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二次函数

22.1.1二次函数

一.课前预习：求出y 与x 之间的函数关系式

1、正方体的棱长为x ，面积为y ，则正方体的表面积y 与x 的函数关系式为。

2、n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m 与球队数n 之间的函数关系式为。

3、某种产品现在的年产量是20t ，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 与x 的函数关系式为。

观察上面的三个函数解析式，函数y 都是用自变量x 的二次式表示的。一般的，形如y = （c b a ,,为常数，≠a 0）的函数叫二次函数。练习：1.下列函数是二次函数的是（） A 、22-=x y B 、12+-=x mx y C 、212

y D 、y=21

x x - 2.若()222---=x x k y 是二次函数，则k 的取值范围是。 3.若函数()1222

++-=-mx x m y m 是二次函数，则m 的取值为。

4.已知二次函数221x x y -+=，下列说法不正确的是（） A 、二次项为2-x B 、一次项系数为2 C 、常数项为1 D 、二次项系数为1

5.已知二次函数222--=x x y ，当2=x 时，y= ，当x= 时，y= 。二.基础巩固，能力提升

1.下列函数是二次函数的是（）

A. 12+=x y

B. 12-+=x y

C.22+=x y

D.22

x y 2.已知函数()5

1--+=m m x m y 是二次函数，则m 的值为。

3.把二次函数()()x x y -=62-1化成()02≠++=a c bx ax y 的形式是，二次项系数是，一次项系数是，常数项是。

4.二次函数32++-=bx x y ，当2=x 时，3=y 。则这个二次函数的表达式是。

三.二次函数与实际问题

5.九年级毕业生有x人，在毕业晚会上，每两人之间握手一次，x人共握手次数为y，求y与x之间的函数关系式。

6.某药物原价为10元，经过两次降价后为y元，假设每次降价的百分率相同且为x，求y与x 的函数关系式。

7.在一个边长为4的正方形内部，挖出一个半径为x（x 2）的圆，剩下的面积为y，求y与x的函数关系式。

8.用一根长为40cm的铁丝围成一个矩形，矩形的一边长为x cm，面积为y2

cm，求y与x的函数关系式。

9.如图，有一个长为24m的篱笆，一面利用墙，墙长度为22m，围成中间隔有一道篱笆的植物

22m

园地。设植物园地宽BC=x cm，矩形ABCD的面积为y

（1）求y与x的函数关系式

（2）当=x3m时，求y的值

。

10.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠强，另三边用总厂为40m的栅栏围住（如下图）。若设绿化带BC边长为x m，绿化带的面积为2

ycm，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

22.1.2 2ax y =的图像和性质

一、画出2x y =的图像 12、根据表中x ，y 的数值，在坐标平面中描点（x ，y ），再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到2ax y =的图像

可以看出，二次函数2ax y =的图像是一条曲线，它的图像类似于投篮球时或掷铅球时球在空中所经过的路线，所以这条曲线叫做

总结：（1）2x y =的图像是一条；是轴对称图形，对称轴是；它的开口；顶点坐标是；函数2x y =有最点；函数有最值；最值为。二、在同一坐标系中，画出函数22

2,2

1x y x y ==

的图像

总结：2

ax y =（a ＞0）的开口对称轴是或

顶点是，顶点是

抛物线的最低点，抛物线有最值，a 越大，

抛物线的开口越。

三、请你在同一直角坐标系中，画出函数2x y -=，21

x y -=，22x y -=的图像

归纳总结：二次函数2ax y =的图像及性质（1）图像：2ax y =（a ≠0）的图像是一条曲线，这条曲线叫做。

（2）对称性：抛物线2

ax y =关于对称。（3）开口方向：当a ＞0时，抛物线2ax y =开口；当a ＜0时，抛物线2ax y =开口

；

（4）顶点坐标（）；当a ＞0时，抛物线

有最值，为；当a ＜0时，抛物线有最值，为；（5）开口大小：a 越大，抛物线的开口越。说出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点

（1）23x y = （2）23x y -= （3）231x y =

（4）23

1x y -= 开口方向对称轴顶点

四.基础巩固，能力提升

1.关于二次函数24x y =的图像，下列叙述中错误的是（） A.对称轴是y 轴 B.顶点是原点 C.图像的开口向下 D.有最低点

2.抛物线23x y -=的对称轴是，在对称轴右侧，y 随着x 的增大而在对称轴左侧，y 随着x 的增大而

3.若抛物线()21x a y +=有最高点，则a 的取值范围是

4.抛物线2

222

1,2,2x y x y x y =

-==的共同性质是（） A.开口向上 B.对称轴是y 轴 C.都有最高点 D. y 随着x 的增大

5.若点()11,y x 和()2,2,y x 在函数22

x y -=的图像上，且021<

的大小关系是

6.已知抛物线

()02

≠=a ax y ，当1=x 时，3=y ,则=a ，对称轴是

顶点坐标是，抛物线的开口向，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而，当=x 时，函数有最值，为。

22.1.3k ax y +=2

的图像和性质

例2：在同一直角坐标系中，画出二次函数122+=x y ，1-22x y =的图像。

思考（1）抛物线122+=x y 的开口；对称轴；顶点坐标。（2）抛物线1-22x y =的开口；对称轴；顶点坐标。（3）抛物线122+=x y 与抛物线22x y =之间有什么关系？

（4）抛物线1-22x y =与抛物线22x y =之间有什么关系？

练习：1、抛物线3

22-=x y 是由抛物线22x y =怎样平移得到的，指出322-=x y 与y 轴的交点坐标。

2、在同一直角中，画出下列二次函数的图像：221x y =

，2212+=x y ，22

2-=x y 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点。

思考：抛物线k x y +=

1的开口方向，对称轴；顶点。

当k ＞0时，抛物线k x y +=22

可以看作是

x y =

当k ＞0时，抛物线k x y +=22

可以看作是

x y = ；

练习：①抛物线12+=ax y 向下平移m 个单位得到

1212

x y ，则a= ；m= 。 ②如果一条抛物线与121

-2-=x y 的形状相同，

且顶点为（0,3），那么它所对应的函数解析式为。

③抛物线13

+-=x y 开口，顶点坐标

为对称轴为。 ④已知抛物线的顶点是（0，-3），对称轴为y 轴，且经过点（-1，-2），求抛物线解析式。二.基础巩固，能力提升

1.抛物线442--=x y 的开口向，它有最点，这个点的坐标为

2.抛物线22x y -=向上平移4个单位后得到的函数解析式为。

3.抛物线12-=x y 的顶点坐标是。

4.在抛物线23

2+-=x y 的对称轴的左侧（）

A. y 随着x 的增大而减小

B. y 随着x 的减小而增大

C. y 随着x 的增大而增大

D.以上都不对

5.二次函数12+=x y 的图像过A ，B 两点，若A ，B 两点的坐标分别为??? ??429,a ，??

??429,b ，则线

段AB 的长度是（） A.

425 B.2

29 C. 5 D. 229 6.若点P ()a ，1和Q ()b ，1-都在抛物线12+-=x y 上，则线段PQ 的长是 7.抛物线k ax y +=2的图像如图所示

（1）根据图中给出的数据判断点()1,2-、()1-2，是否在此抛物线上？（2）若点()()n m ,1,5-，在此抛物线上，请你用“>”将m ，n ，1

8.已知二次函数2ax y =与c x y +-=22的图像形状完全相同，且抛物线2ax y =沿y 轴向下平移2个单位就能与c x y +-=22的图像完全重合，求c a +的值

.5）

22.1.4 ()2h x a y -=的图像和性质

探究：在同一直角坐标系中，画出二次函数()2121

-+=x y ，()212

1--=x y 的图像。

的开口；对称轴是；顶点。

2、()2

121--=x y 的开口；对称轴是；顶点。

3、()2

121-+=x y 可以看作是221x y -=向平移个单位。

4、()2

121--=x y 可以看作是221x y -=向平移个单位。

思考：抛物线()2h x a y -=与抛物线2ax y =有什么关系？分情况讨论：当h ＞0时：

当h<0时：

练习：在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图像：21x y =，()221+=x y ，()22-2

1x y =

（1）(

221

+=x y 与22x y =之间有什么关系？2-2x y =与22

1x y =之间有什么关系？

（2）()2221

x y 的开口方向；对称轴；顶点。（3）()2

2-2

1x y =的开口方向；对称轴；顶点。

总结：1、二次函数(

)2h x

a y

-=（0

≠a ），当a ＞0时，图像开口，对称轴为x= ；顶点坐标为；当a ＜0时，开口；对称轴为x= ；顶点坐标为； 2、二次函数()2h x a y -=（0≠a ）与2ax y =（0≠a ）开口及形状，只是不同。 3、抛物线()2h x a y -=（0≠a ）的顶点是（2,0），点（-1，-2）在抛物线上，求该抛物线解析式。

二.基础巩固，能力提升

1.下列二次函数中，对称轴是直线1=x 的是（）

A. 12+=x y

B.()212+=x y

C. ()21+-=x y

D.()213--=x y 2.将抛物线2x y -=向左平移2个单位后，得到的抛物线解析式是（） A. ()22+-=x y B.22+-=x y C. ()22--=x y D. 2-2x y -= 3.)2()0≠a

4.抛物线()232-=x y 的开口向，对称轴是，顶点坐标是；它可以看作是由抛物线22x y =向平移个单位得到的。

5.已知一条抛物线的开口方向、形状都与函数22

x y -=完全相同

（1）若顶点坐标为（3，0），则这条抛物线所对应的函数关系式为。（2）若顶点坐标为（-1，0），则这条抛物线所对应的函数关系式为。

6.已知抛物线()22h x y -=的对称轴为直线1-=x （1）求h 的值

（2）若点()()21,5,2y y ，在此抛物线上，请比较21,y y 的大小

7.已知抛物线()22-=x a y 经过点（1,3）求：（1）抛物线的解析式

（2）抛物线的对称轴、顶点坐标；（3）当3=x 时的函数值；

（4）当x 取何值时，y 的值随x 的增大而增大。

22.1.5()k h x a y +-=2的图像和性质

例3：画出函数()112

2-+-=x y 的图像

再向，就得到抛物线()112

2-+-

=x y 。总结:抛物线()k h x a y +-=2的顶点；对称轴为；学生练习：说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点。

1、()5322++=x y

2、()2132---=x y

3、()7342+-=x y

4、()6252-+-=x y

开口方向：对称轴：顶点

例4、要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管应多长？

解：以水管与地面交点为原点，水管为y 轴建立直角坐标系

基础巩固，能力提升：

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为(

k h x y +--=22，则下列结论正确的是（）

A. 0,0>>k h

B.0

,0>k h

2.将函数2

3x y =

的图像，先向平移个单位，再向平移个单位可以得到抛物线()252

+-=x y

3.已知点()()()0,,,21>>n m y n y m 都在抛物线()1532-+-=x y 上，试比较21y y 与的大小。

4.二次函数()k b x y +--=2

的图像如图所示

（1）求k b ,的值；

（2）此抛物线可以由抛物线2

x y -=

5.已知二次函数过点（3，-2），且顶点坐标为（-4，-1），求该二次函数解析式。

6.某次体育测试，一名男生推铅球的路线是抛物线，最高点为（4,3）出手处点A 的坐标为（0,2）（单位：m ）

（1）求函数解析式

（2）求铅球能推出多少米？

22.1.4二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质

一.我们已经知道二次函数()k h x a y +-=2的图像和性质，能否利用这些知识来讨论二次

函数2162

+-=

x x y 的图像和性质？活动（一）：把2162

2+-=x x y 转化成()k h x a y +-=2的形式

顶点；对称轴；性质：

学生练习：把二次函数1422+--=x x y 转化成()k h x a y +-=2的形式，并说出它的开口方向，顶点，对称轴。

二.一般的，二次函数c bx ax y ++=2可以通过配方化成()k h x a y +-=2的形式。

c bx ax y ++=2

=a （）

由此，抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是，顶点。练习：1、写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：

（1）x x y 232+=（2）x x y 22--=（3）8822-+-=x x y （4）342

+-=x x y

2、用配方法写出下列抛物线的对称轴、顶点坐标及最大（小）值

（1）12

2--=x x y （2）x x y 822+-=

三.基础巩固，能力提升

1.二次函数52++=bx x y 配方后y=()k x +-22,则k b ,的值分别为（） A. 0,5 B.0,1 C.-4,5 D.-4,1

2.抛物线c bx x y ++=22的顶点坐标是（-1，-2），则c b ,的值分别是（） A.-1,-2 B.4,-2 C.-4,0 D.4,0

3.点A ()12y ，、B ()23y ，是二次函数122+-=x x y 的图像上两点，则21y y 与的大小关系为

1y 2y

4.已知抛物线c bx x y ++-=2经过点A （3,0），B （-1,0）（1）求抛物线解析式；（2）求抛物线顶点坐标

含参数二次函数分类讨论的方法

二次函数求最值参数分类讨论的方法分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题．一般地,对于二次函数y=a (x -m )2+n ，x ∈[t ，s ]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。 ①表示对称轴在区间［t ，s ］的左侧，②表示对称轴在区间［t ，s ］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t ，s ］的右侧。然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值例１、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ∴此函数图像开口向上，对称轴x=a ①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a ②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a ③、当2≤a ＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3 ④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =3 例2、已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3 [,2]2 -上最大值为1,求实数a 的值分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.

(完整版)初三数学二次函数较难题型

一、二次函数解析式及定义型问题（顶点式中考要点） . 把二次函数的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是 y （x 则 b 、 c 的值为 10. 抛物线 y x 2 ax 4的顶点在 X 轴上，则 a 值为 11. 已知二次函数 y 2（x 3）2 ，当 X 取 x 1和 x 2时函数值相等，当 X 取 x 1+x 2时函数值为 12. 若二次函数 y ax 2 k ，当 X 取 X1 和 X2（ x 1 x 2）时函数值相等 , 则当 X 取 X1+X2时，函数值为 13. 若函数 y a （x 3）2 过（２ . ９）点，则当 X ＝４时函数值 Y ＝ 14. 若函数 y （x h ）2 k 的顶点在第二象限则， h 0, k 0 15. 已知二次函数当 x=2 时 Y 有最大值是１ . 且过（３ . ０）点求解析式？ 17. 已知抛物线在 X 轴上截得的线段长为６二、一般式交点式中考要点 18. 如果抛物线 y=x 2-6x+c-2 的顶点到 x 轴的距离是 3, 那么 c 的值等于（）（A ） 8 （B ） 14 （C ） 8 或 14（ D ）-8 或 -14 19. 二次函数 y=x 2-（12-k ）x+12, 当 x>1 时， y 随着 x 的增大而增大，当 x<1 时， y 随着 x 的增大而减小，则 k 的值应取（（A ） 12 （ B ）11 （ C ）10（D ） 9 20. 若 b 0 ，则二次函数 y x 2 bx 1的图象的顶点在（ A ）（ A ）第一象限（ B ）第二象限（ C ）第三象限（ D ）第四象限 21. 不论 x 为何值 , 函数 y=ax 2+bx+c （a ≠ 0）的值恒大于 0 的条件是（） A.a>0, △ >0 B.a>0, △ <0 1)2 则原 . 如果函数 y （k 3）x k2 . （ 08 绍兴）已知点3k 2 y 1 ) ， 2， 1 ），形状开品与抛物线 y= - 2x 2相同，这个函数解析式为 kx 1 是二次函数 , 则 k 的值是 _ .( 兰州 A ．若 y 1 B ．若 C ．若 x 1 0 y 2，则 x 1 x 2，则 x 2 y 2 D ．若 x 1 10）抛物线 x 1 x 2 x 2 ，则 y 1 y 2 y 1 b y 2 c 图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，所得图像的解析式为 y 2x 3， A . b=2 C . b= -2 . 抛物线 c=2 ， c=-1 (m 1)x 2 ax B. b=2 D. b= -3 c=0 ， (m 2 3m 4）x 5以 Y 轴为对称轴则。 M ＝ 8. 函数 y (a 5)x a 2 a 4a 5 的图象顶点在 Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则 m 的取值范围 5 2x 9. 抛物线 y （3x 1）2 当 x 时， 1 , 当 a ____ 时 , 它是一次函数 ; 当 a 时 , 它是二次函数 . 16. 将 y 2x 2 12x 12 变为 y a(x 2 m ） n 的形式，则 m . 且顶点坐标为（２，３）求解析式？（讲解对称性书写）

二次函数专题之参数范围问题

二次函数专题之参数范围问题 1.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y=2 1 x 2-x+2与y 轴交于点A,顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称。（1）求直线BC 的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4，将抛物线在点A,D 之间的部分（包含点A,D ）记为图像G,若图象G 向下平移t （t ＞0）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围。 2.已知关于x 的一元二次方程ax 2-2(a-1)x+a-2=0(a ＞0). （1）求证：方程有两个不等的实数根. （2）设方程的两个实数根分别为x 1,x 2（其中x 1＞x 2）.若y 是关于a 的函数，且y=a x 2+x 1,求这个函数的表达式. （3）在（2）的条件下，若使y ≤-3a 2+1，则自变量a 的取值范围为?

3.已知关于x的方程x2+(m-2)x+m-3=0. （1）求证：方程x2+(m-2)x+m-3=0总有两个实数根；（2）求证：抛物线y=x2+(m-2)x+m-3总过x轴上的一个定点；（3）在平面直角坐标系xoy中，若（2）中的定点记作A，抛物线y=x2+(m-2)x+m-3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，且△OBC的面积小于或等于8，求m的取值范围. 4.在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像与x轴有交点，a为正整数. （1）求a的值. （2）将二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像先向右平移m个单位长度，再向下平移m2+1个单位长度，当-2≤x≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m的值.

(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法

二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ） (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式：已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直，则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2，，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

2017年二次函数难题30道(解析版)

2017年二次函数难题30道（解析版）（选择题10道填空题10道解答题10道）一、选择题:（共10题） 1．如图，已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴交于点A （-1，0），与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＞0；②4a+2b+c ＞0；③4ac-b 2＜16a ；④ 13＜a ＜23 ；⑤b ＞c ．其中正确结论个数（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个【答案】C 【解析】试题解析：①∵函数开口方向向上，∴a>0； ∵对称轴在y 轴右侧， ∴ab 异号， ∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴， ∴c<0， ∴abc>0，故①正确； ②∵图象与x 轴交于点A(?1,0)，对称轴为直线x=1， ∴图象与x 轴的另一个交点为(3,0)， ∴当x=2时，y<0， ∴4a+2b+c<0，故②错误； ③∵图象与x 轴交于点A(?1,0)， ∴当x=?1时,()()2 110y a b c =-+?-+=， ∴a ?b+c=0，即a=b ?c ，c=b ?a ， ∵对称轴为直线x=1

12b a ∴-=，即b=?2a ， ∴c=b ?a=(?2a)?a=?3a ， ()()2 224432160ac b a a a a ∴-=??---=-< 160a > 2416ac b a ∴-<故③正确. ④∵图象与y 轴的交点B 在(0,?2)和(0,?1)之间， ∴?20， ∴b ?c>0，即b>c ；故⑤正确；故选C. 注：二次函数()2 0.y ax bc c a =++≠ a 决定开口方向，0a >，开口向上；0,a <开口向下. ,a b 共同决定了对称轴的位置.左同右异. c 决定了抛物线和y 轴的交点位置. 2．如图，抛物线()2 0y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，有下列结论：（1）24b ac -＞0；（2）0abc >；（3）80a c +>；（4）630a b c ++>．其中正确结论的个数有（） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】解：∵图象的开口向上，与x 轴有两个交点，对称轴是直线x=1，交y 轴的负

中考数学二次函数存在性问题及参考答案

中考数学二次函数存在性问题及参考答案
一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 . 所得抛物线与轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与轴交于点 C，顶点为 D. （1）写出的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）在线段 AC 上是否存在点 M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由.
2.如图，已知抛物线经过 A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点 O，顶点为 C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PM x 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 P、M、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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二、二次函数中面积的存在性问题 3.如图，抛物线与双曲线相交于点 A，B．已知点 B 的坐标为（－2，－2），点 A 在第一象限内，且 tan∠AOX＝4．过点 A 作直线 AC∥ 轴，交抛物线于另一点 C．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点 D，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点 D 的坐标；若不存在，请你说明理由．
4.如图，抛物线 y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形 ABCD 的四个顶点，梯形的底 AD 在 x 轴上，其中 A（－2,0），B（－1, －3）．（1）求抛物线的解析式；（3 分）（2）点 M 为 y 轴上任意一点，当点 M 到 A、B 两点的距离之和为最小时，求此时点 M 的坐
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二次函数选择题难点大全

二次函数选择题难点大全 1．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法中，错误的是（） A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0） B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6） C．抛物线的对称轴是直线x=0 D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的 2．已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且x3＜﹣1＜x1＜x2，则y1，y2，y3的大小关系是（） A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（） A．③④B．②③C．①④D．①②③ 4．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b ＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，其对称轴为直线x=﹣1，给出下列结果：（1）b2＞4ac；（2）abc＞0；（3）2a+b=0；（4）a+b+c＞0；（5）a﹣b+c＜0．则正确的结论是（） A．（1）（2）（3）（4）B．（2）（4）（5）C．（2）（3）（4）D．（1）（4）（5）6．如图：二次函数y=ax2+bx+c的图象所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b=0； ③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2，正确的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与X轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论： ①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a+c＜1；④b2+8a＞4ac，

中考数学复习：二次函数中矩形存在性

中考数学复习二次函数中矩形的存在性所谓二次函数与矩形存在性问题，即在二次函数中确定动点位置，使其与其他点等构成矩形，本文将对题型构造及解决方法作简单介绍．首先关于矩形本身，我们已经知道：矩形的判定（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）有三个角为直角的四边形．第一步：先画草图。因为题目已经明确四边形顶点的顺序，所以可以得知A，M为矩形相对的两个顶点。第二步：求点坐标，可以直接通过对角线相等计算长度。

解题模型探究 1.铺垫知识铺垫1：直角三角形存在类问题的几何作图方法已知点C为直线上一动点，请问是否存在点C使得△ABC为直角三角形，如果存在，请画出示意图. 图1是指以点A为直角顶点时对应的C点；图2是指以点B为直角顶点时对应的C点；图3是指以AB 为直径和直线相交时对应的C点.上述作图方法我们简称为“一圆两垂直” 铺垫2：直角三角形存在类问题的解题策略详情请参考“二次函数与直角三角形存在类问题” 铺垫3：平行四边形顶点坐标公式根据平行四边形的性质对角线互相平分，可以知道点O为线段AC和线段BD的中点。在平面直角坐标系背景下的矩形存在类问题其本质就是“直角三角形存在类问题”和“平行四边形存在类问题”的结合. 矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：

（AC为对角线时）因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个． 2.题型分类：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；（2）1个定点+3个半动点．思路1：先直角，再矩形在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“２定+1半动+1全动”尤其适用．引例：已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标．

含字母参数的二次函数问题

含字母参数的二次函数问题引入 1.什么是函数？ 2.我们已经学过哪些函数？ 3.对于函数我们需要掌握哪些知识？二次函数知识点回顾 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. 3.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ?? ? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2- =. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =. 4.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2 ax y =；②k ax y +=2 ；③ ()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2 ；⑤c bx ax y ++=2.

它们的图像特征如下：开口大小与｜a ｜成反比，｜a ｜越大，开口越小；｜a ｜越小，开口越大. 5.用待定系数法求二次函数的解析式: （1）一般式：c bx ax y ++=2 .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 6.二次函数与一元二次方程的关系：（1）一元二次方程20ax bx c ++=就是二次函数c bx ax y ++=2 当函数y 的值为0时的情况．（2）二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数 c bx ax y ++=2 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c=0的根．（3）当二次函数c bx ax y ++=2 的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02 =++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数y ＝ax 2 + bx+c 的图象与 x 轴没有交点时，则一元二次方程02 =++c bx ax 没有实数根．练习1．请你利用配方法求下列函数的对称轴和顶点坐标。（1）2 25y x x =++ （2）2 261y x x =+- （3）(2)(5)y x x =++ （4）(23)(1)y x x =+-

二次函数重难题含答案

学科教师辅导讲义教学内容 (一)元二次方程的解法

题型1二次函数的图像和性质例题1 （2012?贵港一模）若直线y=b（b为实数）与函数y=|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是0＜b≤1 ．考点：二次函数的性质．

分析：先求x2﹣4x+3=0时x的值，再求x2﹣4x+3＞0和x2﹣4x+3＜0时，自变量的取值范围及对应的函数式，求函数式的取值范围，判断符合条件的b的值的范围．解答：解：∵当x2﹣4x+3=0时，x=1或x=3， ∴当x＜1或x＞3时，x2﹣4x+3＞0，即：y=|x2﹣4x+3|，函数值大于0，当1＜x＜3时，﹣1≤x2﹣4x+3＜0，即：y=|﹣x2+4x﹣3|，函数最大值为1，故符合条件的实数b的取值范围是0＜b≤1．点评：本题是分段函数的问题，按照绝对值里的数的符号，分段求函数，再求符合条件的b值范围．（2014?）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c= 0 ．考点：二次函数的性质．专题：常规题型．分析：根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），由此求出a+b+c的值．解答：解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1， ∴y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0）， ∴a+b+c=0．故答案为：0．点评：本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0）是解题的关键．例题2

我来试一试！（2014?武汉模拟）直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c ＜0的解集是1＜x＜2 ．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：从图上可知，mx+n＜ax2+bx+c，则有x＞1或x＜﹣；根据ax2+bx+c＜0，可知﹣1＜x＜2；综上，不等式mx+n ＜ax2+bx+c＜0的解集是1＜x＜2．解答：解：因为mx+n＜ax2+bx+c＜0，由图可知，1＜x＜2．点评：此题将图形与不等式相结合，考查了同学们对不等式组的解集的理解和读图能力，有一定的难度，读图时要仔细．题型2二次函数与一元二次方程根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的个数是（） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax2+bx+c 0.02 ﹣0.01 0.02 0.04 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 1或2 考点：图象法求一元二次方程的近似根．专题：计算题．分析：由表格中的对应值可得出，方程的一个根在6.17﹣6.18之间，另一个根在6.18﹣6.19之间．解答：解：∵当x=6.17时，y=0.02；当x=6.18时，y=﹣0.01；例题1

二次函数中和角有关的存在性问题

二次函数中与角有关的存在性问题与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存在性等，解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造相关角： ①平行线的同位角、内错角相等；②等腰三角形的等边对等角；③相似三角形对应角相等；④全等三角形对应角相等；⑤三角形的外角定理等。然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大，需要同学们灵活运用，融会贯通。【类型一相等角的存在性问题】（一）.利用平行线、等腰三角形构造相等角例1 如图，直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线c bx x y ++-=2 与直线y =c 分别交y 轴的正半轴于点C 和第一象限的点P ，连接PB ，得BOA PCB ≌△△（O 为坐标原点）。若抛物线与x 轴正半轴交点为点F ，设M 是点C ，F 间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m . （1）直接写出点P 的坐标和抛物线的解析式. （2）求满足POA MPO ∠=∠的点M 的坐标.

（二）.利用相似三角形构造相等角例2 如图，抛物线c bx x y ++=2 2 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6. （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当EDB FAB ∠=∠时，求点F 的坐标；解：（1）因为OB=OC=6，所以B （6，0），C ()6,0-，将 B 、 C 点坐标代入解析式，得 ()822 162212 2--=--= x x x y ，所以点D 的坐标为（2，—8）（2）如图1，过F 作FG ⊥x 轴于点G ，设?? ? ?? --6221, F 2x x x ，则FG=62212--x x ，AG=x +2，当EDB FAB ∠=∠时，且B ED GA ∠=∠F ，所以BDE FAG ∽△△，所以 FG AG EB DE = ，即2622 12482=--+=x x x ，当点F 在x 轴上方时，则有12422 --=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=7，此时F 点的坐标为?? ? ??297，；当点F 在x 轴下方时，则有）（12422 ---=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=5，此时F 点的坐标为??? ? ?-275，，,综上可知点F 的坐标为??? ?? 297，或?? ? ? ?-275， .