随机过程习题及答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：

试求:在时,求。

解：

当时，＝

＝

1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：

试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：

所以：

2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t

?????=时取得白球如果对时取得红球

如果对t e t t

t X t 3)(

.维分布函数族试求这个随机过程的一

2.2 设随机过程

，其中

是常数，与是

相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概

率密度为

试证明为宽平稳过程。

解：（1）

与无关

（2）

，

所以

（3）

只与时间间隔有关，所以

为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E

.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（

2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且

数。试求它们的互协方差函

2.5，

试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立

为多少？

3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分

钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）

解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的

poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。

40

300

(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解：

法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1

N T 表示1()N t =1N 的发生时

刻，2

N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。

1

11

1111111()exp()(1)!

N N

N T f t t t N λλ-=

-- 2

22

1222222()exp()(1)!

N N

N T f t t t N λλ-=

--

1

2

121

2

1

2

2

1

112,12|1221

1122212(,)(|)()exp()

exp()

(1)!

(1)!

N N N N N N

N

N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--==

----

1

2

2

121

2

1

11221

11222100

12()exp()

exp()(1)!

(1)!

N

N

t N N N N P T T dt t t t t dt N N λλλλ∞

--<=----??

（2）当1N =2N 、1λ=2λ时，1

2

1

2

1()()2

N N N N P T T P T T <=>=

法二：（1）乘车到来的人数可以看作参数为1λ+2λ的泊松过程。令1Z 、2Z 分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时间间隔。则1Z 、2Z 分别服从参数为1λ、2λ的指数分布，现在来求当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客还是乘坐1路汽车的概率。

2

12211122210

()exp()exp()z p P Z Z dz z z dz λλλλ∞

=<=--??

112

λλλ=

+。

故当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客乘坐2路汽车的概率为1-p 212

λλλ=

+

上面的概率可以理解为：在乘客到来的人数为强度1λ+2λ的泊松过程时，乘客分别以

112λλλ+概率乘坐公共汽车1，以212

λ

λλ+的概率乘坐公共汽车2。

将乘客乘坐公共汽车1代表试验成功，那么有：

121111

1112112

12

(1=

(

)(

)N N N N k N k k N P C λλλλλλ+----=++∑

路汽车比2路汽车先出发）

（2）当1N =2N 、1λ=2λ时

21

211

111

11111(1=()()2222N N N k N k k k k N k N P C

C -------====∑∑路汽车比2路汽车先出发）

3.3设{(),0}i N t t ≥，(1,2,,)i n =L 是n 个相互独立的

Poisson 过程，参数分别为

i λ(1,2,,)i n =L 。记T 为全部n 个过程中，第一个事件发生的时刻。

（1）求T 的分布； （2）证明1{()(),0}n i i N t N t t ==

≥∑是Poisson 过程，参数为1n

i i λλ==∑；

（3）求当n 个过程中，只有一个事件发生时，它是属于1{(),0}N t t ≥的概率。

解：（1）记第i 个过程中第一次事件发生的时刻为1i t ，1,2,...,i n =。

则1min{,1,2,...,}i T t i n ==。由1i t 服从指数分布，有

11111

1

{}1{}1{min{,1,2,...,}}1{,1,2,...,}1{}

1{1(1)}1exp{}

i i n

i i i n

n

t

i i i P T t P T t P t i n t P t t i n P t t e

t λλ=-==≤=->=-=>=->==->=---=--∏∑∏

（2）方法一：由{(),1,2,...,}i N t i n =为相互独立的poisson 过程，对于,0s t ?≥。

11

1

1

1

{()()}{[()()]}

{()(),,1,2...,}

(exp(()))

!

()exp(())

!

n n

i i

n n

i n

i i i i

i

i

i

n

n

n n

i i i i i n n

i n

i i i P N t s N t n P N t s N t n P N t s N t n n

n i n s

s n s s n λλλλ=∑=∑=====+-==+-==+-====

-=

-∑∑∑∑∑∏

∑∑

这里利用了公式11

(...)!!

i

n n

i n

n

n

i n i i n n λλλ=∑=++=∑∏

所以1

{()(),0}n i i N t N t t ==≥∑是参数为1

n

i i λλ==∑的poisson 过程。

方法二： ○

1当0h →时，

1

111

1

{()()1}{[()()]1}

{(())(1())}

[()]()

n

i i i n

n i j i j j i

n

n

i i i i P N t h N t P N t s N t h o h h o h h o h h o h λλλλ===≠==+-==+-==+-+=+=+∑∑∏∑∑

○

2当0h →时， 11

1

1

1

1

{()()2}{[()()]2}

1{[()()]2}

1(1())()

1(1())()

()

n

i i i n

i i i n n

j i i j n n

i i i i P N t h N t P N t s N t P N t s N t h o h h o h h o h h o h o h λλλλ======+-≥=+-≥=-+-<=--+-+=--+-+=∑∑∑∏∑∑

得证。

（3）11{()1|()1}{()1,()0,2,...,}/{()1}i P N t N t P N t N t i n P N t ======= 1

1111

2

1/...n

i i i n

n

t

t

t

i i i n

te

e

e

t λλλλλλλλ=-

--==∑==

++∑∏

3.4 证明poisson 过程分解定理：对于参数为λ的poisson 过程

{(),0}N t t ≥，01i p <<，1

1

r

i i p ==∑，1,2,,i r =L ，可分解为r 个相

互独立的poisson 过程，参数分别为i p λ，

1,2,,i r =L 。

解：对过程{(),0}N t t ≥，设每次事件发生时，有r 个人对此以概率

12,,...,r p p p 进行记录，且11r

i i p ==∑，同时事件的发生与被记录之

间相互独立，r 个人的行为也相互独立，以()i N t 表示为到t 时刻第i 个人所记录的数目。现在来证明{(),0}i N t t ≥是参数为

i p λ的poisson 过程。

00

{()}{()|()}{()}

()(1)()!

()!

i i i n m n m m

n

t

m n

i i n m

p t

i P N t m P N t m N t m n P N t m n t C

p p e

m n p t e

m λλλλ∞

=+∞

-+=-====+=+=-+=∑∑

独立性证明：考虑两种情况的情形，即只存在两个人记录， 一个以概率p ，一个以概率1p -记录，则1{(),0}N t t ≥是参数为

p λ的poisson 过程，2{(),0}N t t ≥是参数为(1)p λ-的poisson

过程。

12112

121212

1212

112211121211121212121212{(),()}{(),()}{()}{()|()}()(1)()!

()!()(1)()!!!()(1)!!(k k k k k t k k k k k k t k k k k t P N t k N t k P N t k N t k k P N t k k P N t k N t k k t e C p p k k k k t e p p k k k k t e p p k k pt λλλλλλλ+-++-+-=====+==+==+=-++=-+=-=12(1)121122)((1))!!{()}{()}

k k t p t p t e e

k k P N t k P N t k λλλ----===

得证。

3.5 设{(),0}N t t ≥是参数为3的poisson 过程，试求 （1）{(1)3}P N ≤； （2）{(1)1,(3)2}P N N ==； （3）{(1)2|(1)1}P N N ≥≥

解：（1）3

3

30

3{(1)3}13!k

k P N e e k --=≤==∑ （2）{(1)1,(3)2}{(1)1,(3)(1)1}P N N P N N N ====-=

369{(1)1}{(3)(1)1}3618P N P N N e e e ---==-===

（3）3

3

{(1)2}14{(1)2|(1)1}{(1)1}1P N e P N N P N e

--≥-≥≥==≥- 3.6 对于poisson 过程{(),0}N t t ≥，证明s t <时，

{()|()}P N s k N t n ===(1)()n k k n s s

k t t -??- ???

解：

()

{(),()}

{()|()}{()}

{(),()()}{()}

{()()}{()}{()}(())()()!!

()!

()!()!!()n k k

t s s n

t n k k n

n k k P N s k N t n P N s k N t n P N t n P N s k N t N s n k P N t n P N t N s n k P N s k P N t n t s s e e

n k k t e

n t s s n n k k t n t s s k λλλλλλ-------=======-=-=

=-=-==

=--=-=

-??-= ???(1)()n k k n k k

t t n s s k t t --??=- ???

3.7 设1{(),0}N t t ≥和2{(),0}N t t ≥分别是参数为1λ，2λ的

Poisson 过程，另

12()()()X t N t N t =-，问{()}X t 是否为Poisson 过程，为什么？

解：不是

12()()()X t N t N t =-，()X t 的一维特征函数为：

121212121122(()())()()()()1200

1200

1212()()()()()()!!()()!!exp{(iu

iu iu N t N t iuN t iuN t iuX t X t k k t t

iuk

iuk k k iu k iu k

t

t k k t e

t t e t

iu iu f u E e E e E e e t t e

e e e k k e t e t e

e k k e e e e

e t e t λλλλλλλλλλλλλλλλ--∞

∞--==∞

∞--==---=====?==+-+∑∑∑∑)}

t

参数为λ的Poisson 过程的特征函数的形式为exp{1}iu e t λ-，所以

()X t 不是poisson 过程。

3.8 计算1T ，2T ，3T 的联合分布 解：

123123123()3,,123123(,,)()()()x x x X X X X X X f x x x f x f x f x e λλ-++== 123110(,,)0111001J t t t -?? ?

=-= ? ???

1231233,,123,,121321233123(,,)(,,)(,,)

00T T T X X X t

f t t t f t t t t t J t t t e t t t λλ-=--?<<

3.9 对0s >，计算[()()]E N t N t s +g 。 解：

222222[()()][()(()())][()]

[()][(()())][()]

()E N t N t s E N t N t s N t E N t E N t E N t s N t E N t t s t t t st t

λλλλλλλ+=+-+=+-+=?++=++

3.10 设某医院专家门诊，从早上8:00开始就已经有无数患者等候，

而每个专家只能为一名患者服务，服务的平均时间为20分钟，且每名患者的服务时间是相互独立的指数分布。则8:00到12:00门诊结束时接受过治疗的患者平均在医院停留了多长时间。