直接证明和间接证明(4个课时)教案
2．2直接证明与间接证明
教学目标：
（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；
（2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式；
（3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；
（4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议：
1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用）
2．重点、难点分析
重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；
难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；
②综合性问题证明方法的选择．
（1）不等式证明的意义
不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．
（2）比较法证明不等式的分析
①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．
②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．
由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法．
由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件．
③求差比较法的基本步骤是：“作差→变形→断号”．
其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．
变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.
④作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（3）综合法证明不等式的分析
①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．
②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式．
③综合法证明不等式的逻辑关系是：
（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）（4）分析法证明不等式的分析
①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据．
②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．
③用分析法证明不等式的逻辑关系是：
（已知）<==（逐步推演不等式成立的必要条件）<==（结论）
④分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用.
（5）关于分析法与综合法关系
①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．
②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，逐步地推导，最后达到题设的已知条件．即推理方向是：结论
已知.
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知结论．
③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．
综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件．
④一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写比较麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．
第一课时不等式的证明（比较法）
教学目标
1．掌握证明不等式的方法——比较法；
2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤．
教学重点:比较法的意义和基本步骤.
教学难点:常见的变形技巧.
教学方法；启发引导法.
教学过程：
（－）导入新课
教师提问：根据前一节学过（不等式的性质）的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数与
的大小？
找学生回答问题．
精品文档（学生回答：，
，，）
［点评］要比较两个实数与
的大小，只要考察
与的
差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法．现在我们就来学习：用比较法证明不等式．
目的：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识．
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
作差比较法
[问题] 求证
教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．
学生研究证明不等式，尝试完成问题．
［本问点评］
①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过．
②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．
精品文档③理论依据是：
④由，
，知：要证明
只需证
；需证明
这种证明不等式的方法通常叫做比较法．
目的：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．
【例题示范，学会应用】
教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．
例1．求证
［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得
，将此式看作关于
的二次函数，由配方法易知函数的最小值大
干零，从而使问题获证．
证明：∵
＝
＝，
∴．
［本例点评］
①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号;
②作差后，式子符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定;
③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断;
④例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．
精品文档例2 .已知都是正数，并且
，求证：
精品文档［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．证明：
＝
精品文档＝．
因为都是正数，且
，
精品文档所以．
∴．
即：
[本例点评]
①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号;
②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法;
3322
3 ,,,a b a b a b a b ab ≠+>+例、已知都是实数且求证33223223:()()()()a b a b ab a a b ab b +-+=---证明
2222()()()()a a b b a b a b a b =---=--2()()a b a b =+-
,0,0a b a b >∴+>Q 2()0a b a b ≠∴->Q 又 23322()()0()()0a b a b a b a b ab +->+-+>故即
3322a b a b ab ∴+>+
[本例点评]
①作差后是通过分组，提取公因式对差式进行恒等变形，化成n 个括号相乘的形式，从而推出差的符号;
②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——分组，提取公因式法;
求商比较法：
1 ,,,,.
a b b a a b a b a b a b ≥=例已知是正数求证当且仅当时等号成立:a b
a b a b b a b a a b a a b a b b ---??== ?
??
证明
(,,)0,1,0,1
,.
a b
a b a a a b a b b b a b -??≥>≥-≥∴≥ ?
??=根据要证的不等式的特点交换的位置不等式不变不妨设则当且仅当时等号成立,,.a b b a a b a b a b ∴≥=当且仅当时等号成立
小结：作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（最后是与1比较）
(三)课堂练习
教师指定练习题，要求学生独立思考．完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题．
练习：1．求证