证券市场对数收益率的广义偏斜t分布

Statistical and Application 统计学与应用, 2014, 3, 141-147

Published Online December 2014 in Hans. https://www.sodocs.net/doc/aa3772851.html,/journal/sa

https://www.sodocs.net/doc/aa3772851.html,/10.12677/sa.2014.34019

Generalized Skew t Distribution of

Log-Return Rate in Stock Market

Xin Yang

Department of Mathematics, Guilin University of Aerospace Technology, Guilin

Email: xinyang_emily@https://www.sodocs.net/doc/aa3772851.html,

Received: Sep. 12th, 2014; revised: Oct. 11th, 2014; accepted: Oct. 20th, 2014

Copyright ? 2014 by author and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

https://www.sodocs.net/doc/aa3772851.html,/licenses/by/4.0/

Abstract

The main aim of this paper is to study the distribution characteristics of log-return rate in stock market. The closing data of a year trading day of the 6 indexes (the Shanghai composite index, Shenzhen stock index, industrial index, real estate index, consumer services index, and food and beverage index), are done with the empirical analysis by using the statistical methods. Results show that the log-return rates of the stock indexes do not obey the normal distribution, with the characteristics of high peak, heavy tail and skew distribution. And results also show that the log-return rates are with high probability to be accepted as obeying the generalized skew t distri-bution. So the generalized skewed t distribution is a reasonable distribution to research the log-return rate of stock market.

Keywords

Stock Index, Log-Return Rate, Generalized Skewed t Distribution

证券市场对数收益率的

广义偏斜t分布

杨昕

桂林航天工业学院，数理部，桂林

Email: xinyang_emily@https://www.sodocs.net/doc/aa3772851.html,

收稿日期：2014年9月12日；修回日期：2014年10月11日；录用日期：2014年10月20日

证券市场对数收益率的广义偏斜t 分布

摘 要

本文的主要问题是研究证券市场中对数收益率的分布特征。对上证指数、深证成指、工业指数、地产指数、消费服务和食品饮料等6个指数一个年度的交易日的收盘数据，利用统计检验方法进行实证分析，分析结果表明：证券指数的对数收益率不服从正态分布，具有尖峰、厚尾、偏斜等特征，它们均以较大的概率被接受为服从广义偏斜t 分布，所以广义偏斜t 分布是研究证券市场对数收益率的合理分布。

关键词

证券指数，对数收益率，广义偏斜t 分布

1. 引言

对数收益率是研究证券市场中一个重要变量，用它可以研究证券投资组合和相应的投资风险管理。例如，马柯维茨的均值-方差投资组合理论，威廉·夏普(William F Sharpe)的资本资产定价模型CAPM ，都是建立在证券对数收益率的基础上。又如，在证券风险管理中利用证券投资组合的对数收益率的风险在值VaR (Value at Risk)，条件风险在值CVaR(Conditional Value at Risk)，都是用来刻画投资风险。

为了这些研究和相应理论的需要，人们通常假设对数收益率服从正态分布(Duffie and Pan [1]1997)。然而，有许多实际数据说明证券市场的对数收益率不服从正态分布(Mandelbrot [2] 1963, Fama [3]1965，Blattberg and Gonedes [4]1974, Cont [5]2001)，其分布通常具有尖峰、厚尾、偏斜和非对称等特点。因此，人们假设或检验对数收益率服从其它非正态分布，并以此研究证券市场的各种问题。可选择的分布有：t 分布(Seneta [6]2004, Lin et al. [7]2006, Fergusson and Platen [8]2006)，幂律分布(Wu [9]2006, Klass [10]2007, Plerou and Stanley [11] 2008)，Laplace 分布(刘建元和刘琼荪[12]2007，宋丽娟和杨虎[13]2008，陈晔等人[14]2010)，等等。

大家知道，t 分布是尖峰厚尾对称分布，幂律分布是厚尾非对称分布，Laplace 分布的厚尾性是处在正态分布与t 分布之间的尖峰厚尾对称分布。我们注意到偏斜t 分布同时具有尖峰、厚尾、偏斜和非对称等特点，因此本文重点研究偏斜t 分布，在Azzalini [15](1985)、Nadarajah and Kotz [16](2007)和Nadarajah [17](2009)等人对标准偏斜t 分布定义的基础上，我们考虑一种广义偏斜t 分布(见文中定义2)，对上证指数、深证成指、工业指数、地产指数、消费服务、食品饮料等6个指数的实际数据，利用极大似然方法估计分布参数，检验这些指数数据的分布，研究证实这6个指数的对数收益率都服从广义偏斜t 分布。

2. 广义偏斜t 分布的定义

Azzalini [15](1985)首先提出偏斜正态分布(skew-normal distribution)的概念，其理论依据是如下引理。 引理1 设()f x 是关于原点对称的密度函数，()G x 是绝对连续分布函数，其导数()G x ′关于原点对称，则对于任意的实数λ，函数

()()()2, p x f x G x x λλ=?∞<<∞ (1)

是一个密度函数。

利用引理1可以定义各种偏斜分布(Azzalini [15]1985，Nadarajah 和Kotz [16]2007，Nadarajah [17] 2009)，如偏斜正态分布、偏斜t 分布、偏斜柯西分布、偏斜Logistic 分布、偏斜Laplace 分布，等等。其中偏斜t 分布定义如下：

证券市场对数收益率的广义偏斜t 分布

定义1 设()f x 是自由度为m 的t 分布的密度函数，即

()

()12

21m x f x m ?+

=+

， (2)

()G x 是()f x 相应的分布函数，则由(1)式确定的密度函数的分布称为偏斜t 分布(skew t distribution)，其

自由度为m ，偏斜参数为λ，并记为()ST ,m λ。

Nadarajah 和Kotz [16](2007)研究了偏斜t 分布()ST ,m λ的密度函数的表示，以及矩的计算公式。 在偏斜t 分布()ST ,m λ中，自由度参数m 是反映分布的厚尾特征，自由度m 愈小分布的尾部愈厚，自由度m 愈大分布的尾部愈轻；参数λ是反映分布的偏斜方向和偏斜程度，当0λ>时分布重心偏右，当

0λ<时分布重心偏左，λ的绝对值愈大偏斜程度愈大。显然，这个分布还缺少两个参数，一个是位置参

数μ，另一个尺度参数σ，这会影响它在实际应用中的适应性。因此，本文考虑使用如下广义的偏斜t 分布。

定义2 设随机变量X 服从定义1所定义的偏斜t 分布()ST ,m λ，令Y X μσ=+，称随机变量Y 服从广义偏斜t 分布，记为()GST ,,,m μσλ，其中位置参数μ?∞<<∞，尺度参数0σ>。

广义偏斜t 分布()GST ,,,m μσλ的密度函数为

()

()2

;,,,, x x g x m f G x λμμμσλσσσ?

? =?∞<<∞ (3) 其中()f x 和()G x 分别是自由度为m 的t 分布()t m 的密度函数和分布函数。显然，广义偏斜t 分布具有如下基本性质。

性质1 ()()GST 0,1,,0m t m =。 性质2 ()()GST 0,1,,ST ,m m λλ=。

3. 广义偏斜t 分布的参数估计

广义偏斜t 分布()GST ,,,m μσλ有四个参数，可以利用极大似然估计方法估计，其似然函数为

()()1

2,,,n

n

i i n

i x x L m f G λμμμσλσσσ=

?? =

∏， (4) 其中12,,,n x x x 是样本数据。相应的对数似然函数为

()()11ln ,,,ln2ln ln ln n

n

i i i i x x L m n n f G λμμμσλσσσ== ?? =?++

∑∑. (5) 通过极大化对数似然函数(5)式可以计算出参数的估计值，在具体计算中我们是利用R 软件中的非线性极小化nlm 函数(Non-Linear Minimization)。注意对数似然函数极大化等价于对负的对数似然函数极小化，所以这个函数nlm 可以对极小化和极大化进行求解。

4. 证券指数对数收益率的分布检验

4.1. 证券指数的样本数据

本文选择上证指数、深证成指、工业指数、地产指数、消费服务、食品饮料等6个指数作为研究对象，对这些指数收集从2012年7月至2013年6月完整一年时间共239个交易日的收盘价数据。设t S 表示某证券指数在第t 日的收盘指数，则()1ln t t t R S S ?=就是该指数在第t 日的对数收益率，下面将讨论这

证券市场对数收益率的广义偏斜t分布

些对数收益率的分布特征。

4.2. 对数收益率的正态性检验

正态性检验有多种方法，这里考虑利用偏度(Skewness)检验、峰度(Kurtosis)检验和夏皮洛-威尔克(Shapiro-Wilk)检验，计算结果见表1。从偏度检验看，深证成指、工业指数和地产指数等3个指数的偏度检验P值都小于0.05，说明有显著的偏度；而上证指数、消费服务和食品饮料等3个指数的偏度检验P值都大于0.05，说明没有显著的偏度。从峰度检验看，6个指数的峰度检验P值都远远小于0.01，注意表1中的峰度值(kurtosis)是减了3的，所以这些指数的对数收益率的分布的峰值显著高于正态分布。图1是正态分布拟合曲线图，它更直观地看出这些指数的对数收益率的直方图分布的峰值显著高于正态分布。另外，从Shapiro-Wilk正态性检验看，所有指数的检验P值也都远远小于0.01，这说明它们与正态分布有非常显著的差异。这些统计检验事实表明：这6个证券指数的对数收益率在研究时间段内不服从正态分布。

Table 1. Skewness, kurtosis and Shapiro-Wilk normality test

表1. 偏度检验、峰度检验与Shapiro-Wilk正态性检验

偏度检验峰度检验Shapiro-Wilk检验指标名称

Skewness P值Kurtosis P值统计量P值上证指数?0.177797 6.570e?02 2.957307 3.113e?21 0.9564757 1.333e?06

深证成指?0.223255 3.992e?02 2.578106 1.179e?16 0.9667588 2.357e?05

工业指数?0.287442 1.756e?02 1.893313 6.222e?10 0.9769529 6.425e?04

地产指数?0.681269 4.452e?06 3.375882 5.351e?27 0.9507866 3.178e?07

消费服务0.030143 2.124e?01 1.681642 2.965e?08 0.9779888 9.273e?04

食品饮料?0.082256 1.511e?01 1.029707 2.961e?04 0.9819077 3.936e?03

Figure 1.Fitting curve of normal distribution

图1.正态分布拟合曲线

证券市场对数收益率的广义偏斜t 分布

4.3. 对数收益率的广义偏斜t 分布检验

从前面的检验结果和图1知，证券指数的对数收益率具有尖峰、偏斜的特点，所以我们考虑检验它们是否与广义偏斜t 分布有较好的拟合，为此做广义偏斜t 分布的K-S 检验。在做检验前，首先要利用极大似然方法估计广义偏斜t 分布的四个参数，然后再计算相应的K-S 检验，具体结果见表2。

从广义偏斜t 分布的K-S 检验的结果(表2)看，我们有如下结论：

1) P 值：所有指数的K-S 检验的P 值都非常大，前面5个指数(上证指数、深证成指、工业指数、地产指数和消费服务)的P 值都大于0.8，最后一个指数食品饮料的P 值也接近0.7，这远远大于0.05的概率水平，所以这些指数的对数收益率的分布与广义偏斜t 分布没有显著差异，并以较大的概率水平可以接受它们是服从广义偏斜t 分布。

2) μ值：位置参数μ的值都比较小，几乎为零，说明对数收益率是以0为中心左右波动。 3) σ值：注意到只有当0μ=和1σ=时，广义偏斜t 分布才等于标准偏斜t 分布，即

()()GST ,,,ST ,m m μσλλ=。由于表2中尺度参数σ的值远远小于1，所以说明只能用广义偏斜t 分布()GST ,,,m μσλ，而不能用标准偏斜t 分布()ST ,m λ来拟合这些指数的分布。

4) m 值：前面5个指数(上证指数、深证成指、工业指数、地产指数和消费服务)的自由度都在4左右，自由度比较小，说明它们确实具有比较厚尾的特征。最后一个指数食品饮料的自由度为13.266127,这个自由度稍微大一些，说明该指数的尾部分布与正态分布没有显著差异，并且其峰度值1.029707(见表1)也是这6个指数中最小一个，所以该指数的分布稍微接近正态分布。

5) λ值：上证指数、工业指数和地产指数的偏斜参数是负值，它们的分布向左偏斜，向左偏斜最大的是工业指数的分布。深证成指、消费服务和食品饮料的偏斜参数是正值，它们的分布向右偏斜，其中消费服务和食品饮料的分布向右偏斜较大。

我们将相应的广义偏斜t 分布的密度展示在图2中，图中直观显示了广义偏斜t 分布比正态曲线更好拟合数据的直方图分布。

我们注意到：除了偏斜t 分布外，常见的偏斜分布还有偏斜正态分布、偏斜Logistic 分布、偏斜Laplace 分布、Pareto 分布、指数分布等。关于偏斜正态分布、偏斜Logistic 分布和偏斜Laplace 分布，这三个分布的两边尾部都是以不低于指数衰减速度()

e x ?趋于0，均属于轻尾分布，所以这三个分布不太适合于反映对数收益率的尖峰厚尾特征。Pareto 分布和指数分布都是属于下方受限分布(即分布的左边尾部是被截尾的分布)，这些与对数收益率的两边尾部无限是不相符，也不太适合描述对数收益率的分布。 广义偏斜t 分布具有尖峰、厚尾、偏斜等特征，其尾部是以幂率速度衰减，并且能通过自由度m 的

Table 2. K-S test for generalized skewed t distribution

表2. 广义偏斜t 分布的K-S 检验

指标名称 位置参数

尺度参数

自由度

偏斜参数

K-S 检验

μ σ m λ 统计量 P 值 上证指数 ?0.000299 0.007784 3.267387 ?0.015349 0.038770 0.866777 深证成指 ?0.001187 0.010835 4.007825 0.017963 0.035389 0.926820 工业指数 0.001361 0.009149 4.862127 ?0.182230 0.040275 0.834841 地产指数 ?0.000199 0.013700 3.980028 ?0.003006 0.038125 0.879560 消费服务 ?0.002040 0.009664 4.692233 0.158127 0.034746 0.936142 食品饮料

?0.002874

0.013792

13.266127

0.133190

0.046230

0.689154

证券市场对数收益率的广义偏斜t分布

Figure 2.Fitting curve of generalized skewed t distribution

图2.广义偏斜t分布拟合曲线

大小调节尾部的厚薄程度。另外，通过广义偏斜t分布的参数μ,σ,λ可以调节分布的位置、尺度、偏度，从而使其适应更广泛的分布。在实际中，不同的指数可能有不同的分布，广义偏斜t分布能更好地适应这种变化。

综合上述讨论，我们认为广义偏斜t分布是拟合这些指数对数收益率分布的合理分布。

5. 结论

本文对上证指数、深证成指、工业指数、地产指数、消费服务和食品饮料等6个指数进行实证分析，利用偏度(Skewness)检验、峰度(Kurtosis)检验和夏皮洛-威尔克(Shapiro-Wilk)检验等方法进行正态性检验，结果表明：证券指数的对数收益率不服从正态分布，具有尖峰、厚尾、偏斜等特征。基于这些特点，我

μσλ进行拟合对数收益率的分布，通过极大似然估计法和K-S检验法们选择广义偏斜t分布()

GST,,,m

对证券指数对数收益率分布进行拟合与检验，结果表明：这些指数的对数收益率都服从广义偏斜t分布，并且接受的概率都很大，这说明广义偏斜t分布是研究证券市场对数收益率的合理分布。

致谢

非常感谢审稿人和编辑提出修改意见，这些修改意见使本文的内容更加完整和充实。

基金项目

国家自然科学基金项目(11461009)，广西自然科学基金项目(2011GXNSFA018133)。

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对数正态分布教程文件

在概率论与统计学中，对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果X是正态分布的随机变量，则exp(X) 为对数分布；同样，如果Y是对数正态分布，则 ln(Y) 为正态分布。如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。对于，对数正态分布的概率分布函数为 其中与分别是变量对数的平均值与標準差。它的期望值是 给定期望值与标准差，也可以用这个关系求与 与几何平均值和几何标准差的关系 对数正态分布、几何平均数与几何标准差是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于，几何平均差等于。 如果采样数据来自于对数正态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。

其中几何平均数，几何标准差 或者更为一般的矩 [编辑]局部期望 随机变量在阈值上的局部期望定义为

其中是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为 其中是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用。 其中用表示对数正态分布的概率密度函数，用—表示正态分布。 因此，用与正态分布同样的指数，我们可以得到对数最大似然函数： 由于第一项相对于μ与σ来说是常数，两个对数最大似然函数与在 同样的μ与σ处有最大值。因此，根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程，我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计 ?如果与，则是正态分布。

?如果是有同样μ参数、而σ可能不同的统计独立对数正态分布变量，并且，则Y也是对数正态分布变量：。 μ=0

时间序列分析——最经典的

【时间简“识”】 说明：本文摘自于经管之家(原人大经济论坛) 作者：胖胖小龟宝。原版请到经管之家(原人大经济论坛) 查看。 1.带你看看时间序列的简史 现在前面的话—— 时间序列作为一门统计学，经济学相结合的学科，在我们论坛，特别是五区计量经济学中是热门讨论话题。本月楼主推出新的系列专题——时间简“识”，旨在对时间序列方面进行知识扫盲（扫盲，仅仅扫盲而已……），同时也想借此吸引一些专业人士能够协助讨论和帮助大家解疑答惑。 在统计学的必修课里，时间序列估计是遭吐槽的重点科目了，其理论性强，虽然应用领域十分广泛，但往往在实际操作中会遇到很多“令人发指”的问题。所以本帖就从基础开始，为大家絮叨絮叨那些关于“时间”的故事！

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正态分布函数【1】 0.20 0.15 0.10 0.05 105510 正态分布概率密度函数f（t） 蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3 绿线：μ=1 σ=3 均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 105510 正态分布函数F（t） 蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3 均数μ改变，图像会进行平移，标准差σ改变，图形陡峭度发生变化。σ越小，图像越陡。

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 105510 正态分布可靠度函数R（t） 蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3 均数μ改变，图像会进行平移，标准差σ改变，图形陡峭度发生变化。σ越小，图像越陡。 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 105510 正态分布失效率函数λ（t） 蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3 均数μ改变，图像会进行平移，标准差σ改变，图形陡峭度发生变化。σ越小，图像越陡。正态分布应用领域【1】 正态分布是一种最常见的连续型随机变量的分布,它在概率论和数理统计中无论在理论研究还是实际应用上都占有头等重要的地位,这是因为它在误差理论、无线电噪声理论、自动控制、产品检验、质量控制、质量管理等领域都有广泛应用.数理统计中许多重要问题的解决都是以正态分布为基础的.某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量、胆固醇等，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些资料虽为偏态分布，但经数据变换后可成为正态或近似正态分布，故可按正态分布规律处理。

股市中百分比收益率和对数收益率有什么区别

股市中百分比收益率和对数收益率有什么区别？ 在股市分析中，我们会经常用到百分比收益率和对数收益率来对资产收益率从进行分析。同是收益率，两者之间有什么区别呢？ 股市中常用的收益率是百分比收益率，而对数收益率在金融理论中用的较多。 百分比收益率的定义是：Rb=( s2- s1)/ s1= s2/ s1-1 对数收益率的定义是：Rd=ln(s2/ s1) 其中，s1,s2,s3是连续各期的股价，Rb表示百分比收益率，Rd表示对数收益率。 由定义可推知：Rd =ln(s2/ s1)= ln(（s2-s1）/ s1+1)=ln(Rb +1) Rb简单易懂，使用最为普遍，但其有一些特点要注意。 1、不对称性： 比如股价s从50升到100再跌回50，股价的变化是0，但R%将如下变化： 50 upto 100，Rb 1=100/50-1=100% 100 downto 50, Rb 2=50/100-1=-50% 2项之和为100%+（-50%）=-50%，并不为0。也即股价s对称地上升和下降同样的数字，其百分比收益率是不同的，也即是不对称的。 再看看对数收益率。 50 upto 100，Rd 1=ln100/50=69% 100 downto 50, Rd 2= ln 50/100=-69% 因此对数收益率是对称的。 2、虽然n期的百分比收益率之和为0，但通常最后的股价都小于最初的股价,即sn； 以n=3作一说明。 表中列有3种情况，每种情况下的百分比收益率之和Rb1+ Rb2都为0，但s3都小于s1。百分比收益率越大,跌幅越大。从对数收益率角度来看就很好理解，因为对数收益率之和都是负数，百分比收益率越大,?对数收益率之和的负数绝对值越大，跌幅越大。 若n期的对数收益率之和为0，则sn=s1。证明如下： Rd 1+ Rd 2=ln(s2/s1)+ ln(s3/s2)= ln((s2/s1)* (s3/s2))= ln(s3/s1)=0 s3/s1=e**0=1

上证综指对数收益率月度数据的特征分析

上证综指对数收益率月度数据的特征分析 （）1991.1-2014.9 目录 数据处理：收益率对数化 1. 数据导入：2. 对数收益率特征分析 3. （）简单描述性统计1 （）平稳性检验2 （）自相关性分析3 （）损益的不对称性4 （）分布的尖峰厚尾分析5 （）波动聚集效应检验6 对数收益率可预测性分析 4. （）短期1 （）中期2 （）长期3 一、数据处理 Lnrt=ln(1+rt*) 其中为普通收益率rt* 二、数据导入 File—new—workfile Dated-regular frequency; monthly Object—new object—group—g1 三、对数收益率特征分析 （）简单描述性统计 1 table or stats&—histogram stats statisticslnrt窗口--view—descriptive&tests80

LNRT Series:702014M091991M01Sample285Observations600.010218Mean50 0.006760Median 1.019664Maximum40-0.373282Minimum0.130937Dev.Std.30 2.438914Skewness21.00333Kurtosis204131.466Jarque-Bera100.000000Probability0 1.00.80.60.40.20.0-0.2-0.4． 0.01021Mean0.00676Median1.01966Maximum -0.37328Minimum0.13093StdDev.2.43891Skewness 21.0033Kurtosis4131.46Jarque-Bera

对数增长或者指数增长

对数增长或者指数增长 “前言：天道酬勤？勤劳致富？这种古训和传统美德到底还能否指导当今的个人财富积累？如果能，为什么在都市中出现了越来越多的穷忙族——整日忙忙碌碌，可除了维持日常生活却鲜有物质财富？如果不能，它何以成为两千余年中华历史文化的智慧结晶？是的，在特定情况下，勤劳的大小程度和财富增长的多少呈正相关关系，但在一些情况下，他们之间不太相关，尤其是在金融/资本市场缤纷多彩的当下——你不仅要辛勤劳作的去创造财富，还要身体力行的去分配财富。这就引申出一个话题——收入/财富增长的模式，是有上限瓶颈的对数增长，还是上不封顶的指数增长？若是前者就陷入穷忙一族，若是后者则登上了财富快车。如何理解财富的对数增长和指数增长？二者如何形成良性的循环交替并促使财富节节攀升？希望你能 在本文中找到些许答案。1两种函数比较：对数增长VS 指数增长我们先来了解两个函数——对数函数和指数 函数，其走势如下图：左边的是对数函数，其反应的现象是：在初始阶段，Y的涨幅很大，可到了一定阶段后，Y 的涨幅很小，趋近于零。如果把X看作时间、Y看作收益的话，可以简单的理解为，当你做某件事情，在刚开始的一段时间内，收获很多，可到一定阶段后开始遇到瓶颈，其收益

的增幅在变小，甚至没有。如果举生活中的例子，比如体育运动、学生成绩的提高、普通工作的工资收入等都是如此。在体育运动中，刚开始的收益很大——技能提高、体能提升等，但到一定阶段后再上升就变得很难；小学生的科目成绩从零分提高到60分很容易，可从90分要提高到100 分却十分困难；工资收入更是如此，你只要工作就会立马有一份收入，跟之前的零收入相比，增幅很大，可一旦按部就班的进入工作，工资收入的增长则变得非常有限，好的话跑赢通胀，尤其是那种简单重复的工作更是如此。由于此篇文章侧重投资理财，这种现象也就是经济学中的边际效应（收益）递减规律的具体体现。图中右边是指数函数，其反应的现象正好与对数函数相反：在初始阶段其收益很小，可随着时间的推移，一旦突破某个临界点，其增长就犹如核裂变似的爆发出来。我们同样可以举生活中的很多例子：科技研发、规模效应等。研发创新一向都比较艰难，前期需要耐得住寂寞和时间的煎熬，却几乎没啥回报，可一旦出成果，其收益便会爆发，获取巨大收益，“一举成名天下闻”； 规模的聚集效应同样如此，刚开始增长缓慢，一旦达到临界点，规模的协同效应出现，回报很难小觑，资本的投资回报即是如此——只有达到一定的规模才能资产配置、风险对冲、在保证固定收益的同时又能博取超高的风险溢价。指数函数反映的是量变引起质变的原理——积沙成塔、集腋成裘。

对数正态分布(log-normal distribution)

对数正态分布 对数正态分布 机率密度函数 μ=0 累积分布函数 μ=0 参数 值域 概率密度函数

累积分布函数 期望值 中位数eμ 众数 方差 偏态 峰态 熵值 动差生成函数(参见原始动差文本) 特征函数is asymptotically divergent but sufficient for numerical purposes 在概率论与统计学中，对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果X 是正态分布的随机变量，则exp(X) 为对数分布；同样，如果Y是对数正态分布，则 ln(Y) 为正态分布。如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。对于x > 0，对数正态分布的概率分布函数为 其中μ与σ分别是变量对数的平均值与标准差。它的期望值是 方差为 给定期望值与标准差，也可以用这个关系求μ与σ

目录 [隐藏] ? 1 与几何平均值和几何标准差的关系 ? 2 矩 ? 3 局部期望 ? 4 参数的最大似然估计 ? 5 相关分布 ? 6 进一步的阅读资料 ?7 参考文献 ?8 参见 [编辑]与几何平均值和几何标准差的关系 对数正态分布、几何平均数与几何标准差是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于exp(μ)，几何平均差等于 exp(σ)。 如果采样数据来自于对数正态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。 其中几何平均数μgeo = exp(μ)，几何标准差σgeo = exp(σ) [编辑]矩 原始矩为：

股票市场收益率

股票市场收益率 摘要：在金融市场迅速发展、金融创新不断深入的今天，股票市场的 波动也日益加剧，风险明显增大，资产收益率的分布形态也更加复杂化。对上证综指对数收益率序列进行实证研究，依据严密的统计分析 方法建立了GARCH-t(1,1)模型。最后，通过相应的模型检验方法验证 了GARCH-t(1,1)模型能够很好的刻画上证综指对数收益率序列的统计 特征。 关键词：股票收益率；GARCH模型；统计检验オ 在风险管理中，我们往往关注的就是资产收益率的分布。许多实证研 究表明，金融资产收益率分布表现出尖峰、厚尾的特征。另外,收益率 序列还具有条件异方差性、波动聚集性等特点。选择合适的统计模型 对金融资产收益率分布进行描述显得尤为重要。 1数据选取 本文实证分析的数据选取上海股市综合指数(简称上证综指)每日收盘 指数。考虑到我国于1996年12月16日开始实行涨跌停板限价交易， 即除上市首日以外，股票、基金类证券在一个交易日的交易价格相对 上一个交易日收市价格的涨跌幅不得超过10%，本文把数据分析时段选择为：1996.12.16-2007.05.18，共2510组有效数据。数据来源为CCER中国经济金融数据库。数据分析采用软件为Eviews5.1。通过对 原始序列的自然对数变换，得到上证综指收益率序列，有2509个数据，记为RSH。 2基本统计分析 2.1序列的基本统计量 对称分布的偏度应为等于0，而上证综指收益率的偏度为负值，说明 该序列的分布是有偏的且向左偏斜，即收益率出现正值的概率小于收 益率出现负值的概率。另外，已知正态分布的峰度等于3，而上证综指

收益率的峰度是8.919924，远大于3，这表明RSH序列不服从正态分布，而是具有尖峰厚尾特性。 2.2序列的自相关性 采用Ljung-BoxQ统计量检验上证综指收益率序列的自相关性。原假设为序列不存在阶自相关。根据上证综指收益率的10阶滞后期的Q统计值及其相应概率值可知，上证综指收益率的相关性并不显著。 2.3序列的平稳性和正态性 为了避免伪回归现象的发生，在建立回归模型之前须对收益率序列进行平稳性检验。采用ADF方法检验RSH序列的平稳性，其检验统计值为-51.7733，远小于MacKinnon的1％临界值，认为上证综指收益率序列不存在单位根，是显著平稳的。这就避免了非平稳性带来的许多缺陷。上证综指收益率序列的D.W.值为1.9705，非常接近于2，表明其残差序列不存在序列相关。 本文使用Jarque-Bera方法对RSH序列其进行正态性检验，检验统计值为3682.735(p=0.000)，概率值足够小以至于必须怀疑原假设的正确性。这也就说明，用正态分布对中国股市收益率的波动性进行描述是不正确的。 2.4ARCH效应检验 大量的实证分析表明，大多数金融资产收益率序列的条件方差具有时变性，即ARCH效应。利用ARCH-LM方法检验残差序列中是否存在ARCH 效应。选择滞后阶数为5阶，检验统计值为28.92598(p=0.000)，表明残差存在显著的ARCH效应，至少存在5阶的ARCH效应。这就意味着必须估计很多个参数，而这却是很难精确的做到。在这种情况下，可以用一个低阶的GARCH模型代替，以减少待估参数的个数。 3分布模型的确定

对数收益率

对数收益率 我们通常所指单期收益率和多期收益率均为百分比收益率，它的含义直观且计算简单，但它存在一些缺点： 首先，在金融研究中，我们总是假定证券的收益率（近似）服从正态分布，但是百分比收益率的概率密度函数既不对称也不可能呈现钟形外观。因而对于投资者而言，其最大的损失就是他的全部投资，不可能再多，即所谓有限负债。这样，对证券持有者而言，最坏的情形是证券的价格跌为0，这就意味着收益率的变动范围是-100%到+∞，这与正态分布规定不符。尽管我们可以通过选取适当的均值和方差，使收益率小于-100%的概率变得任意小，但这个概率不可能为0，因此，百分比收益率序列不会呈现正态分布形式。 其次，如果假定单期收益率服从正态分布，那么多期收益率就不可能符合正态分布。因为虽然n 个正态分布的随机变量的和仍然服从正态分布，但是n 个正态分布随机变量的乘积却不服从正态分布。例如，周期收益率如果是百分比收益率，那么可以假设它服从正态分布；但是如果由5个服从正态分布的日收益率乘积计算得到的，那么它就不能认为服从正态分布，这就导致了一个悖论。 尽管我们可以认为百分比收益率近似描述了证券价格行为，但其理论性质却难以令人满意。尤其是计算跨期复合收益率时，问题会变得很突出，这的确是一个很大的缺陷。为此，我们引入对数收益率的概念，使收益率具有满意的统计性质，从而有效的应用于金融建模过程中。 在给定名义收益率的情况下，年真实收益率的计算公式如下： (1)1m n e r r m =+- (4.4) 式中：e r 为真实年收益率； n r 为名义年收益率； m 为一年内复利的频数。 当m 趋向于无穷大时，(1)m n r m +一致收敛于n r e ，称之为连续复利，于是当m 趋于无穷大时，我们就可以得到年真实收益率为1n r e -。 我们用c r 表示连续复利计算的收益率，n r 表示与之等价的每年计m 次复利的名义收益率，显然用这两种收益率计算的证券终值应该相等，于是有： (1)c r m n r e m =+ （4.5） 即： ln(1)n c r r m m =?+ （4.6） 结合（4.4）和（4.6）可得： ln(1)c e r r =+ （4.7） 我们将式（4.7）定义的收益率称为连续复利收益率，也称为对数收益率。

证券市场对数收益率的广义偏斜t分布

Statistical and Application 统计学与应用, 2014, 3, 141-147 Published Online December 2014 in Hans. https://www.sodocs.net/doc/aa3772851.html,/journal/sa https://www.sodocs.net/doc/aa3772851.html,/10.12677/sa.2014.34019 Generalized Skew t Distribution of Log-Return Rate in Stock Market Xin Yang Department of Mathematics, Guilin University of Aerospace Technology, Guilin Email: xinyang_emily@https://www.sodocs.net/doc/aa3772851.html, Received: Sep. 12th, 2014; revised: Oct. 11th, 2014; accepted: Oct. 20th, 2014 Copyright ? 2014 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). https://www.sodocs.net/doc/aa3772851.html,/licenses/by/4.0/ Abstract The main aim of this paper is to study the distribution characteristics of log-return rate in stock market. The closing data of a year trading day of the 6 indexes (the Shanghai composite index, Shenzhen stock index, industrial index, real estate index, consumer services index, and food and beverage index), are done with the empirical analysis by using the statistical methods. Results show that the log-return rates of the stock indexes do not obey the normal distribution, with the characteristics of high peak, heavy tail and skew distribution. And results also show that the log-return rates are with high probability to be accepted as obeying the generalized skew t distri-bution. So the generalized skewed t distribution is a reasonable distribution to research the log-return rate of stock market. Keywords Stock Index, Log-Return Rate, Generalized Skewed t Distribution 证券市场对数收益率的 广义偏斜t分布 杨昕 桂林航天工业学院，数理部，桂林 Email: xinyang_emily@https://www.sodocs.net/doc/aa3772851.html, 收稿日期：2014年9月12日；修回日期：2014年10月11日；录用日期：2014年10月20日

基于对数收益率的股票网络结构研究

龙源期刊网 https://www.sodocs.net/doc/aa3772851.html, 基于对数收益率的股票网络结构研究 作者：吕婕朱家明胡学峰张岩如 来源：《时代金融》2016年第08期 【摘要】针对股市相关性问题，使用移动平均线、方差加权分析对其相关性进行分析，而后分别构建移动平均线模型、方差相关性度量模型、股票网络拓扑等模型，使用MATLAB、EXCEL等软件编程，构建了股票间相关性矩阵、并建立网络拓扑结构对所选股票分成三个板块，最后给出中国股市相应的调研报告，为投资者投资决策和监管部门监管提供有力的支持，有效地防范和控制股票市场风险，维护金融市场的稳定和有序发展。 【关键词】股票相关性移动平均线方差相关性度量网络拓扑 MATLAB 股票间的相关性对于风险管理、投资决策具有重要影响。对于股票相关性的研究，现代金融理论主要基于经济基本面进行解释，即认为相关性来源于影响资产现金流和影响资产折现率的基木面因素。己有研究表明，股票间相关程度远超出了经济基木面因素的影响。股票市场作为复杂系统日益受到人们的关注，近年来，经济、数学、社会等领域的学者都开始用复杂网络及其相关概念来研究股票市场，进而研究股票间相关性。 一、股票间相关性分析 （一）研究思路 选取股票的相关指标（例如收益率、股价等）为对象，利用时间序列相关性知识，建立合适的股票间相关性度量指标模型，并分析指标的优缺点，这里我们根据时间序列相关性的知识，运用移动平均线建立移动平均线模型，先找出每一支选中股票在一定时间内的股价变动水平何整体趋势。再按相同时间段要求找出其他各支股票的整体变动水平做出水平随着随时间变化图像。在一定区域内，两个系统之间的方差大小可以刻画出两个系统间的差异性相关程度。这里我们建立两种不同的模型对不同两种股票之间相关性进行估量。 （二）研究方法 1.移动平均线模型。 （1）准备。移动平均线PMA是变量随时间的一种表现形式.比如变量X的三日移动平均线，首先取得连续三日的三个变量X，计算其平均值A，然后后移.去掉最先一个变量X，增 加新一日一个变量X，再计算三个变量X的平均值B.如此移动计算，得到一条三日移动平均线。同理，可得五日，六日，十日，十三日，三十日，七十日，二百日等移动平均线。移动平均线由样本数的多少决定了移动变化的急缓。样本数少，变化较急，称为快速线，因此多作为短线指标。样本数多，变化较缓，称为慢速线，在样本数适当多的时候，多作为中线或长线指

上证综指对数收益率月度数据的特征分析

上证综指对数收益率月度数据的特征分析 （1991.1-2014.9） 目录 1. 数据处理：收益率对数化 2. 数据导入： 3. 对数收益率特征分析 （1） 简单描述性统计 （2） 平稳性检验 （3） 自相关性分析 （4） 损益的不对称性 （5） 分布的尖峰厚尾分析 （6） 波动聚集效应检验 4. 对数收益率可预测性分析 （1） 短期 （2） 中期 （3） 长期 一、数据处理 Lnrt=ln(1+rt*) 其中rt*为普通收益率 二、数据导入 File —new —workfile Dated-regular frequency; monthly Object —new object —group —g1 三、对数收益率特征分析 （1）简单描述性统计 lnrt 窗口--view —descriptive statistics & tests —histogram & stats or stats table 1020304050607080

作图：view—gragh--line LNRT （2）平稳性检验ADF-test View—unit root test—level—none

（3）自相关性分析：ACF&PACF View—correlogram—level—36

（4）损益不对称 作出分布图：view —gragh —distribution 偏度：见（1） 01020304050607080 F r e q u e n c y LNRT （5）尖峰厚尾 见分布特征、偏度、峰度、及J-B 检验结果 （6）波动率聚集 Genr vt=lnrt^2 检验vt 序列的自相关：ACF 相关系数检验

对数正态分布

ITU-R P.1057-2 建议书1 ITU-R P.1057-2建议书 与无线电波传播建模相关的概率分布 (1994-2001-2007年) 范围 无线电传播建模要求大量使用统计方法。本建议书提供了关于最重要的概率分布的综合信息，以便 为无线电通信研究组建议书中所使用的传播预测统计方法提供一种通用的背景。 国际电联无线电通信全会， 考虑到 a) 无线电波的传播主要涉及随机媒介，因此有必要通过统计方法分析传播现象； b) 在大多数情况下，有可能通过已知的统计分布，对各种传播参数的时间与空间变化作出满意地描述； c) 因此至关重要的是了解统计传播研究中应用最为普遍的概率分布基本属性， 建议 1 附件1中提供的与传播建模相关的统计信息须用于无线电通信业务的规划和系统性能参数的 预测。 2 应使用附件2中提供的分步程序，通过对数正态余补累积分布模拟余补累积分布。 附件1 与无线电波传播建模相关的概率分布 1 引言经验表明，仅有接收信号平均值方面的资料不足以描述无线电通信系统的性能。时间、空间和 频率的变化亦应考虑在内。 有用信号和干扰的动态表现，在分析系统可靠性和选择调制类型等系统参数时，发挥着决定性作用。最为关键的是要了解信号波动的范围与速率，以便能够规定调制类型、发射功率、干扰保护 比、分集措施、编码方法等参数。

2 ITU-R P.1057-2 建议书 描述通信系统的性能，一般通过观察信号波动的时间序列并将信号波动视为随机过程即可。但为预测无线电系统的性能而为信号波动建模，则还要了解无线电波与大气(中性大气层和电离层)之间的互动机制。 大气组成和物理状态的时空变化非常快。因此，波互动建模，需大量使用统计方法来定义各类物理参数，描述大气及定义信号表现的电参数，以及建立参数间关系的互动流程。 下文提供了最重要的、有关概述分布的一些总体信息。这些信息为无线电通信研究组建议书使用的各种传播预测统计方法，提供了共同的背景。 2 概率分布 随机流程一般使用概率密度函数或余补累积分布函数描述。概率密度函数，在此用p(x)表示变 F(x)表量x，在无穷区间x与x - dx间，x的概率为p(x) dx。余补累积分布函数，用示，它给出了变 量值小于x时的概率，即两函数间的关系如下： p(x) - F(x) 1 dx 或 x F(x)「p(t) dt c 式中c是t可取的最小值。 下述分布是最重要的： -正态或高斯分布， -对数正态分布， -瑞利分布， -对数正态和瑞利分布的组合， -Nakagami-Rice分布(Nakagami n分布)， -伽玛分布和指数分布， -Nakagami m 分布， -皮尔森2分布。

基于GARCH模型对上证指数日对数收益率的实证分析

基于GARCH模型对上证指数收益 率的实证分析 于梦梦西南财经大学统计学院统计学学号：214020208022 [摘要] 本文本文选取上海综合指数在2013年1月4日至2014年12月19日期间共475个上证综合指数每日收盘价数据，并处理成对数收益率，在此基础上对中国股市收益率波动性特征进行了分析。利用ARCH类模型对上海股票市场的波动性进行了检验，发现中国股市具有明显的ARCH效应，结合ARCH模型和GARCH模型的特点，最终筛选出适合的GARCH(1，1)模型对沪市收益率序列的波动做拟合。本文最后针对中国股市的现存问题，借鉴成熟股市的经验，提出了加快发展中国股市的政策建议。 关键词：上证综合指数；ARCH效应；ARCH；GARCH模型；波动性

目录 摘要 (1) 一、引言 (3) 二、文献综述 (3) 三、中国股市波动特征 (4) 四、ARCH类模型概述 (5) （一）ARCH模型 (5) （二）GARCH模型 (6) 五、上海股市收益率的ARCH效应检验 (7) （一）数据来源和处理 (7) （二）上证综合指数日对数收益率序列t r的统计性描述 (7) （三）上证综合指数收益率序列t r的平稳性性检验——ADF单位根检验 (9) （四）上证综合指数收益率序列t r的相关性检验 (10) （五）均值方程的确定及残差序列自相关检验 (10) （六）异方差性检验 (11) 六、建立GARCH类模型 (13) （一）模型阶数的确定 (13) （二）对所建立的模型进行残差ARCH效应检验 (15) （三）建立GARCH(1，1)模型 (16) 七、实证结论分析 (16) 参考文献 (17)

对数正态分布

機率密度函數 μ=0 累積分布函數 μ=0

概率密度函数 累積分布函數 is asymptotically divergent but sufficient for numerical purposes

因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。对于，对数正态分布的概率分布函数为 其中与分别是变量对数的平均值与標準差。它的期望值是 给定期望值与标准差，也可以用这个关系求与 目录 [隐藏] ? 1 与几何平均值和几何标准差的关系 ? 2 矩 ? 3 局部期望 ? 4 参数的最大似然估计 ? 5 相关分布 ? 6 进一步的阅读资料 ?7 参考文献 ?8 参见

对数正态分布、几何平均数与几何标准差是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于，几何平均差等于。 如果采样数据来自于对数正态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置 其中几何平均数，几何标准差 或者更为一般的矩

[编辑]局部期望 随机变量在阈值上的局部期望定义为 其中是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为 其中是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用。 其中用表示对数正态分布的概率密度函数，用—表示正态分布。 因此，用与正态分布同样的指数，我们可以得到对数最大似然函数： 由于第一项相对于μ与σ来说是常数，两个对数最大似然函数与在 同样的μ与σ处有最大值。因此，根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程，我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计

对数正态分布

对数正态分布 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑

機率密度函數 μ=0累積分布函數 μ=0

is asymptotically divergent but sufficient for numerical purposes 在概率论与统计学中，对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果 X 是正态分布的随机变量，则 exp(X> 为对数分布；同样，如果 Y 是对数正态分布，则 ln(Y> 为正态分布。如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。对于，对数正态分布的概率分布函数为b5E2RGbCAP 其中与分别是变量对数的平均值与標準差。它的期望值是

方差为 给定期望值与标准差，也可以用这个关系求与 目录 [隐藏] ? 1 与几何平均值和几何标准差的关系 ? 2 矩 ? 3 局部期望 ? 4 参数的最大似然估计 ? 5 相关分布 ? 6 进一步的阅读资料 ?7 参考文献 ?8 参见 [编辑] 与几何平均值和几何标准差的关系 对数正态分布、几何平均数与几何标准差是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于，几何平均差等于。 如果采样数据来自于对数正态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。p1EanqFDPw

其中几何平均数，几何标准差[编辑] 矩 原始矩为： 或者更为一般的矩 [编辑] 局部期望 随机变量在阈值上的局部期望定义为