群论与化学
● 对称性与分子性质 1.偶极距
r q
=μ
r 为正负电中心距离 有反演中心 无偶极距——分子所在方向都对称 有四重反轴
两对称元素相交于唯一点
结论：只有属于n C 和nv C （包括s C ）这两类分子具有偶极距，其他分子的偶极距为0. 2.旋光性
有反演中心 无旋光性——非手性 有四重反轴 有镜面
注：不具有以上三种的，则可能有旋光性，即理论上有，但实验可能无法测出
● 群论与原子轨道 1.原理——原子轨道变换性质 在组成分子后，各个原子轨道
xz yz xy y x z z y x d d d d d p p p s ,,,,,,,,222-仍然是分子所
属点群不可约表示的基。
对一个原子进行对称操作的的薛定谔方程描述： ()ψ
=ψ∧
R D R
其中，∧
R 是对称操作，ψ
是原子波函数，()R D 是变换矩阵
变换矩阵的对角线之和，就是给定操作∧
R 的特征标χ。 2.以v 2C 点群为例（如O H 2）：
在v 2C 点群的所有对称操作下，分子的中心原子始终处于原来的位置，故取中心
原子为坐标原点。 对于s 轨道
s 轨道呈球形对称，所以无论进行何种操作，s 轨道都不变，所以得到()1=R χ的全对称表示，属于1A 类对称性。 对于p 轨道 中心原子的z
y x p p p ,,
轨道波函数如下：
()()
r
x r f r f x p ==ψθcos
()()r
y r f r f p ==ψ?θsin sin y ()()
r
z r f r f z p ==ψ?θcos sin
其中()r f 是函数的径向部分，仅取决于r ，在对称操作中不发生改变，则由上述式子可见，函数z
y x p p p ,
,的变换与函数z y x ,,的变换完全相同，因此这两
类函数所属的不可约表示也相同。故可以用z
y x ,,的不可约表示分别代替
z
y x p p p ,,的不可约表示。查特征标表中基函数为z y x ,,一栏，对应的对称性为2
11B B A ，，，所以x p 轨道属于1A ，y p 轨道属于1B ，z p 轨道属于2B 。
对于d 轨道采取同样方法。将所得结果列如下：
原子轨道在v 2C 点群中的对称性表
原子轨道所属对称性
原子轨道
1A 2
22,,y x z z d d p -
2
A xy d 1
B xz d 2
B
yz
d
群论与杂化轨道
n AB 型分子的σ杂化轨道
杂化轨道是中心原子的原子轨道以一定的线性组合形式组成，具有一定方向性，因为杂化轨道与分子中配位原子的位置有关(与分子的形状有关---与分子的对称性有关)。所以利用群论的方法很容易从分子的对称性群确定杂化轨道的组成。
步骤：
①由分于的几何构型确定点群类型。
②找出该点群的对称操作并分类（查特征标表）。
③求各对称操作的作用下，不动的化学键数，作为可约表示特征标。
④利用约化公式计算不可约表示在可约表示中出现的次数。
⑤通过查特征标表的对应的基函数，判断杂化轨道。
群论与分子轨道
1.分子轨道形成条件
（1）能量相近条件
（2）对称性匹配条件
（3）原子轨道的最大重叠条件
（1）能量相近条件
只有能量相近的原子轨道才能有效地组合成分子轨道。为此，在分子轨道符号中可用下标注明对应的原子轨道的名称
（2）对称性匹配条件
只有属于分子对称点群同一不可约表示的中心原子轨道和配体轨道才能组成分子轨道，故先要求出中心原子的各轨道所属的不可约表示及配体轨道所属不可约表示，才能定性地构成对应的分子轨道。
（3）原子轨道的最大重叠条件
要求组成分子轨道的各个原子轨道尽可能多地重叠。根据原子轨道相互重叠的程度大小，可以将分子轨道分为 分子轨道与π分子轨道。
2.多原子分子的分子轨道
利用群论求解步骤：
中心原子轨道
（1）将原子轨道分为
端原子轨道
分子轨道波函数为两类原子轨道波函数的线性组合。
（2）根据可能成键方式确定基函数
（3）由分子的几何构型确定点群类型
（4）找出该点群的对称操作并分类（查特征标表）
（5）分别求各对称操作下，不动的化学键数，以确定可约表示特征标
（6）利用约化公式计算，求各不可约表示在可约表示中出现的次数，从而得到端原子的群轨道
（7）能量相近（符号同）的群轨道组合为成键与反键轨道，否则构成非键轨（8）按能量最低原则排入分子轨道，得分子轨道电子排布式
群论试题(样题2007 至 2008)
（ 2007 至 2008 学年 第1学期 ） 一、证明二个矩阵010,100i i ???? ? ?-???? 按其所有可能的乘积和幂次得到的集合构成群。列出此群的乘法表， 指出此群的阶数，各元素的阶数。群所包括的各个类及不变子群，写出不变子群的商群。指出商群和什么群同构。 二、对P 型非固有点群nv C 群来说，它是n C σ 且通过n C 轴，且,k v n G C G σ∈∈，此处σ是镜面。现考 虑2v C 群 （1） 写出它的所有群元，所有类； （2） 求出它的所有不等价不可约表示及其特征标； （3） 以(),,xy xz yz 为基，求2v C 的表示，并判断所得表示是否可约。若可约，请约化之。
对3D 群，导出直积E E 的对称与反对称直积部分，并计算对称与反对称直积部分的特征标。 三、证明 （1） SU(2)群和SO(3)群之间具有二对一的同态关系； （2） *SO(3)群中具有相同转角的元素属于同一类，并由此求出SO(3)不可约表示的特征标。
四、试求旋量场(S=1/2)的在SO(3)群作用下的变换算符()12 P R ，并用欧拉角表示出来。 五、 （1） 用{}t α 代表具有转动和平移的空间操作，即{}r t r r t αα'==+ 。证明这样的操作构成群 （空间群）； （2） 证明平移群是空间群的不变子群； （3） 求平移群的不可约表示及其特征标。
六、*线性变换cos sin sin cos x x y a y x y b θθθθ'=-+??'=++?构成群，a 、b 和θ是群参数。它把(),,1T x y 变成(),,1T x y ''的变换矩阵是cos sin sin cos 001a b θθθ θ-?? ? ? ?? ? 。试求该群的无穷小生成元，并计算所求生成元之间的对易关系。 七、（附加）设()220?2H eU r m =-?- ，()U r 是球对称的势。若微扰势1?U eU '=-，U '具有3D 对称性。讨论此微扰势对0 ?H 的本征态中1l =的能级简并度的影响，并证明你的结论。
基础量子化学练习定稿版
基础量子化学练习精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
2010基础量子化学练习（1） 一、 判断正误 （ ）1、 一个态函数总是等于时间的函数乘以坐标的函数。 （ ）2、 态函数总是Hamiltonian 算符的本征函数。 （ ）3、 Hamiltonian 算符的本征函数的任意线性组合是Hamiltonian 算符的本征函 数。 （ ）4、 如果态函数不是算符?A 的本征函数，则性质A 的一次测量可给出一个不是?A 的本征值的值。 （ ）5、 几率密度与时间无关。 （ ）6、 如果两个算符具有共同的本征函数，那么这两个算符可对易。 （ ）7、 算符?x 与d i dx -可对易。 （ ）8、 氢原子Hamiltonian 算符的束缚态的本征函数构成完备集。 （ ）9、 厄米算符的本征函数是正交的。 （ ）10、 描述电子轨道运动的波函数必须是奇函数。 二、已知：2???,A d dx B x ==，计算2????,()A B A B ??+?? 及 三、已知：11223344 ????,,,,A a A b A a A d ????????====如果任意状态可以表示为12343253,ψ????=+++那么当我们对该状态进行测量时，获得a 和d 的几率各是多少？求任意状态 的性质A 的平均值。
2010基础量子化学练习（2） 一、 判断正误 （ ）11、 算符???,,A B C 满足????,0,,0 A B A C ????==????，则三个算符存在共同的本征函数集。 （ ）12、 不能对易的算符不可能具有共同的本征函数。 （ ）13、 当对本征态的性质A 进行测量时，能够得到的唯一仅有的值是算符?A 的本征值。 （ ）14、 如果一个算符的平方等于单位算符，那么这个算符的本征值等于＋1或者－1。 （ ）15、 所有品优的奇函数和偶函数都是宇称算符的本征函数。 （ ）16、 满足[]1212 ???()()()()A c f x c g x c Af x c Ag x +=+的算符称为线性算符。 （ ）17、 所有的量子力学算符都可以通过经典力学中对应的关系式，并代入动量和坐标 的量子力学算符而获得。 （ ）18、 一维势箱中，由于箱壁上势能的无限跳跃，粒子的波函数在箱壁上是不连续 的。 （ ）19、 氢原子的波函数以及自由粒子的波函数不是平方可积的。 二、边长分别为a 、b 、c 的三维势箱，当三个量子数取值分别是1、2、3时，能量的简并 度为 ，如果三个量子数分别为2、2、3，则能量的简并度是 ； 若势箱边长分别为a 、2a 、a ，当三个量子数取值分别是1、2、1时，能量的简并度 为 ，如果三个量子数分别为4、2、4，则能量的简并度是 。
近世代数期末考试试卷与答案
一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则 G 的子集（）是子群。 A、a B、 a , e 33 C、 e, a D、 e, a , a 2、下面的代数系统（ G， * ）中，（）不是群 A、G为整数集合， * 为加法 B、G为偶数集合， * 为加法 C、G为有理数集合， * 为加法 D、G为有理数集合， * 为乘法 3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设 1 、 2 、 3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13），2 =（24）（14），3=（ 1324），则3=（） A、2 B 、12 D 、2 1 12C 、2 5、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正 确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环。 4 3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a的阶等于 ------。 4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与-------同构。 5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么 A∩B=----- 。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。 7 、叫做域F的一个代数元，如果存在F的----- a 0 , a1 , , a n使得 n a 0 a 1 a n0 。
群论试题
群论试题 一、名词解释：（5’*6） 1、群：有限或无限个数学对象（称为元或元素）A 、B 、C …..的集合{}.......C B A 、、，其中有一个与次序有关的运算方法（称为群乘），能从集合中任意两个元A 、B 得出确定的元C （记为AB=C ），若满足下面四个条件，则这一集合称为群，用G 表示，集合中的元素称为群元。 （1）封闭性：集合中任意两个元的乘积（包括自身相乘）都在此集合之内； （2）结合律成立：A(BC)=(AB)C ； （3）单位元存在：集合中存在单位元E ，使集合中的任意元A 有 EA=AE=A ； （4）集合中每一元A 有逆元A -1存在，满足A -1A=A A -1=E 以上就是群的定义。 2、子群：群G 中的一些元的集合S ，若在相同的群定义下又构成群，则S 称作群G 的子群。 3、正规表示：把群元空间作为表示空间，群元本身作为此空间的变换算符。于是算符（群元）作用在这个空间的基失（也是群元）上的矩阵，就是这个群的一个表示。这个表示称为这个群的正规表示。 4、舒尔引理：若有一非零矩阵A 同一个群的某一表示中的所有矩阵对易， （1） 若此表示是不可约表示，则A 必为单位矩阵的常数倍； （2） 若A 不是单位矩阵的常数倍，则表示必为可约的。当A 是厄米矩阵时，约 化矩阵就是使A 对角化的矩阵。 5、不可约表示特征标的完全性定理：lm l m i r i l i h g C C δχχ= ∑=)()(1 * 这就是特征标的 完全性关系 6、不可约表示特征标的正交性定理：一个群的两个不等价不可约幺正表示为i G D 和j G D ，相应的特征标)(R i χ和)(R j χ必满足 g R R ij j G R i δχχ=∑∈)()(* 或写成 g C C h ij j C i C δχχ=∑)()(*
《量子化学》期末考试复习题
群论与量子化学期中考试 姓名：专业：学号: 一、判断下列集合是否够成群。（4分） （1）{除零以外的全部有理数}结合规则是乘法y （2）{1，0，-1 }，结合规则是加法n （3）{1，0，-1 }，结合规则是乘法n （4）{1，-1，i，-i}，结合规则是乘法y 二、判断分子所属点群。（27分，每个0.5分）
三、假定CuCl 42-原来属于T d 点群，四个Cl 原子的标号如图所示，当出现以下情况是，它所属的点群如何变化。（10分） （1）Cu —Cl (1)键长缩短； C 3v （2）键长Cu —Cl (1)和Cu —Cl (2)缩短相同长度；C 2v （3）键长Cu —Cl (1)和Cu —Cl (2)缩短不同长度；Cs （4） Cl (1)—Cl (2)和Cl (3)—Cl (4)间距离缩短不同的长度；C 2v （5）Cl (1)—Cl (2)和Cl (3)—Cl (4)间距离缩短相同的长度。D 2d 注：若Cu —Cl 键缩短，假定Cu 原子不动，只有相应的Cl 原子移动， 若Cl —Cl 间的距离缩短，视为两个原子分别向两原子连线的中 心移动相同的距离。 四、证明：同一类操作矩阵的特征标相等。（6分） 证明：Tr(R)=Tr(S -1R’S )=Tr(S S -1 R’)=Tr(R’).命题得证。 五、用D 3d 群的特征标表验证小正交定理。（5分） ()*() ()*()()*()()()R i i i i i j j ij R R g g g g g νμμννμμνννν χχδχχδχχδ===∑∑∑ 六、试求具有如下的阶和类数的群的不可约表示的维数。（6分） （1）6阶，3类 1 1 2 （2）12阶，4类 1 1 1 3 （3）24阶，5类 1 1 2 3 3
量子化学习题及答案
量子化学习题及答案
1.1998及2013年度诺贝尔化学奖分别授予了量子化学以及分子模拟领域的杰出贡献者，谈谈你的了解及认识。 答：1998年诺贝尔化学奖得主：瓦尔特·科恩和约翰·波普尔。1964-1965年瓦尔特·科恩提出：一个量子力学体系的能量仅由其电子密度所决定，这个量比薛定谔方程中复杂的波函数更容易处理得多。他同时还提供一种方法来建立方程，从其解可以得到体系的电子密度和能量，这种方法称为密度泛函理论，已经在化学中得到广泛应用，因为方法简单，可以应用于较大的分子。沃尔特·库恩的密度泛函理论对化学作出了巨大的贡献。约翰·波普尔发展了化学中的计算方法，这些方法是基于对薛定谔方程中的波函数作不同的描述。他创建了一个理论模型化学，其中用一系列越来越精确的近似值，系统地促进量子化学方程的正确解析，从而可以控制计算的精度，这些技术是通过高斯计算机程序向研究人员提供的。今天这个程序在所有化学领域中都用来作量子化学的计算。 2013年诺贝尔化学奖得主：马丁·卡普拉斯、迈克尔·莱维特、阿里耶·瓦谢勒。他们为复杂化学系统创立了多尺度模型。为研发了解和预测化学过程的强有力的计算机程序奠定了基础。对于今天的化学家来说，计算机就像试管一样重要。模拟过程是如此的真实以至于传统实验的结果也能被计算机预测出来。多尺度复杂化学系统模型的出现无疑翻开了化学史的“新篇章”。化学反应发生的速度堪比光速。刹那间，电子就从一个原子核跳到另一个原子核，以前，对化学反应的每个步骤进行追踪几乎是不可能完成的任务。而在由这三位科学家研发出的多尺度模型的辅助下，化学家们让计算机做“做帮手”来揭示化学过程。20世纪70年代，这三位科学家设计出这种多尺度模型，让传统的化学实验走上了信息化的快车道。 2.谈谈你对量子化学中两种流派（VBT,MOT）的认识。 答：1926年，奥地利物理学家薛定谔（Schrodinger)建立了描述电子运动规律的波动方程。1927年，海尔特(Heilter)和伦敦(London)在处理氢分子结构时首次采用两个氢原子基态电子波函数的乘积表示电子对键，通过共振结构波函数的线性组合获得薛定谔方程的解，标志着价键理论的诞生。1931年，鲍林（Pauling）建立了较为完善的电子对键与杂化轨道理论模型，随后以电子配对形成定域化学键为核心思想的价键理论，凭借其既直观又能定量计算的优势，得以在化学领域迅速推广应用。他也因此获得了1954年的诺贝尔化学奖。但是VB理论做出的某些预言不正确。比如简单的VB模型错误地预言了环丁二烯(以及其它含四元环的)有较大的共振能。事实上是简单的休克尔MO(HMO)理论过分地强调了4n与(4n+2)环之间的区别。正确的共振能结果是MO和VB预言的中间值。此外，由于选用非正交的原子轨道为基函数，计算量大，曾一度停滞不前，但随着计算机的发展这种理论进入复兴期。 1932年美国化学家莫立肯（Mullikeen）和德国化学家洪特(Hund)从不同于价键理论的角度提出了分子轨道(MO)理论。并获得1966年诺贝尔化学奖。罗汤(Roothaan)和美国化学家哈尔(Hall)各自独立地为自洽场（SCF）计算方法学完成了原子轨道线型组合型(LCAO)数学框架。从此分子轨道的数学计算得以实现并得到了广泛的应用。此后，20世纪50年代日本化学家福井谦一的前线轨道理论和美国化学家杜瓦（Dewer)的微扰分子轨道理论(PMO)以及60年代中期美国化学家伍德沃德·霍夫曼（Woodward·Hoffman）的分子轨道对称守恒原理的提出，使该理论可以定性地对化学反应的结果做出预言。福井谦一和霍夫曼双双获得1981年诺贝尔化学奖。 在处理具体分子中，这两种理论所用的原始基函数——原子轨道是同样的，并且都是用变分法来处理。所不同的仅在于MOT先经过了一次基函数的组合，把它变为非定域的基函数；而VBT则直接使用原始基函数。严格计算，其结果是一样的。两种理论的结果差别完全是由于实际计算中引入了不同的近似所造成的。对一般分子的定性解释，两种理论的结果往往是一样的。 3.试了解中国量子化学发展状况。 答：解放前，在旧中国科学研究不受重视，因而量子化学这个领域几乎是个空白点。1949-1959：所研究的问题比较集中在分子的内旋转、杂化轨道理论、分子间作用力、小分子的分子轨道计算、多电子键函数等问题。六十年代中期：对配位场理论方法开展研究，获得了重要成果。1966年以后，“四人帮”的干扰，量子化学的研究被迫停止了一个时期。七十年代：课题主要集中在分自1978年科学大会以来，有了更大的发展。特别是结合电子计算机的应用，量子化学应用研究从无到有，由小到大，有了更为明显的发展。子轨道理论方面。在轨道对称守恒原理、分子轨道图形理论、几何剖析法课题
《量子化学基础》习题课
《量子化学基础》习题课 1. 波粒二象性: λh P =, 测不准关系x ?·x ?P ≧η 习题1.一粒微尘m=10-8kg,运动速度01.0=υm/s,若速度的不确定程度为810-=?υm/s 可谓很精确,试计算位 置的不确定程度.(h=6.626×10-34J.s) (答案:181063.6-?=?x m) 习题2.原子直径约为10A (10-10 m),核外电子运动速度大约是光速的1%,计算速度的不确定度. (答案:6107?=?υm) 例1.已知光学光栅窄缝宽度为10-4cm,电子动能为105eV,试用测不准关系证明:用光学光栅观测不到电子衍射. 解:单缝衍射如下图 αsin P =P =?P x x ① 按干涉原理,图中电子射向屏中第一暗区,说明物质波相互抵消,上下两束电子波的光程差应为d/2.
λαα=??=?=sin sin x d BC ② 这里410-=?=x d cm, meV h mE h h 22==P = λ (=m 9.11×10-31kg ；=e 1.602×10-19C) 510 25.1225.12==V λ=3.87×10-12m 661210101087.3sin ---=?==m m d λ α 0≈α 证毕. 习题3.计算动能为3000eV 的电子的de Brogle 波长 (1eV=1.602×10-19J, V 3000C 10602.1J 10602.130001919=???=--V ) (答案: 0A 2237.03000 25.1225.12===V λ.) 2 .一维势箱: 22 28ml h n E =,),2,1(Λ=n x l n C x πsin )(2=ψ 习题4.计算箱宽为5×10-10m 的一维势箱中粒子n=1、2时的能量.及粒子从n=2跃迁到n=1时辐射的波长. (答案:E 1=2.41×10-19J,E 2=9.64×10-19J 191023.7-?=?E J 71075.2-?=λm) 习题5.可将原子中的电子粗略的模拟为一维箱中粒子,箱的宽度为原子的尺度.计算在长度10 A 的箱中电子两个最低能级之差(eV)和在此两能级间跃迁的光子波 长(cm). (答案:21013.1?=?E eV , 8101.1-?=λm)
04级群论试题
物理学院04级研究生群论试题 （2005年1月） 一（30分） 1. 简述有限群表示的正交性定理和完备性定理；如何确定一个群的不等价不可约表示的数 目，不可约表示的维数与群的阶有什么关系。 2. 简述由第一类点群求出所有第二类点群的一般方法；写出二面体群4D 和D 5的所有群元及 共轭类分割；写出由4D 得到的第二类点群和其熊夫利符号。 3. 简述由杨图、杨盘以及杨算符的方法求置换群的所有不等价不可约表示的一般原理和方 法；求出S n 群的杨图[1n ]对应的不可约表示。 二（10分）对于一个任意n 阶群，求出其正则表示的特征标；若该群的所有不等价不可约表示的维数为q s ,,s ,s 21，试证明n s s s q =+++2 2 22 1 。 三（30分）如右图(a)所示，矢量a 1、a 2、a 3为正三角形中的三个单位矢量，O 为正三角形中心，满足a 1＋a 2＋a 3＝0。 1． 选择三个矢量中的任意两个作为基，给出点群v C 3各 群元的表示矩阵。 2． 写出v C 3群的特征标表，判断1中得到的表示是否可 约。 3． 按图(b)所示的正交单位基矢量e x 、e y 作为表示空间的新基，求联系这两套基{e x , e y }与{a 1, a 2}的变换矩阵T ：(e x e y )＝(a 1 a 2)??? ? ??2221 1211T T T T 。 4． 用相似变换T 求出以e x 、e y 为基的v C 3各群元的表示矩阵。 四（30分）D 3点群的乘法表如下，试用投影算符方法（可利用本试题第三大题第1小题的结 果）将群空间V D 3的6个自然基e 、d 、f 、a 、b 、c 组合成对称化的新基(不考虑正交归一)，并求出群元在新基上的表示矩阵（每类写出一个群元的表示矩阵即可）。 D 群乘法表 (b) e y e x 3 a a 1 (a)
近世代数练习试题试题库完整
§1 第一章 基础知识 1 判断题： 1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。（ ） 1.2 A ×B = B ×A （ ） 1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。（ ） 1.4 如果?是A 到A 的一一映射,则?[?(a)]=a 。( ) 1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。（ ） 1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。 （ ） 1.7 在整数集Z 上，定义“ο”：a οb=ab(a,b ∈Z)，则“ο”是Z 的一个二元运算。 （ ） 1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。( ) 2 填空题： 2.1 若A={0,1} , 则A ?A= __________________________________。 2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。 2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ?B=_______。 2.4 设A={1,2}, 则A ?A=_____________________。 2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有 =?A B 。 2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则 ()[]=-a f f 1 。 2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。 2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个. 2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个. 2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个. 2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件： _____________________________________________。 2.13 设A =｛a , b, c ｝，那么A 的所有不同的等价关系的个数为______________。 2.14 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：[][]b a ,是两个等 价类。则[][]?=b a ______________。 2.15 设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么 =j i A A I ______________。 2.16 设A =｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝，规定A 的等价关系～如下：a ～ b ?2|a-b ，那么A 的所有不同的等价类是______________ 。 2.17 设M 是实数域R 上的全体对称矩阵的集合，～是M 上的合同关系，则由～给出 M 的所有不同的等价类的个数是______________。 2.18 在数域F 上的所有n 阶方阵的集合M n （F ）中，规定等价关系~:A~B ?秩(A)= 秩(B)，则这个等价关系决定的等价类有________个。 2.19 设M 100 (F)是数域F 上的所有100阶方阵的集合,在M 100 (F)中规定等价关系~如 下：A~B ?秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。 2.20 若 M={有理数域上的所有3级方阵},A,B ∈M,定义A~B ?秩(A)=秩(B),则由”~”确定 的等价类有_____________________个。
从方程论到群论
从方程论到群论 南京航空航天大学 二О一三年四月十四日 摘要：群论深刻而优美，却又因为过于深奥很难被全面把握。本文尽量使用通俗性语言，从新角度针对群论进行历史的、具体的剖析。为群论理论普及服务。整个故事从方程论开始。从17世纪开始，对方程论的研究就一直没有中断，这个课题在数学中是基础性课题。方程论的核心任务是，寻求一般方程的系数根式解。从得出一元一次方程、一元二次方程的解法开始，经过多年知识积累人们先后又得出了一元三次、一元四次方程解法，但是在寻求解一般五次方程时人们遇到了无法逾越的障碍。就此，人们开始对之前个方程的解法进行归纳统一，以期能找到解一般五次方程的蛛丝马迹，其中的代表人物是范德蒙、拉格朗日，但是也失败了。这就迫使人们转而研究方程的解的存在问题。1832年挪威天才数学家阿贝尔在21岁时综合欧拉、高斯等人的研究成果，用反证法证明了一般五次方程无根式解。这是方程论的一次巨大飞跃。之后伽罗瓦发展了范德蒙、拉格朗日思想，结合阿贝尔的成果，综合自己多年研究，引进了群、域、扩域等概念，创造性地将群论、方程论结合起来，终于系统地完成了方程论的研究，创立了伽罗瓦理论。 关键词：范德蒙思想、拉格朗日思想、群、域、预解式、伽罗瓦群、系数扩展。 引言 1832年5月30日，一声枪响划破巴黎郊区清晨的寂静，一位年轻人倒在了血泊中，不久即结束了不到21岁的生命，他就是伽罗瓦，数学史上唯一具有浪漫色彩的数学家，因感情纠纷死于与他人决斗。在决斗前夜，他通宵达旦写下了自己几年来在数学领域的研究成果，在离去前为人类留下了一份宝贵的珍品--伽罗瓦理论。 1
伽罗瓦理论完全而又彻底的解决了几百年来困扰无数数学家的多项式方程求解问题，宣告了方程论的结束，新的理论——群论的开始。伽罗瓦思想大大超越了时代，其及其深奥以致当时最优秀的数学家都得要花几个月时间才能彻底掌握。伽罗瓦开辟了新的时代，从群论开始，经历代数学家们的大力发展，一门崭新是学科——近世代数诞生了。现在，群论已经成为数学、物理、化学、晶体学、密码学等学科中不可或缺的重要工具。 1.一元一次、一元二次方程 人们在应用数学求解实际问题时，为简化运算，常常把所要求的量用一个符号代替，这就是代数这一概念的由来。例如问题1，我和朋友共同买10个苹果，分配我去买3个，那么应该分配给朋友去买几个呢？用小学老师教过的方法去算，当然是10-3=7个了。然而，历史的发展并不着眼于此简单的问题，从另一角度、另一方法去分析问题，往往获得质的提升。在分析更复杂，更多变问题的时候，这种方式显得尤为重要。对以上简单问题，换另一角度。假设我不知道朋友应该去买多少个，我用一个符号去代替，用X吧。X是多少我也不知道，他可能是0，可能是1，也可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10···但是我知道，一个关系必须成立，这个关系是 X+3=10 这就是一个代数方程，最简单的代数方程，一元一次方程。这个方程有自己的运算法则，有自己的性质，是由3+7=0这类等式性质抽象分析得出的。对等式移项得 X-7=0 为一般化分析奠定良好基础，统一方程为这种形式，即：含未知量的式子放等号左边，0放等号右边。对一元一次方程，以上的方程化分析如此繁琐，但是，这里所代表的意义，所蕴含的思想，是具有划时代意义的--人类开始摆脱对感观感受的依赖，迈入理性分析的大门。对更加复杂问题的分析，这时感官感觉效能将发现自己是多么吃力。例如问题2，象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.
量子化学与群论习题
量子化学与群论习题 1. 证明x P ?为厄米算符. 2. 验证x x P x x P ????≠. 3. 证明x P ?和y P ?可对易. 4. 试求在一维无限深势阱中运动的电子在基态时的.,,,,,,22x x x x P x x P P x P x ???? 5. 证明在一维深势阱中运动的质点的不同波函数互相正交. (证明)0* =?dx m n ψψ 6. 函数 a x a a x a x ππψ2sin 23sin 22)(? -? =是否是一维势箱中粒子的一种可能状态？若是，其 能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值.7. 用变分函数2x xL -=ψ, 求一维势箱中(0;0)(,0≤=<
近世代数期末考试试题和答案解析
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
量化试题
一名词解释（每题3分，共24分） 1 Slater行列式 2 不可约表示特征标 3 投影算符 4 轨道近似 5 定域分子轨道 6 ab inito 7 CNDO 8 EHMO 二简答（每题8分，共40分） 1 用已学过的知识导出状态波函数未归一化时的平均值公式。 2 证明：若b是|B算符的本征值，则b n是|B n算符的本征值。 3 总结已学过的将可约表示分解为不可约表示的方法，并将下列可约表示Γ分解为不可约表示。 4 证明：在实波函数所描述的状态下，〈P〉=0。（〈P〉为动量的平均值） 5 求反式二氯乙烯当以两个氢的1S轨道作为基的表示的特征标，该表示是否可约？如系可约表示，请将其分解为不可约表示。 三举例证明，若分子体系总的|H=∑H i，则有Ψ=∑ψi，Ε=∏Еi，但将Ψ写成Salter行列式更好，说明为什么？（11分） 四设粒子处于Ψ（θ，Φ） =11 +20 求：（1）Lz的取值几率分布。 （2）Lz的平均值。（11分） 五用群论方法求环丁二烯的π分子轨道和能量。并由此预测，（1）该分子的稳定性如何？ （2）该分子的基态是单重态还是三重态？（14分）
一名词解释（每题3分，共24分） 1厄米算符2测不准关系3不可约表示 4投影算符 5 SCFMO 6 ab inito 7 CNDO 8 EHMO 二简答（每题8分，共40分） 1 写出力学量L的平均值公式（包括Ψ是归一化的和未归一化的两种情况），并证明只有|L 是厄米算符时，〈L〉才是实数。 2 证明同一厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。 3总结已学过的将可约表示分解为不可约表示的方法，并将下列可约表示Γ分解为不可约表示。 4 。。。。。。。。。。有相同的特征坐标。 5 何为“保里排斥作用”？请举例说明之。 三1）写出含时薛定谔方程和定态薛定谔方程，说明二者的关系。 2）若ψn满足含时薛定谔方程，Ψ=∑C nψn（1）是否也满足该方程，请证明或说明。 3）若ψn满足定态薛定谔方程，Ψ=∑C nψn是否也满足该方程，请证明或说明。 4）式（1）中系数C n由什么物理意义？（12分） 四举例证明，若分子体系总的|H=∑H i，则有Ψ=∑ψi，Ε=∏Еi，但将Ψ写成Salter行列式更好，说明为什么？（11分） 五用群论方法求三次甲基硅烷（CH2）3C π电子的波函数。骨架原子的标号为 2 14 3
量子化学习题集
量子化学习题集 第一章 量子力学基础 1.1 如果g = ?f 对每一组?与f 求g 。 (1) ?=d /dx , f =cos(x 2+1)； (2) ?=5, f =sin x ； (3) ?=( )2, f =sin x ； (4) ?=exp , f =ln x ； (5) ?=d 2/dx 2, f =ln3x ； (6) ?=d 2/dx 2+3xd /dx , f =4x 3； 1.2 如?f (x )=3x 2f (x )+2xdf /dx ，f (x )为任意函数，给出?的表达式 1.3 给出3个满足?e x =e x 的?的表达式 1.4 如果?= d 2/dx 2, ?B= x 2, 计算(1) ??B x 3；(2) ?B?x 3；(3) ??B f (x )；(4) ?B?f (x )； 1.5 计算下列对易子 (1)[x , y ] (2)??[,]x y p p (3)?[,]x x p (4) 2?[,]x x p (5) ?[,]n x x p (6)?[1,]x x p (7)2 ?[1,]x x p (8)????[,]y x z y xp yp yp zp -- (9)222[(),()]x y y x ???? (10)[sin x , d /dx ]；(11)[ d 2/dx 2, ax 2+bx+c ](a , b , c 为常数)；(12) [d /dx , d 2/dx 2] 1.6 证明，对于线性算符，有?(?B+ ?)= ??B+?? 1.7 如果?是线性算符，b ,c 为常数，f , g 为任意函数，证明?(bf +cg )= b ?f + c ?g ； 证明若?(bf +cg )= b ?f + c ?g ，则?一定是线性算符。 1.8 证明： (1) [?, ?B]= - [?B, ?] (2)[?m ,?n ]=0 (3)[?2, ?B]= ?[?, ?B]+[?, ?B]? (4) [?, [?B, ?]]+ [?B, [?, ?]]+ [?, [?, ?B]]=0 1.9 2??2()x H p m V x =+， 分别计算(1)当V (x )=V (常数)，(2)当V (x )=kx 2/2，(3)当V (x )→ V (r )=e 2/4πε0r 时的对易子??[,]x H p 与?[,]H x 1.10 拉普拉斯变换算符?L 定义为0 ?()()px Lf x e f x dx ∞-=? (1) ?L 是否是线性算符，(2)计算?L (1)；计算?Le ax ，假定p >a
2016星海求知期末试题及答案(100道)要点
一、 单选题（题数：50，共 50.0 分）
1
最符合火星“小地球”形象的火星特征不包括（）。（1.0 分）
1.0 分
?
地貌
A、
?
自转周期
B、
?
黄赤交角
C、
?
公转周期
D、
我的答案：D
2
质量较小的恒星（如太阳），其热核反应最终能生成的最重的元素是（）。（1.0 分）
1.0 分
?
氦
A、
?
碳
B、
?
硅
C、
?
铁
D、
我的答案：B
3
蒭藁型变星的变光周期不可能是（）天。（1.0 分）
1.0 分
?
7
A、
?
70
B、
?
350
C、
?
700
D、
我的答案：A
4
Ia 型超新星与（）定律所描述的经典情况并不一致。（1.0 分）
1.0 分
?
牛顿
A、
?
麦克斯韦
B、
?
普朗克
C、
?
哈勃
D、
我的答案：D
5
哈勃常数几十年来屡屡修改，原因不包括（）。（1.0 分）
1.0 分
?
A、
观测样本与尺度增加
?
B、
望远镜技术进步
?
C、
宇宙膨胀时快时慢
?
D、
巡天项目规模扩大
我的答案：C
6
下列哪个梅西耶天体本身不是球状星团，却包含了球状星团？（）（1.0 分）
1.0 分
?
A、
武仙座大星团
群论的应用
群论的基础及应用 第二章群论的应用 2.1图论的结构群应用 在所有数学分支以及计算科学中，结构的概念是最基本的，以不正式的角度看，一个结构s是在点集U的一个construction r，它由一对点集组成。 e 4 图 2.1 通常说，U是结构s 的底图集，图2.1描述了两个结构的例子：一个有根树，和一个有向圈。在集合论上，题中的树可以描述为s=（γ，U），其中U={a，b，c，d，e，f}， γ=（{d}，{{d，a}，{d，c}，{c，b}，{c，f}，{c，e}}） 出现在γ上第一部分的 根点{d}指的是树的根节点。对于有向圈它可以写成形式为 s=（γ，U）， 其中 U={x，4，y，a，7，8}， γ={（4，y）（y，a）（a，x）（x，7）（7，8）（8，4）}
U={a ，b ，c ，d ，e ，f} σ V={x ，3，u ，v ，5，4} 图2.2 考虑有根树s=（γ，U ）它的底图集是U ，通过图2.2中的σ变换，将U 中每一个元素替换成V 中的元素，这幅图清晰的显示了变换中如何将结构树s 对应到集合V 上相应的树t=（τ，V ），我们说树t 可以由树s 通过变换σ得到。记作t=σ·s.则树s 和树t 是同构的，σ叫做s 到t 的同构。 我们可以将底图的点视为无标记的点，这样就得到同构图的通用形式。如果σ是U 到U ，则它是自同构。此时树的变换σ·S 等价于树s ，即s=σ·s. 我们已经知道结构s 的定义，那么可以定义它在规则F 下的结构群，我们用F[U]表示集合U 上所有满足F 的结构 F[U]={f|f=（γ，U ），γ??[U]} 其中?[U]表示U 中所有未排序的元素对所组成的边。 一个结构群满足规则F ： 1.对任意一个有限集U ，都存在一个有限集F[U] 2.对每一个变换σ：U →V ，存在一个作用 F[σ]:F[U]到F[V] 进一步F[σ]满足下列函数性质： 1.对所有的变换σ：U →V 和τ ：V →W F[σ·τ]=F[τ]·F[σ]； 2.对恒等映射一个元素s 数域F[U]叫做U 上的一个F 结构，作用F[σ]称为F 结构在σ下的变换。 例：对所有的整数0≥n ，指定n S 是由},,2,1{][n n Λ=的置换作成的对称群，在群作用的操作下，集合F[n]是[n]上的F-结构。说明对每个0≥n ，每个F-结构群，通过令)]([s F s σσ=?（对n S ∈σ和][n F s ∈）诱导出群n S 在集合F[n]上的一个作用 ][][n F n F S n →?（1） 证明： 设F[n]是[n]上的F-结构，不妨令][)),(,(|{][]2[21n i i i s s n F n ?γγ∈==Λ， 对任意][n F s ∈和n S ∈σσ作用在s 上等价于
《量子化学与群论》课程第一、二两章作业题-09修
《量子化学与群论》课程第一、二两章作业题 2010.09.29 1. 对一维谐振子的基态，求动能的和势能的平均值；验证此情况下