。下面我们以科布-道格拉斯型生产函数为例来计算出经济系统向着其自身稳态收敛的速度。

在索洛-斯旺模型中,如果生产函数取科布-道格拉斯(Cobb-Douglas )的形式:()αk k f =,则相应的经济增长率为:

()δγα+-=-n sk k 1

将上式在稳态附近对数线性化可得:

()[][]*--==k k dt k d k log log /log βγ

其中()()δαβ+-≡n 1,这一参数决定了从k 到*k 的收敛速度。

至于产出的增长速度,则由k y αγγ

=可知: ()[][]*

--==y y dt y d y log log /log βγ

由上式可得: ()[](){}*-*-=-y y e y t y t l o g 0l o g l o g l o g β (1.9)

举一个数值的例子:如果05.0=β,则上述收敛过程的半衰期大约是14年,即经济要想缩短其从初始位置到其自身稳态的距离的一半的话,大约要花费14年的时间。

§5. 储蓄率的变化

在索洛-斯旺模型中,稳态水平由储蓄率、人口增长率、资本折旧率以及生产函数的具体形式共同决定,其中最容易受到政府政策影响的参数是储蓄率。设想一下,如果政府引入某种政策把经济的储蓄率从原有的水平0s 永久 12 巴罗(Robert Barro )和萨拉伊马丁(Xavier Sala-i-Martin ) 在其著作《经济增长》一书中分别利用美国各州、日本各县以及欧洲各地区的数据样本考察了这一性质,结论是肯定的。

性地提高到一个新的水平1s ,那么,这会给经济中的其他变量带来什么样的

影响呢?

图1-5 储蓄率增加的影响

从图1-5我们可以看到,储蓄率的上升最终会导致稳态资本水平的提高,但是这种提高并不是瞬间达到的。起初,资本存量水平位于原先的稳态水平*

0k 上,但是由于储蓄率的提高导致实际的投资水平超过了持平投资,从而k 的增长率是正的,人均资本存量将持续上升直至达到新的稳态水平*

1k 。 储蓄率的变化也会对人均消费产生影响。起初,储蓄率从0s 到1s 的永久

性提高将会立即导致人均消费的瞬时下降,但是,随着资本存量的不断增加,资本的平均产品不断递减,从而在1s 保持不变的情形下,消费将开始上升,

并最终达到一个新的稳态水平。一个有意思的问题是:人均消费的这个新稳态水平是否一定会超过储蓄率提高前人均消费的稳态水平呢?这个问题的答案并不是确定的,它取决于原先资本存量的稳态水平是否处于我们下面将要谈到的黄金率水平上。

我们知道,不同的储蓄率可以导致不同的稳态,因此,我们可以将稳态中的人均消费水平看作是储蓄率的函数:

c

()()()()()()****+-=-=k n s k f k f s s c δ1 (1.10) 最大化稳态消费水平的一阶条件为:

()[]()()()[]()[]0//=?+-'=***ds s k d n s k f ds s c d δ (1.11) 由于()[]0/>*ds s k d ,故

()()

()δ+='*n s k f (1.12) 上式称为资本积累的黄金率13

,我们记使得上式满足的储蓄率为gold s ,并将对应于gold s 的稳态人均资本存量和稳态人均消费水平分别记为gold k 和gold c 。下面我们可分两种情况来讨论索洛-斯旺模型中外生给定的储蓄率对于人均消费的影响。

1. 如果外生给定的储蓄率s 大于gold s ,则相应地有gold k k >*

gold c c <*。若我们可将储蓄率从s 降到gold s ,则*c 在向gold c 转移的整个过程中都保持着高于*c 的消费水平。这就意味着,由外生储蓄率s 所刻划的经济是过度储蓄了,这样的经济被称为是动态无效率的,这是索洛-斯旺模型的一个令人不满意之处。

2. 如果外生给定的储蓄率s 小于g o l d s ,则相应地有gold k k <*

gold c c <*。在此情形下,要想达到最大的稳态人均消费水平,我们必须提高当前的储蓄率,但这就意味着我们必须放弃部分的当前消费。因此,在没有很好地刻划消费者对于当前消费和未来消费的评价标准之前,我们无法判断储蓄率的增加对于消费者的合意性。在下一章中,我们将引入了内生的储蓄率,这一问题可得到明确的答案。

§6. 具有技术进步的索洛模型

一般来说,技术和技术进步是两个外延很广的概念。从狭义上来说,技 13 Phelps, Edmund (1966). Golden Rules of Economic Growth. New Y ork: Norton.

术可以是指某一具体的物理工具;而从广义上来说,技术又可以是指整个社会化的过程。尽管在增长理论的文献中,技术进步是一个使用频率相当高的术语,但实际上当经济学家们提到技术进步时,他们指的只是技术进步的生产函数解释。更确切地说,如果我们假定在生产过程中只有两种要素——资本与劳动——的话,则技术进步对于生产的影响体现在这两种生产要素使用量的变化上。

按照技术进步的这种经济学解释,我们可以定义出不同类型的技术进步。最简单的一种类型是:假定对于一给定的产出水平,技术进步可以改变所需生产要素的投入组合。劳动节约型的技术进步将导致一较高的资本-劳动比,而资本节约型的技术进步导致一较低的资本-劳动比,中性的技术进步则可保持资本-劳动比不变。虽然这一技术进步的经济学定义是很好理解的,但是在我们考虑宏观经济问题(特别是经济增长问题)时,假定产出水平不变却是不现实的。

常用的适合宏观经济问题的技术进步类型有三种:希克斯(Hicks )型、哈罗德(Harrod )型和索洛型。希克斯型的技术进步可以定义为劳动节约型,资本节约型或中性的,如果对于一给定的资本-劳动比,它使得资本的边际产品相对于劳动的边际产品来说提高,降低或保持不变;哈罗德型的技术进步可以定义为劳动节约型,资本节约型或中性的,如果对于一给定的资本-产出比,它使得资本的边际产品相对于劳动的边际产品来说提高,降低或保持不变;索洛型的技术进步可以定义为劳动节约型,资本节约型或中性的,如果对于一给定的劳动-产出比,它使得资本的边际产品相对于劳动的边际产品来说提高,降低或保持不变。

可以证明,在我们考虑不变的技术进步率时,只有哈罗德中性的技术进步和稳态的存在是相一致的14。因此,为保持和前面讨论的一致性,我们假定索洛-斯旺模型中的技术进步是哈罗德中性的。从代数上来看,这意味着生产函数具有下面的形式:

()[]t A L K F Y ?=, (4.13)

其中()t A 是一个技术参数,假定0/≥=x A A

。如果我们定义有效劳动()t A L L

?≡?,并且令()[]t A L K k ?≡/?,表示每单位有效劳动的资本存量,则可利用推导方程(1.2)的相同方法得到具有技术进步的索洛-斯旺模型的基本微分方程:

()

()k n x k sf k ???δ++-= (4.14) 14 参见Barro and Sala-i-Martin (1995). Economic Growth. McGraw-Hill, Inc.

其中()()

1,??k F k f ≡。 相应的稳态*k

?满足: ()

()**++=k n x k sf ??δ (1.15) 因此,按有效劳动平均的资本存量在平衡增长路径上不变的,从而0?=*k γ。

进一步地,每单位有效劳动的产出()[]()

k f t A L Y y ?/?=?≡,

以及每单位有效劳动的消费()y s c ?1?-≡在平衡增长路径上也都是零增长。至于人均资本存量k 、人均产出y 和人均消费c 的稳态增长率,则正好等于外生给定的技术进步率x 15。

由此可知,通过引入哈罗德中性的技术进步,索洛-斯旺模型最终将增长理论和一个正的可能不变的长期人均增长率调和在一起。也就是说,如果技术进步能够连续地发生,那么人均产出的增长率就可以不断地增加。从另一方面说,如果缺乏技术的连续进步的话,索洛-斯旺模型所描述的经济的增长就会最终停止。令人遗憾的是,这个至关重要的技术进步率在索洛-斯旺模型中却是以一种不加解释的外生形式给定的,这是索洛-斯旺模型最主要的理论缺陷。甚至可以夸张一点地说,具有技术进步的索洛-斯旺模型是通过假定(技术的)增长来解释了(产出的)增长。

§7. 经济增长核算

我们知道,在索洛-斯旺模型中人均产量的长期增长是由外生的技术进步决定的,但短期的增长仍然取决于资本的积累。因此,确定短期增长的来源仍然是一个经验上的问题。由阿布拉莫维茨(Abramovitz )和索洛首开先河的增长核算方法为这一经验问题提供了一条解决途径。16在他们之后,大量的关于增长的经验研究应运而生,甚至在今天仍不乏一些本质上的追随者。

经济增长核算的目标是将总产量的增长率分解为来自要素投入的贡献 15 利用关系式x -=**γγ?。

16 Abramovitz, M. (1956). ―Resource and Output Trends in the United States since 1870,‖

American Economic Review , 46, May, 5-23.

Solow, Robert M. (1957). ―Technical Change and the Aggregate Production Function,‖ Review of Economics and S tatistics, 39, 3 (August), 312-320.

(主要是资本和劳动)和技术进步的贡献(实际上包括了除去资本和劳动投入以外的所有其他因素)。考虑生产函数:

()()()[]t L t A t K F Y ,=

将上式两边关于时间求导并整理得:

()()()A

A Y A Y A L L Y L Y L K K Y K Y K Y Y ????+????+????=//// 如果要素市场是完全竞争的,则由边际产品定价法则可知,

()Y K

Y K ???/和()

Y L Y L ???/分别表示的是总收入中资本和劳动所占的份额。记资本的份额为

()t α,则我们可将上式写成:

()()()[]()()t R L L t K K

t Y Y +-+=/1// αα 其中()t R 是残差项。上式表明,产量的增长可分解为资本存量的贡献、劳动投入的贡献、以及一个剩余项(即索洛残差)。人们经常将索洛残差解释为对技术进步的贡献的度量,但是我们由上面的推导可知,它实际上反映了除去资本积累和劳动投入通过其私人收益所做贡献外的所有其他的增长源泉。如果我们知道产出、资本投入、劳动投入以及相应的资本租金率和工资率,则可计算出资本份额和劳动份额,以及产出、资本存量和劳动投入的增长率,从而就可以计算出技术的增长率,这就是所谓的索洛残差法。

经济增长核算通常被认为是分析经济增长的决定因素的第一步,这一方法的最主要特征是不涉及到计量经济分析。应该指出,如果那些影响到要素增长的基本因素和影响到技术进步的基本因素之间是相互独立的话,那么增长核算方法是一种非常重要并且简单明了的阐明增长机制的方法。但是,增长核算方法的缺陷也相当明显,即这一方法并没有解释产出的变动和技术的提高是如何联系于那些通常被认为是经济增长的基本决定因素(例如偏好、技术以及政府政策等)的。

§8. 索洛-斯旺模型及其以后

尽管索洛-斯旺模型没有令人满意地解释经济增长的长期机制,但在他们之后关于增长理论的每一次重要进展都和他们的模型密切相关。可以说,索洛-斯旺模型的最重要意义是搭建了现代增长理论的研究框架,甚至在今天,增长理论的研究中所使用的基本“语言”仍然是索洛和斯旺当年提出的,例如总资本存量、总量生产函数等。另外,索洛-斯旺模型当年所讨论的各种概念(例如技术进步、收敛性等)今天也仍然是增长经济学讨论的主题。夸张一点地说,后面两章将要介绍的各种内生增长模型实际上都是对于索洛-斯旺

模型的一种扩展,例如,拉姆齐-卡斯-库普曼斯(Ramsey-Cass-Koopmans)模型将消费者的最优选择整合进索洛模型,从而实现储蓄率的内生化;具有外部性或是人力资本的内生增长模型通过对索洛-斯旺模型中的资本要素的重新解释来扩展索洛-斯旺模型;内生的技术进步模型讨论的是如何给索洛-斯旺模型中技术进步率以合理的经济学解释;内生的人口和劳动供给模型讨论的是如何给索洛-斯旺模型中的人口增长率以合理的经济学解释。实际上,索洛本人在总结其对于增长经济学的贡献的著名著作《经济增长理论:一种解说》中就已经指出:“…我倾向于认为,无法从单部门增长理论中发掘出比本书内容多出很多的东西…”17。正是由于这个原因,索洛-斯旺模型是任何关于增长的经济学教材或者关于增长经济学的综述都无法避免的内容,并且,也只有在很好地理解了索洛-斯旺模型中关于各种参数的假定以及模型的主要结论之后,才能准确地把握住现代经济增长理论发展的脉络,进而正确地理解下两章中介绍的关于内生增长理论的内容。

经济学家们一般将索洛-斯旺模型及其追随者的研究称为外生的增长经济学。正如我们所介绍的,在具有技术进步的索洛的模型中,有三个主要的经济变量是外生的:储蓄率、人口增长率和技术进步率。储蓄率和人口增长率决定了长期经济发展的稳态(一般假定折旧率保持不变),而技术进步率则决定了长期经济发展的速度。但是我们知道,这三个经济变量显然又应该是由人们的经济行为所决定的,它们的外生性假定既会使模型丧失一定的理论价值,也会制约到模型在现实经济生活中的解释力,因此,如何将它们内生化既是索洛和斯旺之后增长理论发展的方向,实际上也是对经济学家们智力的挑战。

首先,卡斯和库普曼斯在引入了拉姆齐的跨期可分效用框架后,可将储蓄率内生化,从而避免了原始的索洛-斯旺模型中可能出现的动态积累的无效率,同时保持了索洛-斯旺模型中条件收敛的结论。18但是,仅仅将储蓄率内生化并不能避免长期的人均正增长需要外生的技术进步来支持的这一结论。

其次,外生的连续技术进步是索洛-斯旺模型中长期人均增长的唯一源泉,这是后来的研究者们最不满意,并且投入了大量的研究努力来试图改进的地方,这方面的研究工作在索洛和斯旺之后大致可以分成两种类型:非报

17Solow, Robert (1970). Growth Theory: An Exposition, Oxford: Clarendon Press.

18Cass, David (1965). ―Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation,‖Review of Economic Studies, 32 (July), 233-240.

Koopmans, Tjalling C. (1965). ―On the Concept of Optimal Economic Growth,‖in The Econometric Approach to Development Planning, Amsterdam, North Holland.

Ramsey, F. (1928). ―A Mathematical Theory of Saving,‖ Economic Journal, 38, December, 543-559.

酬递减型和内生技术进步型。非报酬递减型的模型大致上可以分成两类:外部经济型和人力资本型。在外部经济型的增长模型中,技术的扩散是由于经济的外部性,而非有意识的科研活动的结果,这其中最著名的是阿罗(Arrow)的边干边学(Learning by doing )思想19,在他的模型中,企业在不断的投资过程中也学会了如何更有效的生产。罗默(P. Romer)正是继承了这一思想20,并构造出了今天我们所知道的第一个内生增长模型;人力资本型的增长模型则是通过资本积累过程中物资资本和人力资本的比例的变化来实现内生增长,其中最著名的是宇泽(Uzawa)和卢卡斯所构造的两部门内生增长模型21。内生的技术进步模型大致上也可以分成两类:产品数量增加型的技术进步和产品质量改进型的技术进步。关于前一类型的模型始于罗默22,而后一类型的模型则始于阿洪(Aghion)和豪伊特(Howitt)23,这两类模型的最大特点是突破了传统的完全竞争框架,以垄断利润作为对科研活动的激励,从而使得连续的技术进步可以内生地实现。

再次,试图将人口增长率或劳动供给内生化的研究工作也大致可以分成两个方面:人口的迁移和生育的内生选择。关于前一个方面的工作始于布劳恩(Braun)在1993年完成的博士论文24,而后一方面的工作则主要是基于贝克尔(Becker)和巴罗(Barro)的工作25。

最后指出一点,在上面提到的三个将索洛-斯旺模型内生化的研究方向中,第一个现在已经发展成为宏观经济学的标准研究工具,尽管内生的储蓄率实际上并不能保证长期的正人均增长;第二个努力方向是大量的关于增长

19Arrow, Kenneth J. (1962). ―The Economic Implications of Learning by Doing,‖ Review of Economic Studies, 29 (June), 155-173.

20Romer, Paul (1986). ―Increasing Returns and Long-Run Growth,‖ Journal of Political Economy, 94, 5 (October), 1002-1037.

21Uzawa, Hirofumi (1964). ―Optimal Growth in a Two-Sector Model of Accumulation,‖Review of Economic Studies, 31, January, 1-24.

Lucas, Robert E., Jr. (1988). ―On the Mechanics of Economic Developmen,‖Journal of Monetary Economics, 22, 1 (July), 3-42.

22Romer, Paul M. (1990). ??Endogenous Technological Change,‘‘ Journal of Political Economy, 98, 5 (October), Part 2, S71–S102.

23Aghion, P. and Peter Howitt. (1992). ―A Model of Growth through Creative Destruction,‖

Econometrica, 60, 2 (March),323-351.

24Braun, Juan (1993). Essays on Economic Growth and Migration, PH. D. dissertation,

Harvard University.

25Barro, Robert J. and Gary S. Becker (1989). ―Fertility Choice in a Model of Economic Growth,‖ Econometrica, 57, 2 (March), 481-501.

的研究的文献的重点所在,也是大家在提到内生增长模型时的一般所指;第三个方向就目前来说,所吸引的研究努力相对来说仍很缺乏,需要经济学家们进一步的关注。

关联分析模型分析报告

关联分析

目录 一、概括 (1) 二、数据清洗 (1) 2.1公立学费(NPT4_PUB) (1) 2.2毕业率(Graduation.rate) (1) 2.3贷款率(GRAD_DEBT_MDN_SUPP) (2) 2.4偿还率(RPY_3YR_RT_SUPP) (2) 2.5毕业薪水(MD_EARN_WNE_P10)。 (3) 2.6 私立学费(NPT4_PRIV) (3) 2.7 入学率(ADM_RATE_ALL) (4) 三、Apriori算法 (4) 3.1 相关概念 (5) 3.2 算法流程 (6) 3.3 优缺点 (7) 四、模型建立及结果 (7) 4.1 公立模型 (7) 4.2 私立模型 (10)

一、概括 对7703条样本数据,分别根据公立学费和私立学费差异,建立公立模型和私立模型,进行关联分析。 二、数据清洗 2.1公立学费(NPT4_PUB) 此字段,存在4个负值,与实际情况不符,故将此四个值重新定义为NULL。重新定义后,NULL值的占比为75%,占比很大,不能直接将NULL值删除或者进行插补,故将NULL单独作为一个取值分组。 对非NULL的值按照等比原则进行分组,分组结果如下: A:[0,5896] B:(5896,7754] C:(7754, 9975] D:(9975, 13819] E:(13819, +] 分组后取值分布为: 2.2毕业率(Graduation.rate) 将PrivacySuppressed值重新定义为NULL,重新定义后,NULL值的占比为20%,占比较大,不适合直接删除或进行插补,故将NULL单独作为一个取值分组。 对非NULL值根据等比原则进行分组,分组结果如下: A:[0,0.29]

关联度分析

21.灰色系统关联度分析法 对两个系统或两个因素之间关联性大小的量度,称为关联度。它描述系统发展过程中因素间相对变化的情况,也就是变化大小、方向及速度等指标的相对性。如果两者在系统发展过程中相对变化基本一致,则认为两者关联度大;反之,两者关联度就小。灰色系统理论的关联度分析与数理统计学的相关分析是不同的,两者的区别在于第一,它们的理论基础不同。关联度分析基于灰色系统的灰色过程,而相关分析则基于概率论的随机过程;第二,分析方法不同。关联分析是进行因素间时间序列的比较,而相关分析是因素间数组的比较;第三,数据量要求不同。关联分析不要求数据太多,而相关分析则需有足够的数据量;第四,研究重点不同。关联度分析主要研究动态过程,而相关分析则以静态研究为主。 因此,关联度分析适应性更广,在用于社会经济系统中的应用更有其独到之处。 21.1原理与方法简介 关联度分析一般包括下列计算和步骤:(1) 原始数据变换;(2) 计算关联系数;(3) 求关联度;(3) 排关联序;(4) 列关联矩阵。在应用中是否进行所有步骤,可视具体情况而定。 设有m 个时间序列 亦即 {{{1(0)2(0)m (0)X t X t X t ()},()},,()} (t =1, 2, …, N ) N 为各序列的长度即数据个数,这m 个序列代表m 个因素(变量)。另设定时间序列: {X 0(0)(t )} (t =1, 2, …, N )

该时间序列称为母序列, 而上述m 个时间序列称为子序列。关联度是两个序列关联性大小的度量。根据这一观点,可给关联度一个量化模型,其计算方法与步骤具体叙述如下: 1均值化变换。先分别求出各个序列的平均值,再用平均值去除对应序列中的各个原始数据,所得到新的数据列。 2指标差值处理。在均值化变换后得到的新数据列 中,用第一列的数据分别与其他列数据相减取绝对值 3 计算关联系数 经数据变换的母数列记为{X 0 (t )},子数列记为{X i (t )},则在t =k 时母序列{X 0 (k )}与子序列{X i (k )}的关联系数L 0i (k )可由下式计算,式中?0i (k )表示k 时刻两比较序列的绝对差, 即 ?0i (k )=∣x 0 (k )-x i (k )∣ (1 ≤ i ≤ m ); ?max 和?min 分别表示所有比较序列各个时刻绝对差中的最大值与最小值。因为比较序列相交,故一般取?min =0;ρ称为分辨系数,其意义是削弱最大绝对差数值太大引起的失真,提高关联系数之间的差异显著性,ρ∈(0, 1),一般情况下可取0.1~0.5。本文取0.5。 分析结果 不难看出,关联度与下列因素有关: 1) 母序列X 0不同,则关联度不同; 2) 子序列X i 不同,则关联度不同; 3) 参考点0 (或数据变换)不同,关联度不同; 4) 数据序列长度N 不同,关联度不同; 5) 分辨系数ρ不同,关联度不同。 L k k i i 0 0 ( ) ( ) min max max = + + ? ρ? ? ρ?

立体视觉知识补充

现在我们有一架平衡双目摄像机,和一个棋盘和一个待重构的物体或者要拍摄的画面,我们的目的就是利用两个摄像机捕捉同一个画面或者物体图像,然后根据在两幅图像上遍历同一个世界三维点映射到两个图像平面的响应匹配点,然后利用匹配点视差和摄像机相关参数,以及图像二维点的信息就可以得到世界物体的三维坐标。 1、立体标定 cvStereoCalibrate(),利用两个摄像机同时捕获的不同视场来实现标定,同时获得本征矩阵E,基础矩阵F,两摄像机坐标系的旋转矩阵R和平移矩阵T或者摄像机内参数M和畸变系数distCoeffs。 立体标定和单摄像机标定是有区别的。立体标定除了可以计算出摄像机的内参数和畸变系数,还可以计算出本征矩阵E,基础矩阵F,两个摄像机的旋转矩阵R和平移向量T. 立体标定函数参数中需要两个着相机的内参数和畸变系数,它们即可以作为输入,也可以作为输出,这里我们让它们作为输出,由立体标定函数计算它们。 因此,我们就可以手持棋盘,然后用两个摄像机同时捕捉棋盘的不同视场,对于每一个视场,我们两个摄像机都有拍摄的同一棋盘的图像对,对于两个摄像机旋转矩阵R和平移向量T,我们通过一个视场就可以求解出来,然而为了计算结果的稳定,则需要多个视场来优化结果。对于两个摄像机的内参数矩阵和畸变系数,我们至少需要10个视场。因此,我们可以通过手持棋盘,旋转和平移棋盘以获得10个视场,从而获得10幅图像对,来进行立体标定。 在这一步,我们利用极线约束来检查标定的结果。(有了本征矩阵我们就可以得到基础矩阵,有了基础矩阵,我们就可以计算极线) 2、立体校正 cvStereoRetify(),利用相机内参数以及上一步得到R,T,得到两个摄像机极线水平对准的旋转矩阵Rl和Rr,投影矩阵P,重投影矩阵Q,为实现两幅图像水平对准准备数据。

第1章 数学建模与误差分析

第1章数学建模与误差分析 1.1 数学与科学计算 数学是科学之母,科学技术离不开数学,它通过建立数学模型与数学产生紧密联系,数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长处理各种复杂的依赖关系,精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展,求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域,相关交叉学科分支纷纷兴起,如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。 科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算,是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科,是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支,研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务,它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础,兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型,但它又是各计算学科共同的基础。 随着计算机技术的飞速发展,科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解,于是只能转化为简化模型,如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型,但这样做往往不能满足精度要求。因此,目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型,可以得到满足精度要求的结果,使科学计算发挥更大作用。了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。因此,科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。 1.2 数学建模及其重要意义 数学,作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学,在它产生和发展的历史长河中,一直是和人们生活的实际需要密切相关。用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时,首先必须将具体问题抽象为数学问题,即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型,然后将建立起的数学模型,利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算,得到欲求解问题的解析解或数值解,最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。 1.2.1 数学建模的过程 数学建模过程就是从现实对象到数学模型,再从数学模型回到现实对象的循环,一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。数学建模过程如图1.2.1所示,数学模型求解方法可分为解析法和数值方法,如图1.2.2所示。 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题,属于归纳。数学模型的求解方法则属于演绎。归纳是依据个别现象推出一般规律;演绎是按照普遍原理考察特定对象,导出结论。演绎利用严格的逻辑推理,对解释现象做出科学预见,具有重要意义,但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提,只有在这个前提下

对应分析数学模型解析

对应分析数学模型解析 1.对应分析模型的提出 在因子分析时常常会出现以下三个问题: 第一,因子分析分为R型和Q型,寻找变量的公因子就采用R型,寻找样品的公因子就采用Q型;R型是从变量的相关系数矩阵出发,Q型是从样品的相似矩阵出发。在因子分析中把R型和Q型互相割裂单独进行,有些问题只做R型分析,有些只做Q型分析,即使有些问题同时做了这两种分析,在解释时也无法将它们有机地联系起来。然而变量和样品是分不开的,这也就说明R型分析和Q 型分析是不可分割的。 第二,在实际生活中,我们往往取得样本数目要远远大于变量的数目,这就给Q型因子分析带来了计算上的困难。比如说,有150个样品,每个样品分析10个变量,如果做R型因子分析时只需计算10 10?阶的变量向关系数矩阵的特征值和特征向量,而Q型因子分析则要计算150 150?阶的样品相似矩阵的特征值和特征向量,这个计算量相当可观。 第三,在因子分析中我们为了能将量纲不同的变量进行比较,往往要对变量进行标准化处理,然而这种标准化只能对变量进行,对样品则无从谈标准化,所以标准化对变量和样品是非对等的,这也就给R型和Q型因子分析之间的联系带来障碍。 针对以上问题,我们综合了Q型和R型因子分析的优点,并将他们统一起来使得由R型的分析结果很容易得到Q型的分析结果,这就克服了Q型分析计算量大的问题,更重要的是可以把变量和样品的载荷反映在相同的公因轴上,这样把变量和样品连接起来便于解释和推断。 2. 基本思想:是将一个联列表的行和列中各元素的比例结构以点的形式在较低维的空间中表示出来。首先编制两变量的交叉列联表,将交叉列联表中的每个数据单元看成两变量在相应类别上的对应点;然后,对应分析将变量及变量之间的联系同时反映在一张二维或三维的散点图;最后,通过观察对应分布图就能直接地把握变量之间的类别联系; 3. 它最大特点:是能把众多的样品和众多的变量同时作到同一张图解

SPSS关联模型步骤

SPSS Clenmentines提供众多的预测模型,这使得它们可以应用在多种商业领域中: 如超市商品如何摆放可以提高销量; 分析商场营销的打折方案,以制定新的更为有效的方案; 保险公司分析以往的理赔案例,以推出新的保险品种等等,具有很强的商业价值。 超市典型案例 如何摆放超市的商品引导消费者购物从而提高销量,这对大型连锁超市来说是一个现实的营销问题。关联规则模型自它诞生之时为此类问题提供了一种科学的解决方法。该模型利用数据挖掘的技术,在海量数据中依据该模型的独特算法发现数据内在的规律性联系,进而提供具有洞察力的分析解决方案。通过一则超市销售商品的案例,利用“关联规则模型”,来分析商品交易流水数据,以其发现合理的商品摆放规则,来帮助提高销量。 关联规则简介 关联规则的定义 关联规则表示不同数据项目在同一事件中出现的相关性,就是从大量数据中挖掘出关联规则。有关数据挖掘关联规则的具体理论依据这里不做详细讲解,大家可以参看韩家炜的数据挖掘概论。为了更直观的理解关联规则,我们首先来看下面的场景。 一个市场分析人员经常要考虑这样一个问题:哪些商品是频繁被顾客同时购买的? 顾客1:牛奶+面包+谷类 顾客2:牛奶+面包+糖+鸡蛋 顾客3:牛奶+面包+黄油 顾客4:糖+鸡蛋 以上的情景类似于当年沃尔玛做的市场调查:啤酒+尿片摆放在同一个货架上,销售业绩激增的著名关联规则应用。 市场分析员分析顾客购买商品的场景,顾客购买面包同时也会购买牛奶的购物模式就可用以下的关联规则来描述: 面包 => 牛奶 [ 支持度 =2%, 置信度 =60%] (式 1) 式 1中面包是规则前项(Antecedent),牛奶是规则后项 (Consequent)。实例数(Instances)表示所有购买记录中包含面包的记录的数量。 支持度(Support)表示购买面包的记录数占所有的购买记录数的百分比。 规则支持度(Rule Support)表示同时购买面包和牛奶的记录数占所有的购买记录数的百分比。 置信度(confidence)表示同时购买面包和牛奶的记录数占购买面包记录数的百分比。 提升(Lift)表示置信度与已知购买牛奶的百分比的比值,提升大于 1 的规则才是有意义的。 关联规则式 1的支持度 2% 意味着,所分析的记录中的 2% 购买了面包。置信度 60% 表明, 购买面包的顾客中的 60% 也购买了牛奶。如果关联满足最小支持度阈值和最小置信度阈值,就说关联规则是有意义的。这些阈值可以由用户或领域专家设定。就顾客购物而言,根据以往的购买记录,找出满足最小支持度阈值和最小置信度阈值的关联规则,就找到顾客经常同时购买的商品。 此处进行关联规则应用可以使用两种数据格式:1,交易数据格式,2,表格格式。 1.交易格式

AWT事件处理模型

AWT事件处理模型

事件类别描述信息接口名方法ActionEvent 激活组件ActionListener actionPerformed(ActionEvent) ItemEvent 选择了某些项目ItemListener itemStateChanged(ItemEvent) MouseEvent 鼠标移动 MouseMotionListener mouseDragged(MouseEvent) mouseMoved(MouseEvent) 鼠标点击等MouseListener mousePressed(MouseEvent) mouseReleased(MouseEvent) mouseEntered(MouseEvent) mouseExited(MouseEvent) mouseClicked(MouseEvent) KeyEvent 键盘输入KeyListener keyPressed(KeyEvent) keyReleased(KeyEvent) keyTyped(KeyEvent) FocusEvent 组件收到或失去焦 点 FocusListener focusGained(FocusEvent) focusLost(FocusEvent) AdjustmentEvent 移动了滚动条等组 件AdjustmentListener adjustmentValueChanged(AdjustmentEvent) ComponentEvent 对象移动缩放显示 隐藏等ComponentListener componentMoved(ComponentEvent) componentHidden(ComponentEvent) componentResized(ComponentEvent) componentShown(ComponentEvent) WindowEvent 窗口收到窗口级事 件 WindowListener windowClosing(WindowEvent) windowOpened(WindowEvent) windowIconified(WindowEvent) windowDeiconified(WindowEvent) windowClosed(WindowEvent) windowActivated(WindowEvent) windowDeactivated(WindowEvent) ContainerEvent 容器中增加删除了 组件ContainerListener componentAdded(ContainerEvent) componentRemoved(ContainerEvent) TextEvent 文本字段或文本区TextListener textValueChanged(TextEvent)

数学建模 SPSS 典型相关分析

典型相关分析 在对经济问题的研究和管理研究中,不仅经常需要考察两个变量之间的相关程度,而且还经常需要考察多个变量与多个变量之间即两组变量之间的相关性。典型相关分析就是测度两组变量之间相关程度的一种多元统计方法。 典型相关分析计算步骤 (一)根据分析目的建立原始矩阵 原始数据矩阵 ? ?????? ?????? ?nq n n np n n q p q p y y y x x x y y y x x x y y y x x x 2 1 2 1222 21 22211121111211 (二)对原始数据进行标准化变化并计算相关系数矩阵 R = ?? ? ? ??2221 1211 R R R R 其中11R ,22R 分别为第一组变量和第二组变量的相关系数阵,12R = 21 R '为第一组变量和第二组变量的相关系数 (三)求典型相关系数和典型变量 计算矩阵=A 111-R 12R 122-R 21R 以及矩阵=B 122-R 21R 1 11-R 12R 的特征值和特征向量,分 别得典型相关系数和典型变量。 (四)检验各典型相关系数的显著性 第五节 利用SPSS 进行典型相关分析 第一步,录入原始数据,如下表:X1 X2 X3 X4 X5 分别代表多孩率、综合节育率、初中及以上受教育程度的人口比例、人均国民收入和城镇人口比例。 研究人口出生与教育程度、生活水平等的相关。

1、点击“Files→New→Syntax”打开如下对话框。 2、输入调用命令程序及定义典型相关分析变量组的命令。如图

输入时要注意“Canonical correlation.sps”程序所在的根目录,注意变量组的格式和空格。 第三步,执行程序。用光标选择这些命令,使其图黑,再点击运行键,即可得到所有典型相关分析结果。

数学建模灰色关联度分析英文版

4.1 Grey Relational Analysis First,select a reference sequence as shown below : (){}()()()()00000|1,2,1,x 2,x x x k k n x n === And the other group of sequence is, (){}()()()()|1,2,1,2,,1,2,i i i i i x x k k n x x x n i m ==== Then the correlation degree of i x to 0x is, ()1 1n i i k r k n ξ==∑ In which, ()()()()() ()()()() 0000min min max max max max s s s t s t i s s s t x t x t x t x t k x t x t x t x t ρξρ-+-= -+- Then, we use i r to describe the correlation degree between i x and 0x ,namely to describe the influence on 0x caused by the change of i x . In general,Practical problems often have different numbers of different dimension,but when we calculate the correlation degree, it requires the same numbers of same dimension.So we want to carry out a variety of data processing dimensionless.in addition ,For comparison easily, all the sequseces are required to have a common point.In order to solve these two problems, we transform the given sequences.The given sequence ()()()() 1,x 2,,x ,x x n = we name ()()()()()()231,,,,111x x x n x x x x ??= ? ??? as initialization sequence of Original sequence ()()()() 1,x 2,,x x x n = 4.2 Water resources carrying capacity evaluation indexes and classification indexes The establishment of evaluation index system of water resources carrying capacity is a key issue in the study of water resources carrying capacity. Regional water resources carrying capacity is influenced by many factors, Should be selected according to the requirements of the specific regional social development backlog of social - economic index system response - natural

SPSS关联模型步骤

提供众多的预测模型,这使得它们可以应用在多种商业领域中:如超市商品如何摆放可以提高销量; 分析商场营销的打折方案,以制定新的更为有效的方案; 保险公司分析以往的理赔案例,以推出新的保险品种等等,具有很强的商业价值。 超市典型案例 如何摆放超市的商品引导消费者购物从而提高销量,这对大型连锁超市来说是一个现实的营销问题。关联规则模型自它诞生之时为此类问题提供了一种科学的解决方法。该模型利用数据挖掘的技术,在海量数据中依据该模型的独特算法发现数据内在的规律性联系,进而提供具有洞察力的分析解决方案。通过一则超市销售商品的案例,利用“关联规则模型”,来分析商品交易流水数据,以其发现合理的商品摆放规则,来帮助提高销量。 关联规则简介 关联规则的定义 关联规则表示不同数据项目在同一事件中出现的相关性,就是从大量数据中挖掘出关联规则。有关数据挖掘关联规则的具体理论依据这里不做详细讲解,大家可以参看韩家炜的数据挖掘概论。为了更直观的理解关联规则,我们首先来看下面的场景。 一个市场分析人员经常要考虑这样一个问题:哪些商品是频繁被顾客同时购买的? 顾客1:牛奶+面包+谷类

顾客2:牛奶+面包+糖+鸡蛋 顾客3:牛奶+面包+黄油 顾客4:糖+鸡蛋 以上的情景类似于当年沃尔玛做的市场调查:啤酒+尿片摆放在同一个货架上,销售业绩激增的著名关联规则应用。 市场分析员分析顾客购买商品的场景,顾客购买面包同时也会购买牛奶的购物模式就可用以下的关联规则来描述: 面包 => 牛奶 [ 支持度 =2%, 置信度 =60%] (式 1) 式 1中面包是规则前项(),牛奶是规则后项 ()。实例数()表示所有购买记录中包含面包的记录的数量。 支持度()表示购买面包的记录数占所有的购买记录数的百分比。规则支持度()表示同时购买面包和牛奶的记录数占所有的购买记录数的百分比。 置信度()表示同时购买面包和牛奶的记录数占购买面包记录数的百分比。 提升()表示置信度与已知购买牛奶的百分比的比值,提升大于1 的规则才是有意义的。 关联规则式 1的支持度 2% 意味着,所分析的记录中的 2% 购买了面包。置信度 60% 表明,购买面包的顾客中的 60% 也购买了牛奶。如果关联满足最小支持度阈值和最小置信度阈值,就说关联规则是有意义的。这些阈值可以由用户或领域专家设定。就

灰色理论灰色预测模型和灰色关联度分析matlab通用代码

%该程序用于灰色关联分析,其中原始数据的第一行为参考序列,1至15行为正相关序列,16至17为负相关序列 clc,clear load x.txt %把原始数据存放在纯文本文件x.txt 中 %如果全为正相关序列,则将两个循环替换为下列代码 %for i=1:size(x,1) %x(i,=x(i,/x(i,1); %end for i=1:15 x(i,=x(i,:)/x(i,1); %标准化数据 end for i=16:17 x(i,:)=x(i,1)./x(i,:); %标准化数据 end data=x; n=size(data,1); ck=data(1,:);%分离参考序列 bj=data(2:n,:);m1=size(bj,1); for j=1:m1 t(j,:)=bj(j,:)-ck; end jc1=min(min(abs(t')));jc2=max(max(abs(t'))); rho=0.5;%灰色关联度为0.5 ksi=(jc1+rho*jc2)./(abs(t)+rho*jc2); r=sum(ksi')/size(ksi,2); r %灰色关联度向量 [rs,rind]=sort(r,'descend') %对关联度进行降序排序 %该函数用于灰色预测模型,其中x0为列向量,alpha一般取0.5,将第一个数据视为序号为0,k从0开始的序号矩阵 function y=huiseyuce(x0,alpha,k) n=length(x0); x1=cumsum(x0); for i=2:n z1(i)=alpha*x1(i)+(1-alpha)*x1(i-1); end z1=z1'; B=[-z1(2:n),ones(n-1,1)]; Y=x0(2:n); ab=B\Y; y1=(x0(1)-ab(2)/ab(1))*exp(-ab(1)*k)+ab(2)/ab(1);%产生预测累加生成序列 y=[x0(1) diff(y1)]%产生灰色预测数据

数学建模案例分析

案例分析1: 自行车外胎的使用寿命 问题: 目前,自行车在我国是一种可缺少的交通工具。它小巧、灵活、方便、易学,而且价格适中,给广大居民带来了不小的益处。但是,自行车也有令人头痛的地方,最常见的问题莫过于扎胎了。扎胎的原因有很多,但相当一部分是由于外胎磨损,致使一些玻璃碴、小石子很容易侵入、扎破内胎。为了减少不必要的麻烦,如何估计自行车外胎的寿命,及时更换? 分析: 分析角度:由于题目里未明确指出我们是应从厂家角度,还是应从用户角度来考虑这个问题,因此需要我们自己做出合理判断。若从厂家角度,我们面对的应当是一大批自行车外胎的平均寿命的估计。这样的估计要求一定精确度和相对明确的使用环境;而从用户角度来说,面对的仅是个人的一辆车,不需要很高的精确度,这样的寿命估计更简单,易于随时了解,下面仅从用户角度进行分析。 产品的使用者需要了解产品的寿命,是基于安全性及更换的费用来考虑的。我们将这两个标准作为主要标准来分析,首先值得注意的两个关键性问题是如何定义寿命、何时为寿命的终止。寿命的定义要做到科学,直观,有可比性,在航空工业中航天飞机的使用寿命是用重复使用的次数来衡量,而工厂机器设备的寿命则以连续工作的时间来定义。本题外胎的寿命亦可用时间来表征,但由于外胎的寿命直接与其磨损速度相关;而磨损速度又与使用频率及行驶速度相互联系,致使外胎的寿命不一定与使用时间成正比(这种非正比关系使我们不能拿一辆—天跑200公里的自行车与一天只跑1公里的自行车进行寿命比较),降低了可比性。如换成自行车的路程寿命来比较,就好得多。产品寿命是在安全性和更换费用相互制约下达到的一个点,在这个点上,外胎的安全系数降到用户不可接受的最低值,更换费用(寿命越长,在一定意义上更换费用越低)也达到了最大限度的节省。 弄清了上面两个问题后,我们继续明确建立模型需要解决哪些问题及建立模型的重点难点。 自行车使用过程中,一来影响因素多,二来这些因素之间彼此相关,十分复杂,要做到比较准确地估计使用寿命,不但要对外胎的性能有相当的了解,而且对使用环境更不能忽视。当然我们由于是站在用户角度上来考虑的,相对地就可忽略一些次要的影响因素。 这样的数学模型面对着两个主要问题。一、自行车使用寿命与外胎厚度的关系,二、外胎能够抵御小石子破坏作用的最小厚度。后者可处理得相对简略些(如只考虑一块具有一般特征的小石子对外胎的破坏作用),而重点(也是难点)是第一个问题。车重、人重、轮胎性质(力学的、热学的、甚至化学的)和自行车使用频率等都左右着它们的关系。这么多相关因素,不必一一都加以考虑(用户是不会在意这么多的),有些因素,可以先不考虑,在模型的改进部分再作修改,采取逐步深入的方法,如:摩擦损耗有滑动摩擦和滚动摩擦损耗两种,由于滚动摩擦占用的时间(或路程)显然占绝对优势,因此可重点考虑。但滑动摩擦造成的一次损坏又比滚动摩擦大,在刹车使用过频的情况下,就不能不考虑了。 最后,需对得出的结果用简单清晰的文字进行说明,以供用户参考。 案例分析2:城市商业中心最优位置分析 问题: 城市商业中心是城市的基本构成要素之一。它的形成是一个复杂的定位过程。商业中心的选址涉及到各种因素制约,但其中交通条件是很重要的因素之一。即商业中心应位于城市“中心”,如果太偏离这一位置,极有可能在城市“中心”地带又形成一个商业区,造成重复建设。 某市对老商业中心进行改建规划,使居民到商业中心最方便。如果你是规划的策划者,如何建立一个数学模型来解决这个问题。

基于大数据挖掘的虚拟身份关联分析算法模型的制作方法

本技术提供了一种基于大数据挖掘的虚拟身份关联分析算法模型,属于大数据挖掘技术领域。该方法包括获取电子串号信息和物理地址信息;对源数据进行清洗处理、规则过滤;并对处理后的数据进行属性分割、特征提取、指标计算;针对样本类别不平衡问题,调整不同类别训练样本;搭建Logistic Regression算法模型,以计算手机物理地址和电子串号之间关系的匹配度,实现虚拟身份的挖掘分析和关联匹配,本技术可以通过轨迹追查,确定犯罪轨迹,对犯罪嫌疑人实施跟踪和追捕,侦破案件,最终达到对犯罪的有效控制和打击。 技术要求 1.一种基于大数据挖掘的虚拟身份关联分析算法模型,其特征在于,包括以下步骤: S1:电子串号及物理地址数据预处理;分别对无线数据采集终端的电子串号和物理地址 的脏数据进行处理; S2:关联数据筛选及存储;将满足筛选规则的数据存储于数据库中; S3:样本特征构建及提取;对关联数据进行属性分割及结合,构建M个样本特征,并对特征数据进行降维处理,使样本变量维度变为N; S4:类别不平衡问题处理;采用Fisher判别法调整不同类别训练样本; S5:建立及优化电子串号与物理地址关联模型;根据算法建立模型,得出电子串号与物 理地址的匹配度。

2.根据权利要求1所述的基于大数据挖掘的虚拟身份关联分析算法模型,其特征在于,所述步骤S2中筛选规则具体步骤为: S201、将时间差范围内(即|t1-t2|<Δt,其中t1和t2分别表示电子串号和物理地址被采集到的时间)采集到的电子串号和物理地址数据中的无线数据采集终端经纬度字段进行匹配,若经纬度一致,则将此组电子串号和物理地址作为匹配对,并转入步骤S202;若不一致,则舍弃; S202、从预处理后的数据中分别取出匹配对相应的电子串号/物理地址、采集时间、经度和纬度等字段,满足以下条件的匹配对保留作为匹配组并存储:|d1-d2|N。 5.根据权利要求1所述的基于大数据挖掘的虚拟身份关联分析算法模型,其特征在于,所述步骤S4具体包括: S401、将特征提取后的统计数据样本分为正例和反例:当明确电子串号与某个物理地址存在匹配关系时,标记为正例(即类别为1);当明确电子串号与某个物理地址不存在匹配关系时,标记为反例(即类别为0); S402、样本类别标记后,不同类别的训练例数目差别较大,采用Fisher判别法对数量较多的类别进行过滤,减少因样本类别不平衡对分类器造成的负面影响,提高建模时分类的准确率以及模型假设对数据集的拟合度。 6.根据权利要求1所述的基于大数据挖掘的虚拟身份关联分析算法模型,其特征在于,所述步骤S5具体包括:

基于组合权重的灰色关联度方案决策模型及其应用(精)

基于组合权重的灰色关联度方案 决策模型及其应用 王广月刘健 (山东大学土建学院济南250061) 摘要:分析了岩土工程方案决策中存在的问题,提出了组合权重的概念,建立了基于信息熵和层次分析法确定权重的灰色关联度决策模型,既考虑了主观因素的影响,又考虑了方案指标体系固有信息的重要性,并通过实例验证了该方法的合理性,为岩土工程方案决策的科学性与准确性提供了一个新的思路。关键词:信息熵层次分析法组合权重灰色关联度CREYRELATIVEDEGREEDECISIONMAKINGMODELBASEDONCOMBINATOR IAL WEIGHTANDITSAPPLICATION WangGuangyue LiuJian (SchoolofCivilEngineering,Shandong) Abstract:AgreyrelativedegreedecisionmakingmandAHPisestablished,andaconceptionofc ombinatorialweightisputinprojects′decisionmakingo fgeotechnicalengineering.Themodel ,proved,ofsubjectivefactorsandimportanceofinformationofprojects′indextoselectgeotech nicalengineeringprojectsmorescientificallyandexactly. Keywords:entropy analytichierarchyprocess combinatorialweight greyrelativedegree 岩土工程方案设计中许多评价问题都属于多人、多层次和多目标综合评价问题。目前国内外建立的综合评价方法有几十种,但大多数尚处于理论研究阶段,不十分成熟。这些评价方法各有特点,但大体上可以分为两类,主要区别在确定权重上。即一类为主观赋权,大都是采取综合咨询评分的定性方法确定权重,然后对无量纲后的数据进行综合分析,如,层次分析法、专家评分法等。另一类是客观赋权,即根据各指标之间的相关关系或各项指标值的变异程度确定权重,如熵值法、因子分析法等。前一类方法仅凭专家对评价指标内涵与外延的理解做出判断,没有考虑各待评方案的固有信息。后一类方法避免了人为因素带来的偏差,但由于忽略了指

应急事件处置流程建模及其过程协同研究

应急事件处置流程建模及其过程协同研究基于应急预案的应急决策生成问题是一个复杂条件下决策的科学问题。临机决策过程的实质是迅速生成突发事件的应急处置方案。在临机决策过程中基于应急预案的决策生成是应急决策的基础问题,目前由于突发公共事件的多样性和复杂性,针对突发事件的处置往往需要基于多个应急预案进行临机决策生成过程。在临机决策过程中,往往会发生以下两个问题:应急任务的过程协作和应急资源的冲突与协调。 本文首先对应急事件处理过程进行建模,并基于该模型对这两个问题进行深入研究,具体研究内容如下;(1)提出了一个应急事件处理过程模型EEP_ETCPN。该模型借鉴了模型驱动体系结构的思想,基于赋时层次着色Petri网这一形式化模型,对应急事件处理过程进行描述、分析验证及仿真运行,且模型独立于具体流程描述语言;模型将应急事件处理过程的描述细化到应急任务的执行操作,而且同时可描述应急事件状态流程,支持层次化应急任务组合描述,并以图形方式表示应急事件处理过程,精确、全面、清晰、直观地刻画了应急事件处理过程。(2)EEP_ETCPN模型的事件状态流程正确性分析与检测。给出了EEP_ETCPN模型中应急事件状态进程网的形式化定义及其变迁规则,参照工作流模型合理性给出了状态进程网的正确性定义并利用转移矩阵的方法进行正确性分析与检测,着重对状态进程网的死锁进行分析检测且给出死锁消除策略。 (3)EEP_ETCPN模型应急任务协作的分析与检测。首先分析了应急任务协作类型,给出了单组织内基本的应急任务协作模式和跨组织的组合应急任务协作模式,分析了几种错误的应急任务协作类型,给出了应急任务协作的分析与检测算法。(4)EEP_ETCPN模型资源协调的分析与检测。分析了应急过程中的资源冲突和资源协调,定义了资源冲突和资源协调,给出了EEP_ETCPN模型的资源协调检测算法,分析了EEP_ETCPN模型的应急任务时间特征并给出了基于应急任务时间特征的资源协调检测算法,基于关键任务路径和最小应急过程处理时间策略给出了EEP_ETCPN模型的资源协调求解算法。 (5)应急事件处理仿真系统的设计及原型实现,提供图形化的应急事件处理过程设计、正确性分析检测功能,并给出应急事件处理过程的仿真实现和性能分析。

双目立体视觉中的三维重建

西安邮电大学 毕业设计(论文)题目:双目立体视觉中的三维重建 系别:自动化学院 专业:测控技术与仪器 班级:测控0802班 学生姓名:吕海斌(07) 导师姓名:江祥奎职称:讲师 起止时间:2012年3月8日至2012年6月20

诚信声明书 本人声明:我将提交的毕业论文《双目立体视觉中的三维重建》是我在指导教师指导下独立研究、写作的成果,论文中所引用他人的无论以何种方式发布的文字、研究成果,均在论文中加以说明:有关教师、同学和其他人员对本文的写作、修订提出过并为我再论文中加以采纳的意见、建议,均已在我的致谢中加以说明并深致谢意。 论文作者吕海斌时间:2012年6 月7 日 指导教师已阅时间:年月日

西安邮电大学 毕业设计(论文)任务书 学生姓名吕海斌指导教师江祥奎职称讲师 院别自动化学院专业测控0802 题目双目立体视觉中的三维重建 任务与要求 本题目要求在搭建双目立体视觉平台的基础上,通过OpenGL和MATLAB联合编程实现三维重建功能。具体任务分解如下: 1.查找文献,学习和掌握三维重建方法; 2.完成三维重建的MATLAB编程,并对实验数据进行相关分析;3.通过OpenGL,实例编程实现三维重建; 4.通过OpenGL和MATLAB联合编程,完成三维重建; 开始日期2011年12月10日完成日期2012年6月25日 院长(签字) 2012 年12 月日

西安邮电大学 毕业设计 (论文) 工作计划 学生姓名__吕海斌_指导教师__江祥奎__职称__讲师_ 院别____自动化学院____专业____测控0802___ 题目_____ 双目立体视觉中的三维重建 工作进程

数学建模结果分析

结果分析 综上所述,由模型求解可知,在满足模型条件的假设(4)的条件下,当所给阳性的先验概率0.3066p ≥时,在不分组的条件下每个人一次一次的检验可以使总次数最少;当所给0.29290.3066p ≤<时,进行一次检验比分两次组和不分组均可使总次数最少;当00.2929p <<时,分两次组总次数比分一次组总次数要少。 当p 固定时,为了是人群中总的检验次数最小,就需要确定每组中的人数k 。根据固定值p 的大小分类讨论: 当0.3066p ≥时,此时不需要分组,即1k =时可使检验次数最小; 当0.3066p <时,此时需要分组,要使人群总的检验次数最小,只需要使每个人的检验次数的期望值E ξ最小,通过引入与11k E q k ξ=-+ 变化趋势相同的连续性函数 )2(,11)(≥+-=x x q x f x ,对于一个给定的p ,可以求出函数(x)f 的极值,又由分析知'(x)f 是增函数,所以求出(x)f 的极值就是(x)f 的最小值的取值m x ,故取与m x 最相近的两个值(上取整和下取整),代入ξE ,然后比较两个函数值,找出较小的一个,以此类推,可以确定,每一个给定的p 要使人群中总的检验次数最小所对应的人数k 。 在0.3066p <中,当0.29290.3066p ≤<时,进行一次分组检验比进行两次分组检验和不分组检验可使检验次数最少;当00.2929p <<时,分两组比分一组总的检验次数少。 模型检验

当然这都是在假设(4)的前提下做出的,现举一例具体说明上述假设的合理性:设0.002p =时,经过上述计算可得,当23k =时可使在一次分组的情况下平均每人检验次数最小,为满足假设(4),可以取24k =(此时平均每人检验次数仅比23k =时多510-次,故在检验100000人时总次数才多一次,故可忽略),然后取112k =或更小(如16k =),此时一定可以做到分两次组比分一次组平均每人检验次数小。当然此时还可以继续求满足条件的第二次分组平均每人检验次数的最小值。 由于题给条件是人群数量很大,基本是健康人,先验概率p 很小,所以4

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