二次函数导学案
第27章二次函数全章导学案
第1课时 27.1 二次函数
一、学习目标：1．知道二次函数的一般表达式；2会利用二次函数的概念分析解题；3列二次函数表达式解实际问题． 二、知识点：
一般地，形如_________的函数，叫做二次函数。其中x 是________，a 是_______，b 是________，c 是__________． 三、基本知识练习
1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－3
2 x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________．
2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）．（1）当m__________时，该函数为二次函数；（2）当m__________时，该
函数为一次函数．
3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1
x 四、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)x
m
m 2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________．
2．下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y ＝x ＋1
2
B ． y ＝3 (x －1)2
C ．y ＝(x ＋1)2－x 2
D ．y ＝1
x 2 －x
3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经
过的路程为（ ） A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米
4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式
_______________________．
5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3． 求：（1）函数y 与x 的函数关系式； （2）当x ＝4时，y 的值；（3）当y ＝－13 时，x 的值．
6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边
靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． 五、目标检测
1．若函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋a 2－1是二次函数，则（ ） A ．a ＝1 B ．a ＝±1 C ．a ≠1 D ．a ≠－1 2．下列函数中，是二次函数的是（ ）A ．y ＝x 2－1
B ．y ＝x －1
C ．y ＝8
x
D ．y ＝8
x 2
3．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式． 4．已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3．当x ＝2时，y ＝3，求 这个二次函数解析式．
第2课时 二次函数y ＝ax 2的图象与性质
一、学习目标：1．知道二次函数的图象是一条抛物线；
2．会画二次函数y ＝ax 2的图象；3．掌握二次函数y ＝ax 2的性质，并会灵活应用． 二、探索新知：
画二次函数y ＝x 2的图象． 列表：
x … －3 －2 －1
0 1 2 3 … y ＝x 2 …
…
描点，并连线
由图象可得二次函数y ＝x 2的性质：
1．二次函数y ＝x 2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2．二次函数y ＝x 2中，二次函数a ＝_______，抛物线y ＝x 2的图象开口__________． 3．自变量x 的取值范围是____________．
4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y 值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于
___________对称．
5．抛物线y ＝x 2与它的对称轴的交点（ ）叫做抛物线y ＝x 2的_____．因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的
__．
6．抛物线y ＝x 2有____________点（填“最高”或“最低”） ． 三、例题分析
例1 在同一直角坐标系中，画出函数y ＝1
2 x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 解：列表并填：
x
… －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y ＝12 x 2
…
…
y ＝x 2的图象刚画过，再把它画出来．
x … －2 －1.5
－1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y ＝2x 2 …
…
归纳：抛物线y ＝1
2 x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的二次项系数a_______0； 顶点都是__________； 对称轴是_________；顶点是抛物线的 最_________点（填“高”或“低”） ．
例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y ＝－x 2，y ＝－1
2 x 2， y ＝－2x 2的图象． 列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝x 2 …
…
x … －4 －3 －2 －1
0 1 2 3 4
… y=－12 x 2
…
…
x …
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y ＝－2x 2
…
…
归纳：抛物线y ＝－x 2，y ＝－1
2 x 2， y ＝－2x 2的二次项系数a______0，顶点都是________， 对称轴是___________，顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”） ．
四、理一理
1．抛物线y ＝ax 2的性质
图象（草图） 开口 方向 顶点 对称
轴
有最高或
最低点
最值
a ＞0
当x ＝____时，y 有最
_______值，是______．
a ＜0
当x ＝____时，
y 有最_______值，是______．
2．抛物线y ＝x 2与y ＝－x 2关于________对称，因此，抛物线y ＝ax 2与y ＝－ax 2关于_______ 对称，开口大小_______________．
3．当a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________； 当a ＜0时，｜a ｜ 越大，抛物线的开口越_________；
因此，｜a ｜ 越大，抛物线的开口越________，反之，｜a ｜ 越小，抛物线的开口越________． 五、课堂训练 1．填表：
开口方向 顶点 对称轴 有最高或
最低点
最值
y ＝23 x 2
当x ＝____时，y 有最
_______值，是______．
y ＝－8x 2
2．若二次函数y ＝ax 2的图象过点（1，－2），则a 的值是___________． 3．二次函数y ＝(m －1)x 2的图象开口向下，则m____________． 4．如图 ① y ＝ax 2 ② y ＝bx 2 ③ y ＝cx 2 ④ y ＝dx 2 比较a 、b 、c 、d 的大小，用“＞”连接．_________________
六、目标检测1．函数y ＝3
7 x 2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，当x ＝___________时，有最_________值是_________． 2．二次函数y ＝mx
2
2 m 有最低点，则m ＝___________．
3．二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k 的取值范围为____．4．写出一个过点（1，2）的函数表达式________．
第3课时 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质
一、学习目标：1．会画二次函数y ＝ax 2＋k 的图象； 2．掌握二次函数y ＝ax 2＋k 的性质，并会应用； 3．知道二次函数y ＝ax 2与y ＝的ax 2＋k 的联系．
二、探索新知：在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝x 2＋1，y ＝x 2－1的图象． 解：先列表
x －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y ＝x 2＋1 … y ＝x 2－1 …
描点并画图
观察图象得： 1．
开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值
y＝x2
y＝x2－1
y＝x2＋1
2．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．
3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．
三、理一理知识点
1．
y＝ax2y＝ax2＋k
开口方向
顶点
对称轴
有最高（低）点
最值a＞0时，当x＝______时，y有最____值为________；
a＜0时，当x＝______时，y有最____值为________．
增减性
2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线____；抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线______．因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线_______；把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线_______________．
3．抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状__________________．
四、课堂巩固训练
1．填表
函数草图开口方
向
顶点对称轴最值对称轴右侧的增减性
y＝3x2
y＝－3x2＋1
y＝－4x2－5
2．将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．
3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反，形状相同的抛 物线解析式____________________________．
4．抛物线y ＝4x 2＋1关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________． 五、目标检测 1．填表
函数 开口
方向 顶点 对称轴 最值 对称轴左侧的增减性
y ＝－5x 2＋3
y ＝7x 2－1
2．抛物线y ＝－13 x 2－2可由抛物线y ＝－1
3 x 2＋3向___________平移_________个单位得到的． 3．抛物线y ＝－x 2＋h 的顶点坐标为（0，2），则h ＝_______________．
4．抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________，与x 轴的交点坐标为_________．
第4课时 二次函数y ＝a(x-h)2的图象与性质
一、学习目标：
1．会画二次函数y ＝a （x -h ）2的图象；2．掌握二次函数y ＝a （x -h ）2的性质，并要会灵活应用；
二 、探索新知： 画出二次函数y ＝－12 (x ＋1)2，y －1
2 (x －1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性． 先列表：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
4 … y ＝－1
2 (x ＋1)2 …
… y ＝－1
2 (x －1)2 …
…
描点并画图．
1．观察图象，填表：
函数 开口
方向 顶点 对称轴 最值
增减性
y ＝－1
2 (x ＋1)2 y ＝－1
2 (x －1)2
2．请在图上把抛物线y ＝－1
2 x 2也画上去（草图）．
①抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ，y ＝－12 x 2，y ＝－1
2 (x －1)2的形状大小____________． ②把抛物线y ＝－12 x 2向左平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－1
2 (x ＋1)2 ； 把抛物线y ＝－12 x 2向右平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－1
2 (x ＋1)2 ． 三、整理知识点 1．
y ＝ax 2
y ＝ax 2＋k
y ＝a (x-h)2
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
（对称轴左侧）
2．对于二次函数的图象，只要｜a ｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同． 四、课堂训练 1．填表
图象（草图） 开口
方向
顶点 对称轴 最值 对称轴
右侧的增
减性
y ＝12 x 2
y ＝－5 (x ＋3)2
y＝3 (x－3)2
2．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．3．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．
4．将抛物线y＝－
1
3(x－1)x2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．
5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式___________________________．
五、目标检测
1．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．
2．抛物线y＝m (x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4 (x－4)2，则
m＝__________，n＝___________．
3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．
4．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．
第5课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
一、学习目标：1．会画二次函数的顶点式y＝a (x－h)2＋k的图象；2．掌握二次函数y＝a (x－h)2＋k的性质；3．会
应用二次函数y＝a (x－h)2＋k的性质解题．
二、探索新知：
画出函数y＝－1
2(x＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．列表：
x …－4 －3 －2 －1 0 1 2 …
y＝－1
2(x＋1)2－1
……
由图象归纳： 1．
函数 开口
方向 顶点 对称轴 最值
增减性
y ＝－1
2 (x ＋1)2－1
2．把抛物线y ＝－12 x 2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－1
2 (x ＋1)2－1．
三、理一理知识点
y ＝ax 2
y ＝ax 2＋k
y ＝a (x-h)2
y ＝a (x －h)2＋k
开口方向
顶点 对称轴 最值
增减性 （对称轴右
侧）
2．抛物线y ＝a (x －h)2＋k 与y ＝ax 2形状___________，位置________________． 四、课堂练习 1．
y ＝3x 2 y ＝－x 2＋1
y ＝1
2 (x ＋2)2
y ＝－4 (x －5)2－3
开口方向 顶点
对称轴
最值
增减性 （对称轴左
侧）
2．y ＝6x 2＋3与y ＝6 (x －1)2＋10_____________相同，而____________不同．
3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y ＝1
2 x 2相同的解析式为（ ） A ．y ＝1
2 (x －2)2＋3
B ．y ＝1
2 (x ＋2)2－3
C ．y ＝1
2 (x ＋2)2＋3
D ．y ＝－1
2 (x ＋2)2＋3
4．二次函数y ＝(x －1)2＋2的最小值为__________________．
5．将抛物线y ＝5(x －1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为
_______________________．
6．若抛物线y ＝ax 2＋k 的顶点在直线y ＝－2上，且x ＝1时，y ＝－3，求a 、k 的值． 7．若抛物线y ＝a (x －1)2＋k 上有一点A （3，5），则点A 关于对称轴对称点A ’的坐标为 __________________．
五、目标检测 1．
开口方向
顶点
对称轴
y ＝x 2＋1
y ＝2 (x －3)2
y ＝－ (x ＋5)2－4
2．抛物线y ＝－3 (x ＋4)2＋1中，当x ＝_______时，y 有最________值是________．
3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（ ）
A
B
C
D
4．将抛物线y ＝2 (x ＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为
________________________．
5．一条抛物线的对称轴是x ＝1，且与x 轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为
____________________________．（任写一个）
第6课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质
一、学习目标：
1．配方法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴；
2．熟记二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标公式；3．会画二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象． 二、探索新知：
1．求二次函数y ＝1
2 x 2－6x ＋21的顶点坐标与对称轴． 解：将函数等号右边配方：y ＝1
2 x 2－6x ＋21
2．画二次函数y＝
1
2x2－6x＋21的图象．
解：y＝1
2x2－6x＋21配成顶点式为_______________________．
列表：
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
y＝1
2x2－6x＋21
……
3．用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴．
三、理一理知识点：
y＝ax2y＝ax2＋k y＝a(x－h)2y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
（对称轴
左
侧）
四、课堂练习
1．用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．
2．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标．
3．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________．
4．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y有_________值是___________．
五、目标检测
1．用顶点坐标公式和配方法求二次函数y ＝1
2 x 2－2－1的顶点坐标． 2．二次函数y ＝－x 2＋mx 中，当x ＝3时，函数值最大，求其最大值．
第7课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质
一、复习知识点：第6课中“理一理知识点”的内容． 二、学习目标：
1．懂得求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴、y 轴的交点的方法；2．知道二次函数中a ，b ，c 以及△＝b 2－4ac 对图象
的影响． 三、基本知识练习
1．求二次函数y ＝x 2＋3x －4与y 轴的交点坐标为_______________，与x 轴的交点坐标____________． 2．二次函数y ＝x 2＋3x －4的顶点坐标为______________，对称轴为______________． 3．一元二次方程x 2＋3x －4＝0的根的判别式△＝______________． 4．二次函数y ＝x 2＋bx 过点（1，4），则b ＝________________． 5．一元二次方程y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），△＞0时，一元二次方程有_______________， △＝0时，一元二次方程有___________，△＜0时，一元二次方程_______________．
四、知识点应用 1．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点（含y ＝0时，则在函数值y ＝0时，x 的值是抛物
线与x 轴交点的横坐标）．
例1 求y ＝x 2－2x －3与x 轴交点坐标．
2．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点（含x ＝0时，则y 的值是抛物线与y 轴交点的纵 坐标）．
例2 求抛物线y ＝x 2－2x －3与y 轴交点坐标． 3．a 、b 、c 以及△＝b 2－4ac 对图象的影响． （1）a 决定：开口方向、形状 （2）c 决定与y 轴的交点为（0，c ） （3）
b 与－b
2a 共同决定b 的正负性
（4）△＝b 2－4ac ??
?
??<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与x x x 000
例3 如图， 由图可得： a_______0 b_______0 c_______0 △______0
例4 已知二次函数y ＝x 2＋kx ＋9．
①当k 为何值时，对称轴为y 轴；
②当k 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点； ③当k 为何值时，抛物线与x 轴只有一个交点． 五、课后练习
1．求抛物线y ＝2x 2－7x －15与x 轴交点坐标__________，与y 轴的交点坐标为_______． 2．抛物线y ＝4x 2－2x ＋m 的顶点在x 轴上，则m ＝__________． 3．如图： 由图可得： a_______0 b_______0 c_______0 △＝b 2－4ac______0
六、目标检测
1．求抛物线y ＝x 2－2x ＋1与y 轴的交点坐标为_______________．
2．若抛物线y ＝mx 2－x ＋1与x 轴有两个交点，求m 的范围．
3．如图：
由图可得：a _________0 b_________0 c_________0
△＝b 2－4ac_________0
第8课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 解析式求法
一、学习目标：1．会用待定系数法求二次函数的解析式；2．实际问题中求二次函数解析式． 二、课前基本练习
1．已知二次函数y ＝x 2＋x ＋m 的图象过点（1，2），则m 的值为________________． 2．已知点A （2，5），B （4，5）是抛物线y ＝4x 2＋bx ＋c 上的两点，则这条抛物线的对称轴为_____________________． 3．将抛物线y ＝－(x －1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的 解析式为____________________．
4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y ＝－1
2 x 2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解
析式为________________________________． 三、例题分析
例1 已知抛物线经过点A （－1，0），B （4，5），C （0，－3），求抛物线的解析式． 例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式． 例3 已知抛物线与x 轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）． 求抛物线的解析式．
四、归纳 用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法： 1．已知抛物线过三点，设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ． 2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y ＝a(x －h)2＋k ． 3．已
知抛物线与x 轴有两个交点（或已知抛物线与x 轴交点的横坐标）， 设两根式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2) ．（其中x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标） 五、实际问题中求二次函数解析式
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在
与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管应多长？ 六、课堂训练
1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式． 2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次 函数的解析式．
3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，与 y 轴交于点C （0，3），求二次函数的顶点坐标．
4．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12mm ，BC ＝24mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动，
动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么△PBQ 的面积S 随出发时间t 如何变化？写出函数关系式及t 的取值范围．
七、目标检测
1．已知二次函数的图像过点A （－1，0），B （3，0），C （0，3）三点，求这个二次函数解析式．
Q P C B A
第9课时用函数观点看一元二次方程
一、学习目标：
1．知道二次函数与一元二次方程的关系．
2．会用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式△＝b2－4ac判断二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的个数．二、探索新知
1．问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2．
考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
2．观察图象：
（1）二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△＝_______0；
（2）二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有___________个交点，则一元二次方程
x2－6x＋9＝0的根的判别式△＝_______0；
（3）二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴________公共点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△_______0．
三、理一理知识1．已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程
__________________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x的值．
一般地：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m．反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m的自变量x的值．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b2－4ac．
（1）当△＝b2－4ac＞0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；
（2）当△＝b2－4ac＝0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点；
（3）当△＝b2－4ac＜0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．
四、基本知识练习1．二次函数y＝x2－3x＋2，当x＝1时，y＝________；当y＝0时，x＝_______．
2．二次函数y＝x2－4x＋6，当x＝________时，y＝3．
3．如图，
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
的解为________________
4．如图
一元二次方程ax2＋bx＋c＝3
的解为_________________
5．如图填空：
（1）a________0
（2）b________0
（3）c________0
（4）b2－4ac________0
五、课堂训练
1．特殊代数式求值：
①如图看图填空：
（1）a＋b＋c_______0
（2）a－b＋c_______0
（3）2a－b_______0
②如图2a＋b_______0
4a＋2b＋c_______0
2．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式
（1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________；
（2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________；
（3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________；
（4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________；
（5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________；
（6）不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________．
六、目标检测根据图象填空：
（1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0；
（4）△＝b2－4ac_____0；（5）a＋b＋c_____0；
（6）a－b＋c_____0；（7）2a＋b_____0；
（8）方程ax2＋bx＋c＝0的根为__________；
（9）当y＞0时，x的范围为___________；
（10）当y＜0时，x的范围为___________；
七、课后训练
1．已知抛物线y＝x2－2kx＋9的顶点在x轴上，则k＝____________．
2．已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围___________．
3．已知函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是（）
A ．有两个不相等的正实数根
B ．有两个异号实数根
C ．有两个相等实数根
D ．无实数根
4．如图为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中： ①ac ＜0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根是x 1＝－1，x 2＝3； ③a ＋b ＋c ＞0；
④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．
正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上）．
第10课时 实际问题与二次函数（1）
一、学习目标：
几何问题中应用二次函数的最值． 二、课前基本练习
1．抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________． 2．抛物线y ＝1
2
x 2－x ＋1中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________．
3．抛物线y ＝a x 2＋b x ＋c （a ≠0）中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________． 三、例题分析：
用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化，当l 是多少时，场地的面积S 最大？ 四、课后练习
1．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？ 2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式是h ＝30t －5t 2．小
球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
3．如图，四边形的两条对角线AC 、BD 互相垂直，AC ＋BD ＝10，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？
4．一块三角形废料如图所示，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝12．用这块废料剪出一个长方形CDEF ，其中，点D 、E 、
F 分别在AC 、AB 、BC 上．要使剪出的长方形CDEF 面积最大，点E 应造在何处？ 五、目标检测
如图，点E 、F 、G 、H 分别位于正方形ABCD 的四条边上，四边形EFGH 也是正方形．当 点E 位于何处时，正方形EFGH 的面积最小？
第11课时 实际问题与二次函数（2）
商品价格调整问题
一、学习目标：1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2．应用二次函数的性质解决问题．
D C
B A F E D
C B A H
G F
E
D C B
A
二、探索新知
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出
10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？ 解：（1）设每件涨价x 元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y 元． （2）设每件降价x 元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件． 三、课堂训练
1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出（100－x ）件，应如何定价才能使利润最
大？
2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x （月 份）与市场售价P （元/千克）的关系如下表：
上市时间x/（月份）
1 2 3 4 5 6 市场售价P （元/千克）
10.5 9 7.5 6 4.5 3 这种蔬菜每千克的种植成本y （元/千克）与上市时间x （月份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段
（如图）．
（1）写出上表中表示的市场售价P （元/千克）关于上市时间x （月份）的函数关系式； （2）若图中抛物线过A 、B 、C 三点，写出抛物线对应的函数关系式；
（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？ （收益＝市场售价－种植成本）
四、目标检测
某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每
增加10元时，就会有一个房间空间．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定介增加x 元，求：
（1）房间每天入住量y （间）关于x （元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费z （元）关于x （元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w 有最大值？最
大值是多少？
第12课时 实际问题与二次函数（3）
一、学习目标：1．会建立直角坐标系解决实际问题；2．会解决桥洞水面宽度问题． 二、基本知识练习
1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线 的关系式为___________________________________．
2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y ＝－1
4 x 2，当拱桥下水位线在AB 位置时，水面宽为 12m ，这时水面离桥拱顶端的高度h 是（ ）
A ．3m
B ．2 6 m
C ．4 3 m
D ．9m
3．有一抛物线拱桥，已知水位线在AB 位置时，水面的宽为4 6 米，水位上升4米，就达到警戒线CD ，这时水面宽
为4 3 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M 处？
三、课堂练习
1．一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ． （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y ＝ax 2＋c 的形式，请根据所给的数据求出a 、c
的值；
（2）求支柱MN 的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m ，高
3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
2．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 时，水面CD 的宽是10m ． （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式．
（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km （桥长忽略不
计）．货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶1h 时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？
第13课时 二次函数综合应用
一、复习二次函数的基本性质 二、学习目标：
灵活运用二次函数的性质解决综合性的问题． 三、课前训练
1．二次函数y ＝kx 2＋2x ＋1（k ＜0）的图象可能是（ ）
2．如图：
（1）当x 为何范围时，y 1＞y 2?
（2）当x 为何范围时，y 1＝y 2?
（3）当x 为何范围时，y 1＜y 2
?
图①
3．如图，是二次函数y ＝ax 2－x ＋a 2－1的 图象，则a ＝____________．
4．若A （－134 ，y 1），B （－1，y 2），C （5
3 ，y 3）为二次函数y ＝－x 2－4x ＋5图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 3＜y 2＜y 1 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 2＜y 1＜y 3
5．抛物线y ＝(x －2) (x ＋5)与坐标轴的交点分别为A 、B 、C ，则△ABC 的面积为__________．
6．如图，已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在x 轴上，点A 在原点，AB ＝3，AD ＝5．若矩形以每秒2
个单位长度沿x 轴正方向做匀速运动，同时点P 从A 点出发以每秒1个单位长度沿A →B →C →D 的路线做匀速运动．当点P 运动到点D 时停止运动，矩形ABCD 也随之停止运动． （1）求点P 从点A 运动到点D 所需的时间． （2）设点P 运动时间为t （秒）
①当t ＝5时，求出点P 的坐标． ②若△OAP 的面积为S ，试求出S 与 t 之间的函数关系式（并写出相应 的自变量t 的取值范围）．
五、目标检测
如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过A （－1，0），B （3，0）两交点，且交y 轴于 点C ．
（1）求b 、c 的值；
（2）过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D ，
点M 为此抛物线的顶点，试确定△MCD 的形状．
二次函数（单元复习）
一．选择题
1．若二次函数()2312---=x x a y 的开口向上，则a 的取值范围为（ ） A ．1≠a B ．1>a C ．1 A ．（0，4-） B ．（1-，9-） C ．（1，3）