解一元二次不等式的步骤和方法
解一元二次不等式的步骤和方法？
最一般的方法是用求根公式。
设f(x)=ax^2+bx+c，且a>0，用求根公式求出它的两个根m与n,设m
f(x)<0的解是：m 如果f(x)的两个根相等，都是p，则 不等式f(x)>0的解是：x≠p；f(x)>=0的解是一切实数； f(x)<0无解；f(x)<=0的解是：x=p。 如果f(x)没有实数根，则 不等式f(x)>0的解是一切实数；f(x)>=0的解是一切实数； f(x)<0无解；f(x)<=0无解。 2.3.2 一元二次不等式解法 二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知 当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x2－x＝6＝0； 当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x2－x－6＞0； 当－2＜x＜3时，y＜0，即x2－x－6＜0． 这就是说，如果抛物线y= x2－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么一元二次方程 x2－x－6＝0 的解就是 x1＝－2，x2＝3； 同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到 一元二次不等式 x2－x－6＞0 的解是 x＜－2，或x＞3； 一元二次不等式 x2－x－6＜0 的解是 －2＜x＜3． 上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集． 那么，怎样解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？ 我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． 为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解． 我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解． （1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知 不等式ax2＋bx＋c＞0的解为 x＜x1，或x＞x2； 不等式ax2＋bx＋c＜0的解为 x1＜x＜x2． （2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c ＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－b 2a，由图2.3－2②可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为 x≠－b 2a； 不等式ax2＋bx＋c＜0无解． 如何解一元二次不等式，例如：x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解：对于高中“解一元二次不等式”这一块， 通常有以下两种解决办法： ①运用“分类讨论”解题思想； ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①：原不等式可化为： (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零， 等价于以下两个不等式组： （1）x -- 4 ≥ 0 或（2）x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”） 解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”） ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法②：原不等式可化为： [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方， 那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解， 如本题，用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为：(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会：以上三种解法，都是死板板地去解； 至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和(4，0)， 显然，当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时， 图像在x 轴的上方； 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，x2 -- 2x -- 8 ≥ 0， 即：不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方，即：x2 -- 2x -- 8 ≤ 0，∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为：[ -- 2，4 ]。 领悟：对于ax2 + bx + c ＞0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”； 对于ax2 + bx + c ＜0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 ＞0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得：(x + 1)2 + 2 ＞0。 无论x 取任何实数，(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑， ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0， ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 ＞0的解集为x ∈R。 一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 （创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价） 【课前准备】 教具：“几何画板”及PPT课件. 粉笔：用于板书示范. 一元二次不等式的解法（一） 学习目标： 1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； 2．掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。 3．培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力 知识点一：一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式。比如： . 任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：)0(02>>++a c bx ax 或 )0(02><++a c bx ax . 知识点二：一般的一元二次不等式的解法 （ （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程)0(02 >=++a c bx ax ，计算判别式?; ①0>?时，求出两根21x x 、，且21x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0=?时，求根a b x x 221-==； ③0--x x ； （3）0652 >--x x （4）0442 >+-x x ； （5）0542 >-+-x x ； （6）23262x x x -++<- 举一反三： 【变式1】解下列不等式 （1）02322 >--x x ； （2）02232 >+--x x （3）01442 ≤+-x x ； （4）0322 >-+-x x . （5）()()() 221332x x x +->+ 【变式2】解不等式：（1）6662<--≤-x x （2）18342 <-≤x x 类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数 例2 不等式02 <-+n mx x 的解集为)5,4(∈x ，求关于x 的不等式012 >-+mx nx 的解集 举一反三： 【变式1】不等式0122 >++bx ax 的解集为{} 23<<-x x ，则a =_______, b =________ 【变式2】已知关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为)2,1(，求关于x 的不等式0 12 >++ax bx 的解集. 类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题 例3 已知关于x 的不等式03)1(4)54(2 2 >+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。 举一反三： 【变式1】 若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为空集，求m 的取值范围. 【变式2】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解为一切实数，求m 的取值范围. 【变式3】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为非空集，求m 的取值范围. 一元二次方程练习题 1. 解下列方程：（1）2(1) 9x -=； （2）2(21)3x +=； （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 2. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21) 180y -=； （2）21(31)644x +=； （3）26(2) 1x +=； （4）2()(00)ax c b b a -=≠，≥ 3. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2．（2）223x x -+（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 4. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；2x px -+ ＝(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 5. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= 6. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 7. 用适当的方法解方程（1）23(1) 12x +=； （2）2410y y ++=； （3）2884x x -=； （4）2310y y ++=． （5） ()9322=-x ； （6）162=-x x ； 一元二次不等式 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2 0(0)ax bx c a ++=>之间判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0a ）的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 一、解下列一元二次不等式： 1、0652>++x x 2、0652≤--x x 3、01272<++x x 一元二次不等式解法一、知识梳理 1．“三个二次”的关系 2.常用结论 (x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法 口诀：大于取两边，小于取中间． 二、例题讲解 题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参的不等式 例1 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集． 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝3 2 ， ∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(3 2，＋∞)， 即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3 2，＋∞)． 命题点2 含参不等式 例2 解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 解 由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0得(x －a )(x －1)＝0， ∴x 1＝a ，x 2＝1， ①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1 解得x <1 a 或x >1. 若a >0，原不等式等价于(x －1 a )(x －1)<0. ①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1 a )(x －1)<0无解； ②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1 a 知识点一：一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：. 任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或 . 知识点二：一般的一元二次不等式的解法 设一元二次方程的两根为且，，则相应的不等式的解集的各种情况如下表： 注意： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式 与的解集。 知识点三：解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的过程规律方法指导 1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法； 3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系； 5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数 二次函数（）的图象 经典例题透析 类型一：解一元二次不等式 1．解下列一元二次不等式 （1）；（2）；（3） 思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当 且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三： 【变式1】解下列不等式 (1) ；(2) (3) ；(4) . 【变式2】解不等式： 类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数 2．不等式的解集为，求关于的不等式的解集。 解不等式（11.01） 知识点 1、 一元二次不等式的解 步骤：1、把二次项系数化为正数 2、用?判断方程的解 分式不等式转化成正式不等式 0)()(0) ()(>?>x g x f x g x f ，0)(0)()(0) ()(>>?≥x f x g x f x g x f 或 相关练习 1、 元二次方程的解，（1）十字相乘法；（2）求根公式；（3）配方求解 （1）0822=-+x x （2）0232=+-x x （3） 962+-=x x y （4）07422=++x x （5）03422=--x x （6）0432=-+x x （7）07422 =++x x 2、 一元二次函数图象性质 （1）822-+=x x y （2）962+-=x x y （3）7422++=x x y 开口： 对称轴： 顶点坐标 大致图象 最值： 单调区间： 增 减 在给定区间上的最值 （１） 822-+=x x y ；[]2,4--∈x （２） 822-+=x x y ；[]4,2∈x （３）822-+=x x y ；[]5,2-∈x 3、相应一元二次不等式的解（对于方程有两解的情况：大于取两边；小于取中间） （1）0822>-+x x ；0822≥-+x x ；0822<-+x x ；0822 ≤-+x x ； （2）0232>-+-x x ；0232≥-+-x x ；0232<-+-x x ；0232≤-+-x x ； （3）0962>+-x x ；0962≥+-x x ；0962<+-x x ；0962≤+-x x 沁园春·雪 <毛泽东> 北国风光，千里冰封，万里雪飘。 望长城内外，惟余莽莽； 大河上下，顿失滔滔。 山舞银蛇，原驰蜡象， 欲与天公试比高。 须晴日，看红装素裹，分外妖娆。 江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。 哈对青一中高中（数学）学科新授课学案课题一元二次不等式的解法 三维目标知识与技能：知道一元二次不等式的概念 2会利用图像求一元二次不等式（a＞0）的解集 3会求一元二次不等式（a＞0）的解集 过程与方法：培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 情感态度与价值观：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。 重点1会求一元二次不等式的解集 2会利用图像表示一元二次不等式的解集难点会求一元二次不等式的解集 知识滚动1．若A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|x－3<0}，则A∩B＝() A．(－1，＋∞) B．(－∞，3) C．(－1,3) D．(1,3) 2．设a，b∈R集合{a,1}＝{0，a＋b}，则b－a＝() A．1 B．－1 C．2 D．－2 新课导学一、复习导入 6 2- - =x x y学生思考括号内的形式： ①当x取何值时，0 = y即0 6 2= - -x x（此形式为一元二次方程） ②当x取何值时，0 > y即0 6 2> - -x x（此形式为一元二次不等式） ③当x取何值时，0 < y即0 6 2< - -x x（此形式为一元二次不等式） 二、新课探究 1、引导学生解0 = y即0 6 2= - -x x一元二次方程的解，并注意图形的位置关系 = ?（符号表示）= 一元二次方程有实数根，即与x轴有 两个交点的图形 解：①解方程： 3、一般形式：)0 ( 2> > + +a c bx ax或)0 ( 2> < + +a c bx ax （1）当= ?时，与x轴有一个交点（） )0 ( 2> > + +a c bx ax解集： )0 ( 2> < + +a c bx ax解集： （2）当= ?时，与x轴有两个交点（），（） )0 ( 2> > + +a c bx ax解集： )0 ( 2> < + +a c bx ax解集： （3）当= ?时，与x轴有个交点 )0 ( 2> > + +a c bx ax解集： )0 ( 2> < + +a c bx ax解集： 例1、解不等式0 2 3 22> - -x x 思考：①不等式的解0 2 3 22< - -x x呢？②不等式2 3 22< -x x的解呢？ 升 级 训 练 1 .若集合{}0 |2≤ =x x A，则下列结论中正确的是（） A、A=0 B、0A ?C、? = A D、A ?? 2．已知集合{}{} 26160,|()(2)0, M x x x N x x k x k =+->=---≤若M N=?， 则实数k的取值范围是（） A 0 8> - 《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 （1）2 50x x -<； （2）2 440x x -+>； （3）2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： （1）方法一： 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为：10x =，25x = 函数25y x x =-的简图为： 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二：2 50(5)0x x x x -???-? 解得05x x >?? ?，即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一： 因为0?=， 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为： 所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2 (2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一： 原不等式整理得2 450x x -+<. 因为0?<，方程2 450x x -+=无实数解， 函数245y x x =-+的简图为： 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当0?≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0?>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三： 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->；(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤； (4) 2 230x x -+->. 【答案】 （1）方法一： 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为：11 2 x =-，22x = 函数2 232y x x =--的简图为： 因而不等式2 2320x x -->的解集是：1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二：∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->（, ∴ 原不等式的解集是：1 {|2}2 x x x <->或. （2）整理，原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =， 个性化教案 授课时间：备课时间： 年级：课时： 课题： 学员姓名：授课老师：教学 目标 掌握一元二次不等式，高次不等式和分式不等式的解法。 教学难点 正确理解二次方程、二次不等式和二次函数三者的关系，通过二次函数函数图象研究对应不等式解集的方法。 教学内容复习引入： 1.画出一次函数7 2- =x y的图象，并从图像上观察得到： （1）当x为何值时，y=0？ (2)当x为何值时，y>0？ (3)当x为何值时，y<0？ 从该题中引出以下三者之间的密切联系 2.画出二次函数6 2- - =x x y的图像，函数图像与x 轴的位置关系，并从图像上观察得到： （1）当x为何值时，y=0？(2)当x为何值时，y>0？ (3)当x为何值时，y<0？ 方程的根不等式的解集 函数的零 若一般形式二次函数：)0(2>++=a c bx ax y 对应不等式又如何求解呢？ 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(0 2>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ? ?????-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 思考：不等式0)4)(2(>--x x 的解集是 ； 如果二次项系数为负数时，先做等价转化，把二次项系数化为正数，再利用函数图象求解。 归纳：解一元二次不等式的基本步骤： （1）化为一般式：，且二次项系数化为正数；（整理化正） （2）判断对应方程是否有实根，如有实根则求出根；（判断求根） （3）根据对应的二次函数的大致图象以及不等号的方向，写出不等式的解集；（大于取两边，小于取中间） （若a b ，则0))((>--b x a x <==> ，0))((<--b x a x <==> ） 例：利用数形结合思想写出下列不等式的解集： 1）02632 <+-x x 2）01442 >+-x x 3）0322 >-+-x x 专题一元二次不等式及其解法教学反思一元二次不等式及其解法的复习重点是1：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2：一元二次不等式及其解法。由于是复习课，根据我们学生的实际情况，我是这样安排复习的：一、我先给学生展示高考考纲及考情，再检测学生对一元二次不等式的概念及“三个二次”之间关系的理解，引导学生梳理相关知识点。这一环节反映出学生基础知识掌握的比较熟悉。（五六分钟）二、为了检测学生对本节知识的应用情况，我要求学生完成，有三位学生主动板演，让其他学生批改，在引导学生一元二次元二次不等式的方法步骤，以次调动学生的学习积极性，也体现了先学后讲的课堂模式。这一环节只有一位没有完整的写出解题过程，后来有地四个同学补充完成。总体来说学生完成的还可以（大约12多分钟）。三、为了让学生明确本节知识在高考中的考察形式及出题难度，我选了两个热点题，启发引导学生对问题的分析及其解答。从学生分析问题的思维过程反映出一部分学生能较熟练地运用知识，而剩下的学生对基础知识的理解不到位对知识逆用不熟悉，思考问题的角度单一，思维方法不灵活。另外运算能力还有待提高。还有由于时间关系，没能检查学生完成资料课时作业的对应联系。（大约15分钟） 通过本节课，有几个方面以后上课必须要注意： 1、教学内容安排要合理。每一节的教学内容要适合学生的实际情况，不能好多，也不太少了。 2、课堂突发情况的调控能力还要提高。 3、调动学生学习积极性还需要学习更多好的方法。 4、有效课堂必须是完整的课堂，无论是课前复习，新课导学，典型例题、当堂练习、学习小结还是当堂检测都应该完整完成。今后的课堂一定要向着这个目标努力。 5、在今后的复习中要进一步提高学生的数学运算能力。培养学生良好的思维能力，注重培养学生的发散思维。 归纳与技巧：一元二次不等式及其解法 基础知识归纳 一元二次不等式的解集 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根与一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0的解集的关系，可归纳为： 若a <0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解． 基础题必做 1．(教材习题改编)不等式x (1－2x )＞0的解集是( ) A.? ???－∞，1 2 B.????0，1 2 C ．(－∞，0)∪????1 2，＋∞ D.??? ?1 2，＋∞ 答案：B 2．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ) A.? ????? x ?? x ≠－13 B.? ??? ??－13 C.? ????? x ?? －13≤x ≤13 D ．R 答案：B 3． 若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：选C 由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0，即m 2－4＞0，解得m ＜－2或m ＞2. 4． 已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝________. 解析：因为|x ＋2|<3，即－5 解一元二次方程及不等式的解法精编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】 适用能因式分解的方程 解一元二次方程 解法一元二次方程：因式分解法；公式法 因式分解：将方程左边因式分解；方法：一提，二套，三十字，四分组 由A?B=0，则A=0或B=0，解两个一元一次方程 2、公式法 将方程化为一般式 写出a 、b 、c 求出ac b 42-，若＜0，则无实数解 若＞0，则代入公式求解 1、)4(5)4(2+=+x x 2、x x 4)1(2=+ 3、22)21()3(x x -=+ 4、31022=-x x 5、（x+5）2=16 6、2（2x －1）－x （1－2x ）=0 7、x 2=648、5x 2-5 2=09、8（3-x ）2–72=0 10、3x(x+2)=5(x+2)11、（1－3y ）2+2（3y －1）=012、x 2+2x+3=0 13、x 2+6x －5=014、x 2－4x+3=015、x 2－2x －1=0 16、2x 2+3x+1=017、3x 2+2x －1=018、5x 2－3x+2=0 19、7x 2－4x －3=020、-x 2-x+12=021、x 2－6x+9=0 22、22(32)(23)x x -=-23、x 2-2x-4=024、x 2-3=4x 25、3x 2＋8x －3＝026、(3x ＋2)(x ＋3)＝x ＋14 27、(x+1)(x+8)=-1228、2(x －3)2＝x 2－9 29、－3x 2＋22x －24＝030、（2x-1）2+3（2x-1）+2=0 31、2x 2－9x ＋8＝032、3（x-5）2=x(5-x) 33、(x ＋2)2＝8x 34、(x －2)2＝(2x ＋3)2 35、2720x x +=36、24410t t -+= 37、()()24330x x x -+-=38、2631350x x -+= 39、()2231210x --=40、2223650x x -+= 41、()()2116x x ---=42、()()323212x x -+=44、22510x x +-= 45、46、21302 x x ++=、 二．利用因式分解法解下列方程 一元二次不等式及其编稿：张希勇 审稿：李霞 【学习目标】 1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想； 2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系； 3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题. 【要点梳理】 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：250xx ??.一元二次不等式的一般形式：20axbxc ???(0)a ?或20axbxc ???(0)a ?. 设一元二次方程20(0)axbxca ????的两根为12xx 、且12xx ?，则不等式20axbxc ???的解集为??21xxxxx ??或，不等式20axbxc ???的解集为??21xxxx ?? 要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ?成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程20(0)axbxca ????的两根为12xx 、且12xx ?，设ac b42???，它的解按照0??，0??，0??可分三种情况，相应地，二次函数2yaxbxc ???(0)a ?的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20axbxc ???(0)a ?或20axbxc ???(0)a ?的解集. 要点诠释： （1）一元二次方程20(0)axbxca????的两根12xx、是相应的不等式的解集的端点的 取值，是抛物线?y cbxax??2与x轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分0,0,0??????三种情况，得到一元二次不等式20axbxc???与20axbxc ???的解集. 要点三、解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20axbxc???(0)a?，计算判别式?： ①0??时，求出两根12xx、，且12xx?（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0??时，求根abxx221???； ③0??时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程 一元二次不等式解法 【基础知识精讲】 1.一元二次不等式 (1)一元二次不等式经过变形，可以化成如下标准形式： ①ax2+bx+c＞0(a＞0);②ax2+bx+c＜0(a＞0). 2.一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集对比表 3.一元n次不等式 (x-a1)(x-a2)…(x-a n)＞0, (x-a1)(x-a2)…(x-a n)＜0， 其中a1＜a2＜…＜a n. 把a1,a2,…a n按大小顺序标在数轴上，则不等式的解的区间如图所示： 4.分式不等式 (,b j互不相等) 把a1,a2,…a n和b1,b2，…，b m按照从小到大的顺序标在数轴上，该分式不等式的解的区间的情况与(3)中所述类似，分n+m为奇数或偶数在数轴上表示. 综合可知，一元二次不等式的解法充分运用了“函数与方程”，“数形结合”及“化归”的数学思想，一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值为零时对应的x值，一元二次不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于零或小于零时x的取值范围，因此解一元二次方程ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0一般要画与之对应的二次函数y=ax2+bx+c的图像. 【重点难点解析】 本小节重点是一元二次不等式的解法，难点是一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系及运用一元二次不等式解决某些应用问题。 例1解下列关于x的不等式： (1)2x+3-x2＞0; (2)x(x+2)-1≥x(3-x); (3)x2-2x+3＞0; (4)x2+6(x+3)＞3; 分析解一元二次不等式一般步骤是：①化为标准形式；②确定判别式△=b2-4ac的符号；③若△≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若△＜0，则对应二次方程无根；④联系二次函数的图像得出不等式的解集. 第一节一元二次不等式及其解法 (见学生用书第1页) 3．简单的分式不等式 (1)f （x ）g （x ）＞0?f (x )·g (x )＞0； (2)f （x ）g （x ） ≤0?f (x )·g (x )≤0且g (x )≠0． ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的条件是什么？ 【提示】 a >0且b 2－4ac <0. 1．(人教A 版教材习题改编)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( ) A ．(－1 2 ，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1 2 )∪(1，＋∞) 【解析】 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0， ∴x ＞1或x ＜－1 2 . 故原不等式的解集为(－∞，－1 2 )∪(1，＋∞)． 【答案】 D 2．不等式x －1 2x ＋1≤0的解集为( ) A ．(－12，1] B ．{x |x ≥1或x ＜－1 2} C ．[－12，1] D ．{x |x ≥1或x ≤－12} 【解析】 原不等式等价于 (x －1)(2x ＋1)＜0或x －1＝0. ∴原不等式的解集为(－1 2 ，1]． 【答案】 A 3．(2012·福建高考)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 2－4×2a <0，∴0 《图象法解一元二次不等式》教学设计 肥城市职业教育中心校 一、教学目标 a. 知识目标。使学生掌握三种类型的一元二次不等式的图解法，并理解掌握这种解法的理论依据。 b. 能力目标。通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质。 c. 德育目标。通过图象法，教师有意识地向学生渗透抽象与具体、联系与转化、特殊与一般、个性与共性等辩证唯物主义的观点和方法，并注意通过设问、追问、反问、讨论、分组竞赛等主动参与教学的活动，培养学生的自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、竞争意识和集体主义精神。 二、重点难点 a. 教学重点是三种类型的一元二次不等式图象解法。 b. 教学难点是二次不等式、二次方程和二次函数三者关系的有机联系。数形结合和分类转化等数学思想的理解和运用。 三、教学方法及策略 a. 自主合作式教学模式 b. 微课教学手段 四、教学用具 电教多媒体 五、教学过程： 1、复习引入，展示目标 我们在前一节学习了一元二次函数的图象和性质，你能求出一元二次函数y=x2-x-2与x轴的交点吗？ 启发诱导学生x轴上的点的特点是y坐标为零，于是令y=0,即x2-x-2=0求得交点坐标为P1（-1，0），P2（2，0），从而得出结论： 一元二次函数与x轴的交点坐标的横坐标就是其对应的一元二次方程的根——有两个不相等的实数根则有两个不同的交点，有两个相等的实数根则有一个交点，没有实数根则没有交点。 这是揭示二次函数、二次方程和二次不等式三者关系的关键，是突破本课难点的重要环节。 启发学生二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向由二次项系数决定，鼓励学生自已动手画出草图。（然后由多媒体展示出电脑所画出的标准图形，让学生观察和比较） y>o的点吗？ 诱导学生纵坐标取正值的点位于x轴的上方，取负值的点位于x轴的下方，从而得出正确答案。（这时用多媒体动画展示结果） 纵坐标y>0的那些点所对应的横坐标x取哪些数呢？ 或x>2, 即或x>2 接着，以同样的方法引导学生找出y<0的点所对应的x的取值范围。 (这时，用多媒体动画展示出x的取值范围)初中数学 一元二次不等式解法
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