2.3.1.等比数列(2)
石大附中师生共用教学稿
年级：高二年级学科：数学执笔：傅殿松审核：张生吉
内容：2.3.1.等比数列（2课时）课型：新授时间：09年10月
一、学习导航
1、学习目标
（1）理解等比数列的概念;
（2）掌握等比数列的通项公式;
（3）能利用通项公式解决一些简单问题.
2、学习重点
等比数列的概念及等比数列通项公式的推导和利用
3、学习难点
等比数列“等比”特点的理解、把握和应用
4、教学方法
自主探究—尝试指导—合作交流
二、课堂导学
（一）独立思考·解决问题
1、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比都等于
常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母
（0
）表示；等比数列{a
n }的通项公式是a
n
= .
2、如果三个数x,G,y组成等比数列，那么G叫做x和y的 ,且G= ;若
a n-1,a
n
,a
n+1
(n>=2)是等比数列中的三项，则必有 ;通常三个数成等比数列可依次设
为，四个数成等比数列可依次设为 .
3、等比数列通项公式的推导方法有哪些？
4、判定一个数列为等比数列的方法有哪些？
（二）师生探究·合作交流
1、等比数列
2、等比数列与指数函数的关系
3、等比数列的相关性质
4、应用举例
例1、课本46页
解：
例2、课本48页
解：
例3、课本48页
解：
例4、课本48页
解：
例5、已知数列{a
n }满足a
1
=1,a
n+1
=2a
n
+1.
（1）求证：数列{a
n
+1}是等比数列；
（2）求数列{a
n
}的通项公式.
解：
例6、已知等差数列{a
n }与等比数列{b
n
}，其中a
1
=b
1
=a>0,且a
2n+1
=b
2n+1
,则a
n+1
与
b
n+1
哪个大？.
解：
三、学习体会
1、本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？
2、你认为老师上课过程中还有哪些须要注意或改进的地方？
3、预习时的疑难解决了吗？
四、课堂基础达标
（一）基础巩固
练习:课本50页练习A、50页练习B；
（二）能力拓展
1、设{a n }是公比大于1的等比数列，已知a 1+a 2+a 3=7,且a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列.
(1)求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =lna 3n+1,求数列{a n }的前n 项和T n .
2、已知{a n }是各项为不同的正数的等差数列，lga 1,lga 2,lga 4成等差数列.又
.,3,2,1,1
2 ==
n a b n
n （1）证明：{b n }为等比数列； （2）如果数列{b n }前3项的和等于
24
7
，求数列{a n }的首项a 1和公差d.
3、设数列{a n }的首项4
1
1≠
=a a ，且???
????+=+为奇数为偶数n a n a a n n
n ,21,21
1.
记.,3,2,1,4
1
12 =-=-n a b n n
（1）求a 2,a 3;
（2）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论.
4、已知等比数列{a n }
（1）若216,21321321==++a a a a a a ，求n a . （2）若8,7321321==++a a a a a a ，求n a .
（三）创新探究
1、设二次方程a n x 2-a n+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根βα,，且满足3626=+-βαβα. (1)试用a n 表示a n+1;
(2)当a 1=6
7
时,求数列{a n }的通项公式.
五、课后作业
1、基础训练 2.3.1
2、课本：（1）54页习题A 1、2、3 、4 ；55页 习题B 1、 2
等比数列及前n项和练习题整理
- 等比数列及前n 项和练习题1 一、选择题 1、32+和32-的等比中项是 （ ） A. 1 B. 1- C. 1± D. 2 2、在等比数列{}n a 中，已知30,341515=-=+a a a a ，则3a = （ ） A. 8 B. －8 C. 8± D. 16 3、等比数列{}n a 中，72=S ，916=S ，则4S 等于（ ） A. 28 B. 28或21- C. 21- D. 49 ] 5、在等比数列{}n a 中，55,551==S a ，则公比q 等于 （ ） A. 4 B. 2 C. 2- D. 2-或4 6、已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = A. 21 B. 2 2 C. 2 7、已知数列{n a }为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2· a a ３１＝2a ，且4a 与72a 的等差中项为54 ，则S 5= A ．35 B ．33 C ．31 D ．29 8、已知等差数列｛a n ｝的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于 （ ） ^ （A ）－4 （B ）－6 （C ）－8 （D ）－10 9、等比数列{}n a 中，===+q a a a a 则,8,63232（ ） A ．2 B ．2 1 C ．2或2 1 D ．－2或2 1- 10、在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值是（ ） A 、14 B 、16 C 、18 D 、20 二、填空题： 11、已知在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是_________=n a 12、在等比数列{}n a 中，已知,2,1654321-=++=++a a a a a a 则该数列
等比数列教学设计(共2课时)
《等比数列》教学设计（共2课时） 一、教材分析： 1、内容简析： 本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。 2、教学目标确定： 从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标（三维目标）： 第一课时： （1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导 （2）在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力 （3）通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识 第二课时： （1）加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概念，掌握等比数列的性质 （2）运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用 3、教学重点与难点： 第一课时： 重点：等比数列的定义及通项公式 难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题 第二课时： 重点：等比中项的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用 难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题 二、学情分析： 从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。 高一学生正处于从初中到高中的过度阶段，对数学思想和方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时，高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。 多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。 三、教法选择与学法指导： 由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比
等比数列及其前n项和
等比数列及其前n 项和 [考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系． 【知识通关】 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用 字母q 表示，定义的数学表达式为a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m . (2)前n 项和公式： S n ＝??? na 1(q ＝ 1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1). [常用结论] 1．在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . 2．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，???? ??1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，???? ??a n b n 仍然是等比数列． 3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，其中当公比为－1时，n 为偶数时除外． 【基础自测】 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项?G 2＝ab .( ) (3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )
公比为2的等比数列的前7项的和为381可得首项为3所以
1.【答案】A。解析：公比为2的等比数列的前7项的和为381，可得首项为3，所以第四层的红灯数为24。 C=6场比赛，一共会有6个胜利。如果甲只胜1 2.【答案】C。解析：4人之间共有2 4 场，乙和丙也只胜1场，那丁要胜6-3×1=3场，不合题意。所以只能是甲、乙、丙各胜2场，那么丁胜6-3×2=0场。选C。 3.【答案】B。解析：方法一：设原来两位数个位是a，十位就是2a/3，则列方程为a ＋20/a3＋18＝2a/3＋10a。解出a＝6，十位就是4。故选B。 方法二：设原来两位数十位数为3个单位，则个位数为2个单位，个位数与十位数的和为5个单位，备选答案中只有B是5的整数倍。 方法三：满足十位数是个位数字的2/3的数只能是23，46和69，这三个两位数的两个数字之和分别是5，10和15，选项中只出现10，所以选择B。 4.【答案】D。解析：五个星期六构成以7为公差的等差数列。设首项为a，则这五个日期的和为5a＋5×（5－1）×7÷2＝85。得a＝3。则最后一个星期六为3＋7×（5－1）＝31号。选D。 5.【答案】D。解析：按位置讨论,共有：N=32×26×10×10×10×10×10=83200000，选D。（注：现在共有32个省或自治区直辖市） 6.【答案】C。解析：首先观察甲和丙，得分相差40分，而他们的答案不一样的也恰好有4题，那么也就是说，丙和甲不一样的题（即2，4，5，10）甲都做对了，而这四道题恰好乙也全做错了，而乙一共做错了5道题，也就说剩下的题目（1，3，7，8，6，9）中，乙只错一个；又四人判断一致的题目（即1，3，7，8）中必有一个四个人全做错了，因为丙一共只做对3道题，那么，也就是说6，9题乙做对了，那么现在答案除了1，3，7，8，都确定了，即（2，4，5，10）与甲一致，（6，9）与乙一致，在这6道题中丁做对了3道，剩下的（1，3，7，8）又丁做对3道，综上所述，丁得分60分。 7.【答案】B。解析：设答对5道题的有n人，答对6道题的有m人，则有： 2×5+4×9+3n+5n+6m=202；5+9+2n+m=50，解得m=6，选B。 8.【答案】B。解析：由题意：（1.68-0.16）÷16%=9.5元，选B。 9.【答案】C。解析：由题意：B钟1天时间快了1分钟，C钟1天时间慢了1分钟，若他们时针分针都再次指向12点，那么，B钟总共快了12小时，同时C钟慢了12小时。那么需要的时间60×12=720天，由此，此题变成，1898年4月1日的720天后是几月几日的问题：1898年4月1日以前有31+28+31=90天，那么从4月2日到年底有365-91=274天，1899年全年有365天，而1900年是平年，这样1900年第（720-274-365）=81天应该是3月22日，故选C。 10.【答案】A。解析：5类利用职权侵犯人权犯罪案件：渎职造成人民生命财产重大损失的案件；非法拘禁，非法搜查案件；刑讯逼供，暴力取证案件；破坏选举，侵犯公民民主权利案件；虐待被监管人案件。
高中数学《等比数列的前n项和(第一课时)》教学设计
高中数学《等比数列的前n项和（第一课时）》教学设计 一.教材分析。 (1教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5,是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。 二.学情分析。 (1学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思 维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。 (3从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三.教学目标。
根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. (3情感,态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的体验,感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。 四.重点,难点分析。 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点:公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。 五.教法与学法分析. 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此,本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让老师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能够愉快地自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的方法,比较论证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。一句话:还课堂以生命力,还学生以活力。 六.课堂设计
北师大版高中数学必修5等比数列 第2课时
等比数列 （第二课时） 教学目标： 进一步熟悉等比数列的有关性质 教学重点： 等比数列的性质 教学过程 一、复习引入： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0）， 即：1-n n a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: ) 0(11 1≠??=-q a q a a n n ， ) 0(≠??=-q a q a a m m n m n 3．｛ n a ｝成等比数列?n n a a 1 +=q （+ ∈N n ,q ≠0） 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 二、等比数列的有关性质： 通过类比等差数列得到： 1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。 与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方。 2、若q p n m +=+，则q p n m a a a a = 三、 例1：已知无穷数列 ,10 ,10,10,105 152 51 50 -n ， 求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的 10 1， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中
证：（1） 51 5 251 1 1010 10== ---n n n n a a （常数）∴该数列成等比数列 （2） 10 110 10 101 5 451 5 = == -+-+n n n n a a ，即：5 10 1+= n n a a （3）5 2 5 1 5 110 10 10 -+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴2≥+q p ∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1， ∴? ?? ? ?? ∈--+5 1n 5 2 1010 q p ，（第1-+q p 项） 例2：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 解：设这个等比数列的第1项是1a ，公比是q ，那么：1221=q a ，① 18 3 1=q a ， ② 由②÷①可得第2 3=q ③ 把③代入①可得8 3 16121==∴= q a a a 答：这个数列的第1项与第2项是3 16和8. 例3：已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ?是等比数列. 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为q 1;{}n b 的首项为b 1，公比为q 2，那么数列{}n n b a ?的第n 项与第n+1项分别为： n n n n n n q q b a q q b a q b q a q b q a ) () (21111 211121111 2 11 1 1与即为与---?????? .) ()(211 2111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n == ??-++ 它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ?是一个以q 1q 2为公比的等比数列. 例4：在等比数列 {}n a 中，2 2 -=a ， 54 5=a ，求 8 a ， 解： 1458 2 54 542 553 58-=-? =? ==a a a q a a
2.4.2等比数列的基本性质及其应用
2.4.2 等比数列的基本性质及其应用 三维目标 一、知识与技能 1.了解等比数列更多的性质 2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中 3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题 二、过程与方法 1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学 2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程 3.当好学生学习的合作者的角色 三、情感态度与价值观 1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力 2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值 重难点 教学重点1.探究等比数列更多的性质 2.解决生活实际中的等比数列的问题 教学难点渗透重要的数学思想 教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等 教学过程 导入新课 师教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的
探究结果展示一下 生 由学习小组汇报探究结果 师 对各组的汇报给予评价 师 出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答： 第3题解答： (1)将数列{a n }的前k 项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,….令b i =a k+i 则数列a k+1,a k+2,…,可视为b 1,b 2， 因为 q a a b b i k i k i i ==++++1 1 (i≥1),所以，{b n }是等比数列，即a k+1，a k+2,…是等比数列 (2){a n }中每隔10项取出一项组成的数列是a 1,a 11,a 21，…,则 10 9 101101121111......q a a a a a a k k =====-+ 所以数列a 1,a 11,a 21,…是以a 1为首项，q 10 为公比的等比数列 猜想：在数列{a n }中每隔m(m 是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a 1 为首项、q m 为公比的等比数列 ◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学 生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法 第4题解答： (1)设{a n }的公比是q ，则 a 52=(a 1q 4)2=a 12q 8 而a 3·a 7=a 1q 2 ·a 1q 6 =a 12q 8 所以a 52 =a 3·a 7 同理,a 52=a 1·a 9 (2)用上面的方法不难证明a n 2 =a n -1·a n +1(n ＞1).由此得出，a n 是a n -1和a n +1的等比中项，同 理可证a n 2 =a n -k ·a n +k (n ＞k ＞0).a n 是a n -k 和a n +k 的等比中项(n ＞k ＞ 师 和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作 进一步的探究 推进新课 ［合作探究］ 师 出示投影胶片1
等比数列及其前n项和(作业)
等比数列及其前n 项和(作业) 例1： 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，31 2 a ，22a 成等差数列，则 910 78 a a a a +=+（ ） A ．1 B ．1 C ．3+D ．3- 【思路分析】 设公比为q ，则0q >，21a a q =，231a a q =， ∵1a ，31 2 a ，22a 成等差数列， ∴3122a a a =+，即21112a q a a q =+， 解得1q =+ 1， ∴22910787878()3a a a a q q a a a a ++===+++． 故选C ． 例2： 若等比数列 {} n a 中，25112a a a ++=，58146a a a ++=，那么 2581114a a a a a ++++的值为（ ） A ．8 B ．9 C ．242 31 D ． 240 41 【思路分析】 设公比为q ，则335814251125112511() a a a q a a a q a a a a a a ++++==++++，即33q =， ∴38553a a q a ==，9145527a a q a ==， 由58146a a a ++=，得5553276a a a ++=，解得56 31 a = ， ∴2581114251158145242 ()()31 a a a a a a a a a a a a ++++=+++++-=． 故选C ． 例3： 设{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且10b =，n n n c a b =+，若数列{} n c
的前三项为1，1，2，则{}n a 的前10项之和是 （ ） A ．978 B ．557 C ．467 D ．1 023 【思路分析】 设数列{}n a 的公比为q ，设数列{}n b 的公差为d ， ∵10b =，11c =， ∴11a =， 则2a q =，23a q =，2b d =，32b d =， ∵21c =，32c =， ∴2122q d q d +=??+=? ，解得21q d =??=-?， ∴数列{}n a 的前10项之和10110(1) 1 0231a q S q -= =-．故选D ． 1. 在等比数列{}n a 中，已知332a = ，前三项和39 2 S =，则公比q =（ ）
人教版数学高二-2.5等比数列的前n项和(第2课时)教案
2.5等比数列的前n 项和（第２课时）教案 ●学习目标 知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列的q n a a S n n ,,,,1中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力 过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想. 情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度. ●教学重点 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式 ●教学难点 灵活使用公式解决问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下前一节课所学主要内容： 等比数列的前n 项和公式： 当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n = 当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式② Ⅱ.讲授新课 例1、在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，418 a =，求该数列的前10项和。 例2、等比数列{}n a 的前3项和为13，前6项和为364，求12S 。
例3、已知数列{}n a 的前n 项和2 15-=n n S ，求数列{}n a 的通项公式。{}n a 是否为等比数列？若是请证明。若不是请说明理由。 变式：若等比数列{}n a 的前n 项和a S n n +=3，则a 等于 （ ） A. 4- B. 2- C. 0 D. 1- 例4、数列{}n a 满足()212 1,111≥+==-n a a a n n 。 （1） 若2-=n n a b ，求证{}n b 为等比数列；（2）求{}n a 的通项公式。 Ⅲ.课堂练习 1、等比数列前n 项和为54，前n 2项和为60，则前n 3项和为 （ ） A. 54 B. 64 C. 3266 D. 3 260 2、一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折（沿对边中点连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别为 （ ）
等比数列第一课时教案(汇编)
等比数列的定义教案 内 容： 等比数列 教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义； 2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法； 3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。 授课类型：新授课 课时安排：1课时教学重点：等比数列定义、通项公式的探求及运用。 教学难点：等比数列通项公式的探求。 教具准备：多媒体课件 教学过程： （一）复习导入 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式及其推导方法 3.公差的确定方法. 4.问题：给出一张书写纸，你能将它对折10次吗？为什么？ （二）探索新知 1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？ （１）－2，1，4，7，10，13，16，19，…（２）8，16，32，64，128，256，… （３）1，1，1，1，1，1，1，… （４）1，2，4，8，16，…263 请学生说出数列上述数列的特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞，再假设开始有一个细胞，经过一个单位时间它分裂为两个细胞，经过两个单位时间就有了四个细胞，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的细胞个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这就是我们将要研究的另一类数列——等比数列. 2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．． ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．． ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠， 3.递推公式：1n a +∶(0)n a q q =≠ 对定义再引导学生讨论并强调以下问题 （1） 等比数列的首项不为0； （2）等比数列的每一项都不为0； （3）公比不为0. （4）非零常数列既是等比数列也是等差数列； 问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？ 3．等比数列的通项公式： 【傻儿子的故事】 古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书先生来教他儿子认字，他儿子见老师第一天写“一”就是一划，第二天“二”就是二划，第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,我会写字了,请你叫老师走吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱叫他走了。 第二天,这人想请一个姓万的人来家里吃饭,就让他儿子帮忙写一张请帖,他儿子从早上一直写到中午也没有写好,这人觉得奇怪,就去看看,只发现他儿子在纸上划了好多横线,就问他儿子什么意思.他儿子一边擦头上的汗一边埋怨道:“爸,
等比数列的前n项和例题详细解法
等比数列的前n项和例题详细解法?例题解析 【例1】设等比数列的首项为a(a＞0)，公比为q(q＞0)，前n项和为80，其中 最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，求a和q. 解：由S n=80，S2n=6560，故q≠1 ∵a＞0，q＞1，等比数列为递增数列，故前n项中最大项为an． ∴a n=aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q－1 ⑤ 由⑤，⑥联立方程组解得a=2，q=3 证∵Sn=a1＋a1q＋a1q2＋...＋a1q n-1 S2n=S n＋(a1q n＋a1q n+1＋...＋a1q2n-1)
=S n＋q n(a1＋a1q＋...＋a1q n-1)=S n＋q n S n=S n(1＋q n) 类似地，可得S3n=S n(1＋q n＋q2n) 说明本题直接运用前n项和公式去解，也很容易．上边的解法，灵活地处理了S2n、S3n与S n的关系．介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧． 【例2】一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数． 分析设等比数列为{a n}，公比为q，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q2，首项分别为a1，a1q． 解设项数为2n(n∈N*)，因为a1=1，由已知可得q≠1． 即公比为2，项数为8． 说明运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时，对公比q要分情况讨论．有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的．
上海市2018届高三数学复习等差数列与等比数列(2)专题练习
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 等差数列与等比数列二 一、填空题 1、等比数列{}n a 的公比大于1，514215,6a a a a -=-=，则3a = 2、在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若28521,2a a a a ==+，则5a = 3、等比数列{}n a 的前n 项和13n n S t -=+，则t = 4、在等差数列{}n a 中，若(),,m n a n a m m n ==≠，则m n a -= 5、等差数列{}n a 中，公差135991, (602) d a a a a =++++=，则前100项和100S = 6、一个各项为正数的等比数列，任何项都等于它后面两项之和，则公比等于 7、若某三角形的三边成等比数列，则公比q 的取值范围是 8、已知数列{}n a 是非零等差数列，又139,,a a a 是某个等比数列的前三项，则 1392410a a a a a a ++=++ 9、设数列{}n a 是等比数列，公比1q ≠，已知其中连续三项恰为某等差数列的第r 项，第2r 项，第4r 项，则等比数列的公比q = 10、已知方程()()22220x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为14的等差数列，则m n -= 11、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知10150,25S S ==，则n nS 的最小值为 12、已知()31f x x x =++，公差d 不为0的等差数列{}n a 满足： ()()()1227...27f a f a f a +++=，则14a = 二。选择题 13、等比数列{}n a 的公比为q ，则“1q >”是“对于任意自然数n ，都有1n n a a +>”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又非必要条件 14、设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足201620170,0S S ><，对任意正整数，都有 n k a a ≥，则k 的值为（ ） A.1006 B.1007 C.1008 D.1009
等比数列第一课时导学案
2.3 等比数列导学案（1） 学习目标：1 .理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列 2 ??掌握等比数列的通项公式并能简单应用 ； 重点：等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用 难点：等比数列通项公式的推 导及应用。 一、温故知新 什么叫等差数列？通项公式是什么 ？什么叫等差中项？ 二、探求新知 1、研究下面三个数列并回答问题 1 1 1 ① 1、2、4、8…；② 1、-1、1、-1 …③ 1、 、一、 —— 2 4 8 问题1: 上面数列都是等差数列吗？ 问题2:以上数列后项与前项的比有何特点？ 2、 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 _____ 项起，每一项与它的前一项的 _______ 都等于 ______ 常数，那 么这个数列就叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的 _________ ，通常用字母 ________ 表示。 3、 等比数列的通项公式的推导过程 设等比数列 a n ，的公比为q 方法1：（归纳法） 4、等比数列的通项公式 a n 玄1 a 「a 2 a 1_， a 3 a ?q a 1 ，a 4 a 3 q a 1 a n a n 1 q a 1 a o 根据等比数列的定义，可以得到— a 3 -- ? a 4 -- ? a n -- ? ? 一以上共有 a 1 a 2 a 3 a n 1 式，把以上 ____ 个等式左右两边分别相乘得 __________ ，即 a 1 a 2 a 3 a 1 ，即得到等比数列的通项公式。 方法2:（累乘法） a 2 a 3 a 4 a n 1
三、通过预习掌握的知识点 1、等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等比数列 ?这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表 1 “从第二项起”与“前一项”之比为常数 (q) 2 隐含：任一项a n 0且q 0 3 q= 1时，｛a n ｝为常数。 2、 等比数列的通项公式 1: ___________________________ . 3、 等比数列的通项公式 2: ___________________________ . 4、 等比中项：若 a.b.c 成等比数列。贝U . 5、既是等差又是等比数列的数列 ：非零常数列 四、预习检查： 1.判断下列数列是否为等比数列 (1) 2,2,2,2，…； (2) -1,1,2,4,8 , ; ⑶ Ig3,lg6,lg12,…; (4) 1 2 3 a ,a ,a n 7 a J ； (5) 已知数列 a n 的通项公式为 a n 3 2n 。 (6) 已知数列 a n 的通项公式为 a n n 3 2.已知数列1,24,-8,16?…它的公比是 ,通项公式是 3. 已知数列 1 — 1 1 1 - -- … 则一 1 是它的第 项。 2 4 8 128 4. 一个等比数列的第 9项是4 ，公比是一1 ,求它的第1项 9 3 5. 一个等比数列的第 2项是10，第3项是20,求它的第1项与第4项 示(q z 0),即: a n =q (q* 0) a n 1 ｛an ｝成等比数列 a n 1 =q ( n a n N ,q *0)
(经典)讲义：等比数列及其前n项和
（经典）讲义：等比数列及其前n 项和 1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1. 3．等比中项 若G 2 ＝a ·b (ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m ，(n ，m ∈N ＋)． (2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n . (3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ ≠0)，? ???????? ?1a n ，{a 2n }， {a n ·b n }，? ???????? ?a n b n 仍是等比数列． (4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 5．等比数列的前n 项和公式 等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q . 【注意】 6.利用错位相减法推导等比数列的前n 项和： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， 同乘q 得：qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n ， 两式相减得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 11－q n 1－q (q ≠1)． 7.1由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 7.2在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，
等比数列的前n项和(第二课时)
等比数列的前n 项和(第二课时) 【学习目标】 1．掌握等比数列与S n 有关的一些性质，能熟练运用这些性质解题． 2．掌握可以转化为等差或等比数列的数列求和问题． 3．会用等比数列的相关知识解决简单的实际应用问题． 【学习障碍】 1．由于对等比数列中各元素间的关系理解不够深刻，对等比数列的性质不够熟练，解 题时找不到解决问题的“巧”办法． 2．由于审视问题的高度不够，不会运用整体解决问题的策略． 3．有些数列本身不是等差或等比数列，但可以转化为等差或等比数列．学生常常苦于 找不到转化途径． 4．由于阅读理解能力较差，不能运用等比数列知识将实际问题转化为数学问题． 【学习策略】 Ⅰ．学习导引 1．求数列的前n 项和S n ，一般有以下几种方法： (1)直接转化为等差数列或等比数列求和问题； (2)用等差数列或等比数列求和的倒序相加或错位相减求S n ； (3)拆项求和； (4)对通项进行分解或组合，将原数列化成若干个容易求和的数列． 2．数列应用题中常用的几个概念： (1)增长率：增加或提高的比值． (2)成本与利润：成本是指生产一种产品所需的全部费用，利润是指商品生产的盈利． (3)利率与存、贷款问题：利率是指利息和本金的比率；复利是指把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计利息；单利是指只按照本金计算利息．存款一般只计算单利， 贷款在通常情况下不计算复利． 3．等比数列的前n 项和公式的常见应用问题． (1)生产部门中有增长率的总产量问题．例如，第1年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为1＋r ．其中第n 年产量为a (1＋r )n － 1，且过n 年后总产量为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2…＋a (1＋r )n －1＝)1(1] )1(1[r r a n +-+-． (2)银行部门中利息按复利计算问题．例如，一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利算，则每月的a 元过n 个月后便成为a (1＋r )n 元，因此第二年年初可取款a (1
《等比数列》第一课时教学设计
《等比数列 (第一课时)》教学设计 一、教学任务和目标 （一）教学任务分析：通过观察、分析、归纳、猜想、类比等思维活动，展示等比数列概念的形成与指数函数的对应等的深化过程；体会研究等比数列通项公式简单归纳方法：特殊到一般的过程。（二）教学目标 知识与技能：理解并掌握等比数列的定义和通项公式，并加以初步应用。 过程与方法：通过概念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到一般的数学思想，培养观察、分析、归纳、猜想、概括等思维能力。 情感、态度与价值观：培养勇于探索、大胆尝试与创新的精神，养成科学、良好的学习习惯和品质。 （三）教学重、难点 教学重点：等比数列概念的形成与深化，等比数列通项公式的推导与应用 教学难点：等比数列概念的深化，等比数列的判定、证明和应用二、教法与学法 （一）教学方法分析：本节课是《等比数列》第一课时，核心任务是概念的本质理解，而概念教学应注重概念的形成过程，引导学生主动探索、发现、类比和归纳，因此本节课采用教为主导、学为主体、
练为主线的教学方法，培养学生的学习热情，发挥学生的主动性和创造性。 （二）学法分析：一方面，学生领会数学概念学习的一般过程，并主动探索概念的形成；另一方面，由于等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，因此，学生可以将类比等差数列的概念形成和拓展过程，来构建等比数列的知识系统。 三、教学过程 （一）复习引新 等差数列与等比数列的内容平行，因此类比法是本节课学生学习过程中采用的主要数学方法。学生已经学习过等差数列相关内容和思想方法，因此本节课先复习等差数列知识点，为类比思想的应用提供基础。 问题1：等差数列的定义是什么？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示。 问题2：等差数列的通项公式是什么？如何推导该公式？ 等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+- 推广公式：()n m a a n m d =+- 推导过程：方法一：不完全归纳法：归纳、猜想。 方法二：累加法 问题3：等差数列的通项公式与相应的一次函数解析式之间有何
1.3.2等比数列前n项和(第2课时)教学设计
§1.3.2等比数列的前n项和（第二课时） 教学设计 一、教材分析 1、在教材中所处的地位和作用 《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养． 2、从学生的认知角度看 学生很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的应用进行类比，这是认知的有利因素．认知的不利因素有：本节公式的应用与等差数列前n项和公式的应用有着很大的不同，这对学生的思维定势是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错 3、学情分析 教学对象学习了必修1和必修4的高中生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨． 并且由于湖北省对教材的安排顺序，导致算法的内容学生没有学习，所以课本例3不能讲解. 4、教学重难点分析 教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 教学难点：灵活使用公式解决问题 这样确定重点，既能夯实“双基”，又凸现了掌握知识的三个层次：识记、理解和运用．而公式的运用又用到了多种重要的数学思想方法，所以既是重点又是难点． 二、教学目标分析 1、知识与技能目标; 掌握等比数列前n项和公式的的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．分析：这一目标体现了基础知识的落实、基本技能的形成，这是数学教学的首要环节，也正符合课程标准的要求． 2、过程与方法目标： 通过对公式运用的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．分析：因为数学教学的最终目的是通过思想方法的渗透以及思维品质的锻炼，从而让学生在能力上得到发展． 3、情感态度与价值观目标： 通过对公式运用的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点． 三，教法分析 采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段． 利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优
等比数列及其前n项和(讲义)
等比数列及其前n 项和（讲义） 知识点睛 一、等比数列 1． 等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (0)q ≠表示． （1）等比中项 （2）等比数列的通项公式：11n n a a q -=． 2. 等比数列的性质 （1）通项公式的推广：*()，n m n m a a q m n N -=∈． （2）若{}n a 是等比数列，且*()，，，k l m n k l m n N +=+∈， 则k l m n a a a a =??． （3）若{}n a 是等比数列，则k a ，k m a +，2k m a +，…*()，k m N ∈组成公比为m q 的等比数列． （4）若{}n a 是等比数列，则{}n a λ，{}||n a ，1{}n a ，{}2 n a 也是等比数列． （5）若{}n a ，{}n b 是等比数列，则{}n n a b ?，{ }n n a b 也是等比数列． （6）当数列{}n a 是各项均为正数的等比数列时， 数列{}lg n a 是公差为lg q 的等差数列． 二、 等比数列的前n 项和公式 1. 对于等比数列 1a ，2a ，3a ，…，n a ，…
当1q ≠时， 它的前n 项和的公式为1(1) 1n n a q S q -=-或11n n a a q S q -=-． 当1q =时， 它的前n 项和的公式为1n S na =． 推导过程：错位相减法 2. 等比数列各项和的性质 （1）若m S ，2m S ，3m S 分别是等比数列{}n a 的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则m S ，2m m S S -，32m m S S -成等比数列，其公比为m q ． （2）等比数列的单调性 ①当101a q >??>?或10 01a q ??<?时，{}n a 是递减数列； ③当101a q ≠??=?时，{}n a 是常数列； ④当0q <时，{}n a 是摆动数列． 精讲精练 1. 设{}n a 为等比数列，且4652a a a =-，则公比是（ ） A ．0 B ．1或-2 C ．-1或2 D ．-1或-2