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函数的图像与性质专项练习

函数的图像与性质专项练习
函数的图像与性质专项练习

函数的图像与性质专项训练

1.函数cos()6

y x π

π=+的一个单调增区间是( )

A .21[,]33-

B .14[,]33

C .15[,]66-

D . 511[,]66

2.函数)4

tan()(π

+=x x f 单调增区间为( )

A .Z k k k ∈+

-

),2,2(π

ππ

πB .Z k k k ∈+),,(πππ

C .Z k k k ∈+-),4,43(ππππ

D .Z k k k ∈+-),4

3,4(π

πππ 3.已知函数()()??

?

?

?

<

>>+=2,0,0sin π?ω?ωA x A x f 的部分图像如图所示,若将()x f 图像上的所有点向右平移

12

π

个单位得到函数()x g 的图象,则函数()x g 的单调递增区间为( )

A .Z k k k ∈???

??

?+

-

,6,3

πππ

π B .Z k k k ∈?????

?

++,32,6ππππ C .Z k k k ∈???

??

?

+

-

,12,12

πππ

π D .Z k k k ∈??

????--,12,127ππππ 4.把函数sin y x =的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,

再把图象向右平移

6

π

个单位,这是对应于这个图象的解析式为( ) A .sin(2)3y x π

=-

B .sin(2)6

y x π

=- C .sin()23x y π=-

D .sin()26

x y π=- 5.将函数sin()6

y x π

=+的图像向左平移π个单位,则平移后的函数图像( )

(A)关于直线π3x =

对称 (B)关于直线π

6

x =对称

(C)关于点π

03

?? ???

,对称 (D)关于点π06

?? ???

,对称

6.将函数()sin 43f x x π?

?=+ ??

?的图象向左平移()0??>个单位后关于直线12x π=对称,

则?的最小值为( )

A .

6π B .524π C .4

π D .724π

7.要得到函数sin(4)3

y x π

=-的图象,只需要将函数sin 4y x =的图象( )

A .向左平移

12π个单位 B .向右平移12π

个单位 C .向左平移3π个单位 D .向右平移3

π

个单位

8.函数cos 2y x =的图象向右平移02π???

?

<< ??

?

个单位后,

与函数sin 26y x π?

?

=- ??

?

的图像重合,则?=( )

A .

12π B .6π C .3

π D .512π

9.函数)sin()(φω+=x A x f (其中0>A ,2

π

φ<

)的图像如图所示,为了得到

x x g 2sin )(=的图像,则只要将()f x 的图像( )

A .向右平移6π个单位长度

B .向右平移12π

个单位长度 C . 向左平移6π个单位长度D .向左平移12

π

个单位长度

10.函数)sin()(φω+=x A x f (其中0>A ,2

π

φ<

)的图像如图所示,为了得到

x x g 2sin )(=的图像,则只要将()f x 的图像( )

A .向右平移6π个单位长度

B .向右平移12π

个单位长度 C .向左平移6π个单位长度D .向左平移12

π

个单位长度

11.函数()2sin()(0,)22

f x x ππ

ω?ω?=+>-<<的部分图象如图所示,则,ω?的

值分别是

A .2,3

π

-

B .2,6

π

-

C .4,6

π

-

D .4,

3

π

12.将函数x y 2sin =的图象向右平移4

π

个单位,再向上平移1个单位,所得函数图象对应的解析式为 ( ) A.1)4

2sin(+-

x y B.x y 2cos 2=

C.x y 2sin 2=

D.x y 2cos -= 13.将函数sin()3

y x π

=-

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),

再将所得的图象向左平移3

π

个单位,得到的图象对应的解析式是( )

A.1sin

2y x = B.1sin()22y x π

=- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6

y x π

=-

14.函数cos 24y x π??

=+

??

?

的单调递减区间是____________. 15.将函数

3sin(2)3y x π=+的图象向右平移?(02π

?<<

)个单位后,所得函数为偶函数,则?=.

16.将函数()π2sin 26f x x ?

?

=+ ??

?

的图象至少向右平移__________个单位,所得图象恰关于坐标原点对称.

17.将函数y =sinx 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数y =sin 6x π??

- ??

?

的图象,则φ=________.

18.函数y =2sin(ωx +φ)(0ω>,2

π

?<

)的部分图

象如图所示,则ω和φ的值分别是__________.

19.设y =f (t )是某港口水的深度y (单位:m)关于时间t 的函数,其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系:

最能近似表示表中数据间对应关系的函数是____________________.

参考答案

1.D

【解析】解:因为cos()6

y x π

π=+,那么71

[2,2][2,2-]666

+

∈-∴∈-当x k k x k k π

ππππ即为所求,选D 2.C 【解析】 试题分析:令,2

4

2

k x k k Z π

π

π

ππ-

+<+

<

+∈,则3,44

k x k k Z ππ

ππ-

+<<+∈,故C 正确。

考点:正切函数的单调性。 3.A 【解析】

试题分析:由图可得,()f x 的振幅2=A ,周期4()312

T π

π

π=?-

=,则2=w ,又||2

π

φ<

,所以212

2

π

π

φ?

+=

,解得3

π

φ=

,所以()2sin(2)3

f x x π

=+

,平移后得

()2sin[2()]2sin(2)1236g x x x πππ=-

+=+,令Z k k x k ∈+≤+≤+-,22

6222ππ

πππ,解得

Z

k k x k ∈+≤

≤+-

,6

3

ππ

ππ

,所以

()g x 的单调增区间为

Z k k k ∈++-

],6

,

3

[ππ

ππ

.故本题正确答案为A .

考点:三角函数的图象与性质.

【方法点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质.解答本题时,由图可得()f x 的振幅

2=A ,周期4(

)312T π

π

π=?-

=,则2=w ,又||2πφ<

,所以2122ππφ?+=,解得3π

φ=,

所以()2sin(2)3f x x π=+平移后得()2sin(2)6

g x x π

=+,再根据三角函数的图象与性质

求得()g x 的单调增区间为Z k k k ∈++-],6

,3[ππ

ππ.

4.A

【解析】

试题分析:函数sin y x =的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变

得到sin 2x ,再把图象向右平移6π个单位,得到sin 2sin 263x x ππ?????

?-=- ? ????

?????. 考点:三角函数图像变换. 5.A 【解析】

试题分析:由函数平移的知识可得函数sin()6

y x π

=+

的图像向左平移π个单位,可得到

sin[()]sin()66y x x ππ

π=++=-+,再由正弦函数的图像与性质可得:由

,6

2

x k k Z π

π

π+=

+∈解得,3

x k k Z π

π=

+∈,所以函数sin()6

y x π

=-+

的对称轴方程为

,3

x k k Z π

π=

+∈,A 选项符合,B 选项不符合;又由,6

x k k Z π

π+

=∈得到

,6

x k k Z π

π=-

+∈,所以函数sin()6

y x π

=-+

的对称中心为(,0),6

k k Z π

π-

+∈,C 、D

选项均不符合要求;综上可知,选A.

考点:1.三角函数的图像变换;2.三角函数的图像与性质. 6.B 【解析】

试题分析:∵()sin 443f x x π???

?+=++ ???

的图象关于12x π=对称,∴

441232k π

π

π

?π?

++

=

+,∴()424k k Z ππ?=

-∈,∵0?>,∴min 524π

?=

. 考点:1、三角函数的图象与性质;2、图象的变换. 7.B 【解析】 试题分析:sin(4)sin 4()3

12y x x π

π=-

=-

,所以要得到函数sin(4)3

y x π

=-的图象,只需要将函数sin 4y x =的图象向右平移12

π

个单位即可,故选B . 考点:三角函数图象的平移变换.

8.C 【解析】 试

x

y 2cos =向右平移

?

个单位后,得到

()()?

?? ?

?

+-=-=-=222sin 22cos 2cos π???x x x y ,

()3

,6

22

2π?π

ππ

?=∈-

=+

-∴解得Z k k ,故选C.

考点:三角函数图象变换.

9.A 【解析】

试题分析:由题设中所提供的图象可知πππ=?=-==T T A 4

112)47(4,

1,则22==T πω,所以)2sin()(?+=x x f ,将3π=x 代入,可得0)32sin(=+?π,则

π?π=+32,即3π?=,故)32sin()(π+=x x f ,因此只要将其图象向右平移6

π

个单位长度就可得到x x g 2sin )(=,故应选A .

考点:正弦函数的图象和性质的综合运用.

【易错点晴】正弦函数的图象和性质是高中数学中的重要内容和知识点之一,也高考的重要考点之一.本题以函数)sin()(φω+=x A x f 的图象为背景,考查的是函数的识读和灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力的问题.解答时先依据题设条件提供的图形信息,求出函数解析式中的参数?ω,,A 的值,再运用平移的知识确定选择支中的答案,使得问题获解. 10.A 【解析】

试题分析:由题设中所提供的图象可知πππ=?=-==T T A 4

112)47(4,

1,则22==T πω,所以)2sin()(?+=x x f ,将3

π=x 代入,可得0)32sin(=+?π,则

π?π=+32,即3π?=,故)3

2sin()(π

+=x x f ,因此只要将其图象向右平移6π个单位长

度就可得到x x g 2sin )(=,故应选A .

考点:正弦函数的图象和性质的综合运用.

【易错点晴】正弦函数的图象和性质是高中数学中的重要内容和知识点之一,也高考的重要考点之一.本题以函数)sin()(φω+=x A x f 的图像为背景,考查的是函数的识读和灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力的问题.解答时先依据题设条件提供的图形信息,求出函数解析式中的参数?ω,,A 的值,再运用平移的知识确定选择支中的答案,使得问题获解. 11.A 【解析】

试题分析:由题意得:

1152,, 2.212122T T T

πππππω=-====又522,(),2,(),1223k k Z k k Z πππ?π?π?

+=+∈=-+∈而22ππ?-<<,所以.3

π

?=- 考点:求三角函数解析式 12.C 【解析】

试题分析:将函数x y 2sin =的图象向右平移

4

π

个单位,得到sin 2()sin(2)cos 242

x x x ππ

-=-=-,再向上平移1个单位,得到2

1cos22sin y x x =-=,故选C.

考点:三角函数图象变换 13.C 【解析】

试题分析:将函数sin()3

y x π

=-

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),

得1sin 23y x π??=-

???,

再向左平移3π个单位,得11

sin sin 23326y x x πππ??????=+-=- ? ????

?????. 考点:三角函数的变换. 14.()3,8

8k k k Z π

πππ?

?

-+

∈???

?

【解析】

试题分析:2224

k x k π

πππ≤+

≤+,解得38

8

k x k π

π

ππ-

≤≤+

,()k Z ∈. 考点:三角函数的单调单调区间.

15.512π

【解析】

试题分析:由题意得3sin(2())3y x π?=-+为偶函数,所以2()

32k k z ππ

?π-+=+∈,又

02π

?<<

,所以

512π

?=

考点:三角函数图像变换

【思路点睛】三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y =Asin(ωx +φ),x∈R 是奇函数?φ=k π(k∈Z);函数y =Asin(ωx +φ),x∈R 是偶函数?φ=k π+

π

2

(k∈Z);函数y =Acos(ωx +φ),x∈R 是奇函数?φ=k π+π

2

(k∈Z);函数y =Acos(ωx +φ),x∈R 是偶函数?φ=k π(k∈Z). 16.π12

【解析】

试题分析:将函数

()π2sin 26f x x ?

?=+ ?

??的图象向右平移(0)??>个单位得π2sin 226y x ???=-+ ???,根据π2sin 226y x ??

?=-+ ?

?

?图象恰关于坐标原点对称得ππ2()()

6122k k k Z k Z π?π?-+

=∈?=-∈,因此当0k =时,?取最小值π

12

考点:三角函数图像变换

【思路点睛】三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也

常出现在题目中,所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y =Asin(ωx +φ),x∈R 是奇函数?φ=k π(k∈Z);函数y =Asin(ωx +φ),x∈R 是偶函数?φ=k π+

π

2

(k∈Z);函数y =Acos(ωx +φ),x∈R 是奇函数?φ=k π+π

2(k∈Z);函数y =Acos(ωx +φ),x∈R 是偶函数?φ=k π(k∈Z). 17.

116

π

【解析】将函数y =sinx 向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y =sin(x +φ).只有φ=

116π时有y =sin 116x π?

?+ ???=sin 6x π?

?- ??

?

18.ω=2;φ=

π

6

. 【解析】由图象得T =π1112-(-π

12

)=π, ∴ω=2.又∵2π

?<

, ∴2×

π6+φ=π2, 即φ=π

6

. 19.y =5.0+2.5sin

6

πt 【解析】由数据可知函数的周期T =12,又T =12=

2πω,所以ω=6

π.函数的最大值为7.5,最小值为2.5,即h +A =7.5,h -A =2.5,解得h =5.0,A =2.5,所以函数为y =f (x )=5.0+2.5sin 6t π???+

???,

又y =f (3)=5.0+2.5sin 36π????+ ???=7.5,所以sin 2π???

+ ???

=cos φ=1,即φ=2k π,k ∈Z,所以最能近似表示表中数据间对应关系的函数是y =5.0+2.5sin

6

π

t .

正切函数的性质与图像教学设计

《正切函数的性质与图像》的教学设计 一.教材分析 1.地位与作用 《正切函数的性质与图像》是高中《数学》必修4第一章第四节内容。在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质,研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现,更是一种提升。 2.教材处理 教材采用探究的方法引导学生注意正切函数与正弦函数在研究方法上类似,我采用以提问的方式,让学生回忆如何由正弦线得到正弦曲线的作图过程与方法,进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。设计问题一步步引导学生注意画正切曲线的细节。我把空间留给学生,采用让学生自己设计一个得到正切曲线的方法。这样,不仅发挥了学生的能动性,增强动脑、动手绘图的能力。二.学情分析 通过对正弦函数图像与性质的研究,学生已经具备了一定的绘图技能,类比推理画出图象,并通过观察图象,总结性质的能力。但在画正切函数图象时,还有许多需要注意的地方,比如定义域,函数区间等问题。这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。 三.教学目标确定 正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数,三者在研究方法与研究内容上类似,但某些性质有所不同,这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。本着课改理念,养成学生对知识的勇于探索精神,学生亲自体会正切曲线的获得过程,这样学生的动手实践能力有了提高,又体会到学习数学的乐趣,根据教学要求及学生现有的认知水平,现制定以下教学目标: 1.知识目标: 1)、能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像。 2)、熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质。 3)、掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 2.能力目标: 1)、通过类比,联系正弦函数图像的作法 2)、能学以致用,结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。3、德育目标: 使同学们对正切函数的概念有一定的体会;会用联系的观点看问题,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决问题的能力;让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心;培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 4.重点与难点 重点:正切函数的图象及其主要性质。 难点:熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题 教学模式:启发、探究式发现教学. 四.流程设计 (一).复习引入: (1)问题:如何用正弦线作正弦函数图像呢? (2)类比:利用正切线得到正切函数x 的图像 y tan

(完整版)六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数(也称常数函数)y =C(其中C 为常数); α

1)当α为正整数时,函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ,他们的图形都经过原点,并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时,图形关于原点对称;α为偶数时图形关于y 轴对称; 2)当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数; 3)当α为正有理数 n m 时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(-∞,+∞),函数的图形均经过原点和(1 ,1); 4)如果m>n 图形于x 轴相切,如果ma ,1≠a ),定义域是R ; [无界函数] 1.指数函数的图象: 2. 1)当1>a 时函数为单调增,当10<

3.(选,补充)指数函数值的大小比较* N ∈a ; a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(, x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时,a 值越大,x a y = 的图像越靠近y 轴; b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)(

(完整版)基本初等函数图像及其性质表

函数名 一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 解析式 )0()(≠+=a b ax x f )0()(≠= k x k x f 图像 定义域 R R {}0|≠x x R 值域 R ) ,(∞+0 必过点 )(b ,0 ) ,(c 0 ) 1,(1,--k k ) ( ) (1,0 周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 单调性 在R 上单增 )2-a b -∞,(为减 ),2+∞-a b (为增 )为减,(0-∞)为减,(∞+0 为减 为增,101<<>a a 最大最小值 在R 不存在最大最小值 开口向上有最小值 a b a c y 442min -= 不存在最大最小值 在R 上不存在最大最小值 奇偶性 非奇非偶函数 为奇函数00≠=b b 偶函数 为非奇非为偶函数,00≠=b b 奇函数 非奇非偶函数 对称性 为常数。 对称, 函数图像关于直线任何一点对称;关于图像上t t x a y +=1 - 对称 直线函数图像关于 a b x 2-= 函数图像关于原点对称; 对称。 直线和关于 对称,直线图像关于x y x y -== 既不成中心对称也不成轴对称。 渐近线 无 无 . 00==y x 直线或者直线 .0=y 直线 ) 0()(2≠++=a c bx ax x f ) 10()(≠=a a a x f x 且>0>a >a 0 >k ) ,44[ 2 +∞-a b a c ),(),(∞+?∞00-x a y =) 10(<a x y O 1

函数名 对数函数 幂函数的一个例子 双钩函数 含绝对值函数 解析式 ) 10(log ≠>=a a y x a 且 ) 0(≥=x x y b a b x a x y <-+-=设为了研究方便 图像 O 1 y x ) 10(log <<=a y x a ) 1(log >=a y x a O y x x y =1 1 定义域 ()∞+,0 [)∞+,0 0}x |{x ≠ R 值域 R [) ∞+,0 (][) ∞+∞,,ab ab 22--Y [)+∞-,a b 必过点 )(0,1 () 1,1 )2,(2,ab a b ab a b -- )( ) ,(,a b b a b a --)( 周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 单调性 单调递减。 单调递增。,, 101<<>a a 为增函数 定义域内 递增。递减,,递减,递增,,???? ??+∞???? ????? ? ? ????? ??∞,00,---a b a b a b a b (][)函数。 上为常值为增函数。 为减函数。 ,],[,-b a b a +∞∞ 最大最小值 无最大最小值 最小值为 0min =y ,无最 大值 无最大最小值 a b y -=min 奇偶性 非奇非偶 非奇非偶 奇函数 对称性 既不是轴对称也不是中心对称 既不是轴对称也不是中心对称 关于原点成中心对称 关 于 直 线 2 b a x += 对称。 渐近线 直线x=0 ax y =和0=x O y x a b a b -ab 2ab 2-O y x a b a b -的情况 只了解中学研究方便通常 ) (00>>+=b a x b ax y 为偶函数0=+b a

6类基本初等函数的图形及性质(考研数学基础)_完美版

基本初等函数及图形 (1) 常值函数(也称常数函数) y =c (其中c 为常数) (2) 幂函数 μ x y =,μ是常数; (3) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠,),),(+∞-∞∈x ; (4) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠,),(0,)x ∈+∞; 1. 当u 为正整数时,函数的定义域为区间) ,(+∞-∞∈x ,他们的图形都经过原点,并当 u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时,图形关于原点对称;u 为偶数时图形关于Y 轴对称; 2. 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3. 当u 为正有理数m/n 时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(-∞+∞)。函数的图形均经过原点和(1 ,1). 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减. 2. 不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方. 3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点. 1. 他的图形为于y 轴的右方.并通过点(1,0) 2. 当a>1时在区间(0,1),y 的值为负.图形位于x 的下方, 在区间(1, +∞),y 值为正,图形位于x 轴上方.在定义域是单调增函数. a<1在实用中很少用到/

正弦函数 x y sin =,),(+∞-∞∈x ,]1,1[-∈y , 余弦函数 x y cos =,),(+∞-∞∈x ,]1,1[-∈y , 正切函数 x y tan =, 2π π+ ≠k x ,k Z ∈,),(+∞-∞∈y , 余切函数 x y cot =,πk x ≠,k Z ∈,),(+∞-∞∈y ;

基本初等函数图像及性质大全

一、一次函数与二次函数 (一)一次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式:2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ (2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便. (3)二次函数图象的性质

定义域 (),-∞+∞ 对称轴 2b x a =- 顶点坐标 24,24b ac b a a ??-- ??? 值域 24,4ac b a ??-+∞ ? ?? 24,4ac b a ??--∞ ? ?? 单调区间 ,2b a ? ?-∞- ? ? ?递减 ,2b a ??- +∞ ??? 递增 ,2b a ? ?-∞- ? ? ?递增 ,2b a ?? - +∞ ??? 递减 ①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞- 上递减,在[,)2b a -+∞上递增,当2b x a =-时,2min 4()4ac b f x a -=;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b a -∞-上递 增,在[,)2b a -+∞上递减,当2b x a =- 时,2max 4()4ac b f x a -=. 二、幂函数 (1)幂函数的定义 叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数. (2

指数函数的图像及性质

讲 义 教材与考点分析: 本节课学习的内容是了解指数函数的图像及性质,函数是数学研究的主要对象,也是考试必然会涉及的知识点,我们必须从简单的函数出发,学好每一类基本初等函数。 考点1:分数指数幂 我们规定分数指数幂的意义: 负分数指数幂的意义: 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 考点2:有理数指数幂的运算性质 ),,0,0())(3(,))(2(, )1(Q s r b a b a ab a a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>===?+ 考点3:指数函数及其性质 a>1 00时,y>1;x<0时,00时,01. (5)在 R 上是增函数 (5)在R 上是减函数 练习 指数函数 第1题. 函数()x f x a =(0a >,且1a ≠)对于任意的实数x ,y 都有( )

A.()()()f xy f x f y = B.()()()f xy f x f y =+ C.()()()f x y f x f y += D.()()()f x y f x f y +=+ 第2题. 若11()()23 x x <,则x 满足( ) A.0x > B.0x < C.0x ≤ D.0x ≥ 第3题. 函数()x f x a =(0a >,且1a ≠)对于任意的实数x ,y 都有( ) A.()()()f xy f x f y = B.()()()f xy f x f y =+ C.()()()f x y f x f y += D.()()()f x y f x f y +=+ 第4题. 某工区绿化面积每年平均比上一年增长10.4%,经过x 年后的绿化面积成原绿化面积之比为y ,则()y f x =的图象大致为( ) 第5题. 当0a >且1a ≠时,函数2()3x f x a -=-必过定点 . 第6题. 函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于x 轴对称,则()f x 的表达式为 . 第7题. 当0x >时,函数()()21x f x a =-的值总大于1,则实数a 的取值范围是 . 第8题. 求不等式2741(0x x a a a -->>,1)a ≠且中x 的取值范围.

指数函数图像与性质的教案

§3.指数函数图像和性质 一、教材分析 教材的地位和作用 函数是高中数学学习的重点和难点,函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上,进一步研究指数函数,以及指数函数的图象与性质。一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识,使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法,同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用,研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此,本节课的内容十分重要,它对知识起到了承上启下的作用。 重难点分析 教学重点:指数函数的图像、性质及其简单运用 教学难点:指数函数图象和性质的发现过程,及指数函数图像与底的关系。 二、教学目标分析 知识目标:理解指数函数的定义,掌握指数函数的图像、性质及其简单应用能力目标:通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力,体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法,增强识图用图的能力情感目标:通过学习,使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系,构建和谐的课堂氛围,培养学生勇于提问,善于探索的思维品质。 三、教法学法分析 教法分析 采用梳理—探究—训练的教学方法,充分利用多媒体辅助教学,通过学生的互动探究,教师点拨,启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受 学法分析 学生思维活跃,求知欲强,但在思维习惯上还有待教师引导;从学生原有知识和能力出发,在教师的带领下创设疑问,通过合作交流,共同探索,逐步解决问题。 四、教学过程分析 1.创设情景,形成概念 2.发现问题,探究新知 3.深入探究,加深理解 4.强化训练,巩固双基 5.小结归纳,拓展深化 6.布置作业,升华提高

六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质 一、常值函数(也称常数函数) y =C (其中C 为常数); α 1)当α为正整数时,函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ,他们的图形都经过原点,并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时,图形关于原点对称;α为偶数时图形关于y 轴对称; 2)当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数; 3)当α为正有理数 n m 时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(-∞,+∞),函数的图形均经过原点和(1 ,1); 4)如果m>n 图形于x 轴相切,如果m

除x=0以外的一切实数。 三、指数函数x a y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ,1≠a ),定义域是R ; [无界函数] 1.指数函数的图象: 2. 1)当1>a 时函数为单调增,当10<

指数函数的图像及性质知识要点

第10讲 指数函数的图像及性质 一、学习目标 1.理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像,探索并理解指数函数的单调性与特殊点,掌握指数函数的性质 2.在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型. 掌握指数函数的性质及应用. 3. 逐步渗透数形结合的数学思想方法 二、重点难点 1.教学重点:利用函数的单调性求最值 2.教学难点:函数在给定区间上的最大(小)值 第一部分 知识梳理 讨论:12()2x x y y ==与的图象关于y 轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗? ②利用电脑软件画出11 5,3,(),()35x x x x y y y y ====的函数图 象. 864 2 -2 -4 -6 -8-5510 问题:1:从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律. 8 6 4 2 -2-4 -6 -8-5 510 从图上看x y a =(a >1)与x y a =(0<a <1)两函数图象的特征. 问题2:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 3x y = 5x y = 13x y ??= ??? 15x y ?? = ??? 0

问题3:指数函数x y a =(a >0且a ≠1),当底数越大时,函数图象间有什么样的关系 图象特征 函数性质 a >1 0<a <1 a >1 0<a <1 向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点(0,1) 0a =1 自左向右, 图象逐渐上升 自左向右, 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图 象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于1 x >0,x a >1 x >0,x a <1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于1 x <0,x a <1 x <0,x a >1 5.利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[,]x a b f x a 上,()=(a >0且a ≠1)值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 (2)若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; (3)对于指数函数()x f x a =(a >0且a ≠1),总有(1);f a = (4)当a >1时,若1x <2x ,则1()f x <2()f x ; 例1:(P 66例7)比较下列各题中的个值的大小 (1)1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.10.8-与0.20.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.9 3.1 1、已知0.70.90.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 2. 比较1 132a a 与的大小(a >0且a ≠0). x y d =的图象,判断,,,a b c d 与1的大小关系;

指数函数及其性质教学设计

指数函数及其性质教案 一、教学目标: 1.通过观察、分析,归纳探究指数函数的概念,并能判断给出的具体函数是否是指数函数. 2. 会画指数函数的图象,从借助计算机画出的多个指数函数的图象中,能观察归纳出指数函数的的有关性质。至少能说出四条。 3.能根据图象或指数函数的性质判断两个具体的同底数的指数幂值的大小,以及具体的不同底数而同指数的两个指数幂值的大小. 4. 在学习的过程中,体会探究指数函数及其性质的过程和方法,如具体到一般的过程、数形结合的方法等. 二、教学重点、难点: 教学重点:指数函数的概念、图象和性质。 < 教学难点:对底数的分类,如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程: (一)创设情景: 问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x之间,构成一个函数关系,能写出x与y之间的函数关系式吗学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y=2x 。 问题2:一根1米长的绳子,第1次剪去绳长的一半,第2次再剪去剩余绳子的一半,剪了x 次后,绳子的剩余长度y与x有怎样的关系学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y=1 x。 () 2 (二)导入新课: 引导学生观察,两个函数中,底数是常数,指数是自变量。

设计意图:充实实例,突出底数a的取值范围,让学生体会到数学来源于生产生活实际。函数 y=2x、y= 1 () 2 x分别以01的数为底,加深对定义的感性认识,为顺利引出指数函数 定义作铺垫。 · 1.指数函数的定义 一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R。 的含义: 设计意图:为按两种情况得出指数函数性质作铺垫。若学生回答不合适,引导学生用区间表示:(0,1)∪(1,+∞) 问题:指数函数定义中,为什么规定“”如果不这样规定会出现什么情况 设计意图:教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢这是本节的一个难点,为突破难点,采取学生自由讨论的形式,达到互相启发,补充,活跃气氛,激发兴趣的目的。 对于底数的分类,可将问题分解为: (1)若a<0会有什么问题(如,则在实数范围内相应的函数值不存在) ! (2)若a=0会有什么问题(对于,都无意义) (3)若a=1又会怎么样(1x无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定a>0且. 在这里要注意生生之间、师生之间的对话。 设计意图:认识清楚底数a的特殊规定,才能深刻理解指数函数的定义域是R;并为学习对数函数,认识指数与对数函数关系打基础。 教师还要提醒学生指数函数的定义是形式定义,必须在形式上一模一样才行,然后把问题引向深入。 1:判断下列函数哪些是指数函数

7.3.4 正切函数的性质与图像2019(秋)数学 必修 第三册 人教B版(新教材)改题型

7.3.4正切函数的性质与图像 课标要求素养要求 1.了解正切函数图像的画法,理解正切函数的性质. 2.能利用正切函数的图像及性质解决问题. 通过对正切函数的图像与性质的学习,体会数学抽象和直观想象素养. 教材知识探究 孔子东游,见两小儿辩斗,一儿曰:“日初出沧沧凉凉,及其日中如探汤,此不为近者热而远者凉乎?”,事实上,中午的气温较早晨高,主要原因是早晨太阳斜射大地,中午太阳直射大地.在相同的时间、相等的面积里,物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多,这就涉及太阳光和地面的角度问题. 那么这与正切函数的性质与图像有什么联系呢? 问题类比y=sin x ,y=cos x的图像与性质. (1)y=tan x是周期函数吗?有最大(小)值吗? (2)正切函数的图像是连续的吗? 提示(1)y=tan x是周期函数,且T=π,无最大,最小值.(2)正切函数的图像在定义域上不是连续的. 函数y=tan x的图像和性质性质是根据图像得到的结论

解析式 y =tan x 图像 定义域 {x |x ∈R ,且x ≠π 2+k π,k ∈Z } 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在区间(k π-π2,k π+π 2)(k ∈Z )都是增函数 对称中心 ? ???? k π2,0(k ∈Z ) 零点 x =k π(k ∈Z ) 教材拓展补遗 [微判断] 1.函数y =tan x 在其定义域上是增函数.(×) 提示 y =tan x 在区间(k π-π2,k π+π 2)(k ∈Z )上是增函数,但在其定义域上不是增函数. 2.函数y =tan 2x 的周期为π.(×) 提示 y =tan 2x 的周期为π2. 3.正切函数y =tan x 无单调递减区间.(√) 4.函数y =2tan x ,x ∈??? ???0,π2的值域是[0,+∞).(√) [微训练] 与函数y =tan ? ? ???2x +π4的图像不相交的一条直线是 ( ) A .x =π2 B .x =-π 2 C .x =π4 D .x =π 8 解析 ∵2x +π4≠π 2+k π(k ∈Z ), ∴x ≠π8+k π 2(k ∈Z ),故选D.

《指数函数图像及其性质》教学设计

《指数函数的图像与性质》教学设计 一、教学目标 1.知识与技能 掌握指数函数的图像、性质及其简单应用. 2.过程与方法 通过学生自主探究,让学生总结指数函数的图像与性质. 3.情感、态度、价值观 通过学习,使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系,构建和谐的课堂氛围,培养学生勇于提问、善于探索的思维品质. 二、教学重难点 教学重点:指数函数的图像与性质 教学难点:用数形结合的方法,从具体到一般的探索、概括指数函数的性质. 三、教学方法:自主探究式 四、教学手段:多媒体教学 五、教学过程: (一)创设情境 1、复习: (1)指数函数的定义; (2)指数函数解析式的特征。 2、导入:一般来说,函数的图像与性质紧密联系,图像可反映函数的性质,所以我们今天学习指数函数的图像与性质。 (二)自主探究 1.画一画:用列表、描点、连线的作图步骤,画出指数函数x y 2=、x y ?? ? ??=21的

2.说一说:通过图像,分析x y 2=、x y ?? ? ??=21的性质; 3.比一比:x y 2=与y ??? ??=21的图像有哪些相同点,哪些不同点? 4.想一想:在平面直角坐标系中画出函数3x y =、13x y ?? = ??? 的图像,试分析性质。 5.议一议:通过以上四个函数的图像和性质,归纳指数函数x a y =(1,0≠>a a 且) 的图像和性质如下:

例2. (2 3例1.(1)

(四)当堂检测 1.课本第73页 练习1 1. 2.解下列不等式: 11 (1)3;81 x -> 1(2)4230.x x +--> (五)课堂小结 (1) 通过本节课的学习,你学到了哪些知识? (2) 你学会了哪些数学思想方法? (六)布置作业 必做题:课本77页,A 组.4,5,6 选做题:课本77页,B 组1,6. 六、教学反思

正切函数的图像和性质 公开课教案

1.4.2 正切函数的性质与图象 考纲要求:能画出y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性.,理解正切函数在区间 ()的单调性. 教学目的 知识目标: 了解利用正切线画出正切函数图象的方法; 了解正切曲线的特征,能利用正切曲线解决简单的问题; 掌握正切函数的性质。 能力目标: 掌握正弦函数的周期性,奇偶性,单调性,能利用正切曲线解决简单的 问题。 情感目标: 在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体 会类比的思想。 教学重点:正切函数的图象形状及其主要性质 教学难点:1、利用正切线得到正切函数的图象 2、对正切函数单调性的理解 教学方法:探究,启发式教学 教学过程 复习导入: 1. 正切函数的定义及几何表示,正切函数tan y x =的定义域是什么? 2. 正弦曲线是怎样画的? 讲授新课: 思考1:能否类比正弦函数图象的作法,画出正切函数的图象呢? 画正切函数选取哪一段好呢?画多长一段呢? 思考2:正切函数是不是周期函数?若是,最小正周期是什么? 思考3. 诱导公式 体现了正切函数的哪种性质? (一)作tan y x =,x ∈??? ? ?- 2,2ππ的图象 tan()tan x x -=-

说明: (1)根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数 R x x y ∈=tan ,且()z k k x ∈+≠ ππ 2 的图象,称“正切曲线” 。 (2)由图象可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线()2 x k k Z π π=+∈所隔开的 无穷多支曲线组成的。 (二)正切函数的性质 引导学生观察,共同获得: (1)定义域:? ?? ? ??∈+≠ z k k x x ,2|ππ ; (2)周期性:π=T ; (3)奇偶性:由()x x tan tan -=-知,正切函数是奇函数; (4)单调性: 思考:正切函数在整个定义域内是增函数吗? 引导学生观察正切曲线,小组讨论的形式。 师举例说明:

正切函数的图像与性质说课稿

《正切函数图象与性质》说课稿 各位评委老师好! 今天我说课的课题是《正切函数的图象和性质》,下面我将从教材分析、教学策略、学情分析、教学程序四个方面进行说课,不足的地方希望老师能给予指出。 一.教材分析 1、教材的地位和作用 本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习,其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似,是对学生所学知识的融通和运用,也是学生对学习函数规律的总结和探索。正确理解和熟练掌握正切函数的图像和性质也是之后学好《已知三角函数求值》的关键。 2、教学目标 (一)知识和技能目标: 1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法,即“正弦函数图像类比推导法” 2、准确写出正切函数的性质,并通过练习体验正切函数基本性质的应用. (二)过程与方法目标: 1、通过学生自己动手作图,调动学生的积极性和情感投入,培养学生数形结合的思想方法; 2、培养学生类比、归纳的数学思想; 3、培养学生发现数学规律,实践第一的观点,增强学习数学的兴趣。 3.重点、难点与疑点 (一)、教学重点:正切函数的图象和性质。 1、我打算用类比正弦函数图像类比推导法,单位圆中的正切线作正切函数图象法,引导学生作出正切函数图,并探索函数性质; 2、学会画正切函数的简图,体会与x轴的交点以及渐近线x=π/2 +kπ,k∈Z在确定图象形状时所起的关键作用。 (二)、教学难点:体验正切函数基本性质的应用, (三)、教学疑点:正切函数在每个单调区间是增函数,但由于定义域的不连续性并非整个定义域内的增函数; 二.教学策略 在本节课中,我以“矛盾冲突”为主线撞击学生的思维,比如: 1、在得到正切函数的概念之后,提出如何研究这一具体函数的性质,启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法; 2、在得到正切函数的部分性质之后,提出如何能“丰满”正切函数的性质,启发学生可以借助图像进行研究,让学生感受“数缺形少直观,形缺少数难入微”的精妙. 三.学情分析 本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后,对又一具体三角函数的学习。学生已经掌握了角的正切,正切线和与正切有关的诱导公式,对三角函数性质的讨论方法已经有了一个比较清晰的认识,这为本节课的学习提供了知识的保障. 四.教学程序 1、复习引入 (一)、复习 问题:1、什么是正切?正切有关的诱导公式?

《指数函数图像及其性质》导学案

《指数函数的图像与性质》导学案 一、学习目标 1.理解并掌握指数函数的图像与性质. 2.会利用指数函数的图像与性质比较大小,解指数不等式。 二、教学重难点 教学重点:指数函数的图像与性质 教学难点:用数形结合的方法,从具体到一般的探索、概括指数函数的性质. 三、教学过程: (一)创设情境 1.复习: (1)一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为 . (2)指数函数解析式的特征:。 2.导入:一般来说,函数的图像与性质紧密联系,图像可反映函数的性质,所以我们今天学习指数函数的图像与性质。 (二)自主探究(学生通过自主学习完成下列任务) 1.用列表、描点、连线的作图步骤,画出指数函数x y2 =、 x y? ? ? ? ? = 2 1 的图像 2.通过图象,分析x y2 =、 x y? ? ? ? ? = 2 1 的性质(定义域、值域、单调性、特殊点)

3.比一比:x y 2=与y ?? ? ??=21的图象有哪些相同点,哪些不同点? 4.画一画:在平面直角坐标系中画出函数3x y =、13x y ?? = ??? 的图像,试分析性质。 5.议一议:通过以上四个函数的图像和性质,归纳指数函数x a y =(1,0≠>a a 且) 的图象和性质如下:

(三)典例精讲 类型一 两个数比较大小 类型二 解指数不等式 例2.1 32 x x >()求使不等式4成立的的集合; 45 a a > (2)已知求数的取值范围. (四)当堂检测 1.课本第73页 练习1 1. 2.解下列不等式: 11 (1)3;81 x -> 1(2)4230.x x +--> (五)课堂小结 (1) 通过本节课的学习,你学到了哪些知识? (2) 你学会了哪些数学思想方法? (六)布置作业 必做题:课本77页,A 组.4,5,6 选做题:课本77页,B 组1,6. 四、教学反思 0.80.7-0.10.10.70.8 330.750.750.80.7.例1.比较下列各题中两个数的大小: (1) 和;(2) 和;(3) 与

正切函数的性质与图象课后反思.docx

《正切函数的性质与图象》课后反思 三角函数是函数这个系统中的一个小分支,而正切函数是三角函数这个小分支中的一个内容节点,让学生能清晰的认识所研究的内容与方法:在内容上主要研究函数的性质一一定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性;在方法选择上,数形结合应是对其性质研究的主要途径。在此也向学生进一步说明“数缺形少直观,形少数难入微”的精妙,借助一切机会向学生渗透数学文化观念,让学生体会数的美无处不在,数学无处不美。 在本节课中我采用“类比一一探究一一讨论”教学法。在学习了正弦函数图像与性质,平移正弦线得到正弦函数图像的方法类比作正切函数图象。设计问题让学生进一步探究正切函数的性质与图象,学生通过对这些“有结构”的材料进行探究,获得对止切函数的感性认识和形成止切函数图象的了解。通过创设问题情境,引发认知冲突,较好地调动了学生的积极性和主动性,符合新课程理念的精神. 通过多媒体显示得出函数图像。引导学生在有限的时间内完成正切函数性质的归纳和总结,让学生思考、动手画图、课堂交流、亲身实践。通过互相交流、启发、补充、争论,使学生对正切函数图像与性质的认识从感性的认识上升到理性认识,获得一定水平层次的科学概念。这节课主要是教给学生“动手做,动脑想;多训练,勤钻研。”的学习方法。这样做,增加了学生主动参与的机会,增强了参与意识,教给学生获取知识的途径;思考问题的方法。使学生真正成为教学的主体。学生才会逐步感到数学美,会产生一种成功感,从而提高学生学习数学的兴趣。 在课堂教学屮注重学生的学,让学生自己思考得到问题的答案,以至于后半段课堂吋间仓促,课堂练习只能变成课后练习。在以后的教学中会注意调节好学牛的研究时间。 一、指导思想与理论依据 贝塔朗菲强调,任何系统都是一个有机的整体,它不是各个部分的机械组合或简单相加, 而

2015年基本初等函数的图像与性质

2015年高考数学基本初等函数的图像与性质 主编:宁老师 主编单位:永辉中学生学习中心 一、一次函数: 1、通式:b kx x f +=)(; 2、图像:直线; ①0,0>>b k ②0,0<>b k ③0,0>单调递增;②)(,,0x f R x k ∈<单调递减; 4、正比例函数: (1)、通式:kx x f =)(; (2)、正比例函数恒过点)0,0(; (3)、图像: ①0>k ②0

①)(,,0x f R x k ∈>单调递增;②)(,,0x f R x k ∈<单调递减; 二、二次函数: 1、通式:c bx ax x f ++=2)(; 2、开口方向: ①0>a ,抛物线开口向上;②0?时,二次函数与x 轴有两个交点; ②当0=?时,二次函数与x 轴有一个交点; ③当0?>a ②0,0=?>a ③0,0a ④0,0>?a 时: )(),2,(x f a b x --∞∈单调递减;)(),,2(x f a b x +∞-∈单调递增; ②当0

正切函数的性质与图像教案

1.4.3 正切函数的性质和图像 一、教学目标 1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象; 2.用正切函数图象解决函数有关的性质; 二、课时 1课时 三、教学重点 正切函数的性质与图象的简单应用. 四、教学难点 正切函数性质的深刻理解及其简单应用. 五、教具 多媒体、实物投影仪 六、教学过程 导入新课 思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质?由此展开新课. 思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法. 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗?都研究函数的哪几个方面的性质?②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗?③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢?为什么?④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗? 你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗? 活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性. (1)周期性 由诱导公式tan(x+π)=tanx,x ∈R ,x≠2 π+kπ,k ∈Z 可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性. (2)奇偶性 由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x ∈R ,x≠2 π+kπ,k ∈Z 可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗?与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(2 πk ,0)k ∈Z . (3)单调性 通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(2π-,2π)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(2π -+kπ,2 π+kπ),k ∈Z 内都是增函数.

指数函数及其图像与性质

指数函数及其图像与性质 数学学科刘春梅 学习情境:指数函数及其图像与性质(暂定一课时) 明确任务与咨讯 学习任务描述: ⑴能画出指数函数的简图; ⑵能使用指数函数的图像及性质判断指数函数的单调性; 学习目标: 通过本情境的学习,你应该: 1、能理解指数函数的概念、图像及性质; 2、能在老师的指导下会画出指数函数的简图; 3、能在老师的指导下熟练使用指数函数图象及性质判断指数函数的单调性;任务实施 班组成员分工,根据学生数量把全班分成4个班组,每组以7_——8人为宜,每组各选一名组长,并分配职责。 小组名称:工作理念:序号姓名职务岗位职责 1 组长全面组织协调、分配任务 2 解说员1 负责阐述本组观点或答案 3 解说员2 负责阐述本组观点或答案 4 记录员负责记录各小组探讨结果 5 监督员协助组长考核小组各成员表现 6 成果展示员1 负责板演所得结果 7 成果展示员2 负责板演所得结果 8 记分员负责统计各组分数 备注:各组所得分数为本组各成员得分,对组内表现优秀者再适当加分奖励(优秀者由老师根据课堂表现直接认定)。 引导问题1:某种物质的细胞分裂,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,……,知道分裂的次数x,如何求得细胞的个数y呢? 引导问题2:上述问题得到的函数有什么特征? 1、函数中的自变量是 2、函数中的自变量在什么位置? 3、这个函数与以前我们所学过的函数有什么不同? 引导问题3:通过引导问题2我们可以抽象出一个什么函数? 引导问题4:研究一个函数最好的方式是什么?

引导问题5: 在练习本上利用“描点法”作指数函数y =2x 和y =1()2 x 的图像。 注:老师在学生展示成果后,用多媒体展示指数函数y=2x ,y=3x ,y=5x ,y=0.3x ,y=0.5x ,y=0.7x 的图像 引导问题6:通过看指数函数y =2x 和y =1()2 x 的图像你能抽象出指数函数的图像具 有什么性质? 引导问题7:完成下面的表格,完成之后请同学们互相对照。 指数函数y=a x (a>0且a ≠1)的性质 指数函数y=a x (a>0且a ≠1) 01 定义域 值域 当x=0时 函数值y= 函数值y= 单调性 引导问题8:完成下列例题:` 例1 判断下列函数在(),-∞+∞内的单调性: (1) 4x y =; (2)3x y -=; (3)3 2x y = 例2已知指数函数()x f x a =的图像过点92,4?? ??? ,求(1.2)f 的值(精确到0.01). 引导问题9:完成练习: 1. 判断下列函数在(),-∞+∞内的单调性: (1) 0.9x y =; (2) π2x y -?? = ??? ; (3) 23x y =. 2. 已知指数函数()x f x a =满足条件8 (3)27 f -=,求f (0.13)的值(精确到0.001). 3. 求下列函数的定义域: (1) 3 21 x y = -; (2) 381x y - 成果展示与汇报 1、汇报时间:每小组给5分钟. 2、解说员:由小组成员推荐,组长选定。 3、汇报内容: (1)先展示本组作业成果。 (2)判断一个函数是否为指数函数的过程中出现的问题,是如何解决的。 (3)小组成员中每个人的表现情况及学习情况。 4、汇报总结:由教师对学生提出的未解决问题进行逐一讲解,并对本次学

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