二项分布经典例题+练习题

二项分布

1．n次独立重复试验

一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与A，每次试验中P(A)=p0。我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验。

(1)独立重复试验满足的条件第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。

(2)n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率P(X = k) =

C n k p k(1- p)n-k。

2．二项分布

若随机变量X的分布列为P(X =k)= C k p k q n-k，其中0p 1.p+q=1,k = 0,1, 2,L ,n, 则称X服从参数为n, p的二项分布，记作X : B(n, p ) 。

1．一盒零件中有9 个正品和3 个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X的概率分布。

3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为1，乙每次击

2 中目标的概率为2.

3

（1）记甲击中目标的此时为，求的分布列及数学期望；

（2）求乙至多击中目标 2 次的概率；

（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.

【巩固练习】

1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且

规定:取出一个白球的 2 分,取出一个黑球的 1 分.现从该箱中任取（无放回,且每球取到的机会均等）3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.

（Ⅰ）求X的分布列;

（Ⅱ）求X的数学期望E（X）.

2．（2012 年高考（重庆理））（本小题满分13分,（Ⅰ）小问5 分,（Ⅱ）小问8 分.）

甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获

胜,一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为1,乙每次投篮投中的概率为1,且各次投篮互不32影响.

（Ⅰ）求甲获胜的概率;

(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望

3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜

4场则比赛宣告结束，假定A,B在每场比赛中获胜的概率都是1，

2 试求

需要比赛场数的期望．

3．(2012 年高考(辽宁理))电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100名观众进行调查. 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.

(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别

有关?

（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽

样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列, 期望E（X）和方差D（X）.

5.（2007 陕西理）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为4、3、2，且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；（Ⅱ）

该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示

6.一批产品共 10件，其中 7 件正品，3 件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数

的

概率分别布.

（1）每次取出的产品不再放回去；

（2）每次取出的产品仍放回去；

（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.

7.（2007?山东）设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ 表示方程x2+bx+c=0 实根的个数（重根按一个计）．（I）求方程x2+bx+c=0 有实根的概率；

（II）求ξ 的分布列和数学期望；

8.（本题满分 12分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A 区域返券60元；

停在B 区域返券 30元；停在 C 区域不返券. 例如：消费 218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和. I）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率； II）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获