初一下数学证明经典例题及答案

如图，已知D 是△ABC 内一点，试说明AB+AC ＞BD+CD

证明：延长BD 交AC 于E

在△ABC 中，AB+AE ＞BE,即AB+AE ＞BD+DE……① 在△DEC 中,DE+EC ＞DC……②

①+②，得（AB+AE ）+（DE+EC ）＞（BD+DE ）+CD 即AB+（AE+EC ）+DE ＞（BD+DE ）+CD 即AB+AC+DE ＞BD+DE+CD ∴AB+AC＞BD+CD

如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，求证： （1）AB+AC ＞2AD

（2）若AB=5,AC=3，求AD 的范围。 (1)延长AD 到点G,使DG=AD.连接BG 在△CDA 和△BDE 中 AD=GD,∠ADC=∠GDB ∵D 是BC 的中点 ∴CD=BD

∴△CDA≌△BDG. ∴BG=AC

在△ABG 中,AB+BG=AB+BC AG=2AD

因为三角形两边和大于第三边,所以AB+BE ＞AG

B A E

A

B

C

D

G

∴AB+BC＞2AD

(2)AB-AC ＜2AD ＜AB+AC 2＜2AD ＜8 1＜AD ＜4

如图，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，点F 为DE 的中点，求证：BC=2AF.

延长AF 到点G,使AF=DF.连接GD 在△AFE 和△DFG 中 AF=GF,∠AFE=∠DFG ∵点F 为DE 的中点 ∴DF=EF

所以△AFE≌△DFG.(SAS) GD=AE=AC;∠G=∠FAE.

∴DG∥AE.(内错角相等,两直线平行)

则∠GDA+∠DAE=180°.(两直线平行,同旁内角互补） 又∵∠BAC+∠DAE=180°.

∴∠GDA=∠BAC.(同角的补角相等). 又∵AD=AB.

∴⊿ADG≌⊿BAC(SAS) ∴AG=BC,即2AF=BC. ∴BC=2AF.

如图，AD 是△ABC 的中线，点E 在BC 的延长线上，CE=AB,∠BAC=∠BCA

C

A

求证：AE=2AD

证明：在AD的延长线上取点F,使AD＝FD,连接CF

∵AD是中线

∴BD＝CD,AD＝FD,∠ADB＝∠FDC

∴△ABD≌△FCD （SAS）

∴CF＝AB,∠B＝∠FCD

∵∠ACF＝∠BCA+∠BCE,∠ACE＝∠BAC+∠B,∠BAC＝∠BC A

∴∠ACF＝∠ACE

∵CE＝AB

∴CE＝CF

∴△ACE≌△ACF （SAS）

∴AE＝AF

∵AF＝AD+FD＝2AD

∴AE＝2AD

如图，△ABC中，∠ABC=90°，AC=CE,BC=CD,∠ACE=∠B CD=90°，BC的延长线交DE于F。

（1）求证:EF=DF Array（2）求证:S△ABC=S△DCE

证明：

①作EG⊥BF,交BF延长线于G

则∠CGE=∠ABC=90°

∵∠ACE=90°

∴∠ACB+∠ECG=90°

∵∠ACB+∠BAC=90°

∴∠ECG=∠BAC

又∵AC=EC

∴△ABC≌△CGE（AAS）

∴BC=EG

∵BC=CD

∴EG=CD

∵∠BCD=90°

∴∠DCF=90°=∠EGF

又∵∠CFD=∠GFE（对顶角相等）,CD=EG

∴△CFD≌△GFE（AAS）

∴EF=DF

②∵△CFD≌△GFE

∴S△CFD=S△GFE

∴S△CFD+S△CFE=S△GFE+S△CFE

即S△DCE=S△CGE

∵△ABC≌△CGE

∴S△ABC=S△CGE

∴S△ABC=S△DCE

如图，在△ABC，△DEF中，AM,DN分别是两三角形中线，AB=DE,AC=DF,AM=DN.

求证：△ABC≌△DEF B

A

D

证明：如图，延长AM 至A′，使A′M=AM 延长DN 至D′，使D′N=DN 连接A′C、D′F ∵AM 是△ABC 的中线 ∴BM=MC

在△ABM 和△A′CM 中

BM ＝MC∠AMB＝∠A′MCAM＝A′M ∴△ABM≌△A′CM（SAS ） ∴AB=A′C，同理可得DE=D′F ∵AB=DE，∴A′C=D′F

∵AM=DN，AA′=2AM，DD′=2DN

∴AA′=DD′，在△AA′C 和△DD′F 中，AC ＝DFAA′＝DD′A′C＝D′F

∴△AA′C≌△DD′F（SSS ）

∴∠A′=∠D′，在△A′MC 和△D′NF 中，A′M＝D′N ∠A′＝∠D′A′C＝D′F ∴△A′MC≌△D′NF（SAS ） ，∴MC=NF

∵AM、DN 分别是两三角形中线 ∴BC=2MC，EF=2NF

∴BC=EF，在△ABC 和DEF 中，AB ＝DEAC ＝DFBC ＝EF ∴△ABC≌DEF（SSS ）．

B A

M

C

A ′