构造新数列

教案

高中数学必修5 用构造法求数列的通项公式

用构造法求数列的通项公式 在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法： 一．利用倒数关系构造数列。 例如：}{n a 数列中，若),(41 1, 21 1N n a a a n n ∈+= =+求a n n n n n b b a b == +1,1 则设+4, 即n n b b -+1＝４， n b {∴｝是等差数列。 可以通过等差数列的通项公式求出n b ,然再求后数列{ a n }的通项。 练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足),(,311 ,2 111N n a a a n n ∈+==+求a n 2)数列{ a n }中，,2 2,111+= =+n n n a a a a 求a n 通项公式。 3)数列{ a n }中,),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-?+≠=--且求a n . 二．构造形如2 n n a b =的数列。 例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52 2 11∈-==+ 解：设4,4,112 -=--==++n n n n n n b b b b a b 即则 ) ,71(,429429429)4()1(25254}{2 2 11N n n n a n a n n b a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-?-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列 练习：已知正数数列{ a n }中，),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-, 求数列{ a n }的通项公式。 三．构造形如n n a b lg =的数列。 例：正数数列{ a n }中，若a 1=10,且),,2(,lg 2 1 lg 1N n n a a n n ∈≥=-求a n . 解：由题意得： n n n n a b a a lg 2 1 lg lg 1=∴=-可设，， 即 ,2 1 1=-n n b b 110lg 2 1 1==∴b b n ，是等比数列，公比为 )(,)2 1 ()21(111N n b n n n ∈=?=∴--. 即1)21 (1 10,)2 1(lg -=∴=-n n n n a a 练习：（选自2002年高考上海卷） 数列{ a n }中，若a 1=3,2 1n n a a =+,n 是正整数，求数列{ a n }的通项公式。 四．构造形如m a b n n +=的数列。 例：数列{ a n }中，若a 1=6,a n+1=2a n +1, 求数列{ a n }的通项公式。 解：a n+1+1=2a n +2, 即a n+1+1=2（a n +1） 设 b n = a n +1, 则b n = 2 b n-1 则数列{ b n }是等比数列，公比是2,首项b １= a １+1＝7, 11271,27--?=+?=∴n n n n a b 即 1271-?=∴-n n a ，)(N n ∈ 构造此种数列，往往它的递推公式形如： 的形式和2)1(,1+=+≠+?=+n a S c d a c a n n n n 。 如：a n+1＝c a n +d,设可化成a n+1+x=c(a n +x), a n+1=c a n +(c-1)x 用待定系数法得： (c-1)x ＝d

构造数列总结

构造数列 林森 本文主要淡淡构造法在高中数列问题的应用。 一、型如 ( 为常数且 ， )的数列，其本身并不是等 差或等比数列，但经过适当的变形后，即可构造出一个新数列，利用这个数列可求其通项公式。 1． (为常数)，可构造等比数列求解． 例1 已知数列满足，（），求通项． 解 由，得，又，所以数列 是首项为，公比为的等比数列，∴． 注：一般地，递推关系式 (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)可等价 地改写成 ，则{}为等比数列，从而可求． 2． 为等比数列，可构造等差数列、等比数列求解。如 (为常 数) ，两边同除以，得，令，则可转化为的 形式求解． 例2 （1）已知数列{a n }中，， ，求通项． （2）已知数列 满足 ， ，求通项 ． 解 （1）由条件，得，令，则，即 ，又，，∴数列为等比数列，故有

，即，∴． （2）由条件，得，即，故数列是以为 首项，以为公差的等差数列，∴，故．3．为等差数列，如型递推式，可构造等比数列求解． 例3已知数列满足，（），求 ． 解令，则，∴，代入已知条件，得，即， 令，，解得=－4，=6，所以，且，∴是以3为首项、以为公比的等比数列，故，故．注此例通过引入一些尚待确定的系数，转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解． 4．为非等差、非等比数列，可构造等差、等比数列求解． 法一、构造等差数列求解： 例4在数列中，（1）若，其中 ，求数列的通项公式；（2）若，求通项． 解（1）由条件可得，∴数列是首 项为0，公差为1的等差数列，故，∴． （2）由条件可得：，∴数列是首项为

，公差为2的等差数列，∴． 法二、构造等比数列求解： 例5已知数列满足，，求数列的通项公式．解设，将已知条件代入此式，整理后得 ，令，解得，∴有，又， 且，故数列是以为首 项，以3为公比的等比数列，∴，故． 二、形如的复合数列，可先构造等差数列或等比数列，再用叠加法、叠乘法、迭代法等方法求解． 例6在数列中，，，，求． 解由条件可得，∴数列是以为首 项，以为公比的等比数列，∴， 故==… === ． 例7已知数列满足，，（），求． 解由已知可得：，又，所以数 列是首项为、公比为的等比数列，∴，即

数列之 求通项公式之 构造新数列之 其他方法

数列之 求通项公式之 构造新数列之 其他方法 1.已知数列{}n a 满足n n n a a n n a a 求,1 ,3211+==+ 2.设{a n }是首项为1的正项数列，且（n +1）a n +12－na n 2+a n +1a n =0（n ∈N *），则它的通项公式a n =_______________ 4.()n f pa a n n +=+1 ())(b kn n f +=。 解法（待定系数法）：只需把原递推公式转化为：)1(1+++n g a n =p [)(n g a n +],其中s tn n g +=)(，再构造等比数列)}({n g a n +求解。 4.已知数列{}n a 中，11=a ，1231-+=+n a a n n ，求n a . 5.n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 11+=+再待定系数法解决。 5.在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+，求n a 。 6.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1 1+=+，求n a 。 7.已知数列{a n }满足a 1=1,且1n n a a +=1n n +，则a 2012=() A.2010 B.2011 C.2012 D.2013 8．已知各项均不为零的数列{}n a ,定义向量()1,+=n n n a a c ，()1,+=n n d n ，n ∈*N . 下列命题中真命题是（ ） A ．若n ?∈*N 总有n n d c ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列 B ．若n ?∈*N 总有n n d c ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若n ?∈*N 总有n n d c //成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若n ?∈*N 总有n n d c //成立，则数列{}n a 是等比数列 答案 1.解：由条件知,1 1+=+n n a a n n 分别令n=1,2,3, ……(n-1), 代入上式得（n-1） 个等式累乘之，即 n a a n n a a a a a a a a n n n 1143322111342312=?-??????????=????????- 又∵,321=a ∴n a n 32= 2.n 1

构造法求数列通项公式

构造法求数列通项公式 求数列通项公式就是高考考察的重点与热点,本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍,供同学们学习时参考。 一、构造等差数列求数列通项公式 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法,将递推公式变形成为 (1)()f n f n +-=A(其中A 为常数)形式,根据等差数列的定义知)(n f 就是等差数列,根据等 差数列的通项公式,先求出)(n f 的通项公式,再根据)(n f 与n a ,从而求出n a 的通项公式。 例1 在数列{}n a 中,1a = 12 ,1n a +=33n n a a +(n N + ∈),求数列{}n a 通项公式、 解析:由a n+1=33+n n a a 得,a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0,两边同除以a n+1 a n 得,= -+n n a a 11 13 1 , 设b n =n a 1 ,则b n+1- b n =31,根据等差数列的定义知, 数列｛b n ｝就是首相b 1=2,公差d=31的等差数列, 根据等差数列的通项公式得b n =2＋31(n-1)=31n ＋35 ∴数列通项公式为a n =53 +n 评析:本例通过变形,将递推公式变形成为 A a a n n =- +1 11 形式,应用等差数列的通项公式,先求出 n a 1 的通项公式,从而求出n a 的通项公式。 例2 在数列｛a n ｝中,S n 就是其前n 项与,且S n ≠0,a 1=1,a n =12 22-n n S S (n ≥2),求S n 与a n 。 解析:当n ≥2时,a n =S n -S n-1 代入a n =1 2 22-n n S S 得,S n -S n-1= 1 222-n n S S ,变形整理得S n -S n-1= S n S n-1两 边除以S n S n-1得,n S 1-11-n S =2,∴｛ n S 1｝就是首相为1,公差为2的等差数列 ∴ n S 1=1+2(n-1)=2n-1, ∴ S n = 121 -n (n ≥2),n=1 也适合,∴S n = 1 21-n (n ≥1) 当n ≥2时,a n =S n -S n-1= 1 21-n -321-n =- 3 8422+-n n ,n=1不满足此式, ∴a n = { 2 11 3 8422 ≥=+--n n n n 评析:本例将所给条件变形成A n f n f =-+)()1(,先求出)(n f 的通项公式,再求出原

(精选)构造法待定系数法求一类递推数列通项公式

构造法、待定系数法求一类递推数列通项公式 陕西省周至中学 尚向阳 邮编710400 摘要：求数学通项公式是学习数列时的一个难点，在教学过程中，笔者发现求解递推数列通项公式是学生学习的难点，这也是高考考查的重点、热点问题，如何来突破这个难点，很好的解决这个问题，其核心思想是构造新的数列，转化为学生熟悉的等差数列或等比数列来解决，下面笔者重点介绍用构造法和待定系数法来求下列六类递推数列模型通项公式的解决策略。 关键字：数列、数列通项、构造法、待定系数法、叠加法 由等差数列联想推广到的递推数列模型： 【模型一】b ka a n n +=+1 （0≠kb ）。 （1） 当1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2） 当1≠k 时，采用待定系数法，构造新的数列---等比数列 }1{-+k b a n 解：由已知1≠k 时，可设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-=k b m ∴构造 新的数列 }1{-+k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n 例1：已知}{n a 满足31=a ，121+=+n n a a 求通项公式。 解：设)(21m a m a n n +=++ m a a n n +=+21 ∴ 1=m ∴ }1{1++n a 是以4为首项，2为公比为等比数列 ∴ 1241-?=+n n a ∴ 121-=+n n a 【模型二】叠加法（或迭代法）求解)(1n f a a n n =-+ 由已知)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用叠加（或迭代法）消项的方法求解。 例2：已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5； （II ）求{ a n }的通项公式.

数列的几种构造法解题

数列几种构造法解题 数列的构造法，我这里仅仅表示的是n 1a 与+n a 之间的常见关系，还有很多需要补充的。 以下主要是以例题为主，表示不同类型的构造方法。 1-n 1-n 1n n 1n 2q a a 等比数列，a 2a ，1例=?==+. 1 -n 2d ）1n （a a 等差数列，2a 2.a 例1n n 1n =-+=+=+ 1 2a 化简可得2）1a （1a 所以整体是等比数列1a ，所以1x 展开解得）x a （2x a 构造等比数列1 a 2a 。3例n n 1 -n 1n n n 1n n 1n -=+=++=+=++=++ 1-n n 011-n 1-n n n 1n n n n 1n n n n 110111 1n 1n n n n 1n n n n n 1 -n 1n n n n 1n 1n n n 1n 2n a 所以n 1）1-n （2a 2a 可以得到 12a 2a 得到 2同除以22a a ）22-3a 化简即可得3 2)32(）33a (33a 即整体是等比数列33a 。所以3x 展开解得）3a （32x 3a 构造13a 23a 可以得到 3首先同除以，间接构造 2解2-3a 所以2）3-a （3-a 所以1 x 展开解得） 3x a （23x a 构造，直接构造法： 1解32a a ）1，4例n ?==?+==-+==-=-=---=+=++==?=-=+=++=++-----+++++n n n n n n n n n x

3n 327an 所以2）33a （33n a 即是等比数列， 3n 3a 所以3 t ，3m 展开解得）， t mn a （2t ）1n （m a 构造 n 3+2a =a ，5例1-n 1 -n 1n n n 1n n 1+n --?=?++=++++==++=+++?+ 综合例6的通项公式。a ，试求n 3a 2a ，2a 已知n n n 1n 1++==+ 1n -23a 所以22 ）113-a （1n 3a 所以1y ，1x ，1m 展开化简依次可以解得）y xn 3m a （2y ）1n （x 3m a 解：构造1n n n 1n 1n 11n n n n 1n 1n -+==?++=++-==-=+++=++++---++

求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十种方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以1 2 n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 1 1==为首项，以2 3 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2 n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、利用 { 1(2)1(1) n n S S n S n n a --≥== 例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数 2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式； 解 ： 22(1) 4 2 31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--… …2分 当1,35811n T b ===--=-时 当2,62 6 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分 练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等 比数列，求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，② 由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2) 当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3 2．（2006年全国卷I ）设数列{}n a 的前n 项的和

求数列通项公式的方法教案例题习题定稿版

求数列通项公式的方法 教案例题习题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

求数列的通项公式的方法 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列， 255a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列，∴9123 a a a =， 即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=? ∵0≠d ， ∴d a =1………………………………① ∵255a S = ∴211)4(2 455d a d a +=??+…………② 由①②得：531=a ，5 3=d ∴n n a n 5 353)1(53=?-+= 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。 练一练：已知数列 ,32 19,1617,815,413试写出其一个通项公式：__________； 2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2) n n n S n a S S n -==-≥。

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。 解：由1121111=?-==a a S a 当2≥n 时，有 ,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -?+-=-=-- ,)1(22221----?+=n n n a a ……，.2212-=a a 经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3 212---+=n n n a 点评：利用公式???≥???????-=????????????????=-2 11n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能 合写时一定要合并． 练一练：①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a ； ②数列{}n a 满足11154,3 n n n a S S a ++=+=，求n a ； 3.作商法：已知12()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =??=?≥?-?。 如数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______ ； 4.累加法： 若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+ +-1a +(2)n ≥。 例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。

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【最新整理，下载后即可编辑】 构造法求数列通项公式 求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。 一、构造等差数列求数列通项公式 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。 例1 在数列{}n a 中，1a = 1 2，1n a +=33n n a a +（n N +∈），求数列{}n a 通 项公式. 解析：由a n+1= 3 3+n n a a 得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得，=-+n n a a 11131， 设b n =n a 1，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知， 数列｛b n ｝是首相b 1=2，公差d=31的等差数列， 根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31 n ＋35 ∴数列通项公式为a n =53 +n 评析：本例通过变形，将递推公式变形成为A a a n n =- +1 11 形式，应用等差数列的通项公式，先求出 n a 1 的通项公式，从而求 出n a 的通项公式。 例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1 2 22-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。 解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n =1 2 22-n n S S 得，S n -S n-1=1 2 22-n n S S ， 变形整理得S n -S n-1= S n S n-1两边除以S n S n-1得，n S 1-1 1-n S =2，∴｛n S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列 ∴n S 1=1+2（n-1）=2n-1, ∴ S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴

数列构造法

构造法求数列的通项公式 在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，在老教材中，可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想，然后借助于数学归纳法予以证明，但新教材中，由于删除了数学归纳法，因而我们遇到这类问题，就要避免用数学归纳法。这里我向大家介绍一种解题方法——构造等比数列或等差数列求通项公式。 构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉. 供参考。 1、构造等差数列或等比数列 由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法. ，对于任意正整数n，都有等式：例1设各项均为正数的数列的前n项和为S n 成立，求的通项a n. 解：，∴ ，∵，∴. 即是以2为公差的等差数列，且. ∴ 例2数列中前n项的和，求数列的通项公式. 解：∵ 当n≥2时， 令，则，且 是以为公比的等比数列， ∴. 2、构造差式与和式 解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式. 例3设是首项为1的正项数列，且，（n∈N*），求数列的通项公式a n. 解：由题设得. ∵，，∴. ∴

. 例4数列中，，且，（n∈N*），求通项公式a n. 解：∵ ∴（n∈N*） 3、构造商式与积式 构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法. 例5数列中，，前n项的和，求. 解： ， ∴ ∴ 4、构造对数式或倒数式 有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决. 例6设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式. 解：两边取对数得：，，设，则 是以2为公比的等比数列， ，，， ∴ 例7已知数列中，，n≥2时，求通项公式. 解：∵，两边取倒数得. 可化为等差数列关系式. ∴

构造法求数列通项公式

构造法求数列通项公式 河南省三门峡市卢氏一高（472200）赵建文 E-mail:zhaojw1968@https://www.sodocs.net/doc/a04232044.html, 求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。 一、构造等差数列求数列通项公式 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为 (1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据 等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。 例1 在数列{}n a 中，1a = 12，1n a +=33 n n a a +（n N + ∈），求数列{}n a 通项公式. 解析：由a n+1=33+n n a a 得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得，= -+n n a a 11 13 1 ， 设b n =n a 1 ，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知， 数列｛b n ｝是首相b 1=2，公差d=31的等差数列， 根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35 ∴数列通项公式为a n =53 +n 评析：本例通过变形，将递推公式变形成为 A a a n n =- +1 11 形式，应用等差数列的通项公式，先求出 n a 1 的通项公式，从而求出n a 的通项公式。 例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1 222-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。 解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n =1 2 22-n n S S 得，S n -S n-1= 1 2 22-n n S S ，变形整理得S n -S n-1= S n S n-1 两边除以S n S n-1得，n S 1-1 1 -n S =2，∴｛n S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列 ∴n 1=1+2（n-1）=2n-1, ∴ S n = 1 21 -n (n ≥2),n=1也适合，∴S n = 1 21 -n (n ≥1) 当n ≥2时，a n =S n -S n-1= 121 -n -321-n =-3 8422+-n n ，n=1不满足此式， ∴a n = { 2 11 3 842 2≥=+--n n n n

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用构造法求数列的通项公式 上海外国语大学嘉定外国语实验学校徐红洁 在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差 (或者通过计算 可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差、等比数列 ,给出数列的首项和递推公式 ,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可 以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列 的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的 类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法： 一．利用倒数关系构造数列。 例如：数列 { a n} 中，若 a12, 1 14(n N ), 求a n a n 1a n 设 b n1,则 b n 1 b n+4, a n 即 b n 1b n＝４， { b n｝是等差数列。 可以通过等差数列的通项公式求出b n,然再求后数列{ a n}的通项。 练习： 1)数列 { a n}n1, a n 11, (n n 中， a ≠ 0，且满足 a1 21N ), 求a 3 a n 2)数列 { a n } 中，a11,a n 12a n, 求a n通项公式。 a n2 3)数列 { a n } 中, a11, a n 0, 且 a n2a n a n1 a n10(n2,n N ), 求 a n. 二．构造形如 b n a n2 的数列。 例：正数数列 { a n } 中，若 a15, a n12a n24(n N ),求 a n 解：设 b n a n2,则b n1b n4,即 b n1b n4 数列 { b n } 是等差数列，公差是4， b1 2 25 a1 b n25( n1)(4)294n 即 a n 2 4n 29 a n294n , (1n7, n N ) 练习：已知正数数列 { a n } 中， a12, a n2a n 1 (n2, n N ) ,求数列 { a n } 的通项公式。 三．构造形如 b n lg a n的数列。 例：正数数列 { a n }中，若 11 lg a n 1 ,( n2, n N ), 求 a n . a =10,且lg a n2 解：由题意得： lg a n1 ，可设 b n lg a n，lg a n2 1 即b n 1 , b n 12 1

构造法求数列通项解答题

1.设数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+． (1)求{}n a 的通项公式； (2)记()2log 1n n b a =+，求数列{}n n b a ?的前n 项和n S ． 答案： (1) 21n n a =- ； (2)()()1 11222 n n n n ++-+- ? . 解答： (1) 11111 211211201021 n n n n n n n a a a a a a a a ++++=+∴+=++=≠∴+≠∴ =+，（）（）,，，， ∴{1}n a +是以2为公比、2为首项的等比数列，12n n a ∴+＝， ∴21n n a -＝； (2) 22211221()(2)n n n n n n n n n a b log a log n b a n n n -∴+?∴?-?-＝，＝＝＝，＝＝， 记122112222212122n n n A n A n n +=?+?++?∴=?++-?+?，（）， ()211121222222212212 n n n n n A A A n n n +++-∴-=-=++ +-?= -?=-?--（）， 1122n A n +∴=-?+（）， ()()()1 11212 22 n n n n S A n n ++=-+++-+- ?＝． 2. 已知数列{}n a ，0n a >，其前n 项和n S 满足1 22n n n S a +=-,其中*n ∈N ． (1) {}n b 是等差数列； (2)设2n n n c b -=?，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求证：3n T ； (3)设1 4(1)2n b n n n d λ-=+-?（λ为非零整数，*n ∈N ） ，试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n d d >+1成立． 答案： (1)1n b n =+；

数列通项公式常用求法及构造法

数列通项公式的常用求法 构造法求数列通项公式 一、构造等差数列求数列通项公式 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。 例1 在数列{}n a 中，1a =1 2 ，133n n n a a a +=+（n N +∈），求数列{}n a 通项公式. 解析：由31 3n n a n a a ++=得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得， =-+n n a a 11 1 31 ， 设b n =n a 1 ，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知， 数列｛b n ｝是首项b 1=2，公差d=31的等差数列， 根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35 ∴数列通项公式为a n =53 +n 例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1 2 22-n n S S (n ≥2)， 求S n 与a n 。 解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n =12 22-n n S S 得，S n -S n-1=12 22-n n S S ，变形整理得S n -S n-1= S n S n-1？两边除以S n S n-1得，n S 1-11-n S =2，∴｛n S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列 ∴n S 1=1+2（n-1）=2n-1, ∴ S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴S n =121-n (n ≥1) 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -321-n =-38422+-n n ，n=1不满足此式， ∴a n ={2 11 3 8422 ≥=+--n n n n 二、构造等比数列求数列通项公式

构造法求数列通项公式讲解学习

构造法求数列通项公 式

构造法求数列通项公式 求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。 一、构造等差数列求数列通项公式 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为 (1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根 据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。 例1 在数列{}n a 中，1a = 12 ，1n a +=33n n a a +（n N + ∈），求数列{}n a 通项公式. 解析：由a n+1=33+n n a a 得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得，= -+n n a a 11 13 1 ， 设b n =n a 1 ，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知， 数列｛b n ｝是首相b 1=2，公差d=31的等差数列， 根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35 ∴数列通项公式为a n =53 +n 评析：本例通过变形，将递推公式变形成为 A a a n n =- +1 11 形式，应用等差数列的通项公式，先求出 n a 1 的通项公式，从而求出n a 的通项公式。 例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =12 22-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。 解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n = 1 222-n n S S 得，S n -S n-1= 1 222-n n S S ，变形整理得S n -S n-1= S n S n- 1两边除以 S n S n-1得， n S 1-11-n S =2，∴｛ n S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列 ∴ n S 1=1+2（n-1）=2n-1, ∴ S n = 121 -n (n ≥2),n=1 也适合，∴S n = 121 -n (n ≥1) 当n ≥2时，a n =S n -S n-1= 121-n -3 21-n =- 3 8422+-n n ，n=1不满足此式， ∴a n = { 2 11 3 8422≥=+--n n n n

数列通项公式、前n项和求法总结全

一.数列通项公式求法总结： 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。 特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式. 变式练习： 1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式 2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和. 2.公式法 求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 求解。 特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系 例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。 （1）13-+=n n S n 。 （2）12 -=n s n

变式练习： 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2 +n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。 2. 已知数列{}n a 的前n 项和2 12 n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，2 2.求数列{}n a 的通项公式。 3.由递推式求数列通项法 类型1 特征：递推公式为 ) (1n f a a n n +=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。 例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。

递推公式求通项公式的几种方

递推公式求通项公式的 几种方 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

由递推公式求通项公式的常用方法 由数列的递推公式求通项公式是高中数学的重点问题，也是难点问题，它是历年高考命题的热点题。对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 方法一：累加法 形如a n +1－a n ＝f (n )（n ＝2,3,4,…）,且f (1)＋f (2)＋…＋f (n -1)可求，则用累加法求a n 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后利用这种方法求解。 例1：（07年北京理工农医类）已知数列{a n }中，a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋cn (c 是常数，n ＝1,2,3,…)且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列 （1）求c 的值 （2）求{a n }的通项公式 解：（1）a1,a2,a3成公比不为1的等比数列 （2）由（1）知n a a n a a n n n n 2,211=-+=++即，将n ＝1,2, …,n －1,分别代入 将上面n －1个式子相加得a n －a 1＝2(1＋2＋3＋…＋n －1)＝n 2－n 又a 1＝2,a n ＝n 2－n ＋2 方法二：累乘法 形如 a n +1 a n ＝g (n )（n ＝2,3,4…），且f (1)f(2)…f (n －1)可求，则用累乘法求a n .有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例2：设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a n ＋12－na n 2 ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝ 1,2,3…)，求它的通项公式。 解：由题意知a 1=1,a n ＞0(n ＝1,2,3…) 由(n ＋1)a n ＋12－na n 2＋a n ＋1a n ＝0 得(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0 因为a n ＞0，则a n ＋1＋a n ≠0，所以a n +1a n = n n ＋1 ,将n ＝1,2, …,n －1,分别代入得 a 2a 1 = 1 2 a 3a 2 = 23 …… a n a n －1 = n －1n 将上面n －1个式子相乘得，a n a 1 ＝12×23×…×n －1n 又a 1=1，则a n ＝1 n

求数列通项公式的11种方法

求数列通项公式的11种方法方法 总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法（少用） 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法 二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-=L L 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-L L L 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3n +，得 111 21 3333n n n n n a a +++=++， 则 11121 3333 n n n n n a a +++-=+，故 因此1 1(13) 2(1)2113133133223 n n n n n a n n ---=++=+--?， 则211 33.322 n n n a n = ??+?- 练习 1.已知数列{}n a 的首项为 1，且 *12() n n a a n n N +=+∈写出数列 {}n a 的通项公式. 答案：12 +-n n 练习2.已知数列 } {n a 满足31=a ， ) 2()1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 n a n 1 2- = 评注：已知a a =1,) (1 n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、