极值点偏移问题的两种常见解法之比较
极值点偏移问题的两种常见解法之比较
浅谈部分导数压轴题的解法
在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数y = f(χ)是连续函数，在区间(χ1,χ2)内有且只有一个极值点χ0,且
f(Xι) =f(X2),若极值点左右的增减速度”相同，常常有极值点X o =亠是，我
2
们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的增减速度”不同，函数的图象不具有
对称性，常常有极值点X°=x i x2
的情况，我们称这种状态为极值点偏移”
2
极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数f(χ)在区间
(a,b)内单调递增，则对区间(a,b)内的任意两个变量％、X2，
f(xj ：： f(X2) = X i X2;若函数f (X)在区间(a,b)内单调递减，则对区间(a,b)内
的任意两个变量X1> X2，f(x1) ：：：f(x2)= X1X2.二是利用对数平均不等式”证
明，什么是对数平均”什么又是对数平均不等式”
a ≠ b
两个正数a和b的对数平均数定义：L(a, b) WD na - Inb', a,a =b,
对数平均数与算术平均数、几何平均数的大小关系是：< L(a,b) <
(此式记为对数平均不等式)
下面给出对数平均不等式的证明：
i) 当^bQ时，显然等号成立
ii) 当a = b Q时，不妨设a b Q，
①先证 '.ab -―-, 要证??ab -一b
一
In a Tn b In a Tn b 令,只须证：…｛心a —b
a b
^τ，
i
设 f (X) =2ln X-X I X 1 ,贝U f (X)
X
F Q ,
X 所以f(X)
b，,只须证：ln F
a
b
— 1 在(1,二)内单调递减，所以 f (x) ：： f (1) = O ,即 2ln X ：： X -,
X
故.ab
—
In a —In b
②再证：
a -
b a b
<
In a -1n b
2
a — b
In a -1n b
综上述，当 a 0,b
0 时，?.ab EL(a,b)乞 a -
2
例1 (2016年高考数学全国I 理科第 21题)已知函数f(χ) = (x-2)e X a(x-1)2有两个 零点?
(I)求a 的取值范围；
(∏)设x 1, x 2是f (x)的两个零点，证明：
x 1
x 2
: 2 ? 解: (I)函数f (X)的定义域为R ，
当a = 0时，f (X)= (χ -2)e x = 0 ,得x = 2 ,只有一个零点，不合题意； 当 a = 0时，f (x) =(x ")[e x 2a]
当 a ■ 0时，由 f (x) =0 得，X =1 ,由 f (X)
0 得，X 1 ,由 f (x) ：：： 0 得，
x ：：： 1,
故，x =1是f (x)的极小值点，也是 f (x)的最小值点，所以f(x)min = f(1)=-e ：：：0 又f (2) = a ?0 ,故在区间(1,2)内存在一个零点x 2 ,即1 ：：： x 2 ： 2
X —2 1
-
由 Iim (x -2)e x Iim X Iim x 二 0,又 a(x -1) 0 ,所以，f (x)在区间
X- X^- e X^- -e (Y ?l ,1)存在唯一零点X 1
,即X 1
1,
故a 0时，f (X)存在两个零点;
要证: 亠,只须证:
In a 「In b 2
In a 2
令:八，则只须证:
X -1 In X 1 2
θ-1 b -1 b
X ,只须证1- In X ,x>1
2
g(X)
八&
In X
2
X
1
,则 g (χ)=(?±=2X(X 1【)2
： 0
所以g(X)在区间(1,二)内单调递减，所以
g(x) ：：： g(1) = O ， 2
即1- 2
In
X
<
当 a ：：： O 时，由 f (X)=O 得，X= 1 或X = ln( -2a),
若ln( -2a) = 1，即a = -3时，f (x) _ O ,故f (x)在R 上单调递增，与题意不符
e
若
|n( -2a) 1
,即-§
时，易证
f(
X )极大值=f (1
-0故
f(X)
在R 上只有—
e
个零点，若ln( -2a) ：：：1 ,即a ：：：-—时，易证
2
f (X )极大值=f (ln( -2a) = a(ln 2( -2a) — 4ln( -2a) 5) ：： 0 ,故 f (X )在 R 上只有一个零点
综上述，a ? 0 (∏)解法一、根据函数的单调性证明 由(I)知，a 0且 X1 ：：：1 ：：必：2
令 h(x) = f (x) - f (2 —x) =(x -2)e
x
+xe 2^,x =1 则 h"(x) = -X
—
1)(—
丄 ----
，
e
因为X 1 ,所以x —1 . 0,e 2(XjI) -1 0,所以h (x) 0 ,所以h(x)在(1「：)内单调递增 所以
h(x) ?h(1)=0,即 f X) f2 X-,所以 f(X 2) f(2-X 2),所以 f(xj f(2-X 2),
因为 X l
：：：1,2
-x 2
：：：1 , f (x)在区间(—
3,1)内单调递减，所以
X 1
：：： 2-X 2
,即 X 1
■
X 2
： 2
解法二、利用对数平均不等式证明 由(I)知，an0 ,又 f(0)=a-2所以，
当 0 ：：： a _ 2 时，X 1 乞 0 且 1 ：：： X 2 : 2 ,故 x 1 X 2 ：：： 2
即(2 - xJe x1
(2 沙2澎
(1-xJ 2
(X 2 -1)2
所以 In(2 -X I
) X -2ln(1
-x 1
) =In(2 —x 2
) x 2
-2ln(x 2
-1)
所以
ln(2 -xj - In(2 -x ?) - 2(1 n(1 -xj-ln(x ? _ 1)) = X 2 _ x 1
= (2 _ xj _ (2 _ x ?)
ln(1 -?χ1
) -Jn( x 2
-'1)
ln(2 -X I
)Tn(2 ^ x 2
)
下面用反证法证明不等式①成立
当a 2时,
0 ：：： X 1
：：： 1 ：：： X 2
：：： 2 ,又因为 a =
(X 1 - 2砂
(X 1-1)2 (X 2-2)e 迪 (X 2-1)2
所以 1 _2
ln(1 -
x
1
)Tn(X 2 T)
ln(2 -x 1
)—ln(2 -x 2
) (2 一 xj 一(2 - X 2) . 4 _ % _ X 2
ln(2 - 为)—ln(2 -x 2
)
2
所以
x 1
x 2
—2
2
因为 O ：： x 1 ：： 1 ：： x 2 ：： 2 ,所以 2-χ 2 -X 2 0 ,所
以 In (^-X)- In (2 -x 2)
O
假设 X X 2 _2 ,当 X X 2 =2 ,
Xl
X"2 =O 且 2 In(^XI ^In(X ^I)
=0,与①矛盾;
2
In(2 -x 1
) _In(2 _x 2
)
当X 1 X 2
2时X l x 2 _2 .0且2 In(I -X I )-In(X 2
")VO ,与①矛盾，故假设不成立
2
In(2 - x 1
) - In(2 -x 2
)
所以 X I x^：： 2
例2 (2011年高考数学辽宁卷理科第 21题)已知函数f (X) =In X - ax 2 (^a)X
(I)讨论函数 f (X)的单调性；
(∏)若曲线y = f(χ)与X 轴交于 A B 两点，A B 中点的横坐标为 解：(I)函数f(χ)的定义域是(0, ?：：)
f (x) J-2ax (2-a)』2X)(1
一aX)
X X
当a 乞0
时，
f (X) 0在区间(0,=)内恒成立，即f(x)在区间(0, V )内单调递增
当a ■ 0时， 1 由f (X)>O ,得函数f (X)的递增区间(0,-),
a
1
由f (X) 「：) a (∏)解法一、根据函数的单调性求解 设点A 、B 的横坐标分别为x 1> x 2 ,则X 0 =凶 X ,且0 ：：： x 1 ：： - ：： X 2 2 a 1 1 1 由(I)知，当 a 0 时，[f (X)] 极大值 a a a 因为函数f (X)有两个不同的零点，所以[f (χ)]ma χ ? 0 ,所以0 ：：： a ：：： 1 要证 f (x 0 ) = (I -a x0) ： , 0 ,只须证 ax 0 . 1,即证 χ1 ? χ2 - X O a 2 2 1 令 h(x) = f (x) - f ( x) = In XTn( x) -2ax 2,0 ：： X ：：一 a a 3 2 所以 h(x) ：：h(—) = 0 ,即 f(x) ：： f( x) X O ,证明:f (X O ) ：： O a a a 2 则h(x)= 1 — -2^2(a ^ I) 0 ,所以h(x)在(0,1 )内单调递增 X 2-ax x(2-ax) a 1 2 2 因为 O ：：: X 1 ：：: =：: X 2 ,所以 f (xj ：：: f( - X I ),所以 f (X 2) ：：： f ( -X 1) a a a 2 又X 2 , X 1 ,且f (x)在区间(一，■：：)内单调递减 a a a a 2 2 X 1 ,即 X 1 X 2 ,故 f (X o ) ：：： O a a 利用对数平均不等式求解 a(>? x 2)2 (a -2)(x 1 x 2) -2 O ,所以[a(x 1 x 2) -2][(x 1 x 2) 1] O (I)求函数 f(x)的单调区间; 解：(I)函数f (x)的定义域为R 2 ^(1 X ) -2x(1 -X)X 1 - x X e 十 e 1 x 2 由f (x)=O ,得X=O ,由f'(x)nO ,得函数的递增区间(-∞,O),由厂(X)CO ,得函数 的递减区间(O, ?：：),所以 f (X )max = f (O) = 1 (H)解法一、利用函数的单调性求解 1 — X 1 + X 令 h(x) = f (X) - f (-x) X 2 e^- x 2e^, X o 所以X 2 解法二、 设点A 、 B 的坐标分别为A(x 1,O)、B(X 2,0),则 由(I) 知，当 a O 时，[f (X)] =[f(x)] x 1 +x 2 x O : 2 1 1 1 =f ( ) = In 1 因为函数f (x)有两个不同的零点，所以 [f (X)] max O ,所以 O a ：：1 因为 ■ ■ 2 In x 1 -ax 1 (^a)X I = O ；1 八，所以 2 In X 2 -ax 2 (2 - a)X 2 =O In x 2 -ln x 1 = [a(x 2 x 1 )「(2 -a)](x 2 -x 1 ) 所以 X 2 _ X] a(X 1 X 2) -(2 - a) ------------- < In X 2-In x 1 x 1 X 2 2 ,即 X^ a(x 1 +x 2 ) -(2 - a) 2 所以 所以 1_a7 2 ::：O ,所以 f (X O ) = (IXIX 心 X 2 (2014年高考数学湖南卷文科第 21题)已知函数 X 1 X 2 2 1 — X X f(x)= 2 e 1 + x X 1 X 2) 2 ： O . (H) 当 f (x ∣) = f (X 2),x ∣ =X 2 时, 求证: x 1 x 2 : O - x[(x-1)2 2]e x 2 2 e (1 X 2)2 (1 x 2)2 1 +X 1+x 极值点偏移问题专题（0）——偏移新花样（拐点偏移） 例1已知函数()22ln f x x x x =++，若正实数1x ，2x 满足()()12+=4f x f x ， 求证:122x x +≥。 证明：注意到()1=2f ，()()()12+=21f x f x f ()()()12+=21f x f x f ()2 =+210f x x x '+> ()22 =2f x x ''-+，()1=0f ''，则（1,2）是()f x 图像的拐点，若拐点（1,2）也是()f x 的 对称中心，则有12=2x x +，证明122x x +≥则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设1201x x <≤≤，要证 ()() 1221212 212x x x x f x f x +≥?≥-≥?≥- ()() ()() 11114242f x f x f x f x ?-≥-?≥+- ()()()2F x f x f x =+-，(]0,1x ∈，则 ()()()()222212212F x f x f x x x x x '''=--????=++-+-+ ? ?-???? () ( ) 1 4110 2 x x x ?? =--≥ ? ? - ?? ， 得() F x在(]0,1上单增，有()()() 1214 F x F ≤=+=，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、极值点偏移（()00 f x '=） 二次函数()() 12120 2 f x f x x x x =?+= 2、拐点偏移() () f x ''= ()()() 12 0120 22 f x f x f x x x x +=?+= 极值点偏移问题专题（1）——对称化构造（常规套路） 例1（2010 天津）已知函数()e x f x x- =． （1）求函数() f x的单调区间和极值； （2）已知函数() g x的图像与() f x的图像关于直线1 x=对称，证明：当1 x>时， ()() 12201 120 2 2 f x f x x x x x x x =?>- ?+> ()()() 120201 120 22 2 f x f x f x x x x x x x +=?>- ?+> 极值点偏移问题总结 一、 判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为 21x x 、，且b x x a <<<21， （1）若 02 12x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移； （2） 若0212 x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0 x 左偏； （3）若02 12 x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0 x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 证明：（1）因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有 ),(221b a x x ∈+由于0)2('21>+x x f ，故),(2 02 1x a x x ∈+，所以02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。 证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以 02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏. 结论（2）证明略。 二、 运用判定定理判定极值点偏移的方法 1.方法概述： （1）求出函数()f x 的极值点； （2）构造一元差函数00()()()F x f x x f x x =+-- （3）确定函数()F x 的单调性； （4）结合(0)0F =，判断()F x 的符号，从而确定00(),()f x x f x x -+的大小关系。 2.抽化模型 答题模板：若已知函数()f x 满足12()()f x f x =，0x 为()f x 的极值点，求证：1202x x x +< （1）讨论函数()f x 的单调性并求出()f x 的极值点0x ； 假设此处()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞ 上单调递增。 （2）构造00()()()F x f x x f x x =+--； 极值点偏移问题专题（0)——偏移新花样（拐点偏移） 例１已知函数()22ln f x x x x =++，若正实数1x ,2x 满足()()12+=4f x f x , 求证：122x x +≥。 证明：注意到()1=2f ，()()()12+=21f x f x f ()()()12+=21f x f x f ()2 = +210f x x x '+> ()22 =2f x x ''-+,()1=0f '',则（1,2)是()f x 图像的拐点,若拐点(１,２）也是()f x 的对称 中心,则有12=2x x +,证明122x x +≥则说明拐点发生了偏移,作图如下 想到了“极值点偏移”,想到了“对称化构造”,类似地,不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设1201x x <≤≤，要证 ()() 1221212 212x x x x f x f x +≥?≥-≥?≥- ()() ()() 11114242f x f x f x f x ?-≥-?≥+- ()()()2F x f x f x =+-,(]0,1x ∈,则 ()()()()222212212F x f x f x x x x x '''=--????=++-+-+ ? ?-???? () () 1 4110 2 x x x ?? =--≥ ? ? - ?? , 得() F x在(]0,1上单增，有()()() 1214 F x F ≤=+=，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、极值点偏移(()00 f x '=) 二次函数()() 12120 2 f x f x x x x =?+= 2、拐点偏移() () f x ''= ()()() 120120 22 f x f x f x x x x +=?+= 极值点偏移问题专题(１)——对称化构造（常规套路） 例1（２０１0天津） 已知函数()e x f x x- =． (１）求函数() f x的单调区间和极值； (2)已知函数() g x的图像与() f x的图像关于直线1 x=对称,证明:当1 x> ()() 12201 120 2 2 f x f x x x x x x x =?>- ?+> ()()() 120201 120 22 2 f x f x f x x x x x x x +=?>- ?+> 极值点偏移的判定方法和运用策略 一、判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若02 12 x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2） 若 02 12 x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏； （3）若02 1 2 x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 判定定理1 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0)2 ( '2 1>+x x f ，则02 1)(2 x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 右（左）偏；（2）0若0)2('21<+x x f ，则021)(2 x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 左（右）偏。 证明：（1）因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有 ),(221b a x x ∈+由于0)2('21>+x x f ，故),(2 021x a x x ∈+，所以02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。 结论（2）证明略。 判定定理2 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则 02 1)(2x x x ><+， 即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则 02 1)(2x x x <>+， 即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值 极值点偏移问题的两种常见解法之比较 浅谈部分导数压轴题的解法 在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数()y f x =是连续函数，在区间12(,)x x 内有且只有一个极值点0x ，且 12()()f x f x =，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点12 02 x x x += ，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点12 02 x x x +≠的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”. 极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数()f x 在区间(,)a b 内单调递增，则对区间(,)a b 内的任意两个变量12x x 、， 1212()()f x f x x x . 二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？ 两个正数a 和b 的对数平均数定义：,,(,)ln ln ,, a b a b L a b a b a a b -?≠? =-??=? 对数平均数与算术平均数、 (,)2 a b L a b +≤≤，（此式记为对数平均不等式） 下面给出对数平均不等式的证明： i ）当0a b =>时，显然等号成立 ii ）当0a b ≠>时，不妨设0a b >>， ln ln a b a b --， ln ln a b a b -<-， 只须证：ln a b < 1x =>，只须证：1 2ln ,1x x x x ≤-> 设1 ()2ln ,1f x x x x x =-+>，则222 21(1)()10x f x x x x -'=--=- <，所以()f x 方法一、指数对数不等式 适用范围：仅用于简单的对数与幂函数，指数与幂函数 优点：计算简单，一般几步就搞定 缺点：复杂的函数难以处理，一般不用此法，灵活性强，要注意加法与乘法之间的相互转换 常用结论： 2 21212121212 1212121212121212 21 12 2121212 ln 22)(ln ln 2 2 1)(2ln ln ) (ln ln ln ln ln ,ln 2ln ln e x x x x a a x x a x x a x x x x a x x a x x x x x x x x x x a x x ax x ax x e x x x x ax x a x x b a e e b a b a b a ab b a >?∴>∴=? >+=+∴>+∴+<=--∴+<--+=+==>?=>?--<+<--< 两式相加得 证：，证明：，有两个不同解例：则将乘法转化为加法 某常数技巧：若要证明 已知函数()()x f x xe x R -=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x = ， 证明：12 2. x x +> 例2.已知函数x ae x x f -=)(有两个不同的零点12,x x ，求证：221>+x x . 3：设函数()x f x e ax a =-+ ()a R ∈，其图象与x 轴交于()()12,0,0A x B x 两点，且12x x <. 证明：0f ' < 【拓展提高】 4、已知函数()x f x e ax =-有两个零点12x x <，则下列说法错误的是（ ） A. a e > B.122x x +> 含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元12,x x 的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数. ★例1. 已知函数x ae x x f -=)(有两个不同的零点12,x x ，求证：221>+x x . 不妨设12x x >，记12t x x =-，则0,1t t e >>， 因此只要证明：1 21 t t e t e +?>-01)1(2>+--?t t e e t ， 再次换元令x t x e t ln , 1=>=，即证),1(,01 ) 1(2ln +∞∈>+-- x x x x 构造新函数2(1) ()ln 1 x F x x x -=- +，0)1(=F 求导2 ' 22 14(1)()0(1)(1)x F x x x x x -=- =>++，得)(x F 在),1(+∞上递增， 所以0)(>x F ，因此原不等式122x x +>获证. ★例 2. 已知函数()ln f x x ax =-，a为常数，若函数() f x有两个零点 12 ,x x，证明： 2 12 . x x e ?> 法二：利用参数a作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设 12 x x >， ∵ 1122 ln0,ln0 x ax x ax -=-=，∴ 12121212 ln ln(),ln ln() x x a x x x x a x x +=+-=-， ∴12 12 ln ln x x a x x - = - ，欲证明2 12 x x e >，即证 12 ln ln2 x x +>. ∵ 1212 ln ln() x x a x x +=+，∴即证 12 2 a x x > + ， ∴原命题等价于证明12 1212 ln ln2 x x x x x x - > -+ ，即证：112 212 2() ln x x x x x x - > + ，令1 2 ,(1) x t t x =>，构造 2(1) ln, 1 )1 ( t t g t t t - =-> + ，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略. 法三：直接换元构造新函数： 1222 1211 ln ln ln , ln x x x x a x x x x ==?=设2 12 1 ,,(1) x x x t t x <=>， 则11 21 11 ln ln ln , ln ln tx t x x tx t t x x + ==?=， 反解出： 1211 ln ln ln ln,ln ln ln ln ln 111 t t t t x x tx t x t t t t ===+=+= --- ， 故2 1212 1 ln ln2ln2 1 t x x e x x t t + >?+>?> - ，转化成法二，下同，略. 极值点偏移问题专题（0 ）——偏移新花样（拐点偏移） 例 1 已知函数f x2ln x x2x ，若正实数x1，x2满足 f x1 +f x2 =4 ，求证 : x1x2 2 。 证明：注意到 f1=2 ， f x1 +f x2=2f 1 f x1 +f x2=2f1 f x =2 10 +2x x f x =2 2 ， f 1 =0 ，则（1,2）是 f x 图像的拐点，若拐点（1,2）也是 f x 的x2 对称中心，则有x1x2 =2 ，证明 x1x2 2 则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设 0 x11x2，要证 x1x22 x22x11 f x2f 2 x1 4f x1f2x1 4f x1f2x1 F x f x f2x， x0,1 ，则 F x f x f2x 2 2x12 2 2x 1 x2x 1 ， 4 1 x 1 0 x 2x 得 F x 在 0,1上单增，有 F x F 1 2 1 4 ，得证。 2 、极值点偏移PK 拐点偏移常规套路 1 、极值点偏移（ f x00 ） 二次函数 f x1 f x2x1x22x0f x 1 f x 2 x 2 2x x 1 x1x22x0 2 、拐点偏移 f x00 f x1 f x2 2 f x0 f x1 f x2 2 f x0x2 2x0 x1 x1 x2 2x0 x2 2x0 x1 极值点偏移问题专题（ 1 ）——对称化构造（常规套路） 例 1 （ 2010 天津）已知函数 f x xe x． （1）求函数f x的单调区间和极值； （2）已知函数g x的图像与f x的图像关于直线x 1对称，证明：当x 1时， 极值点偏移定义及判定定理 所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线()f x 0x x =()y f x =y b =交于,两点，则的中点为，而往往.如下图1(,)A x b 2(,)B x b AB 12( ,)2x x M b +1202 x x x +≠所示. 极值点没有偏移 一、极值点偏移判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为)(x f y =),(b a 0x 0)(=x f ，且，（1）若 ，则称函数在区间上极21x x 、b x x a <<<210212x x x ≠+)(x f y =),(21x x 值点偏移；（2） 若，则函数在区间上极值点左偏，简0x 0212 x x x >+)(x f y =),(21x x 0x 称极值点左偏； （3）若，则函数在区间上极值点右0x 0212 x x x <+)(x f y =),(21x x 0x 偏，简称极值点右偏。 0x 2、极值点偏移的判定定理 判定定理： 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点 )(x f y =),(b a ，方程的解分别为，且，（1）若，则0x 0)(=x f 21x x 、b x x a <<<210)2('21>+x x f ，即函数在区间上极大（小）值点右（左）偏；（2）0021)(2 x x x ><+)(x f y =),(21x x 0x 若，则，即函数在区间上极大（小）值点0)2('21<+x x f 021)(2 x x x <>+)(x f y =),(21x x 左（右）偏。 0x 1极值点偏移定义及判定定理 所谓极值点偏移问题,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速 度不同,使得函数图像没有对称性。若函数()f x 在0x x =处取得极值,且函数 ()y f x =与直线y b =交于1(,)A x b ,2(,)B x b 两点,则AB 的中点为12(,)2 x x M b +,而往往1202 x x x +≠.如下图所示. 极值点没有偏移 一、极值点偏移判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ,方程0)(=x f 的解分别为21x x 、,且b x x a <<<21,（1）若 0212x x x ≠+,则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2） 若0212 x x x >+,则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏,简称极值点0x 左偏； （3）若0212 x x x <+,则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏,简称极值点0x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 判定定理,对于可导函数)(x f y =,在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ,方程0)(=x f 的解分别为21x x 、,且b x x a <<<21,（1）若0)2( '21>+x x f ,则021)(2 x x x ><+,即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 右（左）偏；（2）0若0)2('21<+x x f ,则021)(2 x x x <>+,即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 左（右）偏。 一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义 对于可导函数在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解分别为且< 1） 若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2 b a x += 对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+（或f(x)=f(2a-x)），则)(x f 的图象关于直线a x =对称 2） 若函数f(x)满足 有下列之一成立： ①f(x)在 递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x)) ②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)) 则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大 值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质： 1) )(x f 的图象关于直线a x =对称若 则 <=> ,( =0, ); 2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若则 则 ,及 极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f( )-f( , F(x)=f(x+)-f( , F(x)=f(x)-f( )确定F(x)单调性 ③结合F(0)=0（F(-)=0,F(判断F(x)符号从而确定f(x+),f( ( f(x+) 与f( f(x)与f(的大小关系; 答题模式： 已知函数y=f(x)满足,为函数y=f(x)的极值点,求证： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( 确定F(x)单调性 ③判断F(x)符号从而确定f(x+),f( 的大小关系; 假设F(x)在(0,+单调递增则F(x)>F(0)=0，从而得到x>0时f(x+)>f( ④ 导数压轴题分类（2）---极值点偏移问题 极值点偏移问题常见的处理方法有⑴构造一元差函数()()()x x f x f F --=02x 或者 ()()()x x f x x f x F --+=00。其中0x 为函数()x f y =的极值点。⑵利用对数平均不等式。 2 ln ln ab b a b a b a +< --< 。⑶变换主元等方法。 任务一、完成下面问题，总结极值点偏移问题的解决方法。 1．设函数2 2 ()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈ （1）试讨论函数()f x 的单调性; （2）()f x m =有两解12,x x （12x x <）,求证：122x x a +>. 解析：（1）由2 2 ()ln f x a x x ax =-+-可知 2222(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x --+-'=-+-== 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以 ① 若0a >时，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； ② 若0a =时，当()20f x x '=>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增； ③ 若0a <时，当(0,)2 a x ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(,)2 a x ∈- +∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； （2）要证122x x a +>，只需证12 2 x x a +>， (x)g =22 2(x)2,g (x)20(x)(x)a a f x a g f x x '''=-+-=+>∴=则为增函数。 只需证：12 x x ( )()02 f f a +''>=，即证()2121221212221+0+0a x x a x x a x x x x a -+->?-+->++（*） 又2222 111222ln ,ln ,a x x ax m a x x ax m -+-=-+-=两式相减整理得： 极值点偏移1-2---极值点偏移判定定理 一、极值点偏移的判定定理 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21， （1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏； （2）若)2()(201x x f x f ->，则 021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏. 证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以 021)(2 x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏； （2）证明略. 左快右慢（极值点左偏221x x m +?） 左快右慢（极值点左偏221x x m +?） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述： （1）求出函数)(x f 的极值点0x ； （2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=； （3）确定函数)(x F 的单调性； （4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型 答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+. （1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ； 假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增. （2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=； 注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式. （3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系； 假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+. （4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论； 极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组：赵拥权 一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义 对于可导函数在区间（a,b ）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解 分别为 且 < 2） 若函数f(x)满足 有下列之一成立： ①f(x)在 递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x)) ②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)) 则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质： 1) )(x f 的图象关于直线a x 对称若 则 <=> ,( =0, ); 2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若 则则 ,及 极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f()-f(, F(x)=f(x+)-f( , F(x)=f(x)-f( )确定F(x)单调性 ③结合F(0)=0（F(-)=0,F(判断F(x)符号从而确定f(x+),f(( f(x+)与f( f(x)与f(的大小关系; 答题模式： 已知函数y=f(x)满足 ,为函数y=f(x)的极值点,求证： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( 确定F(x)单调性 高考数学压轴题归纳总结及解题方法专题讲解 函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 例.（2010天津理）已知函数()()x f x xe x R ?=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x =. 证明：12 2.x x +> 构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+??∈， 则0)1()1(')1(')('21>?=??+=+x x e e x x f x f x F ， 所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增，()(0)0F x F >=， 也即(1)(1)f x f x +>?对(0,1]x ∈恒成立. 由1201x x <<<，则11(0,1]x ?∈， 所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +?=?>??==， 即12(2)()f x f x ?>，又因为122,(1,)x x ?∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减， 所以122x x ?<，即证12 2.x x +> 法三：由12()()f x f x =，得1212x x x e x e ??=，化简得2121x x x e x ?=… ， 不妨设21x x >，由法一知，1201x x <<<. 令21t x x =?，则210,t x t x >=+，代入 式，得11 t t x e x += ， 反解出11t t x e =?， 极值点偏移问题的处理策略 所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像 没有对称性。若函数()f x 在0x x =处取得极值，且函数()y f x =与直线y b =交于1(,)A x b ,2(,)B x b 两点，则AB 的中点为12(,)2x x M b +，而往往1202 x x x +≠.如下图所示. 极值点没有偏移 此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！ 【问题特征】 【处理策略】 一、不含参数的问题. 例1.（2010天津理）已知函数()()x f x xe x R -=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x = ， 证明：12 2. x x +> 【解析】法一：()(1)x f x x e -'=-，易得()f x 在(,1)-∞上 单调递增，在(1,)+∞上单调递减， x →-∞时，()f x →-∞，(0)0f =，x →+∞时，()0f x →， 函 数()f x 在1x =处取得极大值(1)f ，且 1 (1)f e =,如图所示. 由1212()(),f x f x x x =≠，不妨设12x x <，则必有1201x x <<<， 构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+--∈， 则 21 ()(1)(1)(1)0x x x F x f x f x e e +'''=++-= ->，所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增， ()(0)0F x F >=，也即(1)(1)f x f x +>-对(0,1]x ∈恒成立. 由1201x x <<<，则11(0,1]x -∈， 所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +-=->--==，即12(2)()f x f x ->，又因为 122,(1,)x x -∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减， 所以122x x -<，即证12 2. x x +> 极值点偏移问题的处理策略及探究 所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数()f x 在0x x =处取得极值，且函数()y f x =与直线y b =交于1(,)A x b ,2(,)B x b 两点，则AB 的中点为12(,)2x x M b +，而往往1202 x x x +≠.如下图所示. 极值点没有偏移 此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类 问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！【问题特征】 【处理策略】 一、不含参数的问题. 例1.（2010天津理）已知函数()()x f x xe x R -=∈，如果12x x ≠，且12()()f x f x =， 证明：12 2. x x +> 【解析】法一：()(1)x f x x e -'=-，易得()f x 在(,1)-∞上 单调递增，在(1,)+∞上单调递减，x →-∞时， ()f x →-∞，(0)0f =，x →+∞时，()0f x →，函 数()f x 在1x =处取得极大值(1)f ，且1 (1)f e = ,如图所示.由1212()(),f x f x x x =≠，不妨设12x x <，则必有1201x x <<<，构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+--∈，则21 ()(1)(1)1)0x x x F x f x f x e e +'''=++-= ->，所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增， ()(0)0F x F >=，也即(1)(1)f x f x +>-对(0,1]x ∈恒成立. 由1201x x <<<，则11(0,1]x -∈， 所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +-=->--==，即12(2)()f x f x ->，又因为122,(1,)x x -∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以122x x -<，即证12 2. x x +>法二：欲证122x x +>，即证212x x >-，由法一知1201x x <<<，故122,(1,)x x -∈+∞，又因为()f x 在(1,)+∞上单调递减，故只需证21()(2)f x f x <-，又因为12()()f x f x =，故也即证11()(2)f x f x <-，构造函数()()(2),(0,1)H x f x f x x =--∈，则等价于证明 ()0H x <对(0,1)x ∈恒成立. 由221()()(2)(1)0x x x H x f x f x e e --'''=+-= ->，则()H x 在(0,1)x ∈上单调递增，所以()(1)0H x H <=，即已证明()0H x <对(0,1)x ∈恒成立，故原不等式122x x +>亦成立. 法三：由12()()f x f x =，得1 212x x x e x e --=，化简得212 1 x x x e x -= …①，不妨设21x x >，由法一知，121o x x <<<.令21t x x =-，则210,t x t x >=+，代入①式， 专题02 极值点偏移问题判定定理 一、极值点偏移的判定定理 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21， （1）若)2()(201x x f x f -<，则 021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏； （2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏. 证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于 b x x a <<<21， 有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2 x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏； （2）证明略. 左快右慢（极值点左偏221x x m +?） 左快右慢（极值点左偏221x x m +?） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述： （1）求出函数)(x f 的极值点0x ； （2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=； （3）确定函数)(x F 的单调性； （4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型 答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+. （1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ； 假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增. （2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=； 注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.来源:https://www.sodocs.net/doc/a37039161.html,] （3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系； 假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出 0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+. 极值点偏移问题的处理策略及探究 所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使 得函数图像没有对称性。若函数()f x 在0x x =处取得极值，且函数()y f x =与直线y b =交于1(,)A x b ,2(,)B x b 两点，则AB 的中点为12(,)2x x M b +，而往往1202 x x x +≠.如下图所示. 极值点没有偏移 此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！ 【问题特征】 【处理策略】 一、不含参数的问题. 例1.（2010天津理）已知函数()()x f x xe x R -=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x = ， 证明：12 2. x x +> 【解析】法一：()(1)x f x x e -'=-，易得()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，x →-∞时， ()f x →-∞，(0)0f =，x →+∞时，()0f x →， 函 数()f x 在1x =处取得极大值(1)f ，且1 (1) f e =,如图所示. 由1212()(),f x f x x x =≠，不妨设12x x <，则必有1201x x <<<， 构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+--∈， 则21 ()(1)(1)(1)0x x x F x f x f x e e +'''=++-= ->，所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增，()(0)0F x F >=，也即(1)(1)f x f x +>-对(0,1]x ∈恒成立. 由1201x x <<<，则11(0,1]x -∈， 所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +-=->--==，即12(2)()f x f x ->，又因为122,(1,)x x -∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减， 所以122x x -<，即证12 2. x x +> 法二：欲证122x x +>，即证212x x >-，由法一知1201x x <<<，故122,(1,)x x -∈+∞，又因为()f x 在(1,)+∞上单调递减，故只需证21()(2)f x f x <-，又因为12()()f x f x =， 故也即证11()(2)f x f x <-，构造函数()()(2),(0,1)H x f x f x x =--∈，则等价于证明 ()0H x <对(0,1)x ∈恒成立. 由221()()(2)(1)0x x x H x f x f x e e --'''=+-= ->，则()H x 在(0,1)x ∈上单调递增，所以()(1)0H x H <=，即已证明()0H x <对(0,1)x ∈恒成立，故原不等式122x x +>亦成立. 法三：由12()()f x f x =，得1 212x x x e x e --=，化简得212 1 x x x e x -= … ，极值点偏移问题专题.(精选)
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