固体物理习题解答
《固体物理学》习题解答
( 仅供参考)
参加编辑学生
柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章）
指导教师
黄新堂
华中师范大学物理科学与技术学院2003级
2006年6月
第一章 晶体结构
1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出
这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。 解：
氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl －
组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。
由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：
12
3()2()2()2a a a ?
=+??
?=+??
?=+??
a j k a k i a i j 相应的晶胞基矢都为：
,,.a a a =??
=??=?
a i
b j
c k
2. 六角密集结构可取四个原胞基矢
123,,a a a 与4a ,如图所示。试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的
晶面指数()h k l m 。 解：
(1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢
上的截矩分别为：１，１，1
2
-，１。所以，
其晶面指数为()1121。
(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，1
2-，∞。
所以，其晶面指数为()1120。
(3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。所以，其晶面指数为()1100。
(4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。所以，其晶面指数为()0001。
3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的
比为：
简立方：
6
π
；六角密集：6；金刚石：
。 证明：
由于晶格常数为a ，所以：
(1)．构成简立方时，最大球半径为2
m a
R =
，每个原胞中占有一个原子， 3
34326m a V a π
π??∴== ???
36
m V a π∴
=
(2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞中占有两个原子，
3
3
422348m V a π??∴=?= ? ???
32m V a ∴
=
(3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞占有４个原子，
3
3
444346
m V a a π??∴=?= ? ???
3426
m V a π
∴
= (4)．构成六角密集结构时，中间层的三个原子与底面中心的那个原子恰构成一个正四面体，其高则正好是其原胞基矢c 的长度的一半，由几何知识易知
46
m R =
c 。原胞底面边长为2m R 。每个晶胞占有两个原子， 33
482233
m m m V R R ππ∴=?=，
原胞的体积为：()2
3
462sin 6082m m m V R R R == 22632
m V V π
∴
==
(5)．构成金刚石结构时，
1
4
的体对角线长度等于两个最大球半径，即：3
24
m R a =
，每个晶胞包含8个原子， 3
3
433883816
m V a a ππ??∴=?= ? ??? 383m V a π
∴=
4. 金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分
析的方法证明这一夹角为10928'。 证明：
如图所示，沿晶胞基矢的方向建立坐标系，并设晶格常数为１。选择体对角线AB 和CD ，用坐标表示为
{1,1,1}-和{1,1,1}-。
所以,其夹角的余弦为：
1
cos 3AB CD
AB CD θ=
=-
1
arccos()109283
θ'∴=-=
5. 试求面心立方结构(110)和(111)晶面族的原子数面密度，设晶格常数为a 。
解：
如图所示，面ABCD 即(110)面，面CDE 即为(111)面。设该面心立方的晶格常数为a ，则
在(110)面内选取只包含一个原子的面AFGD ，其面积为22222
a a a
=，所以其原子数面密度为：
22
a =
在(111)面内选取只包含一个原子的面DHIG ，
其面积为：22)sin 3π=，
所以其原子数面密度为：
2
34
a =
6. 若在面心立方结构的立方体心位置上也有一原子，试确定此结构的原胞，每
个原胞内包含几个原子，设立方边长为a 。 解：
这种体心立方结构中有五种不同的原子。顶角、体心上的原子是两种不同的原子，另外，面心上的原子前后、上下、左右的原子两两一组，是互不相同的原子。故此种结构共有五种不同的原子，整个面心立方就是一个原胞。每个原胞中的原子数为：
11
8132582
?++??=（个）
7. 底心立方（立方顶角与上、下底心处有原子）、侧心立方（立方顶角与四个
侧面的中心处有原子）与边心立方（立方顶角与十二条棱的中点有原子）各属何种布拉维格子？每个原胞包含几个原子？ 解：
这三种结构都属于简立方结构，原胞包含的原子数分别为：
底心立方：1
818?=
侧心立方：11
84382?+?=
边心立方：11
812484?+?=
8. 试证六角密集结构中8
1.633
c a == 解：
如图所示，ABC 分别表示六角密集结构中中间层的三个原子，Ｄ表示底面中心的原子。DABC 构成一个正四面体，为长为a 。DO ABC ⊥面，则
2c
DO =
3133,3DE a OE a a =
==，且DO OE ⊥ 则由勾股定理得，2
2
336
263OD a a a ????=-= ? ? ? ?????
， 26
23
c OD a ∴==
，268 1.6333c a =
=≈
第二章 晶体中的衍射
1. 试证明面心立方与体心立方互为正倒格子。
方法1：
面心立方：
123()2()2()
2a
a
a
=
+=+=+a j k a k i a i j （1）
由正格子和倒格子的转换关系
1232313122()/2()/2()/b a a b a a b a a πππ=?Ω
=?Ω=?Ω
（2） 其中：123()a a a Ω=??得：
1232()2()2()
b i j k a b i j k a b i j k a π
ππ=
-++=-+=+- （3）
在体心立方中
123()2()
2
()
2a
a i j k a
a i j k a
b i j k =
-++=-+=+- （4）
由（2）式可得
1232()2()2()
b j k a a k i a a i j a
π
ππ=
+=+=+ （5）
比较（1）与（5），（3）与（4）便可得面心立方与体心立方互为正，倒格子。
方法2：由方法一中的（1）可知正格子与倒格子之间存在如下关系：
2i j ij a b πδ?=10
{ij δ=,
i j i j
=≠
由此可得面心立方的倒格子基矢：12
32()2()2()
b i j k a b i j k a b i j k a
π
ππ=
-++=-+=+- 同理可得体心立方的倒格子基矢：12
32()2()2()
b j k a a k i a a i j a
π
ππ=
+=+=+ 比较可得面心立方和体心立方互为正倒格子。 2.
,,a b c 为简单正交格子的基矢，试证明晶面族（h k l ）的晶 面间距为 2221/2[(/)(/)(/)]hkl d h a k b l c -=++
解：,,,a
ai b b j c ck === ()a b c abc Γ=??=
由
19(2.2.7)p 知
***2()/2()/2()/a b c b c a c a b πππ=?Γ=?Γ=?Γ
可得：
***222a i a b j b c k
c πππ=
==
∴ ***222h k ha kb lc hi k j lk a b c
πππ=++=
++ 再由
22p 中h
k
和hkl d 的关系：2/h hkl k d π=可得：
222
22()()()(h k l hkl a b c h a h
d k ππ
??=
=
=++??
得证。
3. 六角密集结构如取如下原胞基矢 1233
,,2222
a a a i a j a i a j c ck =
+=-+= 试写出其倒格子基矢。
方法一： 2
1233()(3)()22a a a a c i j i j ck a c ??Ω=??=+?-+
?=????
1222()/(33)3b a c i j a π
π∴=?Ω=+ 21
22()/(33)3b c a i j a π
π=?Ω=-+ 解得。 '
12
22()/c a a k c
ππ=?Ω=
方法二：由正格子和倒格子之间的关系：2i
j ij a b πδ?=
可得：
1112132,,03b b b a a
π=
==
2121232,,03b b b a a
π=-
== '
'
'
31323320,0,c c c c π===
1222()/(33)3b a c i j a π
π∴=?Ω=+
21
22()/(33)3b c a i j a
π
π=?Ω=-+ '
1222()/c a a k c
π
π=?Ω=
4. 如X 射线沿简立方原胞的Oz 负方向入射，求证当2
2/2/()a l k l λ=+和
2222cos ()/()l k l k β=-+时，衍射光线在yz 平面上，β为衍射线和Oz 轴的
夹角。
证明：简立方的原胞的正格子基矢为：
123a ai a a j a ak
=== 3
a Ω=
其倒格矢为：
123222,
b i
a b j
a b k a
π
ππ===