第二章 数学奥赛极限和导数(学生版)

专题二 极限与导数的概念

一、极限

1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞

→+∞

→，另外)(lim 0

x f x x +

→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。类似地)(lim 0

x f x x -

→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。 2.几个重要极限：

（1）01

lim =∞→n

n （2）C C n =∞→lim （C 是常数）

（3）无穷等比数列}{n q （1

→q q n n

3 极限的四则运算：如果0

lim x x →f(x)=a, 0

lim x x →g(x)=b ，那么0

lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b,

0lim x x →[f(x)?g(x)]=ab, 0lim

x x →).0()()(≠=b b

a

x g x f

4.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0

lim x x →f(x)存在，并且0

lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。

一．极限的求法。

例1 求下列极限：（1）??

? ??+++∞→22221

lim n n n n n ；（2）)0(1lim

>+∞→a a a n n n ；

（3）???? ??++++++∞

→n n n n n 2221

211

1lim ；（4）).1(lim n n n n -+∞→

二、基础训练题

1．n

n n n n 3232lim 1

1++++∞→=_________.

二、导数

1．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分

小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若x

y

x ??→?0lim 存在，则称f(x)在x 0

处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或0

x dx

dy ，即

00)()(lim

)('0

x x x f x f x f x x --=→。由定义知

f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。

2.导数的几何意义是：f(x)在点x 0处导数'f (x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。

3．几个常用函数的导数： （1）)'(c =0（c 为常数）； （2）1)'(-=a a ax x （a 为任意常数）； (3)a a a x x ln )'(=; (4)x x e e =)'(;

（5）)'(log x a x x a log 1=； （6）.1

)'(ln x

x =

4．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x 处可导，且u(x)≠0,则

（1）)(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±； （2）)(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=；

（3）)(')]'([x u c x cu ?=（c 为常数）； （4）)

()

(']')(1[2

x u x u x u -=； （5）)()()(')(')(]')()([2x u x v x u x v x u x u x u -=

。 题型一 导数的运算

例1. 求下列函数的导数：

(1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝3x e x －2x ＋e ；

(3)y ＝ln x x 2＋1. （4）21

lg y x x =-

（5）1

1

x y x -=+ （6）(1)(2)(3)y x x x =+++

（7）2323

y x x

=+

(1)f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0等于() A．e2B．1 C．ln 2 D．e

(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于() A．－1 B．－2 C．2 D．0

题型二导数的几何意义

命题点1已知切点的切线方程问题

例2(1)函数f(x)＝ln x－2x

x的图象在点(1，－2)处的切线方程为()

A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0

C．x－y－3＝0 D．x＋y＋1＝0

(2)已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是__________．

命题点2未知切点的切线方程问题

例3(1)与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是()

A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0

C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0

(2)已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为()

A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0

C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0

命题点3和切线有关的参数问题

例4已知f(x)＝ln x，g(x)＝1

2x

2＋mx＋

7

2(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且

与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m等于()

A．－1 B．－3 C．－4 D．－2

(2)若直线y＝2x＋m是曲线y＝x ln x的切线，则实数m的值为________．

8．已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.

三、利用导数研究函数的性质 1．函数的单调性 在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减．

课时1 导数与函数的单调性

题型一 不含参数的函数的单调性

例1 求函数f (x )＝ln x

x 的单调区间．

课堂练习：

1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)

D ．(2，＋∞)

2．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(－∞，25) D ．(－∞，25

]

3．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (21

)，c ＝f (3)，则( ) A ．a

4．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________．

专题三利用导数研究函数的性质题型二含参数的函数的单调性

例2讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性．

题型三利用函数单调性求参数

例3设函数f(x)＝1

3x

3－

a

2x

2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.

(1)求b，c的值；

(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间；

(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

引申探究：在本例3(3)中，

1．若g(x)在(－2，－1)内为减函数，如何求解？

2．若g(x)的单调减区间为(－2，－1)，求a的值．

已知函数f (x )＝e x ln x －a e x (a ∈R )．

(1)若f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1

e x ＋1垂直，求a 的值； (2)若

f (x )在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围．

典例 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，其中函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴．

(1)确定a 与b 的关系；

(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性．

课时2 导数与函数的极值、最值

1．函数的极值

一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，

(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． 2．函数的最值

(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．

题型一 用导数解决函数极值问题 命题点1 求函数的极值 1．当函数y ＝x·2x 取极小值时，x 等于( ) A.1ln 2 B ．－1

ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2

2.函数y ＝2x －1

x 2的极大值是________．

例1 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3

a (a ∈R 且a ≠0)，求函数f (x )的极大值与极小值．

命题点3 已知极值求参数

3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18

B ．11

C ．18

D ．17或18

4.已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.

5.若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间(1

2，3)上有极值点，则实数a 的取值范围是( )

A ．(2，52)

B ．[2，52)

C ．(2，103)

D ．[2，10

3)

6.函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________．

7．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．

题型二 用导数求函数的最值

8．函数f (x )＝3x3

＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________．

9．函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为( )

A ．e

B ．1

C ．－1

D ．－e

例4已知a∈R，函数f(x)＝a

x＋ln x－1.

(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)求f(x)在区间(0，e]上的最小值．

已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax (a>1

2)，当x∈(－2,0)时，f(x)

的最小值为1，则a的值等于()

A.1

4 B.

1

3 C.

1

2D．1

题型三函数极值和最值的综合问题

例5已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c

e x(a>0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．3．利用导数求函数的最值问题

典例(12分)已知函数f(x)＝ln x－ax (a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．

专题四导数与函数的综合问题题型一用导数解决与不等式有关的问题

命题点1解不等式

例1设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有xf′(x)－f(x)

x2<0恒成立，则

不等式x2f(x)>0的解集是()

A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－2,0)∪(0,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2)

例2证明：当x∈[0,1]时，

2

2x≤sin x≤x.

命题点2不等式恒成立问题

例3已知函数f(x)＝ln x－a

x.若f(x)

2在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．

设a∈R，已知函数f(x)＝ax3－3x2.

(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若对任意的x∈[1,3]，有f(x)＋f′(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．

题型二 利用导数解决函数零点问题 例4 已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.

(1)求a ；

(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．

典例 (12分)设f (x )＝a

x ＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.

(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；

(2)如果对于任意的s ，t ∈[1

2，2]，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．

2013-2016全国高中数学联合竞赛（四川初赛）函数专题2016年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）

2013年全国高中数学联合竞赛（四川初赛） （5月19日下午14：30——16：30） 1、函数()f x 对于任意实数x 满足：()()

1

3f x f x +=-

，若(0)2f =，则(2013)f = A 、1

2- B 、12

C 、2

D 、2013

7、已知函数x

x

x f ++=13)(，记m f f f f =++++)1024

()4()2()1( ， n f f f f =++++)1024

1()8

1()4

1()2

1( ，则=+n m ．

12、已知函数x x

a x f -=)(，对任意(0,1)x ∈，有()(1)1f x f x ?-≥恒成立，则实数a 的取值范围

是 ．

16、若实数0x 满足00()f x x =，则称0x x =为()f x 的不动点．

已知函数32()3f x x ax bx =+++，其中,a b 为常数． （Ｉ）若0a =，求函数()f x 的单调递增区间；

（II ）若0a =时，存在一个实数0x ，使得0x x =既是()f x 的不动点，又是()f x 的极值 点．求实数b 的值；

（III ）求证：不存在实数组(,)a b ，使得()f x 互异的两个极值点皆为不动点．

人教版高中数学《导数》全部教案

导数的背景（5月4日） 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=? 从而，t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时， t s ??无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做 瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间 内的平均速度为t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.

极限和导数

一、极限 极限是考研数学每年必考的内容，在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。考研教育\网 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度；在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效；夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算；单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。 与极限计算相关知识点包括： 1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左、右极限，分段函数的连续性问题关键是分界点处的连续性，或按定义考察，或分别考察左、右连续性； 2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数的定义直接计算或检验，存在的定义是极限存在，求极限时往往会用到推广之后的导数定义式； 3、渐近线（水平、垂直、斜渐近线）； 4、多元函数微分学，二重极限的讨论计算难度较大，多考察证明极限不存在。 二、导数 求导与求微分每年直接考查的知识所占分值平均在10分到13分左右。常考题型：（1）利用定义计算导数或讨论函数可导性；（2）导数与微分的计算（包括高阶导数）；（3）切线与法线；（4）对单调性与凹凸性的考查；（5）求函数极值与拐点；（6）对函数及其导数相关性质的考查。 对于导数与微分，首先对于它们的定义要给予足够的重视，按定义求导在分段函数求导 中是特别重要的。应该熟练掌握可导、可微与连续性的关系。求导计算中常用的方法是四则运算法则和复合函数求导法则，一元函数微分法则中最重要的是复合函数求导法及相应的一阶微分形式不变性，利用求导的四则运算法则与复合函数求导法可求初等函数的任意阶导数。幂指函数求导法、隐函数求导法、参数式求导法、反函数求导法及变限积分求导法等都是复合函数求导法的应用。 导数计算中需要掌握的常见类型有以下几种： 1、基本函数类型的求导； 2、复合函数求导； 3、隐函数求导，对于隐函数求导，不要刻意记忆公式，记住计算方法即可，计算的时候要注意结合各种求导法则；

导数和极限精辟总结(全)

导数和导数的极限 函数 )(x f 在 0x 点的左导数定义为 )(0x f -'x x f x x f x ?-?+=-→?)()(lim 000 。 函数 )(x f 在 0x 点的右导数定义为 )(0x f +'x x f x x f x ?-?+=+→?)()(lim 000 。 函数 )(x f 在 0x 点导数的左极限定义为 )0(0-'x f )(lim 0 0x f x x '=-→ 。 函数 )(x f 在 0x 点导数的右极限定义为 )0(0+'x f )(lim 0 0x f x x '=+→ 。 在很多情况下，导数的左极限 )(lim 0 0x f x x '-→ 往往就是左导数 )(0x f -' ，导数的右极限 )(lim 00x f x x '+→ 往往就是右导数 )(0x f +' 。 例如，函数 ?????≥<=1 11)(2x x x x x f 。 在 1=x 点的左导数为 )1(-'f 1111lim )1()1(lim 00-=?-?+=?-?+=-→?-→?x x x f x f x x ；导数的左极限为 )(lim 01x f x '-→1)1(lim )1(lim 20101-=-='=-→-→x x x x ，两者是一样的。 在 1=x 点的右导数为 21)1(lim )1()1(lim )1(200=?-?+=?-?+='+→?+→?+x x x f x f f x x ；导数的右极限为 )(lim 01x f x '+→2)2(lim )(lim 0 1201=='=+→+→x x x x ，两者也是一样的。 但有时候，导数的左极限 )(lim 0 0x f x x '-→ 并不等于左导数 )(0x f -' ，导数的右极限 )(lim 00x f x x '+→ 并不等于右导数 )(0x f +' 。

专题8极限与函数的导数的题型与方法

专题八 极限与函数的导数的题型与方法 【考点审视】 极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值，考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从2004年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变： （1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限： 1)c c c n (lim =∞ →是常数）,2)01 lim =∞→n n ,3)∞→n lim )1|(|0<=q q n . (2)明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。 （3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。 （4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。 （5）熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。 （6）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。 【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。对 00、∞ ∞ 、∞-∞、∞?0型的函数或数列的极限，一般要先变形或化简再运用法则求极限。例如（2004年辽宁，14）π ππ --→x x x x cos )(lim = 【分析】这是 00 型，需因式分解将分母中的零因子消去，故π ππ--→x x x x cos )(lim =x x x cos )(lim ππ +→=π2-。 2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的和或积必须 先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。例如： （2004年广东,4）-+++-+∞→131211( lim n n n n …+1 2112+-++n n n n )的值为…（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2 1 （D ）1 【分析】这是求无穷项的和，应先求前n 2项的和再求极限

高中数学-公式-极限与导数

极限与导数 一、极限 1、常用的几个数列极限：C C n =∞→lim (C 为常数)；01lim =∞→n n ，0lim =∞→n n q (a <1,q 为常数); (4)无穷递缩等比数列各项和公式q a S S n n -==∞→1lim 1(0<1

高中数学-导数的概念及运算练习

高中数学-导数的概念及运算练习 1．y ＝ln 1 x 的导函数为( ) A ．y ′＝－1 x B ．y ′＝1 x C ．y ′＝lnx D ．y ′＝－ln(－x) 答案 A 解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1 x . 2．(·东北师大附中摸底)曲线y ＝5x ＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．6x －y ＋1＝0 D ．6x －y －1＝0 答案 D 解析 将点(1，5)代入y ＝5x ＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为y ′＝5＋1x ，所以y ′|x ＝1＝5＋1 1＝6. 所以切线方程为y －5＝6(x －1)，即6x －y －1＝0.故选D. 3．曲线y ＝x ＋1 x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D 解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2 （x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝ y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－1 2 ，故选D. 4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2 ＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 答案 D 解析 ∵s＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2 －3t ＋2. 令v ＝0，得t 2 －3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2. 5．(·郑州质量检测)已知曲线y ＝x 2 2－3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12 答案 A

高中数学知识点精讲极限和导数

第十二章 极限和导数 第十四章 极限与导数 一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞ →+∞ →， 另外)(lim 0 x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。类似地)(lim 0 x f x x -→表示x 小 于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。 2 极限的四则运算：如果0 lim x x →f(x)=a, 0 lim x x →g(x)=b ，那么0 lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b, lim x x →[f(x)?g(x)]=ab, 0 lim x x →).0()()(≠=b b a x g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0 lim x x →f(x)存在，并且0 lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。 4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因

变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若x y x ??→?0lim 存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限 值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或 x dx dy ，即 00) ()(lim )('0 x x x f x f x f x x --=→。由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。若f(x)在 区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x 0处导数'f (x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。 6．几个常用函数的导数：（1）)'(c =0（c 为常数）；（2）1 )'(-=a a ax x （a 为任意常数）；（3） ;cos )'(sin x x =(4)x x sin )'(cos -=;(5)a a a x x ln )'(=;(6)x x e e =)'(;（7）)'(log x a x x a log 1 = ；（8）.1)'(ln x x = 7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x 处可导，且u(x)≠0,则 （1）)(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±；（2）)(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=；（3）)(')]'([x u c x cu ?=（c 为常数）；（4）)()(']')(1[ 2x u x u x u -=；（5）) () ()(')(')(]')()([2 x u x v x u x v x u x u x u -=。 8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=?(x)，已知?(x)在x 处可导，f(u)在对应的点u(u=?(x))处可导，则复合函数y=f[?(x)]在点x 处可导，且（f[?(x)])'=)(')](['x x f ??. 9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I 上可导，则f(x)在I 上连续；（2）若对一切x ∈(a,b)有0)('>x f ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x ∈(a,b)有0)('x f ，则f(x)在x 0处取得极小值；（2）若0)(''0

高中数学教案：极限与导数函数极限的运算法则

函数极限的运算法则（4月30日） 教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 教学过程： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o ==→∞→lim ,01lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二 、新课讲授 限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→= n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例1 求)3(lim 2 2x x x +→

例2 求1 12lim 231++-→x x x x 例3 求4 16lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数 4 162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限. 例4 求1 33lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2 x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。 总结：),(lim ,lim *N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim *N k x C C k x x ∈==∞→∞→

高中数学 极限与导数【讲义】

极限与导数 一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|< ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞ →+∞ →，另外)(lim 0 x f x x + →=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。类似地)(lim 0 x f x x - →表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。 2．极限的四则运算：如果0 lim x x →f(x)=a, 0 lim x x →g(x)=b ，那么0 lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b, 0 lim x x →[f(x)?g(x)]=ab, lim x x →).0()()(≠=b b a x g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0 lim x x →f(x)存在，并且0 lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。 4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若x y x ??→?0lim 存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在 点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或 x dx dy ，即0 00) ()(lim )('0 x x x f x f x f x x --=→。由定义知 f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x 0处导数'f (x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。 6．几个常用函数的导数：（1）)'(c =0（c 为常数）；（2）1)'(-=a a ax x （a 为任意常数）；（3） ;cos )'(sin x x =(4)x x sin )'(cos -=;(5)a a a x x ln )'(=;(6)x x e e =)'(;（7）)'(log x a x x a log 1 =；（8）.1 )'(ln x x = 7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x 处可导，且u(x)≠0,则 （1）)(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±；（2）)(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=；（3）)(')]'([x u c x cu ?=（c 为常数）；（4）)()(']')(1[ 2x u x u x u -=；（5）) () ()(')(')(]')()([2x u x v x u x v x u x u x u -=。 8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=?(x)，已知?(x)在x 处可导，f(u)在对应的点u(u=?(x))处可导，则复合函数y=f[?(x)]在点x 处可导，且（f[?(x)])'=)(')](['x x f ??. 9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I 上可导，则f(x)在I 上连续；（2）若对一切x ∈(a,b)有0)('>x f ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x ∈(a,b)有0)('

高中数学知识点精讲——极限和导数

第十二章 极限和导数 一、数学归纳法： 1、数学归纳法的步骤：“两步一结论”. 2、数学归纳法的应用：主要用于证明与自然数有关的恒等式和不等式. 3、重要的数学思想和方法：“归纳—猜想—证明”. 习题：① 用数学归纳法证明：1111111 1 1234 21212 2n n n n n - +-++ -=+++ -++. ② 用数学归纳法证明： 111 1 122334 (1) n n n +++

二、极限 1、数列极限： （1）公式：lim n C C →∞ =（C 为常数）；1 lim 0p n n →∞=（p>0）； 0 1lim 1 1 11n n q q q q q →∞ ?=-? 不存在或. （2）运算法则： 若数列{}n a 和{}n b 的极限都存在，则{}n a 和{}n b 的和、差、积、商的极限等于{}n a 和{}n b 的极限的和、差、积、商. 例题：① 将直线1:10l x y +-=、2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（* n N ∈，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则lim n n S →∞ = . ② 已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111p q n n n ∞ ??+- ???=??+- ??? → ． 习题：① 135(21) lim (21) n n n n →∞++++-=+ . ② 设0