复变函数及积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1)i 解：2
cos
sin
2
2
i
i e i ππ
π
==+
(2)-1
解：1cos sin i e i πππ-==+
(3)1+
解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4)1cos sin i αα-+ 解：
2221cos sin 2sin 2sin
cos
2sin
(sin
cos )2
2
2
2
22
2sin
cos()sin()2sin 222222
i i i i i e παα
α
α
α
α
α
αααπαπαα??
- ???
-+=+=+?
?=-+-= ???
(5)3z
解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6)1i e +
解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+
(7)11i
i
-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++
二、计算下列数值
(1) 解：
1
ar
2
1
ar
2
1
ar
2
b
i ctg k
a
b
i ctg
a
b
i ctg
a
π
??
+
?
??
==
?
?
=?
?
?
(2)
解：
6
22
6363
4
63
22
2
i
k
i i
i
i
e
i
e e
e i
π
ππππ
ππ
????
++
? ?
????
??
+
?
??
?
=+
?
?
?
?
====+
?
?
?=-
?
(3) i i
解：
()22
22
i
i k k
i i e e
ππ
ππ
????
+-+
? ?
????
==
(4)
解：
()1/22
22
i
i k k
e e
ππ
ππ
????
++
? ?
????
==
(5) cos5α
解：由于：()()
55
2cos5
i i
e e
ααα
-
+=，
而：
()()()()
()()()()
5
555
5
5
555
5
cos sin cos sin
cos sin cos sin
n n
i n
n
n n
i n
n
e i C i
e i C i
α
α
αααα
αααα
-
=
-
-
=
=+=
=-=-
∑
∑
所以：
()()()()
()()()
()()()()
5
55
5
5
55
5
4325
3
5
4325
1
cos5cos sin cos sin
2
1
cos sin11
2
5cos sin cos sin cos
5cos sin10cos sin cos
n n n n
n
n
n n n
n
n
C i i
C i
i C i
ααααα
αα
ααααα
ααααα
--
=
--
=
??=+-
??
??
=+-
??
=++
=-+
∑
∑
(6) sin5α
解：由于：()()
55
2sin5
i i
e e
ααα
-
-=，
所以：
()()()()()()()()()()()
()
5555055550
5234
245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n n
n n n n n
n n C i i i C i i i C i C i i
ααααααααααααααααα
--=--=??
=--?
???
=--??=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：
()()221cos cos 2cos ()()2
(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e αααααααααααα
ααααααααααα----------??+++=
+++++++????
--+--??--??=+=??---??????
+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin
22 2sin
2
i i n i n in in e e e e n n n n n αααααααααααα
ααα
αα
+-+-??
---++??-????--++--++=
=??--??
+-=
(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解：
()()221
sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i
e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααα
αααααααααα---------??+++=+++-+++????
-----??--??=-=??---??????
=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos
22 2sin
2
i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n ααααααααααααα
ααα
αα+--+-??
--+-++-??-??
??-++-++=
=??--??
-++=
1.2 复变函数
1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π 证明：(1) 在负实轴上，任取一点z a =-，则分别由水平方向和垂直方向趋近z 点有： 00 lim ()lim ()lim ()lim ()y y y y f z Arg a i y f z Arg a i y π π ++--?→?→?→?→=-+?==-+?=- 显然函数在负实轴上不连续。 (2) 在零点，沿i z re θ =方向趋近于零点则： 0 lim ()lim ()i z z f z Arg re θ θ?→?→== 显然，其极限结果与路径相关，则该函数在0点无极限。 2、复平面上，圆周可以写成0Azz z z C ββ+++=，这里A ，C 为实数，β为复数。 证明：在平面上圆的一般方程表示为： 2 2 0x y ax by c ++++= 则在复平面上：11 (),()22x z z y z z i =+=-，所以圆方程变形为： 02222a b a b zz i z i z c ???? +-+++= ? ????? 若令： ,22a b C i c A A β = -= 则：0Azz z z C ββ+++= 2.1 解析函数 1、试证明下列函数处处不可微： (1) ()f z z = (2) ()f z x = 证明： (1) 在0z ≠处，有： 0000()1lim lim lim lim z z z z z z x y z f z x x y y x y z x i y x i y r x i y ?→?→?→?→???+????+???===??+??+??+? 若沿i z e θδ?=方向趋近于z 点，则： ()00()1cos sin 1lim lim cos sin i i z z f z x y x y e z r e r θ θδθδθθθδ-?→?→?+==+? 显然，函数不可微。 (2) 在0z =处，有： 00() lim lim z z z f z z x i y ?→?→??=??+? 若沿i z e θδ?=方向趋近于0点，则： 00() lim lim i z z z f z e z x i y θ-?→?→??==??+? 显然，函数不可微。 2、设： 3333 22 22(,),(,),0(,)(,)0,0 x y x y u x y v x y z x y x y u x y v x y z ?-+==≠?++? ?===? 试证明f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )在原点满足C -R 条件，但不可微。 证明： 首先： (0,0)(0,0)(0,0)(0,0) 1,1 (,)(,) (,)(,1,) 1 x u x y u x y y x y v x y v x y ??==-????==?? 显然： (0,0)(0,0)(0,0)(0,0) , (,)(,)(,) (,) x u x y v x y y u x y x y v x y ????==- ????，在原点f(z)满足C-R 条件。 而在(0,0)点，f(z)的导数定义为： ' 00003333 22 2 2()()(0)()()lim lim lim lim z z z z x y x f z f z f f z f z z x i y x i y i x y x y y x i y ?→?→?→?→?-??-?====??+??+???+?+?+???++?? 若沿i z e θδ?=方向趋近于0点，则： ()()33033 ' 4cos sin cos ()1 ()lim (1)(3)cos sin 4sin i z f z f z i i e z i θθθθθθθ-?→-?=+==++++? 显然，函数在原点的导数不存在，所以函数虽然在原点满足C-R 条件，但不可微。C-R 条件只是函数可 微的必要条件。 1.2 复变函数 1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π 证明：(1) 在负实轴上，任取一点z a =-，则分别由水平方向和垂直方向趋近z 点有： 00 lim ()lim ()lim ()lim ()y y y y f z Arg a i y f z Arg a i y π π ++--?→?→?→?→=-+?==-+?=- 显然函数在负实轴上不连续。 (2) 在零点，沿i z re θ =方向趋近于零点则： 0 lim ()lim ()i z z f z Arg re θ θ?→?→== 显然，其极限结果与路径相关，则该函数在0点无极限。 2、复平面上，圆周可以写成0Azz z z C ββ+++=，这里A ，C 为实数，β为复数。 证明：在平面上圆的一般方程表示为： 2 2 0x y ax by c ++++= 则在复平面上：11 (),()22x z z y z z i =+=-，所以圆方程变形为： 02222a b a b zz i z i z c ???? +-+++= ? ????? 若令： ,22a b C i c A A β = -= 则：0Azz z z C ββ+++= 2.1 解析函数 1、试证明下列函数处处不可微： (1) ()f z z = (2) ()f z x = 证明： (1) 在0z ≠处，有： 0000()1lim lim lim lim z z z z z z x y z f z x x y y x y z x i y x i y r x i y ?→?→?→?→???+????+???===??+??+??+? 若沿i z e θδ?=方向趋近于z 点，则： ()00()1cos sin 1lim lim cos sin i i z z f z x y x y e z r e r θ θδθδθθθδ-?→?→?+==+? 显然，函数不可微。 (2) 在0z =处，有： 00() lim lim z z z f z z x i y ?→?→??=??+? 若沿i z e θδ?=方向趋近于0点，则： 00() lim lim i z z z f z e z x i y θ-?→?→??==??+? 显然，函数不可微。 2、设： 3333 22 22(,),(,),0(,)(,)0,0 x y x y u x y v x y z x y x y u x y v x y z ?-+==≠?++? ?===? 试证明f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )在原点满足C -R 条件，但不可微。 证明： 首先： (0,0)(0,0)(0,0)(0,0) 1,1 (,)(,) (,)(,1,) 1 x u x y u x y y x y v x y v x y ??==-????==?? 显然： (0,0)(0,0)(0,0)(0,0) , (,)(,)(,) (,) x u x y v x y y u x y x y v x y ????==- ????，在原点f(z)满足C-R 条件。 而在(0,0)点，f(z)的导数定义为： ' 00003333 22 2 2()()(0)()()lim lim lim lim z z z z x y x f z f z f f z f z z x i y x i y i x y x y y x i y ?→?→?→?→?-??-?====??+??+???+?+?+???++?? 若沿i z e θδ?=方向趋近于0点，则： ()()33033 ' 4cos sin cos ()1 ()lim (1)(3)cos sin 4sin i z f z f z i i e z i θθθθθθθ-?→-?=+==++++? 显然，函数在原点的导数不存在，所以函数虽然在原点满足C-R 条件，但不可微。C-R 条件只是函数可 微的必要条件。 2.2 解析函数和调和函数 1、已知复变函数的实部或虚部，写出解析函数： 22 33(1)(,),(2)0(2)(,)sin (3)(,),(0)0(4)(,)ln ,(1)0x y v x y f x y u x y e y u x y x y xy f u x y f ρ= =+==++=== 解：(1) 22 (,)y v x y x y = + 则：() 22 222(,)(,)u x y v x y x y x y x y ??-==??+…………….I () 222(,)(,)2u x y v x y xy y x x y ??=-= ??+……………II 由I 得：22 (,)()x u x y y x y ?=- ++ 带入(II)得：'()0y ?= 所以：22 (,)x u x y C x y =- ++ (2) (,)sin x u x y e y = 则： (,)(,) cos x v x y u x y e y x y ??=-=-??…………….I (,)(,) sin x v x y u x y e y y x ??==?? ……………II 由I 得：(,)cos ()x v x y e y y ?=-+ 带入(II)得：'()0y ?= 所以：(,)cos x v x y e y C =-+ (3) 33(,)u x y x y xy =++ 22 22(,)6, (,)6u x y x u x y y x y ??==?? 显然：()2222(,)6u x y x y x y ?? ??+=+ ????? (,)u x y 并非调和函数，所以，此题无解。 (4) (,)ln u x y ρ= 则： 22 (,)(,)v x y u x y y x y x y ??=-=-??+…………….I 22 (,)(,)v x y u x y x y x x y ??==??+ ……………II 由I 得：(,)atan ()x v x y y y ??? =-+ ??? 带入(II)得：'()0y ?= 所以：(,)atan x v x y C y ?? =-+ ??? 2、 三个单值分支在割破的z 平面上任意区域上都是解析的，并求其导 数。 证明：()f z =(),i i z re z e θθφε+=?= 则：'i z z r e θθ+?+?= ，这里：'sin r r εφ θ=?≈ 所以： ()()()21/6 2 2 33 31/6221/61/6()2cos 22 2cos cos sin 33333322 2cos cos cos sin s 3 3333k i f z z r r e k k r r i k k r r θπθεεφθπθ θπθεεφθπθθπεφ??? ++ ? ??+?=++???? ????=++++ +++ ? ????????? ???????≈++-+ ? ? ???????1/61/65/622in sin cos cos sin 33333312222 2cos cos sin sin cos 63333333333k k i i k k k k r r i i r θθπθθπ θπθθπθπθθπεφ???????????? ++++ ? ? ? ? ?????????? ????? ??????????≈++-+++++ ? ? ? ? ??????????????? 1/32/31/32/312222 2cos cos sin sin cos 63 3333 3333122 2cos cos sin 63333k k k k r i i r k k r i r θπ θπθ θπ θπεφθπθπεφ??? ???????????????≈++ ++- +-+?? ? ? ? ? ? ?????????? ????????? ?????≈++++ ? ???????22sin cos 33333k k i θθπθπ?? ??????????-+-+??? ? ? ? ???????????? 则： 1/3 2/31/32/322122()()sin cos 2cos cos sin 3 333 363 33 3221 cos sin 2cos 33336k k k k f z z f z r i i r k k i ir r θθπθπθπθπεφθπ θπεφ??? ??????????+?-≈-+-+ ++ ++ ? ? ? ? ???? ??????????? ???????≈+ +++ ? ? ?????? ? ]3 cos sin i i e φθφφ?????? += 所以： () 000 2/3 ()()()3 lim lim lim 1 3 i i z z z e f z f z z f z r z z e z φ θφ ε+ ?→?→?→ ?+?- == ?? == 2.1-2 Cauchy 积分 1、计算积分 i i z dz - ?，积分路径(1)直线段；(2)右半单位圆周；(3)左半单位圆周。 解： i i i i z dz -- = ?? (1)若沿直线从-i积分到i，则： () () 101 110 11 00 i i z dz i y dy i ydy ydy i ydy ydy i --- ==+ =+= ???? ?? (2)若沿右半圆从-i积分到i，则： /2/2 /2 /2 () 2 i i i i z dz d e e i ππ θθ π π- -- == = ?? (3)若沿左半圆从-i积分到i，则： /2/2 3/2 3/2 () 2 i i i i z dz d e e i ππ θθ π π - == = ?? 2、当C为单位圆周时，不用计算，试证明： 22 11 (1)0, (2)0 5622 C C dz dz z z z z == ++++ ?? 证明：(1) 2 11 56(2)(3) 11 23 11 23 C C C C C dz dz z z z z dz z z dz dz z z = ++++ ?? =- ? ++ ?? =- ++ ?? ? ?? 因为两个非解析点都不在积分圆周，根据Cauchy积分定理： 2 1 56 C dz z z = ++ ? ( )()2211 22(1)11 11111 211C C C C C dz dz z z z dz z i z i dz dz i z i z i =++++=+++-??=- ? +-++?? ??? ?? 因为两个非解析点1,1z i i =---+都不在积分圆周，根据Cauchy 积分定理： 21 022C dz z z =++? 2.3-4 Cauchy 积分定理 1、已知函数() 1(,)1xt t e x t t ψ--=-，将x 作为参数，把t 认为是复变数，试应用Cauchy 公式表为回路积分， 对回路积分进行变量代换()t z x z =-，并借以证明： ()0 n n x n x n n t d e x e t dx ψ -=?=? 解：(1) 首先，令：1(,)1z x z e e x z z ψ--= -，则：) 111(,)2x e x z d i z ξξξ ψξπξ---=-?? 根据解析函数的无限可微性有： () ()() 11!(,)21x n n n e x z d i z ξξ ψξπξξ--+=--?? 所以： () ()110(,)!21x n n n t x t n e d t i ξξψξπξξ--+=?=?-?? (2) 做变量替换：z x t z -= ，则对于积分公式来说：z x z ξ-=，所以： ()()()11011(,)!21!! 22 z x z x x n z z n n t n x z n x n n n x n x n x t n e z x d t i z z x z x z z n z e n e dz e d i i z x x e x e x ξψπξξππξ--???? -- ? ? ??? ?+=--++-?-?? = ???? --????- ??? ? ???==--?=?????蜒 4.2 利用留数定理计算实积分 1、确定下列函数的奇点，并计算留数， (5) 220 (0)sin adx a a x π >+? ； (6) 220cos (1)12cos xdx x πεεε <-+? 解：(5) 220022201cos 2sin 22 21cos adx adx x a x a adx a x π ππ=++- =+-??? 令：ix z e =，则： ()()22 021122 11 1sin 21222 ()2211 z z z adx adz a x a z z iz a dz a f z dz i i z a z π -====+??+-+ ???=-=--++???? 显然，()f z 存在两个一阶极点：2(21)2z a =+± 2(21)2z a =+- 处 于单位圆，所以： 22(21)2(21)2Res ()lim z a z a f z →+-=+-= = 则： 220 22sin adx a i a x i π π???? =-= ?+???? (6) 22 cos (1)12cos xdx x π εεε <-+? 令：ix z e =，则：： ()()()()()()()1 22 21 1 22 1 211 11 cos 12cos 2111111 ()2221z z z z z z dz xdx x z z iz z dz z dz f z dz i i i z z z z z z πεεεεεεεεεεε--=--===+= -+??+-+?? ++=-=-=- ??---++?? ????? 显然，()f z 存在三个一阶极点：1 0,,z εε-=，只有：0,z ε= 处于单位圆，所以： () ()()2 10 1Res ()lim 1z z z f z z z εε-→=+==-- ()()2 2 2 1 11 Res ()lim 1 z z z f z z z ε ε εεε-→=++==-- 所以： 22222 cos 1122112cos 211xdx i x i π επεπεεεεε??+?? =-+= ? ?-+--???? ? 2、计算下列实函数积分 (5) 261 1 x dx x ∞ -∞++? 解：(5) 2611 x dx x ∞ -∞++? 而函数42 1()1 f z x x =-+存在四个一阶极点：556666 ,,,i i i i z e e e e ππππ =--，很显然处于上半平面的孤立奇点只有：566 ,i i z e e π π=，所以： ( )66 6 2631 1 Res ()lim 221221i i i i z e z e f z z z e e ππ π ππ -→====??-- ? ?? ( )5566 65526 36 3 1 11 Res ()lim 221221221i i i i i i i z e z e f z z z e e e e ππ π ππ ππ --→====- =????--- ? ??? ? ? 所以： 266 4 1 2 1 i i x dx i x ππ ππ - ∞ -∞ ?? + == + ? 3计算下列实函数积分 (3) 2 sin 1 x x dx x ∞ -∞+ ? 解：根据定理： 显然， 2 () 1 imz ze f z z = + 存在两个一阶极点：z i =±，只有：z i =上半平面，所以： 1 Res()lim 2 iz z i z i ze f z z i e → = == + 所以： 2 sin1 2 12 x x dx x e e π π ∞ -∞ == + ? 3.2 幂级数 3、求下列幂级数的收敛圆 (1) 1 1 ()k k z i k ∞ = - ∑， (2) ln 1 (2) k k k k z ∞ = - ∑ 解：(1) 1 1/ lim lim1 1/(1) k k k k c k R c k →∞→∞ + === + 所以，其收敛圆为以i为圆心的单位圆。 (2) 由于：()()() 2 2 ln ln1ln1 lim lim lim lim1 ln1ln1ln1 k k k k k k k k k R k k k k k →∞→∞→∞→∞ ???? ++ ??===== ?????? +++?? ???? ln ln ln(1)ln(1) 1 lim lim lim1 (1)(1) k k k k k k k k k c k k R c k k ++ →∞→∞→∞ + ==== ++ 所以，其收敛圆为以2为圆心的单位圆。 3.3 幂级数展开 在指定的点的邻域上把下列函数展开为Taylor级数 (8) 2 sin z和2 cos z在 z= 解： ()()()() 22 20 221021 21021 21 1 11sin (1cos 2)(112) 22(2)!1 12 2(2)! 1 122(2)! 12 (2)! n n n n n n n n n n n n n n n n z z z n z n z n z n ∞ =∞-=∞+-=∞ +-==-=--=--= +-=-∑∑∑∑ ()()()22 202210221 1 11cos (1cos 2)(112) 22(2)!1 12 2(2)! 112 (2)! n n n n n n n n n n n n z z z n z n z n ∞ =∞-=∞ -==+=+-=+-=+-∑∑∑ 4.1 留数定理 1、确定下列函数的奇点，并计算留数， (1)(1)z e z +； (2) 2 (1)(2)z z z --，(3) 2 2 ()z e a z +，(4) 22()iz e a z + 解：(1) (1)z e z + 显然1z =-为其一阶极点，则： 1 1 1 Res ()lim(1)(1)z z z f z z e z e -→-=-=++= (2) 2 1)(2)z z z -- 显然1z =为其一阶极点，2z =为其二阶极点，则： 21 1 Res ()lim(1)(1)(2)1z z f z z z z z →==---= ()22 2222 1Res ()lim (2)(1)(2)lim 11z z z d f z z z z z dz z →→=????=---=-=-????-???? (3) 2 2 ()z e a z + 显然z ia =±为其一阶极点，则： 2 2 Res ()lim()()2ia z z ia z ia e f z z ia e a z ia →==-+= 2 2 Res ()lim ()()2ia z z ia z ia e f z z ia e a z ia -→-=-=++=- (4) 22()iz e a z + 显然z ia =±为其一阶极点，则： 2 2 Res ()lim()()2a iz z ia z ia e f z z ia e a z ia -→==-+= 2 2 Res ()lim ()()2a iz z ia z ia e f z z ia e a z ia →-=-=++=- 2、计算回路积分， (1) ()() 2 2 11l dz z z +-??，l 为22 220x y x y +--= (3) 2 1 2 z z e dz =?? 解：(1) 首先l 的围线方程为：()()2 2 112x y -+-= 而被积函数存在三个孤立奇点,1z i =±，在围线有两个孤立奇点：,1z i = ()() () 2 2 2() 11 Res ()lim 4 1121z i z i z i f z z z i i →=-== =+-- ()() 22211(1)1 Res ()lim 211z z d z f z dz z z →=-==-+- 所以： ()() 2 2 112()422 11l dz i i z z ππ=-=-+-?? (2) 可以看出来，被积函数存在唯一孤立奇点0z =，且为本性奇点，对被积函数做Laurant 展开： 2 1 2011 !z n n e n z ∞ ==∑ 可以看出：10c -=，显然： 2 1 2 0z z e dz ==?? 4.2 利用留数定理计算实积分 1、确定下列函数的奇点，并计算留数， (5) 220 (0)sin adx a a x π >+? ； (6) 220cos (1)12cos xdx x πεεε<-+? 解：(5) 220022201cos 2sin 22 21cos adx adx x a x a adx a x π ππ=++- =+-??? 令：ix z e =，则： ()()22 021122 11 1sin 21222 ()2211 z z z adx adz a x a z z iz a dz a f z dz i i z a z π -====+??+-+ ???=-=--++???? 显然，()f z 存在两个一阶极点：2(21)2z a =+± 2(21)2z a =+- 处 于单位圆，所以： 22(21)2(21)2Res ()lim z a z a f z →+-=+-= = 则： 220 22sin adx a i a x i π π???? =-= ?+???? (6) 22 cos (1)12cos xdx x π εεε <-+? 令：ix z e =，则：： ()()()()()()()1 22 21 1 22 1 211 11 cos 12cos 2111111 ()2221z z z z z z dz xdx x z z iz z dz z dz f z dz i i i z z z z z z πεεεεεεεεεεε--=--===+= -+??+-+?? ++=-=-=- ??---++?? ????? 显然，()f z 存在三个一阶极点：1 0,,z εε-=，只有：0,z ε= 处于单位圆，所以： () ()()2 10 1Res ()lim 1z z z f z z z εε-→=+==-- ()()2 2 2 1 11 Res ()lim 1 z z z f z z z ε ε εεε-→=++==-- 所以： 22222 cos 1122112cos 211xdx i x i π επεπεεεεε ??+?? =-+= ? ?-+--????? 2、计算下列实函数积分 (5) 261 1 x dx x ∞ -∞++? 解：(5) 261 1 x dx x ∞ -∞++? 而函数42 1()1 f z x x =-+存在四个一阶极点：556666,,,i i i i z e e e e ππππ =--，很显然处于上半平面的孤立奇点只有：566 ,i i z e e π π=，所以： ( )66 6 2631 1 Res ()lim 221221i i i i z e z e f z z z e e ππ π ππ -→====??-- ? ?? ( )5566 65526 3 63 1 11 Res ()lim 221221221i i i i i i i z e z e f z z z e e e e ππ π πππ π--→====- =? ?? ?--- ? ?? ? ?? 所以：2 664121 i i x dx i x ππππ-∞-∞??+==+? 3计算下列实函数积分 (3) 2sin 1x x dx x ∞-∞+? 解：根据定理： 显然，2()1imz ze f z z =+存在两个一阶极点：z i =±，只有：z i = 上半平面，所以： 1 Res ()lim 2iz z i z i ze f z z i e →===+ 所以： 2sin 1212x x dx x e e ππ∞ -∞==+? 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ ） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点 复变函数与积分变换期末试题附有答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1．231i - 2.)1(i Ln +-的主值是（ ）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 )1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； 3．如果级数∑∞=1n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； （C ）如果0)(=?C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、 ),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 ,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c 给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。 复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） 《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 复变函数与积分变换试题(一） 一、填空(３分×10) １.得模??、幅角?。 ２.-8i得三个单根分别为：、、。 3.Lｎz在得区域内连续。 4．得解极域为:?????。 ５.得导数?????。 6. ??。 ７.指数函数得映照特点就是:?????????。 8．幂函数得映照特点就是: ???????。 9.若=F [f(t)]、则= F ????。 １０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ???。 二、(10分) 已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。 三、(10分)应用留数得相关定理计算 四、计算积分(5分×2) 1. 2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。 五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。 1. 2. 六、证明以下命题：（5分×2) (1)与构成一对傅氏变换对。 （2） 七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。 八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。 复变函数与积分变换试题答案(一) 一、1．??、? ?２、?-i ??2ｉ?-i ?3、?Z 不取原点与负实轴 ４、 空集 ５、?2z ?6. ０ 7、将常形域映为 角形域 ?８、 角形域映为角形域 9、? ?1０、 二、解:∵? ∴ ?(5分) ∵f (0）=0????c =0 (３分) ∴??(2分) 三、解：原式＝(2分)? （2分） ?? ?? ? ? ???????--=??????∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0 ∴原式=(2分) = 四、1.解:原式?(３分) z 1=0 ?ｚ2=１ ?=0 ??(2分) 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 成绩 西安交通大学考试题 课程复变函数（A） 系别考试日期 2007 年 7 月 5 日专业班号 姓名学号期中期末 1. 填空（每题3分， 2. 共30分） 1．＝ 2．＝0是函数的 （说出类型，如果是极点，则要说明阶数） 3. ,则＝ 4. 5. 函数在处的转动角为 6. 幂级数的收敛半径为 =____________ 7. 8．设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则 9．函数在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ 10． 二．判断题（每题3分，共30分） 1．在解析。【】 2．在点可微，则在解析。【】 3．是周期函数。【】 4．每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【】 5．设级数收敛，而发散，则的收敛半径为1。【】 6．能在圆环域展开成洛朗级数。【】 7．为大于1的正整数, 成立。【】 8．如果函数在解析，那末映射在具有保角性。【】 9．如果是内的调和函数,则是内的解析函数。【】10．。【】三．（8分）为调和函数，求的值，并求出解析函数。 四．（8分）求在圆环域和内的洛朗展开式。 五．（8分）计算积分。 六．（8分）设，其中C为圆周的正向，求。 七．（8分）求将带形区域映射成单位圆的共形映射。 复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分) 1. ； 2. 三级极点； 3. ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. ； 7. ； 8. 0； 9. 0 ；10. 。 二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错；5.正确；6.错； 7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。 三(8分) 解: 1)在 -----4分 2) 在 --4分 四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故 --------3分 --------6分 故 ---------8分 五.(8分) 解: -------3分 由于1+i在所围的圆域内, 故 -------8分 六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到 (映射不唯一,写出任何一个都算对) 七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换: 代入初始条件,得 --------4分 故, ---------8分(用留数做也可以) 复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分)1. ；2. 三级极点；3. ； 4. 0 ；5. 0 ；6. ；7. ；8. 0 ； 9. 0 ； 10. 0。 二.判断1.错；2.错；3.正确；4. 错；5.正确；6.错；7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。 三.(8分) 解:因为是调和函数,则有 ,即故 ---------2分 1) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由 ，故 , 所以。 则 ----------3分 2) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由 ，故 , 所以。 则 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2007－08 学年第1学期 考试科目： 复变函数与积分变换 考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 4 .34arctan 3 A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg()B i i -=- 2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+ 2 .||D z z z ?= 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） .z A z e + 2 sin . 1 z B z + .tan z C z e + .sin z D z e + 6．在复平面上，下列命题中，正确．． 的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = .cos sin iz C e z i z =+ . ||D z = 7．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1） （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部． 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 第一套 第一套 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（ ） 。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（ ）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ---------------------------------------------------- 年级专业： 教学班号： 学号： 姓名: 装订线 课程名称：复变函数与积分变换考试时间：110_分钟 课程代码：7100031试卷总分：100_分 一、计算下列各题（本大题共3小题，每小题5分，总计15分） 1 ; 2、； 3、' |和它的主值 二、（8分）设 '，函数 '■在?平面的哪些点可导？若可导， 求出在可导点的导数值。 三、（10分）证明为调和函数，并求出它的共轭调和函 数。 四、（25分，每小题各5分）计算下列积分: 的正向; -de + sin 0 5. 五、（10分）将函数 gm 在下列圆环域内分别展开为洛朗级数 1. 2. ；?伫一 15界 ^： M=i ? ? 的正向; 3. ，■: 的正向; 4. 们；＜：6山「： 的正向; (1) (2) 六、（10）1、求将上半平面lm（z>0映射到单位圆域，且满足 arg r（n =匸 ■，的分式线性映射，。 I U-1"=—- 2、平面的区域恥环犬-.被映射映射到’平面的什么区域？ 「2 （f f（t）-- 七、（5分）求矩形脉冲函数〔° 曲我的傅氏变换。 八、（6分）求’1的拉普拉斯变换。 九、（5分）求的拉氏逆变换。 十、（6分）利用拉氏变换（其它方法不得分）求解微分方程： 一、参考答案及评分标准：（本大题共3小题，每小题5分，总计15分） 1、 * _ JT It & (1 - = ]6[oos( ——) + /sin( ——)] - m + + 4 4 =16(QDS(-2JT)-F /SII M -2?)) =16 (2) 3 3、 2 1 四、参考答案及评分标准：（每小题 5分，共25分） 由柯西-黎曼方程得： ' 即 '.所以’在 ’可导. 三、参考答案及评分标准：（10分） v^= 2-3?十3穴二…欣空二= “ &x J A 2 dy 得, 卩二 J(-6砂必=-3A y 十 g(y} - r 故 -?」；、’；J/' 二、参考答案及评分标准：（ 8 分) 解： ■ 异上F ，因为 dv ov =乩——= 0,——=2y Ex d 2u 沪 口 W C?j/ ，所以 为调和函数. 证明: 第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212-- 的指数形式是 2、函数w =z 1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 2222= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 232 1- B 2 23i - C 223i +- D i 2 3 21+ - 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1 cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =- 1 2 3 z z dz B ?=- 1 2 1 z z dz C ?=++12 42z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-0 2121n n n n z （z <1） B () ∑∞ =+-0 1 221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-0 1 2121n n n n z （z <1） D () ∑∞ =-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 华 北 水 利 水 电 学 院 试 题 纸 学号： 姓名： ……………………………………密…………封…………… 线………………………………… 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总 分 一、 单项选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1. 下列等式中，对任意复数z 都成立的等式是（ A ） A.z· z =Re(z·z ) B. z·z =Im(z·z ) C. z·z =arg(z·z ) D. z· z =|z| 2. 不等式4 z arg 4π <<π- 所表示的区域为（ A ） A.角形区域 B.圆环内部 C.圆的内部 D.椭圆内部 3. 下列函数中，不解析．．．的函数是（ ） A.w=z B.w=z 2 C.w=e z D.w=z+cosz 4. 在复平面上，下列关于正弦函数sinz 的命题中，错误．．的是（ ） A.sinz 是周期函数 B.sinz 是解析函数 C.|sinz|1≤ D.z cos )z (sin =' 5. 在下列复数中，使得e z =2成立的是（ ） A.z=2 B.z=ln2+2i π C.z=2 D.z=ln2+i π 6. 若f(z)在D 内解析，)z (Φ为f(z)的一个原函数，则（ ） A.)z ()z (f Φ=' B. )z ()z (f Φ='' C. )z (f )z (='Φ D. )z (f )z (=Φ'' 7. 设C 为正向圆周|z|=1,则?+-C 2 dz )i 1z (1等于（ ） A.0 B. i 21 π C.i 2π D.i π 8. 对于复数项级数∑ ∞ =+0 n n n 6 )i 43(，以下命题正确的是（ ） A.级数是条件收敛的 B.级数是绝对收敛的 C.级数的和为∞ D.级数的和不存在，也不为∞ 9. 对于幂级数，下列命题正确的是（ ） A.在收敛圆内，幂级数条件收敛 B.在收敛圆内，幂级数绝对收敛 C.在收敛圆周上，幂级数必处处收敛 D.在收敛圆周上，幂级数必处处发散 复变函数与积分变换试题与答案 1.（5）复数z与点(,) x y对应,请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的3次方根。 2.（6）请指出指数函数z e w=、对数函数z w ln =、正切函数=的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。 z w tan 3.（9）讨论函数2 2i =的可导性，并求出函数)(z z f+ ) (y x f在可导点的导数。另外，函数) f在可导点解析吗？是或否请说明 (z 理由。 4.（7）已知解析函数v u z f i )(+=的实部y x y u 233-=，求函数 v u z f i )(+=的表达式，并使0)0(=f 。 5.（6×2）计算积分： （1）?+-C n z z z 1 0) (d , 其中C 为以0z 为圆心,r 为半径的正向圆周, n 为正整数； （2）?=+-3||2d ) 2()1(e z z z z z 。 6.（5×2）分别在圆环 （1）1||0< 7.（12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。 (1) 3 sin )(z z z z f -=; (2) z z z f sin 1)(2=; (3) 11 e )(-=z z z f . 8.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。 9.（6分）求将上半平面 0)Im( z 保形映照成单位圆 1|| w 的分式线性函数。 10.（5×2）（1）己知 F )()]([ωF t f =，求函数)52(-t f 的傅里叶变换； （2）求函数) i 5)(i 3(2 )(ωωω++= F 的傅里叶逆变换。复变函数试题及答案
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