第19讲 数字谜综合二

第19讲数字谜综合二

内容概述各类综合性较强的复杂数学谜问题。

典型问题

兴趣篇

1.将1

4

表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案。

2.在算式

1111

1

18a b c

+++=中，a、b、c分别代表三个不同的自然数，这三个数的和可

能是多少？

3.如图19-1，将图中每一行左右相邻的两数相加，再除以12，将所得的余数写在它们下

一行相应的圆圈内。逐行依次进行上面的操作，最后得到最底端的一个数。请问：对于第一行中不同的自然数x，最底端的数一共有多少种取值，分别是什么？

图19-1 图19-2

4.将最小的10个合数填列到图19-2的10个空格中，要求满足以下条件：

①填入的数能被它所在列的最上面给出的数整除；

②第三行中每个数都比它上面那一格中的数大；

请问：第三行中5个数的和最小等于多少？

5.将1至7这7个自然数填入图19-3中的8个方格内，要求其中有一个数字用两次，其

余数字各用一次，并使图中右下角的4个方格中的每格内所填的数均等于它上方和左方相邻方格内两个数的平均数。请给出一种填发，并求出共有多少种填法。

图19-3 图19-4

6.请将数字1至9分别填入图19-4中的各个圆圈中，使得图中每条线段两个端点中所填

的数的差（大减小）均为3或4。请给出一种填法，并求出共有多少种填法。

7. 6□0.3=，6□1=0.3，6□0.3=，6□1=0.3

。 在上面4个算式的方框内，分别填入加、减、乘、除4个运算符号，使4个算式的得数之和尽可能大。请问：这个最大的和等于多少？

8. 请用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字各一次，组成5个自然数，使得它们

依次是某个自然数的1、2、3、4、5倍。

9. 在如图19-5所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数。第二行中的5个数字各是多少？

图19-5 图19-6

10. 图19-6中相同字母表示相同数字，不同字母表示不同数字。且FIVE 是5的倍数，FOUR 是4的倍数，求NINE 的所有可能值。

11.

拓展篇

1. 自然数12和60是一对很有趣的数，它们的积12×60=720，恰好是12+60=72的10倍，

满足上诉条件的数对还有哪些，请再举出3对。

2. 将

16表示成两个自然数的倒数之和，给出所有的答案。 3. 求方程

11135a b +=的所有正整数解。

4. 将

12写成三个自然数（可以相同）的倒数之和，共有多少种方法？

5. ABCD 表示一个四位数，EFG 表示一个三位数，A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 分别代表1至9中不同的数字。已知1993ABCD EFG +=。请问：乘积ABCD EFG ?的最大值与最小值相差多少？

6. 从1至9中选出8个数字填入算式“□□□□+□□□□=13579”的方框中，每个数字

恰好填一次，使等式成立。请问：

（1） 没有被选出的数字是多少？

（2） 两个四位数中较大的数最小是多少？最大是多少？

7. 在下面两个算式：ABBC D DDE +?，CBBA D EFG +?中，相同的字母代表相同的

数字，不同的字母代表不同的数字，求B+D+F 的值。

8. 小明按照下列算是：

乙组的数□甲组的○1=

对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号。他将计算结果填入图19-7的表中。有人发现表中14个数中有两个数是错的，请你改正。请问：改正后的两个数的和是多少？

图19-7

9. 如图19-8，请在这个3×6方格表的每个空格中填入一个整数，使得对于第一行中的每

个数，它在第二行中出现的次数恰好等于该列第三行所填的数，而它在第三行中出现的次数又恰好等于该列第二行所填的数。（例如第二行第一列中的3，表示第三行中有3个0。）

图19-8 图19-9

10. 在图19-9所示的3×3方格表中，“北、京、巨、人、学、校、欢、迎、你”这9个汉

字分别表示1至9中不同的数字，并满足：

（1） 每一个“田”字形内4个数之和都相等；

（2） 北2= 迎2+ 你2

；

（3） 学>校。

请问：“北京巨人学校欢迎你”所代表的九位数是多少?

11. 将1至9填入图19-10的圆圈内，使图中所有的三角形（共7个）的3个顶点上数字之

和都相等。

图19-10 图19-11 12.图19-11中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形。现在先把1、2、3、4分别

填在大正方形的4个顶点上，再把1、2、3、4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1、2、3、4分别填在小正方形的4个顶点上。请问：

（1）能否使8个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由。

（2）能否使8个三角形顶点上数字之和各不相等？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由。

超越篇

1.请在算式“

111

00105

+=

□□□□

”的每个方框中填入一个数字，使其成为等式，请写出所有的可能。

2.在图19-12的算式中填入0至9各一次，使算式成立。算式结果的四位数最小可能是多

少，最大可能是多少？

□□□

+ □□□

□□□□

0. □ 3 □

□□□□

□□□

□□□

□□□

□□

□□

□□

图19-12 图19-13

3.在图19-13所示的除法竖式中，只知道一个数字“3”，且商是一个循环小数。问被除数

是多少？

4.图19-14中有11条直线。请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线

所有数的和相等。求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数。

图19-14 图19-15 图19-16

5.将1至12这12个自然数填入图19-15的“灯笼”中，使得四个椭圆和两条竖线上的各

数之和均相等。这个和数最大是多少？请给出一种填法。

6.在图19-16的五个圆圈内各填入一个正整数（可以填相同的数），使得图中八个三角形

的顶点数字之和互不相同。满足这个条件的自然数有很多组，求使得所填五个数之和最小的一组。

7.图19-17中共有9条直线，每条直线上有3个圆圈。现将1至9填入图中的圆圈内，能

否找到满足下列要求之一的填法？如果能，请给出具体填法；如果不能，请说明理由。

（1）使得每条直线上3个圆圈内所填之和都相等；

（2）使得其中有8条直线上3个圆圈内所填数之和相等。

图19-17

8.（1）请将1-15填入图19-18中左边的15个圆圈中，使得除了第一行外每个圆圈内

的数都等于与其肩膀上两个圆圈内的数之差（大数减小数），其中数字11已填好。

（2）能否将1-21这21个自然数分别填入图19-18中右边的1各个圆圈中，使得除了第一行外每个圆圈内的数都等于与其肩膀上两个圆圈内的数之差（大数减小数）？如果能，请给出一种填法；如果不能，请说明理由。

图19-18

四年级奥数数字谜综合(有答案)

第十九讲数字谜综合（二） 内容概述 涉及质数与合数等概念,以及需要利用数的整除特征、分解质因数等数论手段解的数字谜问题． 典型问题 1.试将1,2,3,4,5,6,7分别填入下面的方框中,每个数字只用一次: 口口口(这是一个三位数).口口口(这是一个三位数),口(这是一个一位数),使得这三个数中任意两个都互质.已知其中一个三位数已填好,它是714,求其他两个数． 【分析与解】714=2×3×7×17． 由此可以看出,要使最下面方框中的数与714互质,在剩下未填的数字2,3,5，6中只能选5，也就是说，第三个数只能是5． 现在来讨论第二个数的三个方框中应该怎样填2,3,6这3个数字． 因为任意两个偶数都有公约数2,而714是偶数,所以第二个的三位数不能是偶数,因此个位数字只能是3.这样一来,第二个三位数只能是263或623.但是623能被7整除,所以623与714不互质．最后来看263这个数.通过检验可知:714的质因数2,3,7和17都不是263的因数,所以714与263这两个数互质． 显然,263与5也互质． 因此,其他两个数为263和5． 2.如图19-1,4个小三角形的顶点处有6个圆圈.如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，而且每个小三角形3个顶点上的数之和相等.问这6个质数的积是多少 【分析与解】设每个小三角形三个顶点上的数的和都是个小三角形的和S相加时,中间三角形每个顶点上的数被算了3次,所以4S=2S+20,即S=10． 这样,每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是2,3,5,从而六个质数是2,2,3,3,5,5,它们的积是： 2×2×3×3×5×5=900 3.在图19-2.所示算式的每个方框内填人一个数字,要求所填的数字都是质数,并使竖式成立． 【分析与解】记两个乘数为7a b和cd其中a、b、c、d的值只能取自2、3、5或7． 由已知条件,b与c相乘的个位数字仍为质数,这只可能是b与c中有一个是5另一个是3、5或7,如果b不是5,那么c必然是5,但73×5=365、77×5=385的十位数字都不是质数.因此b是5,c是3、5、7中的一个,同样道理,d也是3、5、7中的一个．

二年级数字迷专项练习2019

二年级数字迷专项练习2019-2020学年1、在下面空白处填入适当的数，有哪几种填法？ □□ ＋□□ １４９ 2、在下边的算式里，空格里的四个数字总和是（）。 □□ ＋□□ １７５ 3在下面算式的空格里填上数字，使竖式成立。 □８１ ＋□５□ □９４□ 4请计算下面竖式中的字母各代表多少？ 5下面竖式中的汉字和字母各代表多少？

车卒马兵卒马=（）车=（）卒=（）6下面竖式中的□、○、△各代表一个数字，你能求出来吗？ 7下面各竖式中的图形和字母分别代表什么数字？

8、下题中字母分别代表几？ 9、○、△、☆分别代表什么数？ (1)、○+○+○=18 (2)、△+○=14

(3)、☆+☆+☆+☆=20 ○=() △=( ) ☆=( ) 10、△+○=9 △+△+○+○+○=25 △=( ) ○=( ) 11、○+○+○=15，○+△+△=19，求△-○=( ) 12、○＋□＝15，○－□＝1。那么○＝( )，□＝( ) 13 算式□=◎+◎+◎中，如果◎ = 8，那么□ = ( ) 14 ※ = ＃ + ＃中，如果＃ = 5 ，那么※ =( ) 15在□ = ○×○中，如果○ = 7 ，那么□ = ( ) 16 下题中的符号分别代表几？ A △－3=5 △=（） □+△=15 □=（） B 8＋△=12 △=（） ○－△=12 ○=（） C △＋○＋○=16 △=4 ○=（） D ○+△=18 ○=（） △+ 6 =13 △=（） E △－○=10 ○=（） 30－△=8 △=（）

F △＋○= 18 △=（） ○－ 4=8 ○=（） 17 ☆、△、○各代表什么数字？ ☆+☆+☆=18 ☆=（） △+△=14 △=（） △+○+○+○=20 ○=（） 18 ○+○+○=15 ☆+☆+☆=12 △+△+△=18 ○+☆+△=（） 19 △+○=24，○=△+△+△ △=（）○=（） 20找出下式中△和☆各代表什么数。 ☆+☆+☆+△+△=22 △+△+☆+☆+☆+☆+☆=30 ☆=（），△=（） 21、□+□+△+△+△=21 □+□+△+△+△+△+△=27 □=（）△=（） 22、□+□+○+○=14 □+□+○=11 □=（）○=（） 23找出下列算式中△和代表的数

三年级奥数-第22讲 横式数字谜(二)

第22讲横式数字谜(二) 第2讲我们初步介绍了简单的横式填数问题。这一讲再继续介绍一些此类问题。 例1在下列各式的□里填上合适的数字： (1)237÷□□=□； (2)368÷□□=□□； (3)14×□□=3□8。 解：(1)将除法变为乘法，可以转化为“在 237=□□×□ 中填入合适的数字”的问题。因为 237＝237×1＝79×3，所以只有一种填法： (2)问题可以转化为“在368＝□□×□□中填入合适的数字”的问题。因为 368＝368×1＝184×2＝92×4 ＝46×8＝23×16， 其中只有368＝23×16是两个两位数之积。因而有如下两种填法： (3)由被乘数的个位数是4，积的个位数是8知，乘数的个位数只可能为2或7，再由被乘数的十位数是1，积的百位数是3知，乘数的十位数不能填大于3的数字。所以乘数只可能是12，17，22，27，32或37。经试算，符合题意的填法有两种： 例2在下列各式的□里填上合适的数： (1)□÷32＝7……29；

(2)480÷156＝□……12； (3)5367÷□＝83……55。 分析：根据有余数的除法(简称带余除法)知： 被除数=不完全商×除数＋余数， 被除数-余数=不完全商×除数。 上式说明，(被除数-余数)是不完全商或除数的倍数，并且有 (被除数-余数)÷除数=不完全商， (被除数-余数)÷不完全商=除数。 由此分析，可以得到如下解法。 解：(1)由7×32＋29＝253，得到如下填法： (2)由(480-12)÷156＝3，得到如下填法： (3)由(5367-55)÷83＝64，得到如下填法： 例3在下列各式的□里填入合适的数字，使等式成立： (1)□5□×23＝5□□2； (2)9□□4÷48=□0□。 分析与解：(1)首先，从个位数分析，可知被乘数的个位数只能为4。 其次，从首位数分析知，被乘数□5□的首位数只能为2。因为，被乘数的首位取1时，×23的积的首位小于5，而取大于2的数时，积的首位数大于5。 由254×23＝5842知，填法如下：

五年级奥数解析7.数字谜综合一

涉及分数与小数的各种类型的数字谜问题，包括竖式的补填、算式的构造、小数的舍人与变化等．较为复杂的数字问题，以及其他略有综合性的数字谜问题． 1．有一个四位整数，在它的某位数字前面加上一个小数点，再与这个四位数相加，得数是2000．81．求这个四位数是多少? 【分析与解】设四位整数4的某位数字前加上一个小数点得到一个新的数B，A与B 的和为2000．81，而小数只能由B得到，且0.81为B的小数部分，所以小数点加在A的百位与十位之间，即缩小了100倍． 有A+0.01A=2000.81，所以A=1981． 2．老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均数(保留两位小数)，小明计算出的答数是12．43．老师说最后一位数字错了，其他的数字都对．正确答案应该是什么? 【分析与解】老师说最后一位数字错了，那么前3位数字是正确的，所以正确的平均数在12.40～12.5(不能取12.5)之间，那么这13个数的和在161.2～162.5(不能取162.5)，因为这13个数都是自然数，所以它们的和也应该是自然数． 那么这13个数的和只能是162，它们的平均数应该是162÷13≈12.46． 所以正确的平均数应该是12.46．

3．两个带小数相乘，乘积四舍五人以后是22.5．这两个数都只有一位小数，且个位数字都是4．这两个数的乘积四舍五入前是多少? 【分析与解】因为这两个带小数均只有一位小数，那么给它们均乘以10，则这两个数均是整数． 开始它们的乘积在22.45～22.55(不能取22.55)之间，所以在这两个数在均乘以10以后再相乘而得到的乘积应该在2245～2255(不能取2255)之间． 一一验证，2245=5×449，2246=2×1123，2247=3×7×107，2248=2×2×2×281，2249=13×173，2250=2×3×3×5×5×5，2251为质数，2252=2×2×563，2253=3×751，2254=2×7×7×23． 其中只有2254可以表达为(2×23)×(7×7)=46×49，两个十位数字均为4的数的乘积． 所以，四舍五人前的乘积应为2254÷10÷10=22.54． 即两个数的乘积四舍五人前是22.54． 4．[4.2×5-(1÷2.5+9.1÷0.7)]÷O.04=100 改动上面算式中一个数的小数点的位置，使其成为一个正确的等式，那么被改动的数变为多少? 【分析与解】我们先把题中左边算式计算一遍，在计算过程中发现问题． [4.2×5-(1÷2.5+9.1÷0.7)]÷0.04 =[21-(0.4+13) ]÷0.04 =[21-13.4]÷0.04 =7.6÷0.04 =190 注意到在“[21-(0.4+13)]÷O.04”这一步中如果(0.4+13)是(4+13)，那么最终的结果为100． 所以只需将1÷2.5改为1÷0.25，即将2.5改为O.25即可． 5.在算式2÷3÷4÷5÷6中添上若干个括号，使算式的结果是整数，并且尽可能小．试写出添加完括号后的算式．

高斯小学奥数五年级上册含答案_数字谜综合一

第二十讲数字谜综合一 在三四年级，我们学过加减法填空格，破译字母、汉字的竖式谜、横式谜，添算符等数 字谜问题，其中既有加减法，也有乘除法．它们各有一些特定的解题方法和思路，像加减法 的进位、借位、错位，乘除法里面的末位分析、首位及位数的估算等，这些方法我们当然还 要进一步的学习和训练．但在这一讲中，我们将主要运用前一阵刚学过的数论知识来解决相 应的数字谜问题． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1.已知“BAD BAD GOOD +=”是一个正确的加法算式，其中相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．已知GOOD不是8的倍数，那么四位数ABGD是多少？ 「分析」解决数字谜的题目，最关键在于找突破口．本题的突破口在哪里？ 练习1.在算式“+= 路亨路亨刘吉吉”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．已知刘吉吉是8的倍数，那么四位数亨吉刘路是多少？

例题2． 从1~9中选出8个数字填入下式的各个方框中，使等式成立． ?=?= 952 「分析」从算式来看，是要找出两个两位数的乘积为952．但是把952写成两个两位数的乘积，方法非常多，要从中选出两种满足题目条件还是挺麻烦的．我们不妨先把952分解质因数，通过分析它的构成来选出满足题目条件的填法． 练习2．从1~9中选出8个数字填入下式的各个方框中，使等式成立． 1026 ?=?= - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题3． 用0至9这10个数字恰好组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个（每个数字只能用一次），且这四个数两两互质．其中的四位数是2940．另外三个数可能是多少？ 「分析」其中四位数是2940，那么组成另外三个数的6个数字就确定了．这四个数两两互质，那么另外三个数都与2940互质，我们就从2940的质因数构成入手． 练习3． 用1、2、3、4、5、6、7这7个数字恰好组成一个一位数和两个三位数，每个数字只用一次，使得这三个数两两互质．已知其中一个三位数已填好，它是714，那么其他两个数是多少？ 在前面的例题中，我们通过分解质因数，分析其质因数的构成，从而解决了问题．那如果没有给出具体的数，而是由数字或字母构成的特殊形式又该如何？是否也能分解质因数呢？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题4． 数数科学学数学． ?= 在上面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．请问：“数学”所代表的两位数是多少？ 「分析」对于乘法数字谜问题，我们一般先考虑个位数字．“数”ד学”的个位数字是“学”，

二年级奥数数字谜专项练习

数字谜 哪吒智闯水晶宫---夺回风火轮 哪吒寻宝路上碰见了正在玩耍的小龙女，高兴极 了。小龙女告诉哪吒一个重大消息，前阵子孙悟空跟 东海龙王结仇，他大闹水晶宫，东海龙王送了他一些 宝物，他才离开了。哪吒的宝物风火轮也被当作礼物 送给了孙悟空。哪吒为了寻回风火轮，不一会儿就来 到花果山脚下，美丽的花果山四季飘着果香，哪吒降 下云头，刚想摘几个果子解解渴，八戒不知从何处冒 了出来叫道：“何人大胆，敢在花果山偷果。”哪吒不 好意思的说道：“原来是八戒，你怎么也到花果山来 了？刚才我想摘个果子解解渴，没想到惊动你了。” 八戒一见是哪吒，嘻皮笑脸的说道：“原来是三 太子，我应猴哥的邀请，特在此地等候你多时了。你能不能帮 我一个忙啊，我想吃果子，可是猴哥不让我摘，还出了个难题 来难我，你知道我数学很差的。你帮了我的忙，我就带你去见 猴哥“，八戒告诉了哪吒那道孙悟空出的难题，其实就是一道 数字谜，可是这对于哪吒来讲都是简单得不能再简单的小问题 了。八戒知道了答案就高高兴兴地带着哪吒去见孙悟空，孙悟 空知道风火轮是哪吒心爱的宝贝，他也不大会用，也不想抢别人的心爱的东西，就还给了哪吒，怪只怪东海龙王借花献佛。哪吒拿回了自己的风火轮，又飞速地赶回了水晶宫。 例题精讲 例1 根据所给算式,请推算每个图形各代表哪一个数: 例2 根据所给算式, : 例3 请你猜一猜,每个算式中的汉字各表示几? + 1 7 4 + 爱 6 9 爱 爱 - 7 9 0 1 1 2 － 8 1 － 8 1

例4 请你猜一猜,每个算式中的汉字各表示几? 例5 在下面算式的图形内填入一个合适的数字，使算式成立。 例6 、请你猜一猜,每个算式中的汉字各表示几? 例7请你猜一猜,每个算式中的汉字各表示几? + 学 0 0 学 数 1 学 － 0 学 5 学 数 2 + 6 7 1 好 － 62 匹 林 2 奥＋ 7 5 克 4 0 3 9 0 0

六年级奥数数字谜

老师：耿宏雷学生：科目： 数学 时间:2011年数 字 谜 综 合（三） 【内容概述】 各种具有相当难度，求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题． 【典型问题】 1. 【80101】（导引奇数题，六下第01讲，数字谜综合[三]，数字谜第12讲★★★）在图8-1 所示的算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字．如果CHINA 所代表的五位数能被24整除，那么这个五位数是多少？ 2. 【80102】（导引偶数题，六下第01讲，数字谜综合[三]，数字谜第12讲★★★★）ABCD 表示一个四位数，EFG 表示一个三位数，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 代表1至9中的不同的数字．已知ABCD +EFG =1993，问：乘积ABCD ?EFG 的最大值与最小值相差多少？ 3. 【80103】（导引奇数题，六下第01讲，数字谜综合[三]，数字谜第12讲★★★）在算式 □□-□□=1□□ 的每个方框内各填入一个数字，要求所填的数字都是质数，并使得算式成立． 4. 【80104】（导引偶数题，六下第01讲，数字谜综合[三]，数字谜第12讲★★★）有9个 分数的和为1，它们的分子都是1．其中的5个是13，17，19，111，1 33 ，另外4个数的分母个位数字都是5．请写出这4个分数． 5. 【80105】（导引奇数题，六下第01讲，数字谜综合[三]，数字谜第12讲★★★） 1291112 +=○□ 在上面的圆圈和方框中，分别填入适当的自然数，使等式成立．问在方框中应填多少？

6. 【80106】（导引偶数题，六下第01讲，数字谜综合[三]，数字谜第12讲★★★★★） 111 1988+=□□□□□□□□ 请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式． 7. 【80107】（导引奇数题，六下第01讲，数字谜综合[三]，数字谜第12讲★★★） 60.3=□○，160.3=□ ○，60.3= □○，160.3 = □○ 在上面4个算式的方框内，分别填上加、减、乘、除4种运算符号，使所得到的4个算式的答数之和尽可能大．那么这个和等于多少？ 8. 【80108】（导引偶数题，六下第01讲，数字谜综合[三]，数字谜第12讲★★★★）小明 按照下列算式： 乙组的数□甲组的数○1＝ 对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号．他将计算结果填入图8-2的表中．有人发现表中14个数中有两个数是错的，请你改正．问改正后的两个数的和是多少？ 9. 【80109】（导引奇数题，六下第01讲，数字谜综合[三]，数字谜第12讲★★★）把1.2， 3.7，6.5，2.9， 4.6分别填在图8-3的5个圆圈内，然后在每个方框中填上和它相连的3个圆圈中的数的平均值，再把3个方框中的数的平均值填在三角形中．请找出一种填法，使三角形中的数尽可能小．问这个最小的数是多少？ 10. 【80110】（导引偶数题，六下第01讲，数字谜综合[三]，数字谜第12讲★★★★★）图 图8-2 图8-3

二年级数字谜

数字谜 例1 在下面的□里填上合适的数字，使算式成立。 （1）4□（2）□ 8 + □ 6 + 6 □ □ 2 1 □ 2 1 1、在下面的□里填上合适的数字，使算式成立。 （1）5 □（2）□ 3 （3）□ 7 + □ 6 + 2 □ + 5 □ 9 5 8 2 □ 4 2 （4）2 □（5） 3 □（6）6 □ + □ 4 + □□ + □ 9 5 3 7 0 □ 3 7 + □□ + □□ 8 1 9 8 例2在□里巧填数，使算式成立。 （1）7□（2）1 □□ - □ 2 - 6 3 3 6 1 □ 8 2、在□里填上合适的数字。 （1）8□（2）1 □□ - □ 5 - 7 2 2 4 1 □ 9 例3下面的算式中，每个汉字各代表数字几？ （1）猜猜（2）1 0 0 + 猜 - 字谜 8 4 谜 猜=（）字=（）谜=（） 3、在下面的算式中，每个图形代表数字几？ （1）9☆☆=（）（2） 4 ○○=（） - △ 4 △=（） + ☆ 6 ☆=（） 2 8 7 3 4、下面的算式中，每个汉字各代表数字几？ （1）学习（2）奥 6 奥=（） + 学习爱=（） - 2 林林=（）爱 2 学=（）匹 2 匹=（） - 爱习=（） + 4 克克=（） 6 5 5 7 例4在□里填上合适的数字。 □ 2 □ 6 - □ 9 □ 6 4 3 9 5、□ 6 4 □ 1 4 □□ - 5 6 5 2 + □□ 7 6 2 □□ 3 9 3 0 2

例5下面竖式中的☆、○、△各代表什么数字？ ☆○△ ☆○△ + ☆○△ 8 8 8 ☆=（）○=（）△=（） 6、下面竖式中的☆、○、△各代表什么数字？ ☆○△ ☆○△ + ☆○△ 7 7 7 ☆=（）○=（）△=（） 家庭作业 1、在□里巧填数，使算式成立 （1）6 □（2）□ 5 （3）□ 8 + □ 6 + 2 □ + 5 □ 9 4 9 2 □ 3 2 （4）8 □（5） 9 □（6）1 6 □ - □ 4 - □ 8 - □ 9 5 6 7 9 □ 3 7 2、在下面的算式中，每个图形代表数字几？ （1）△ 8 ☆=（）（2 ○□○=（） + △☆△=（） - 8 △□=（） 9 △△ 7 △=（）3、下面的算式中，每个汉字各代表数字几？ 数学 + 数学 爱 0 - 数 6 7 4、下面竖式中的☆、○、△各代表什么数字？ ☆○△☆=（）△□○△=（） ☆○△○=（）△□○□=（） + ☆○△△=（） + △□○○=（） 5 6 7 1 3 1 4 5、下面的算式中，每个汉字各代表数字几？ 奥运 奥运 +迎接奥运 2 0 0 8 迎=（）接=（）奥=（）运=（）

三年级奥数第2次课：横式数字谜(一)(教师版)

【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！！！】 横式数字谜（一） 一、考点、热点回顾 1、数字谜题目：在一个数学式子(横式或竖式)中擦去部分数字，或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式。解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。 2、解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则： (1)一个加数+另一个加数=和； (2)被减数-减数=差； (3)被乘数×乘数=积； (4)被除数÷除数=商。 3、数字运算和拆分 4、解数字谜问题既能增强数字运用能力，又能加深对运算的理解，还是培养和提高分析问题能力的有效方法。 二、典型例题 例1、求算式324+□=528中□所代表的数。 根据“加数=和-另一个加数”知， □=582-324＝258。 例2、求横式中字母A，B所代表的数字。 （1）12-B＝5 （2）A-1＝3。 显然个位数相减时必须借位，知，B＝12-5＝7；知，A＝3＋1＝4 例3、数字运算和拆分 （1）8用加法拆分（2）24用乘法拆分 8＝0＋8＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4； 24＝1×24=2×12＝3×8＝4×6(两个数之积) =1×2×12＝2×2×6=…(三个数之积) =1×2×2×6＝2×2×2×3=…(四个数之积) 例4、下列算式中，□，○，△，☆，*各代表什么数？ (1)□+5＝13-6； (2)28-○＝15＋7； (3)3×△=54； (4)☆÷3＝87； (5)56÷*＝7。 解：(1)由加法运算规则知，□=13-6-5＝2； (2)由减法运算规则知，○＝28-(15＋7)＝6； (3)由乘法运算规则知，△＝54÷3＝18； (4)由除法运算规则知，☆=87×3＝261； (5)由除法运算规则知，*＝56÷7＝8。 例5、下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？

小升初奥数数字谜综合

第二讲数字谜综合 内容概述 各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题． 典型问题 1．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字．已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少? 【分析与解】因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小． A显然只能为1，则BCD+EFG=993， 当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD 最小为234，对应EFG为759，所以有1234×759是满足条件的最大乘积； 当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大，则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG 最小为234，对应BCD为759，所以有1759×234是满足条件的最小乘积； 它们的差为1234×759—1759×234=(1000+234)×759一(1000+759)×234=1000×（759—234)=525000． 2.有9个分数的和为1，它们的分子都是1．其中的5个是1 3 , 1 7 , 1 9 , 1 11 , 1 33 另外4 个数的分母个位数字都是5．请写出这4个分数． 【分析与解】 l一(1 3 + 1 7 + 1 9 + 1 11 + 1 33 )= 2101 33711 ? ??? = 1010 335711 ? ???? 需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3×3×7×1l的约数．因此，它们可能是3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693．经试验得693+231+77+9=1010． 所以，其余的4个分数是：1 5 , 1 15 , 1 45 , 1 385 . 3. 请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式． 【分析与解】 1988=2×2×7×7l=4×497，1 12+ 1 4 ＝ 1 3 ，在等式两边同时乘上 1 497 ，就 得 1 5964 + 1 1988 ＝ 1 1491 ．显然满足题意． 又 1 35 + 1 14 = 1 10 ，两边同乘以 1 142 ，就得 1 4970 + 1 1988 ＝ 1 1420 ．显然也满足．1 3053+ 1 1988 ＝ 1 1204 ， 1 8094 + 1 1988 ＝ 1 1596 均满足. 4．小明按照下列算式：乙组的数口甲组的数○1=

四年级奥数第五讲横式数字谜

向上教育培训学校四年级秋季系列卷开发数学思维潜能让数学变得更简单 第五讲横式数字谜(一) 横式数字谜问题是指算式是横式形式，并且只给出了部分运算符号和数字，有一些数字或运算符号“残缺”，要我们根据运算法则进行判断、推理，从而把“残缺”的算式补充完整。 解决此类问题时：第一步，要仔细审题；第二步，要选择突破口；第三步，试验求解。就是要求我们能够灵活地运用运算法则和整数的性质，仔细观察算式的特点，学会发现问题、分析问题。从这个意义上讲，研究和解决此类问题，有利于培养我们观察、分析、归纳、推理能力。 例1：下列算式中，△，○，□，☆各代表什么数字 （1）△ + △ + △ = 129 （2）○ + 25 = 125 - ○ （3）8 ×□ - 51 ÷ 3 = 47 （4）36 - 140 ÷ 20 = 96 ÷ 6 ×☆ 例2：如果○＋□=6，□=○＋○，那么，□－○=。

随堂练习1：下列各式中，□代表什么数： （1）□×9＋6×□=600÷2 （2）25×25－□÷3=610 例3：在下列方框中填上适当的数，使等式成立： （1）□÷5=40 (3) （2）148÷□=8 (4) 随堂练习2：在下面方框中填上适当的数，使等式成立。 （1）213÷□=16 (5) （2）□÷9=30 (5) 例4：将数字0、1、3、4、5、6填入下面的□内，使等式成立，每个空格只填入一个数字，并且所填数字不能重复。 □×□=□2=□□÷□

例5：在下列等号左边的每两个数字之间，添上加号或减号，也可以用括号，使算式成立。 1 2 3 4 5 = 1 随堂练习3：在下面的式子里加上括号，使等式成立。 （1）7×9＋12÷3－2=23 （2）7×9＋12÷3－2=47 例6：添上适当的运算符号“＋”、“－”、“×”、“÷”、“（）”，使得下面的算式成立。 5 5 5 5 5 = 10 随堂练习4：添上适当的运算符号“＋－×÷”，使以下等式成立。 1 2 3 4 = 1 提高练习 1、下面各式中，□代表什么数: (1)□×17＋43=400（2）(601＋□)×9=7209 2、在下面方框中填上适当的数，使等式成立： （1）196÷□=8......4（2）□÷15=15 (10) 3、□等于几时，下面的不等式成立： （1）12 < 7×□ < 29 （2）1 < □÷3－1 < 4 4、如果△=○＋○＋○，○×△=12，那么○= ，△=。 5、在下列四个4中间，添上适当的运算符号“＋”、“－”、“×”、“÷”、“（）”，组成3个不同的算式，使结果都是2. 4 4 4 4 = 2 4 4 4 4 = 2 4 4 4 4 = 2 6、在批改作业时，张老师发现小明抄题时丢了括号，但结果是正确的，请你给小明的

五年级数学思维训练：数字谜综合一(五年级)竞赛测试.doc

五年级数学思维训练：数字谜综合一（五年级）竞赛测试 姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________ 题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分 得分 一、xx题 （每空xx 分，共xx分） 【题文】（4分）有一个四位数，在它的某位数字后加上一个小数点，得到一个小数，再把这个小数和原来的四位数相加，得数是4003.64，求这个四位数． 【答案】3964． 【解析】 试题分析：根据题意，这个小数和原来的四位数相加，得数是4003.64，那么得到的小数是两位小数，那么四位数是这个小数的100倍，然后再根据和倍公式进一步解答． 解：4003.64÷（100+1） =4003.64÷101 =39.64； 39.64×100=3964． 答：这个四位数是3964． 点评：根据题意，求出两个数的和与倍数之间的关系，然后再根据和倍公式进一步解答． 【题文】（4分）试将1、2、3、4、5、6、7分别填入下面的方框中，每个数字只用一次：口口口（这是一个三位数），口口口（这是一个三位数），口（这是一个一位数），使得这三个数中任意两个都互质．已知其中一个三位数已填好，它是714，求另外两个数． 【答案】 【解析】 试题分析：根据互质数的含义：互质数是公约数只有1的两个数，进行解答即可． 解：714=2×3×7×17； 由此可以看出，要使最下面方框中的数与714互质，在剩下未填的数字2，3，5，6中只能选5，也就是说，第三行的一位数只能填5，第二行的三个方框中应该怎样填2，3，6这三个数字，因为任意两个偶数都有公约数2，而714是偶数，所以第二行的三位数不能是偶数，因此个位数字只能是3，这样一来，第二行的三位数只能是263或623．但是623能被7整除，所以623与714不互质，最后来看263这个数通过检验可知：714的质因数2，3，7和17都不是263的因数，所以714与263这两个数互质，显然，263与5也互质．因此714，263和5这三个数两两互质．于是填法是： 评卷人得分

二年级 数学 第五讲数字谜问题教师版答案

小红在家做计算题，不小心碰倒了墨水瓶，把这两道题弄得残缺不全.认真观察一下，你能将墨迹破坏的数字找回来吗？ 【教学安排】 开课的时候，可用这道题来做引题，在学完例1后，可做为巩固练习来做. 动手动脑 巧填方框里面的数 元旦快乐

例1 在“庆元旦”晚会上，主持人小丽出了这样两道题目： 1 1 19761 6 06 请大家想一想，被纸片盖住的是什么数字? 【分析】 （ 1） 先填个位，已知6＋口的个位为1，所以口=5，且个位向十位进1．再填十位，由于个位向十位进1，十位上数□＋7＋1的个位数为1，所以十位数□应填3，且十位向百位进1．最后填百位，由十位进1，可知百位□填1． 2（） 我们可以从位数入手．被减数是一个三位数，减数是一个两位数，差是一个一位数，应能推出它的被减数应尽可能的小，减数应尽可能大．再从个位入手，可知，被减数的个位是2，且个位向十位借1，而差的百位、十位上均无数字，说明被减数的百位是1，而减数十位上的数字是9．当然此题也可反着想：□6+6=□0□，也可推出答案． 1 5311 19761 6 20619 由上面的解题过程可以看到，解这种题应按三个步骤分析思考： （1）审题 审题就是找出算式中数字之间的关系和特征，挖掘题目中的隐含条件，它是确定各空格内应该填什么数字的主要依据． （2）选择解题突破口 在审题的基础上，认真思考找出算式中容易填出或关键性的空格，做为解题的突破口．这一步是填空格的关键． （3）确定各空格填什么数字 从突破口开始，依据竖式的已知条件，逐个填出各空格中的数字． 例2 用0123456789、、、、、、、、、这十个数字组成下面的加法算式，每个数字只许用一次，现已写出3个 数字，请把这个算式补齐． 好有意思的题目呀！ 【分析】 解题关键：由算式知，和的千位数字只能是百位上数字之和向前进的数，因此把确定千位数字 做为突破口（1）填千位：据上分析，千位上只能填1．（2）确定百位：为了能使百位向千位进l ，所以第一个加数的百位可能是9或7．(因为8已用过) 试验：若百位上填9，则和的百位只可能是1或2，而1和2都已用过，因此百位上不能填9，只能填7．则和的百位为0，且十位向百位进1．（3）确定剩下的4个空格：现在只剩下四个数字没有用，它们是96、、5、3.试验：若第二个加数的个位填5，和的个位为9，剩下的数字63、不能满足十位上的要求. 若 8 4 2

五年级奥数数字谜综合(供参考)

数字谜综合 涉及分数与小数的各种类型的数字谜问题，包括竖式的补填、算式的构造、小数的舍人与变化等．较为复杂的数字问题，以及其他略有综合性的数字谜问题． 1．有一个四位整数，在它的某位数字前面加上一个小数点，再与这个四位数相加，得数是2000．81．求这个四位数是多少? 【分析与解】设四位整数4的某位数字前加上一个小数点得到一个新的数B，A与B 的和为2000．81，而小数只能由B得到，且0.81为B的小数部分，所以小数点加在A的百位与十位之间，即缩小了100倍． 有A+0.01A=2000.81，所以A=1981． 2．老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均数(保留两位小数)，小明计算出的答数是12．43．老师说最后一位数字错了，其他的数字都对．正确答案应该是什么? 【分析与解】老师说最后一位数字错了，那么前3位数字是正确的，所以正确的平均数在12.40～12.5(不能取12.5)之间，那么这13个数的和在161.2～162.5(不能取162.5)，因为这13个数都是自然数，所以它们的和也应该是自然数． 那么这13个数的和只能是162，它们的平均数应该是162÷13≈12.46． 所以正确的平均数应该是12.46． 3．两个带小数相乘，乘积四舍五人以后是22.5．这两个数都只有一位小数，且个位数字都是4．这两个数的乘积四舍五入前是多少?

数均是整数． 开始它们的乘积在22.45～22.55(不能取22.55)之间，所以在这两个数在均乘以10以后再相乘而得到的乘积应该在2245～2255(不能取2255)之间． 一一验证，2245=5×449，2246=2×1123，2247=3×7×107，2248=2×2×2×281，2249=13×173，2250=2×3×3×5×5×5，2251为质数，2252=2×2×563，2253=3×751，2254=2×7×7×23． 其中只有2254可以表达为(2×23)×(7×7)=46×49，两个十位数字均为4的数的乘积． 所以，四舍五人前的乘积应为2254÷10÷10=22.54． 即两个数的乘积四舍五人前是22.54． 4．[4.2×5-(1÷2.5+9.1÷0.7)]÷O.04=100 改动上面算式中一个数的小数点的位置，使其成为一个正确的等式，那么被改动的数变为多少? 【分析与解】我们先把题中左边算式计算一遍，在计算过程中发现问题． [4.2×5-(1÷2.5+9.1÷0.7)]÷0.04 =[21-(0.4+13) ]÷0.04 =[21-13.4]÷0.04 =7.6÷0.04 =190 注意到在“[21-(0.4+13)]÷O.04”这一步中如果(0.4+13)是(4+13)，那么最终的结果为100． 所以只需将1÷2.5改为1÷0.25，即将2.5改为O.25即可． 5.在算式2÷3÷4÷5÷6中添上若干个括号，使算式的结果是整数，并且尽可能小．试写出添加完括号后的算式． 【分析与解】注意到将除号前加一个括号，可以使括号内的除号在脱括号之后变为乘号．

高思竞赛数学导引 五年级第十三讲 数字谜综合学生版

第13讲 数字谜综合一 内容概述 涉及小数、分数、循环小数酌数字谜问题；需要利用数论知识解决的数字谜问题． 典型问题 兴趣篇 1．有一个四位数，在它的某位数字后加上一个小数点，得到一个小数，再把这个小数和原来的四位数相加，得数是4003.64求这个四位数． 2．试将1、2、3、4、5、6、7分别填人下面的方框中，每个数字只用一次：口口口（这是一个三位数），口口口（这是一个三位数），口（这是一个一位数），使得这三个数中任意两个都互质．已知其中一个三位数已填好，它是714，求另外两个数． 3．用1至9这9个数字各一次组成若干个数，这些数中最多有多少个合数？ 4．如图13-!，4个小三角形的顶点处有6个圆圈，在这些圆圈中分别填上6个质数（可以重复），使得它们的和是20，而且每个小三角形3个顶点上的数之和相等，请问：这6个质数的乘积是多少？ 5．在一个带有余数的除法算式中，商比除数大2，在被除数、除数、商和余数中，最大数与最小数之差是1023.请问：此算式中的4个数之和最大可能是多少？ 6．在乘法算式“好好好春杯迎杯=?”中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字．请问：“迎+春+杯+好”等于多少？

7．将1至9这9个数填入下面算式中的9个方框内（每个数字只能用一次），使等式成立． 口口口×口口=口口×口口=5568 8．循环小数B A .0化成最简分数后，分子与分母之和为40，那么A 和B 分别是多少？ 9．在算式“7=+金杯 竞赛华罗庚数学”中，华、罗、庚、金、杯、数、学、竞、赛九个字，分别代表数字1、2、3、4、5、6、7、8、9．已知“竞 = 8，赛 = 6”，请把这个算式写出来． 10．已知“GOOD BAD BAD =+”是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，已知GOOD 不是8的倍数．请问：ABGD 代表的四位数是什么？ 拓展篇 1．[4.2×5 - (1+2.5 + 9.1 + 0.7)] + 0.04=100. 2．用0至9这10个数字恰好组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个（每个数字只能用一次），且这四个数两两互质．其中的四位数是2940，另外三个数可能是多少？ 3．学数学科学数数=?．在上面的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．请问：“数学”所代表的两位数是多少？ 4．在等式“口△×△口×口O×◇△=口△口△口△”中，口、△、O 、◇分别代表不同的数字．四位数◇O 口△是多少？

【人教新课标】二年级下册数学教案《数字谜》

《数字谜》教学设计 教学目标： 1.在探索加减法算式中的“数字谜”问题过程中，学习用推理的方法解决问题，初步获得一些简单推理的经验。 2.经历简单推理的过程，培养学生思维的条理性和严密性，提高逻辑思维能力和分析解决问题的能力，发展学生的代数思想。 3.在解决问题的过程中，激发学生学习数学的兴趣和欲望，体验成功的乐趣，产生学好数学的自信心。 教学重难点： 学习用推理的方法解决问题，初步获得一些简单推理的经验。 教学过程： 一、谜语导入 孩子们，喜欢猜谜语吗？ 今天王老师给大家带来了几个谜语，想不想看看？ 请看，第一个，接着看 最后一个，一起说（p）同学们真是太厉害了，掌声送给自己！ 刚才这几个谜语都和数字有关，今天我们就一起来研究数字谜。（板书课题） 二、探究新知 1.初识数字谜 孩子们，你们知道吗？数字谜，在古代又叫虫蚀算，为什么叫虫蚀算呢？我们一起来听： 实际上数字谜，大家并不陌生。请看，我们一年级做过的题目，熟悉吗？方框里填几？小海星是几呢？A是几？这些就是简单的数字谜。 2.介绍上课形式 既然大家对数字谜已经有所了解，我们今天就换一种学习方式：以研究小组的形式合作学习，采用闯关制。 3.闯关规则：（录音） （1）每一关由小组长分发题签，根据题签的数量独立或合作闯关。

（2）完成后，小组成员交流想法，必须保证人人会做、人人会说。 （3）由老师任选小组代表汇报想法，其他小组成员可进行补充、完善。 听清楚规则了吗？准备好，数字谜大闯关正式开始！ 【设计意图：教学以闯关游戏的形式，充分调动学生课堂参与的积极性。从学生喜欢的简单的数字谜游戏入手，一方面引导学生回顾解决数字谜的知识基础——加减法之间的关系；另一方面引导学生对知识产生期待和兴趣，激发他们的学习热情。】 三、研究活动 1.第一关--【小试牛刀】 请听要求：独立完成，然后小组交流想法。请小组长打开信封，取出题签，开始！ （巡视指导）做完了吗？好，孩子们请坐好。 谁愿意第一个来说说你的想法？（学生汇报） 和你想的一样吗？谁愿意再来说一说？ 预设1：刚才这两个同学都认为8可以分成4和4，分成3和5不行吗？ 也就是在数字谜中，相同的汉字表示同一个数字，同意吗？来，一起说一遍，真棒，你们真是善于思考的好孩子。 预设2：你们也是这样想的吗？真是善于思考的好孩子，一起来读： 预设3：为什么要用8除以2呢？为什么要平均分呢？分成3和5不行吗？谁更解释得更清楚？ 刚才他是从十位开始想的，除了可以从十位开始想，我们还可以怎么想？ 现在我们一起来回顾一下刚才的研究过程，不管是从个位还是十位开始想（p），我们都是先通过观察竖式（p），（板书：观察）找到汉字与数字之间的关系，也就是：找关系（板书：找关系），然后根据这个关系推想出：快=4，乐=1，也就是推想（板书：推想）。 那我们的推测到底对不对呢？怎样来验证呢？（板书：验证)你用的是验算的方法，真了不起！那谁有不同的方法？还有更简单的方法吗？ 其实啊，我们可以将刚才的推想结果代入算式算一算（板书：代入），也就是将快换成4，乐换成1，我们一起算一算，正好是82，说明什么？对，说明我

六年级高斯学校竞赛数字谜综合二含答案

第 19 讲数字谜综合二
内容概述
各类综合性较强的复杂数字谜问题．
典型问题
兴趣篇 1．将
1 表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案， 4 1 1 1 1 ? ? ? ? 1中，a、b、c 分别代表三个不同的自然数，这三个数的和可能是 18 a b c
2．在算式 多少？
3．如图 19-1，将图中每一行左右相邻的两数相加，再除以 12，将所得的余数写在它们下一行 相应的圆圈内．逐行依次进行上面的操作，最后得到最底端的一个数．请问：对于第一行中不 同的自然数 z，最底端的数一共有多少种取值，分别是什么？
4．将最小的 10 个合数填到图 19-2 的 10 个空格中，要求满足以下条件： ①填人的数能被它所在列的最上面给出的数整除； ②第三行中每个数都比它上面那一格中的数 大； 请问：第三行中 5 个数的和最小等于多少？ 5．将 l 至 7 这 7 个自然数填入图 19-3 中的 8 个方格内，要求其中有一个数字用两次，其余数 字各用一次， 并使图中右下角的 4 个方格中的每格内所填的数均等于它上方和左方相邻方格内 两个数的平均数，请给出一种填法，并求出共有多少种填法．
6．请将数字 1 至 9 分别填入图 19-4 中的各个圆圈中，使得图中每条线段两个端点中所填的数 的差（大减小）均为 3 或 4．请给出一种填法，并求出共有多少种填法． 7． 6□0.3 ?○,6□
1 ? ?○,6□ 1 ?○. ?○,6□0.3 ? 0.3 0.3
在上面 4 个算式的方框内，分别填上加、减、乘、除 4 个运算符号，使 4 个算式的得数之 和尽可能大．请问：这个最大的和等于多少？ 8．请用 0、l、2、3,4、5、6、7、8、9 这 10 个数字各一次，组成 5 个自然数，使得它们依次 是某个自然数的 l、2、3、4、5 倍． 9．在如图 19-5 所示表格第二行的每个空格内，填人一个整数，使它恰好表示它上面的那个数 字在第二行中出现的次数，第二行中的 5 个数字各是多少？
10． 图 19-6 中相同字母表示相同数字， 不同字母表示不同数字， 且 FIVE 是 5 的倍数，FOUR 是 4 的倍数，求 NINE 的所有可能值． 拓展篇 1．自然数 12 和 60 是一对很有趣的数，它们的积 12×60= 720，恰好是 12 +60 = 72 的 10 倍， 满足上述条件的数对还有哪些，请再举出 3 对． 2．将
1 表示成两个自然数的倒数之和，给出所有的答案． 6