高中数学三角函数与向量试题及详细答案
一.解答题(共30小题)
1.设函数f(x)=sinxcosx﹣cos(x+π)cosx,(x∈R)
(I)求f(x)的最小正周期;
(II)若函数y=f(x)的图象按=(,)平移后得到的函数y=g(x)的图象,求y=g(x)在(0,]上的最大值.
2.设α∈R,f(x)=cosx(asinx﹣cosx)+cos2(﹣x)满足,求函数f(x)在
上的最大值和最小值.
3.已知函数,
(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期;
(Ⅱ)设,若,求α的大小.
4.设函数f(θ)=,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π.
(Ⅰ)若点P的坐标为,求f(θ)的值;
(Ⅱ)若点P(x,y)为平面区域Ω:上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值.
5.已知函数f(x)=(1+cotx)sin2x+msin(x+)sin(x﹣).
(1)当m=0时,求f(x)在区间上的取值范围;
(2)当tana=2时,,求m的值.
6.已知tanα=a,(a>1),求的值.
7.已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx),x∈R.
(1)请指出函数f(x)的奇偶性,并给予证明;
(2)当时,求f(x)的取值范围.
8.已知函数f(x)=sin2x+acos2x,a,a为常数,a∈R,且.
(I)求函数f(x)的最小正周期.
(Ⅱ)当时,求函数f(x)的最大值和最小值.
9.已知角α的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点.
(Ⅰ)求sin2α﹣tanα的值;
(Ⅱ)若函数f(x)=cos(x﹣α)cosα﹣sin(x﹣α)sinα,求函数的最大值及
对应的x的值.
10.已知函数.
(1)设ω>0为常数,若上是增函数,求ω的取值范围;
(2)设集合,若A?B恒成立,求实数
m的取值范围.
11.已知函数f(x)=
(Ⅰ)把f(x)解析式化为f(x)=Asin(ωx+?)+b的形式,并用五点法作出函数f(x)在一个周期上的简图;(Ⅱ)计算f(1)+f(2)+…+f(2012)的值.
12.已知α为锐角,且,函数,数列{a n}的首项
.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)求证:a n+1>a n;
(3)求证:.
13.已知tan2θ=﹣,且3π<2θ<4π.
求:(1)tanθ;
(2).
14.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,﹣1),B点在直线y=﹣3上,M点满足∥,,=?,
M点的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)P为C上的动点,l为C在P点处得切线,求O点到l距离的最小值.
15.已知,
①若向量.且∥,求f(x)的值;
②在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC,求f(A)的取值范围.16.已知O是线段AB外一点,若,.
(1)设点A1、A2是线段AB的三等分点,△OAA1、△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3,试用向量、
表示;
(2)如果在线段AB上有若干个等分点,你能得到什么结论?请证明你的结论.
17.已知向量=(1,2),=(cosα,sinα),设=+t(t为实数).
(1)若,求当||取最小值时实数t的值;
(2)若⊥,问:是否存在实数t,使得向量﹣和向量的夹角为,若存在,请求出t;若不存在,请说明理由.
18.经过A(2,0),以(2cosθ﹣2,sinθ)为方向向量的直线与经过B(﹣2,0),以(2+2cosθ,sinθ)为方向向量的直线相交于点M(x,y),其中θ≠kπ.
(I)求点M(x,y)的轨迹方程;
(II)设(I)中轨迹为曲线C,,若曲线C内存在动点P,使得|PF 1|、|OP|、|PF2|成等比数列(O为坐标原点),求的取值范围.
19.已知向量,,.
(1)若,求向量、的夹角θ;
(2)若,函数的最大值为,求实数λ的值.
20.已知向量=(mcosα,msinα)(m≠0),=(﹣sinβ,cosβ.其中O为坐标原点.
(I)若且m>0,求向量与的夹角;
(II)当实数α,β变化时,求实数的最大值.
21.已知中心在原点,长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点(0,),离心率为,左、右焦点分别为F1和F2.
(1)求椭圆方程;
(2)点M在椭圆上,求△MF1F2面积的最大值;
(3)试探究椭圆上是否存在一点P,使,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
22.已知△OFQ的面积为,且.
(1)当时,求向量与的夹角θ的取值范围;
(2)设,若以中心O为坐标原点,焦点F在x非负半轴上的双曲线经过点Q,当
取得最小值时,求此双曲线的方程.
23.在平行四边形ABCD中,设边AB、BC、CD的中点分别为E、F、G,设DF与AG、EG的交点分别为H、K,
设=,=,试用、表示、.
24.正方形ABCD的边长为1,记=
(1)求作,
(2)求|,|
25.如图,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°.且||=1,||=1,
||=2,若+,求λ+μ的值.
26.例3.已知
27.设动点M的坐标为(x,y)(x、y∈R),向量=(x﹣2,y),=(x+2,y),且|a|+|b|=8,
(I)求动点M(x,y)的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点N(0,2)作直线l与曲线C交于A、B两点,若(O为坐标原点),是否存在直线l,使得四边形OAPB为矩形,若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.
28.在福建省第14届运动会(2010?莆田)开幕式上,主会场中央有一块边长为a米的正方形地面全彩LED显示屏如图所示,点E、F分虽为BC、CD边上异于点C的动点,现在顶点A处有视角∠EAF设置为45°的摄像机,正录制形如△ECF的移动区域内表演的某个文艺节目,设DF=x米,BE=y米.
(Ⅰ)试将y表示为x的函数;
(Ⅱ)求证:△ECF周长p为定值;
(Ⅲ)求△ECF面积S的最大值.
29.如图所示,ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮,其中A TN是一半径为6米的扇形,已经被腐蚀不能使用,其余部分完好可利用.工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR,其中P是
上一点.设∠TAP=θ,长方形PQCR的面积为S平方米.
(1)求S关于θ的函数解析式;
(2)设sinθ+cosθ=t,求S关于t的表达式以及S的最大值.
30.如图,某市拟在长为16km的道路OP的一侧修建一条自行车赛道,赛道的前一部分为曲线OSM,该曲线段为函数y=Asinωx(A>0,ω>0,x∈[0,8]的图象,且图象的最高点为S(6,4).赛道的后一段为折线段MNP,为保证参赛队员的安全,限定∠MNP=120°.
(1)求实数A和ω的值以及M、P两点之间的距离;
(2)连接MP,设∠NPM=θ,y=MN+NP,试求出用θ表示y的解析式;
(3)(理科)应如何设计,才能使折线段MNP最长?
(文科)求函数y的最大值.
参考答案与试题解析
一.解答题(共30小题)
1.设函数f(x)=sinxcosx﹣cos(x+π)cosx,(x∈R)
(I)求f(x)的最小正周期;
(II)若函数y=f(x)的图象按=(,)平移后得到的函数y=g(x)的图象,求y=g(x)在(0,]上的最大值.
cos
=sinxcosx+
sin2x+cos2x+
2x+)
=
=,
2x+﹣)=sin)
≤<﹣,
,上的最大值为:
2.设α∈R,f(x)=cosx(asinx﹣cosx)+cos2(﹣x)满足,求函数f(x)在
上的最大值和最小值.
,然后
,的范围,利用单调性求出函数的最大值和最小值.
(
)
[﹣
[﹣
)在)
)(=
上的最小值为:(=
3.已知函数,
(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期;
(Ⅱ)设,若,求α的大小.
(Ⅱ)通过)
2x++k的定义域为:f
.
(Ⅱ)由,
,)
因为)
4.设函数f(θ)=,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π.
(Ⅰ)若点P的坐标为,求f(θ)的值;
(Ⅱ)若点P(x,y)为平面区域Ω:上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值.
的坐标
)画出满足约束条件
=2
≤θ≤
,即
5.已知函数f(x)=(1+cotx)sin2x+msin(x+)sin(x﹣).
(1)当m=0时,求f(x)在区间上的取值范围;
(2)当tana=2时,,求m的值.
中得到关于
=
,得).)因为
﹣
①
,得:
6.已知tanα=a,(a>1),求的值.
=
.
7.已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx),x∈R.
(1)请指出函数f(x)的奇偶性,并给予证明;
(2)当时,求f(x)的取值范围.
)先化简函数得出(﹣)
)先得出,然后根据正弦函数的单调性求出取值范围.
)∵
)由,
.即
8.已知函数f(x)=sin2x+acos2x,a,a为常数,a∈R,且.
(I)求函数f(x)的最小正周期.
(Ⅱ)当时,求函数f(x)的最大值和最小值.
的范围,根据正弦函数的图象求出)的值域即可得到(Ⅰ)由已知得
1=
(Ⅱ)由,得
)的最大值为;最小值为
9.已知角α的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点.
(Ⅰ)求sin2α﹣tanα的值;
(Ⅱ)若函数f(x)=cos(x﹣α)cosα﹣sin(x﹣α)sinα,求函数的最大值及对应的x的值.
)﹣
,所以,,
即
10.已知函数.
(1)设ω>0为常数,若上是增函数,求ω的取值范围;
(2)设集合,若A?B恒成立,求实数m的取值范围.
[,]是增函数,可得到
,将
[,
[,[,
,
)
,∴
,设[,
[,
[,
11.已知函数f(x)=
(Ⅰ)把f(x)解析式化为f(x)=Asin(ωx+?)+b的形式,并用五点法作出函数f(x)在一个周期上的简图;(Ⅱ)计算f(1)+f(2)+…+f(2012)的值.
(Ⅰ)由题意知,
0 2
1
12.已知α为锐角,且,函数,数列{a n}的首项
.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)求证:a n+1>a n;
(3)求证:.
)
)的解析式中化简后,求出
,移项后得到,然后从
﹣
)
,
)∵,
,
13.已知tan2θ=﹣,且3π<2θ<4π.
求:(1)tanθ;
(2).
)由题意,先化简,再将
,得<
﹣
,解得
代入得
14.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,﹣1),B点在直线y=﹣3上,M点满足∥,,=?,
M点的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)P为C上的动点,l为C在P点处得切线,求O点到l距离的最小值.
)并代入∥,=,即可求得
,=
y=
y=的斜率为
x
.又
=
15.已知,
①若向量.且∥,求f(x)的值;
②在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC,求f(A)的取值范围.
的值,确定出A+
解:①由,得或
,B=,∴.∴A+<A+
16.已知O是线段AB外一点,若,.
(1)设点A1、A2是线段AB的三等分点,△OAA1、△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3,试用向量、
表示;
(2)如果在线段AB上有若干个等分点,你能得到什么结论?请证明你的结论.
、表示;
的三等分点,
,
;;
的四等分点,则
等分点,则
;
17.已知向量=(1,2),=(cosα,sinα),设=+t(t为实数).
(1)若,求当||取最小值时实数t的值;
(2)若⊥,问:是否存在实数t,使得向量﹣和向量的夹角为,若存在,请求出t;若不存在,请说明理由.
代入求出向量的坐标,再把转化为
的二次函数,利用配方法求出
)先利用向量垂直求出以及和(
=
,所以(,
==
时,取到最小值,最小值为
,
====
,则有,且
t=
18.经过A(2,0),以(2cosθ﹣2,sinθ)为方向向量的直线与经过B(﹣2,0),以(2+2cosθ,sinθ)为方向向量的直线相交于点M(x,y),其中θ≠kπ.
(I)求点M(x,y)的轨迹方程;
(II)设(I)中轨迹为曲线C,,若曲线C内存在动点P,使得|PF 1|、|OP|、|PF2|成等比数列(O为坐标原点),求的取值范围.
∥(
内,得,再由
并代入求得
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4)
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。