角平分线判定导学案

12.3 角平分线性质导学案

温馨寄语：朝霞般美好的理想，在向你们召唤,你们是一滴一滴的水，全将活跃在祖国的大海里.

一．学习目标：

1、掌握角平分线的判定方法。

2、能够利用角平分线的性质和判定定进行推理和计算。

二．重点与难点

1、角的平分线的判定的证明及运用。5

2、灵活应用角平分线的性质和判定解决问题。

三、学习过程

知识链接

角的平分线的性质是：角平分线上的到角两边的相等。

合作探究

阅读教材第49页（关键处、疑难处做好标记）.独立思考解决以下问题：

角平分线上的到角两边的相等。那么反过来，到角两边的距离相等的点是否在角平分线上呢？你能利用三角形全等来证明吗？请试一试。

求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）

角的平分线的判定定理；角的内部到角两边的距离的点在上。

用数学语言表示为：

∵，，．

∴

四、合作探究

1、要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？

2、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。

证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．

∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．

∴．

同理PE=PF．

∴．

即点P到三边AB、BC、CA的距离．

3、比较角平分线的性质与判定

五、课堂跟踪

1、如图所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C 在_____．

2、如图，AD平分∠BAC，DB⊥AB，若要证明AD=DC,则可以添加的一个条件______．

3、如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________.

第1题第2题第3题

4、到三角形三边距离相等的点是（）

A. 三条高的交点

B. 三条中线的交点

C. 三条角平分线的交点

D. 不能确定

5、如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，

∠A=40°,则∠A__________.

6、如图，OP平分∠APB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A,B。下列结论中不一定成立的是（）

A. PA=PB

B. PO平分∠AOB

C. OA=OB

D. AB与OP互相平分

第5题第6题

7、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD

相交于点O，OB＝OC，求证：∠BAO＝∠CAO

六、能力提升

1、∠B＝∠C＝90°，P是BC的中点，DP平分∠ADC，求证：AP平分∠DAB。

2、如图，PB，PC分别是△ABC的外角平分线且相交于点P，求证：P在∠A的平分线上.

五、收获体会：本节课学习了什么？有何收获？

(完整word版)角平分线导学案.doc

角平分线导学案 一、探索性质 （一）自主学习 要求：先独立完成，后小组交流，采用一帮一互助作用，让全组提升 1、利用尺规作出∠AOB 的角平分线，分条理，清楚说明作图步骤。 2、为你的作图方法寻找理论支撑，并分析出正确的理由。 3、借助你的作图，探索出角平分线的性质，并证明该性质定理的正确性，分别用文字语言和几何语言表示该性质。 4、试写出角平分性性质定理的逆定理，并证明，用几何语言表示该性质。 （二）小组展示 要求：全员参与，分工明确，讲解清楚，提升到位 （三）自主学习检测(口答 ) 1、 AD ， AE 分别是 △ABC 中∠ BAC 的内角平分线和外角 平分线 ,它们有什么 位置关系 ? C E D B A 2、下列推理步骤是否正确 A E P O B F ∵OP 平分∠ AOB ∴PE=PF 3、已知： OP 平分∠ AOB PE⊥ OA,PF ⊥ OB, PE=3 求： PF A E P O B F 4、已知： AO 平分∠ BAC ， OD⊥ BC ， OE⊥AB ，垂足分别为D， E，且 OD=OE 。 求证： CO 平分∠ ACB 。 A E O B C D 小结：在运用角平分线性质和判定的过程中，两个条件缺一不可（*学生提升） 二、性质运用（巩固练习） 1、△ ABC 中，∠ B=90 °， AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D,BC=10cm,CD=6cm, 则点 D 到 AC 的距离是。 2、点 P 在∠ AOB 的角平分线上，PE⊥ OA,PF ⊥ OB,且 PE+PF=8 ，则 PF=. 3、在 Rt △ABC 中，∠ C =90 °， AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D, BC=32,BD:CD=9:7, 则则点 D 到 AB 的距离是。 4、已知：在△ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分线， BD=CD ， DE ⊥AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别为点E， F。求证： EB=FC A E F B C D

§1.4.1。2角平分线(2)导学案

九年级先修课题：§1.4.1角平分线（2） 教学目标：1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。 2、进一步发展学生的推理证明意识和能力。 重点：证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理 难点：证尺规作图 一、前置准备： 三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？ 二、讲授新课： 自主学习： 如图：设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上 定理：。引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=。 对应练习： 1、已知：△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为。 2、到三角形三边距离相等的点是（） A、三条中线的交点； B、三条高的交点； C、三条角平分线的交点； D、不能确定 三、合作交流； 例：△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E。 （1）已知：CD=4cm,求AC长 （2）求证：AB=AC+CD

三、应用深化 四、当堂训练： 1、到一个角的两边距离相等的点在 。 2、△ABC 中，∠C=900, ∠A 的平分线交BC 于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D 到AB 的距离为 . 3、如下左图Rt △ABC 中，AB=AC,BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 于E ，AB=8cm ，则DE+DC= cm 。 4、如上右图△ABC 中，∠ABC 和∠BCA 的平分线交于O,则∠BAO 和∠CAO 的大小关系为 。 5 、Rt △ABC 中，∠C=900，BD 平分∠ABC ，CD=n ，AB=m ，则△ABD 的面积是 。 课后训练： 1、已知：如图，∠C=900，∠B=300，AD 是Rt △ABC 的角平分线。求证：BD=2CD 。 2、已知：OP 是∠MON 内的一条射线，AC ⊥OM,AD ⊥ON,BE ⊥OM,BF ⊥ON,垂足分别为C 、D 、E 、F ，且AC=AD ，求证：BE=BF 3、已知：如图，△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F 。 求证：点F 在∠DAE 的平分线上。 4、已知，如图，P 是∠AOB 的平分线上的一点，PC ⊥OA,PD ⊥OB ，垂足分别为C ，D 。 求证：（1）OC=OD （2）OP 是CD 的垂直平分线。 D A B C F D E A C O P D

新北师大版八年级下册数学 《角平分线(1)》教案

4．角平分线（一） 一、学生知识状况分析 本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上，进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。 二、教学任务分析 学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，并构造其命题，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．本节课的教学目标为： 1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理． 2.进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力． 3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。 教学难点： 正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究新知；第三环节：巩固练习；第四环节：随堂练习；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业 1：情境引入 我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下： 从折纸过程中，我们可以得出CD=CE， 即角平分线上的点到角两边的距离相等． 你能证明它吗? 2：探究新知 （1）引导学生证明性质定理 请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在 全班进行交流． 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P 2 1 E D C P O B A

在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E． 求证：PD=PE． 证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)． (教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导) 我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理。(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．（2）你能写出这个定理的逆命题吗? 我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题． 引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题： 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． 它是真命题吗? 你能证明它吗? 没有加“在角的内部”时，是假命题． (由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导) 证明如下： 已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在么AOB的角平分线上． 证明：PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠ PEO=90°． 在Rt△ODP和Rt△OEP中 OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)． ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)． 逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。 3.巩固练习 综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展

《角平分线的性质》导学案

《角平分线的性质》导学案 教学目标 ：1． 掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用。 2． 理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题． 3． 渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。 教学重点和难点 ：角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点． 性质定理和判定定理的区 别和灵活运用是难点． } 如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ， 沿着AC 画一条射线AE ，AE 就是∠BAD 的角平分线， 你知道 为什么吗 用直尺和圆规作角的平分线 已知：∠AOB 求作：射线OC 使∠AOC =∠BOC ] 做法： 探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察 两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论 (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E 、 求证: PD=PE 几何书写 在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，则： ⑴图中相等的线段有哪些相等的角呢 ⑵哪条线段与DE 相等为什么 - ⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6， 求BE ，AE 的长和△AED 的周长。 P A O 》 B C E D 1 |

在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，AB ＝7㎝，AC ＝3㎝，求BE 的长。 | 如图：在△ABC 中，∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ； 求证：CF=EB 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢 已知：如图,QD ⊥OA ，QE ⊥OB ， （ 点D 、E 为垂足，QD ＝QE ． 求证：点Q 在∠AOB 的平分线上． D ） B A C D ~ E B F

角平分线教案设计

1.3角平分线的性质 一、教材分析：本节课主要探究角平分线的性质与判定，而角平分线的性质对学生后期的三角形的全等起到很重要的作用，学生可以利用角平分线的性质和判定探索问题中的线段的数量关系与三角形全等的证明，实现承上启下的作用。 二、学情分析：学生刚刚经历了三角形的全等证明，对证明线段的长度关系有了探索的方向，本节课主要通过动手实践，摸索角平分线的性质与判定，再利用三角形全等的证明来求证角平分线的性质与判定，进而了解和掌握角平分线的性质与判定。 三、教学目标： ①知识技能：了解角平分线的画法，了解和掌握角平分线的性质，理解角平分线的判定。 ②数学思考：经历角平分线的作法的实践活动，理解角平分线的性质和角平分线的判定。 ③问题解决：作角平分线，运用角平分线的性质与判定解决实际应用中的全等证明。 ④情感态度：在合作探究中体验数学知识来源于生活，在学习过中中体验成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，培养严谨的科学态度。四、教学重点与难点：①教学重点：理解如何作角的平分线（尺规作图），角平分线的性质及运用。

②教学难点：作角平分线中注意为什么要大于线段长的一半，由角平分线的性质得出角平分线的判定。 五、课时安排：1课时。 六、教学方法：合作探究法、引导法。 七、教学过程： （一）：交流预习：预习教材P28-29的内容，展示收获。（教师巡视，师友相互交流，将自己的收获与师傅或学友分享） （二）互助探究：探究①角平分线的画法。 教师用课件展示思考1（教材P48）：师友利用预习的知识加以说明，两组师友展示画法并说明： 1） （教师在师傅的讲解时突出强调为什么要大于DE 2 探究②角平分线上的点到角两边的距离的关系。 教师展示课件教材思考2（P28）

12.3角平分线的性质 精品导学案 新人教版9

c 第十二章 全等三角形 12.3 角平分线的性质 一.学习目标 1.学会角平分线的画法；会用角平分线的性质和判定解决相关问题。 2.在学习过程中，培养动手能力和推理归纳能力 3.在自主学习过程中，体验获取知识的成就感和正反看问题的辩证思想。 二.学习重难点 角平分线的性质、判断及应用。 三.学习过程 第一课时 角平分线的画法及性质 （一）构建新知 1.阅读教材48～49页 （1）如图，已知∠AOB ，求作∠AOB 的平分线。 （2）在角平分线上任取一点P ，作AO 和BO 的 垂线PE 和PF ，交AO 和BO 于E ，F 。 （3）我们发现角平分线上的点到角两边的________相等。 （二）合作学习 1.如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到铁路和公路的距离相等，并离铁路和公路的交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（在图上标出其位置，比例尺1:20000）？ （三）课堂检查

1.如图，线a，b，c是三条公路，现要建一个货物中转站，要 求到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）处。 A．1 B．2 C．3 D．4 2. 已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为___________。 3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的 一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为________。 4. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是 射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最 小值为_______。 5. 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥ AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4， 则AC长是（）。 A．3 B．4 C．6 D．5 6. 已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF。 （四）学习评价 （五）课后作业 1.学习指要23～24页 2.教材43～44页 1题，2题,4题，5题

角平分线性质定理及逆定理-教学设计

《角平分线性质定理及逆定理》教学设计课题16.3角平分线性质定理及逆定理 教材分析 本节课是在学生学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行教学的，它主要学习角平分线的性质定理及其逆定理。同时角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的思路，并为今后在圆一章学习内心作好知识准备。因此它既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫,具有举足轻重的作用，因此本节课在教材中占有非常重要的地位。 学情分析 角平分线的定义和性质，学生在初一的时候有所了解，但对角平分线性质的了解，是通过折纸得到的。而本节课是要求学生在此基础上，对角平分线的性质定理和判定定理进行严密的推理证明，是要求学生把感性认知上升到理性思维的水平。 教学目标1、知识与技能：理解和掌握角平分线性质定理及其逆定理，并能利用它们进行证明和计算。 2、过程与方法：了解角平分线性质定理及其逆定理在生活、生产中的应用并在探索角平分线的性质定理及其逆定理中发展几何直觉。 3、情感态度与价值观目标：在探讨角平分线性质定理及逆定理过程中，培养学生探讨问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。 教学 重点 角平分线的性质定理及逆定理的证明及运用。 教学 难点 灵活应用角平分线的性质定理及逆定理解决问题。 教学 方法 动手操作、小组合作、多媒体、导学案导学 教学过程设计 教学内容教学方式设计意图 一、复习导入 1、角平分线：从一个的顶点引出一 条，把这个角分成两个 的角，这条 _ 叫做这个角的角平分 线。 2、点到直线的距离：从______外一点到 这条直线的_________长度，叫点到直线的距离。板书标题，课件出示学习目标、 学习重点、难点，找学生研读。 提问学生 1、角平分线的定义是什么？ 2、点到直线的距离是什么？ 板书： C O A 通过角的定义你也可以从中 得到哪些角的数量关系? 明确本课 学习目标 复习旧知， 引入新课。激 发学生学习 兴趣和求知 欲。

角平分线导学案

a 角平分线导学案 一、探索性质 （一）自主学习 要求：先独立完成，后小组交流，采用一帮一互助作用，让全组提升 1、利用尺规作出∠AOB的角平分线，分条理，清楚说明作图步骤。 2、为你的作图方法寻找理论支撑，并分析出正确的理由。 3、借助你的作图，探索出角平分线的性质，并证明该性质定理的正确性，分别用文字语言和几何语言表示该性质。 4、试写出角平分性性质定理的逆定理，并证明，用几何语言表示该性质。 （二）小组展示 要求：全员参与，分工明确，讲解清楚，提升到位 （三）自主学习检测(口答) 1、AD，AE分别是 2、下列推理步骤是否正确 3、已知：OP平分∠AOB △ABC中∠BAC的 PE⊥OA,PF⊥OB, PE=3内角平分线和外角 平分线,它们有什么 位置关系 ∵OP平分∠AOB ∴PE=PF 4、已知：AO平分∠BAC，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D，E，且OD=OE。 求证：CO平分∠ACB。 小结：在运用角平分线性质和判定的过程中，两个条件缺一不可（*学生提升） 二、性质运用（巩固练习） 1、△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,BC=10cm,CD=6cm,则点D到AC 的距离是。 2、点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥OA,PF⊥OB,且PE+PF=8，则PF= . 3、在Rt△ABC中，∠C =90°，AD平分∠BAC交BC于点D, BC=32,BD:CD=9:7,则则点D到AB的距离是。 4、已知：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD=CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为点E，F。求证：EB=FC

5、．已知：∠C=90°，∠B=30°，AD是Rt△ABC的角平分线。求证：BD=2CD。 第5题 6、若∠1=∠2，则S△ABD︰S△CAD= 7、如图：∠BOC=∠AOC,OA=OB,PE⊥AC,PF⊥ 8、已知:P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C,D。求证：（1）OC=OD（2）OP是CD的垂直平分线。 组内解决1-5题，全班解决6-8，第6题要注意与相似比的区别，7、8注意训练学生从问题入手的推理能力 三、小结 1、本节课，主要学习的内容有什么？ 2、在运用角平分线性质及运用时，应该注意到什么问题？ 3、解决几何问题时，分析思路是什么？ 4、你还有哪些疑惑？ 四、课堂检测 在△ABC中，∠C=90°,AB=BC,AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB， 垂足分别为点E。 （1）如果CD=4，求AC （2）求证：AB=AC+CD

角平分线教案(教学设计)

角平分线 【教学目标】 1．知识与技能： 掌握角平分线的性质定理和判定定理，能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题。 2．过程与方法： 让学生通过自主探索，运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论，并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别。 3．情感、态度与价值观： 通过认识的升华，使学生进一步理解数学，也使学生关注数学、热爱数学。 【教学重难点】 1．重点： 角平分线的性质定理和判定定理，能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题。 2．难点 灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题。 【教学过程】 一、创设情景，导入新课 角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任一点，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，将∠AOB沿OC对折你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程。 二、师生互动，探究新知 在学生交流发言的基础上，老师板书：角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角两边的距离相等。几何推理为：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD=PE。教师指出条件中不能漏掉PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。 教师指出：角平分线是一条射线，那么这个逆定理应如何表述？学生讨论并发言。在学生发言基础上教师归纳总结，并板书：角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上。

三、随堂练习，巩固新知 1．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，则PC与PD的大小关系是（）。 A．PC>PD； B．PC=PD； C．PC或）。 答案： 1．B；2．=。 四、典例精析，拓展新知 例1： 如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，且BC=8 cm，求△DEC的周长。 答案： 因为BD平分∠ABC，DE⊥BC，∠A=90°， 所以DA=DE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）， 所以DC+DE=DC+DA=AC。 在Rt△ABD ≌Rt△EBD， 所以AB=BE。 又因为AB=AC，

1.4 角平分线 导学案

1.4角平分线（一） 一、学习准备： 角平分线的定义：_______________________ ______ 。 二、学习目标： 1、掌握角平分线的性质及判定定理和它们的证明， 2、能熟练地运用定理解决实际问题。 三、学习提示：阅读P28~29完成下列任务： 1，自主探究： 还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？ 已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E 。 求证：PD=PE 得到定理： 。 练习：如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，∠B=90°，DF ⊥AC ，垂足为F ，DE=DC ， 求证：BE=CF [分析]要证BE=CF ，只需证△BDE ≌△FDC 2. 合作探究： 问题2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你作证明它？ 已知：如图，点P 在射线OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，且PD=PE 。 求证：OC 是∠AOB 的角平分线 得到定理 。 O D A P E C O D A P E B C

3、自学：P29例1 4、练习：1、P29随堂练习1、2 四、学习小结：你有哪些收获 五、夯实基础 1、在RT △ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE 是是斜边AB 的垂直平分线，且DE=1CM ，则AC=_________. 2、如图所示，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ， 则下列结论不正确的是（ ） A 、△AEG ≌△AFG B 、△AED ≌△AFD C 、△DEG ≌△DFG D 、△BD E ≌△CDF 3、△ABC 中, ∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，连结AO ，若∠OBC=25°， ∠OCB=30°，则∠OAC=_____________° 4、∠AOB 的平分线上一点M ，M 到OA 的距离为2CM ，则M 到OB 的距离为____________。 15、已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F 。求证：EB=FC 六、能力提升 1、如右图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD .求证：AD 平分∠BAC . 作业：P30习题1.9—3、4 C A B F E D

人教版八年级数学上册-角的平分线的性质 角平分线的判定教案

第2课时角平分线的判定 一、教学目标 （一）知识与技能 1.了解角的平分线的判定定理； 2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算. （二）过程与方法 在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力. （三）情感、态度与价值观 在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验. 二、教学重点、难点 重点：角的平分线的判定定理的证明及应用； 难点：角的平分线的判定. 三、教法学法 自主探索,合作交流的学习方式. 四、教学过程 温故知新 1、写出命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题. 1、写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题. （一）复习、回顾 1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； ②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； ③过点P作射线OP，射线OP即为所求． 2. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ①推导 已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，

垂足分别为点A、点B． 求证：PA＝PB． 证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON ∴∠PAO＝∠PBO＝90° ∵OC平分∠MON ∴∠1＝∠2 在△PAO和△PBO中， ∴△PAO≌△PBO ∴PA＝PB ②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） 如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON， ∴PA＝PB． （二）合作探究 角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导 已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上． 证明：连结OP

角平分线的判定课堂实录与点评

《角平分线的判定》课堂实录 【教学目标】： 1.知识与技能 ●掌握关于角平分线的两个重要结论。 2.过程与方法 ●让学生通过自主探索、实验领会和感悟关于角平分线判定的重要定理，并体 会感性认知与理性认识之间的联系与区别。 3.情感、态度与价值观 ●通过认识的升华。使学生进一步理解数学，也使数学进一步走向学生，使学 生关注数学，热爱数学。 【教学重难点】 ●重点：理解并会证明角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 ●难点：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上这一结论的证明以及关 于角平分线的两个重要结论的应用。 【教学用具】 三角尺课件导学案 【教学设计思路】 1．本节课采用“成功教育＋先学后交（教）当堂测评”的课堂模式，指导学生归纳和总结解决几何问题的一般规律和方法。 2.本节课主要是证明角平分线的判定定理，并熟练运用角平分线的性质和判定 综合来解决几何问题。 【教学过程】 一．复习导入，引入新知： 师：上课！ 生：老师好！ 师：同学们好，上一课，我们学习了角平分线的性质，让我们先复习一下。请同学们告诉我“角平分线的性质”是怎样的？ 生：（全班同学齐刷刷举起手。） 师：请李某回答。 生: 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 师：回答得非常准确。那么它用数学符号语言怎样表示呢？ （出示课件中角平分线的性质所构造的图形） 生：（学生积极举手） 师: 请张某回答。 生：因为OP平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,所以PE＝PF （教师立即在黑板上板书过程） 师：请问各位同学，张某的叙述有问题吗？ 生：没有。（学生异口同声地回答） 师: 在这个叙述中，应格外注意条件部分要满足角平分线，垂直，结论部分才会有两条垂线段相等。 【点评】：通过复习，帮助学生回顾角平分线性质，为本节学习角平分线的判定做好铺垫，并从学生已有的数学经验出发，建立新旧知识之间的联系， 培养学生梳理知识体系的习惯。

角平分线判定导学案

和安中学2017-2018学年第一学期八年级数学导学案审核人：12.3 角平分线性质导学案 温馨寄语：朝霞般美好的理想，在向你们召唤,你们是一滴一滴的水，全将活跃在祖国的大海里. 一．学习目标： 1、掌握角平分线的判定方法。 2、能够利用角平分线的性质和判定定进行推理和计算。 二．重点与难点 1、角的平分线的判定的证明及运用。5 2、灵活应用角平分线的性质和判定解决问题。 三、学习过程 知识链接 角的平分线的性质是：角平分线上的到角两边的相等。 合作探究 阅读教材第49页（关键处、疑难处做好标记）.独立思考解决以下问题： 角平分线上的到角两边的相等。那么反过来，到角两边的距离相等的点是否在角平分线上呢？你能利用三角形全等来证明吗？请试一试。 求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明） 角的平分线的判定定理；角的内部到角两边的距离的点在 上。 用数学语言表示为： ∵，， ∴

和安中学2017-2018学年第一学期八年级数学导学案审核人： 四、合作探究 1、要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？ 2、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。 证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F． ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上． ∴ 同理PE=PF． ∴ 即点P到三边AB、BC、CA的距离

3、比较角平分线的性质与判定 和安中学2017-2018学年第一学期八年级数学导学案审核人： 五、课堂跟踪 1、如图所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C在_____．． 2、如图，AD平分∠BAC，DB⊥AB，若要证明AD=DC,则可以添加的一个条件______．． 3、如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________. 第1题第2题第3题 4、到三角形三边距离相等的点是（）

4 角平分线 省优 【一等奖教案】

1．4 角平分线 第1课时 角平分线 1．复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；(重点) 2．能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．(难点) 一、情境导入 问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线的性质定理 【类型一】 应用角平分线的性质定理证明线段相等 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF .求证：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB . 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即CD ＝DE .再根据Rt △CDF ≌Rt △EBD ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行证明． 证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .在Rt △DCF 和Rt △DEB 中，∵? ????BD ＝DF ， DC ＝DE ，∴Rt △CDF ≌Rt △EBD (HL)．∴CF ＝EB ； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE .在△ADC 与△ADE 中，

∵? ????CD ＝DE ，AD ＝AD ， ∴△ADC ≌△ADE (HL)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB . 方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等． 【类型二】 角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4， 则AC 的长是( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC ＝12×4×2＋1 2 ×AC ×2＝7，解得AC ＝3.故选D. 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出 线段的长度是常用的方法． 【类型三】 角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用 如图所示，D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点．DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，垂 足分别为E ，F .求证：CE ＝CF . 解析：由角平分线上的性质可得DE ＝DF ，再利用“HL ”证明Rt △CDE 和Rt △CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 证明：∵CD 是∠ACG 的平分线，DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，∴DE ＝DF .在Rt △CDE 和Rt △CDF 中，∵? ??? ?CD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △CDE ≌Rt △CDF (HL)，∴CE ＝CF . 方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据， 可作为判定三角形全等的条件． 探究点二：角平分线的判定定理 【类型一】 角平分线的判定 如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证： AD 是∠BAC 的平分线．

七年级复习专题之：线段中点与角平分线的类比学习(学案免费)公开课

复习专题之：线段中点与角平分线的类比学习(学案) 【学习目标】 1、在已有知识基础上，进一步理解线段中点与角平分线的应用。 2、会进行知识的横向迁移,总结解题规律与经验。 3、通过类比迁移有效沟通知识间的联系，突破教学难点,提高解决问题 的能力。 【学习重点】 通过同类型题目的对比,能够在具体的解题中体会线段中点与角平分线之间的区别与联系。 【学习难点】通过类比习题之间的异同，学会进行知识间的迁移，并能够总结出解题方法和规律。 【学法指导】类比迁移、分类讨论、归纳总结思想的综合应用。 【学习过程】 【环节一】线段的中点及角平分线知识回顾 线段中点:把一条线段分成____的两部分的点,叫这条线段的中点． ? 结合图形写出它的符号语言（１)由__＿__＿_＿＿___＿_＿____＿___ 得①：ＡC＝BC(等） ②：ＡB= = (倍) ③:ＡC=AB= (份）反之,由①、②、③之一 可得： （1)若已知AC=3，求BC,则用哪一种表示方法:___＿__＿＿_＿___．（2）若已知AC＝３，求AＢ,则用哪一种表示方法：＿___________＿．?(3）若已知AB=6，求AＣ，则用哪一种表示方法：______＿_____＿. 角平分线:从一个角的＿___引出一条射线,把这个角分成____的两个角的射线，叫这个角的角平分线． 结合图形写出它的符号语言（1）由OB是∠AOC的平分线 得①：∠AＯB＝∠ＢOC（等) ②：∠AOC= = (倍） ③:∠AOＢ=∠BOＣ= (份） 反之，由①、②、③之一 可得: （1）若已知∠BＯC=3５°,求 ∠AOB，则用哪一种表示方 法:______＿__.?（2)若已知 O A C B

角平分线的性质导学案

角平分线的性质（1）导学案 学习目标： 1.会用尺规作图作角平分线。 2.探究理解角平分线的性质并会应用。 一、自主学习 角平分线：从一个的顶点引出一条，把这个角分成两个的角，这条叫做这个角的角平分线。 二、探究活动 活动1： 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ 活动2： 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ 你能用三角形全等的知识说明角平分仪的工作原理吗？ 活动3： 如何用尺规作角的平分线？ 探究验证： 1.操作测量：在上图的角平分线oc上取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥ 3.得出结论： 证明结论： 已知： 求证： 证明： 活动4： 师生共同总结证明命题的步骤A D O B E P C O A C B

三、例题讲解： 例：在△OAB 中，OE 是∠ AOB 的角平分线，且EA=EB ，EC 、ED 分别垂直OA ，OB ，垂足为C ，D ，求证：AC=BD 。 四、课堂达标： 1.如图,OC 是∠AOB 的平分线,点P 在OC 上,PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别是D 、E,PD=4cm,则PE=__________cm. 2.如图，OC 平分∠AOB ， PM ⊥OB 于点M ，PN ⊥OA 于点N ， △POM 的面积为6，OM=6，则PN=_______。 3:如图，在△ABC 中，∠C ＝900，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若BC ＝8,BD ＝5，则点D 到AB 的距离为？ O A B E C D A D O B E P C A C B A B M N P C

新北师大版八年级下册数学 《角平分线(2)》教案

４．角平分线（二） 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解和理解，在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生证明推理能力。 二、教学任务分析 本节课的教学目标是： 1．知识目标： （1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论． （2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用． 2．能力目标： （1）进一步发展学生的推理证明意识和能力． （2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力． （3）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力． 3．情感与价值观要求 ①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 4．教学重点、难点 重点 ①三角形三个内角的平分线的性质． ②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题． 难点 角平分线的性质定理和判定定理的综合应用． 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：设置情境问题，搭建探究平台；第二环

节：展示思维过程，构建探究平台；第三环节：例题讲解；第四环节：课时小结;第五环节：课后作业。 第一环节：设置情境问题，搭建探究平台 问题l 习题1．9的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？ 于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点” ． 当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。 第二环节：展示思维过程，构建探究平台 已知：如图，设△ABC 的角平分线．BM 、CN 相交于点P ， 证明：P 点在∠B AC 的角平分线上． 证明：过P 点作PD ⊥AB ，PF ⊥AC ，PE ⊥BC ，其中D 、E 、F 是垂足． ∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上， ∴PD =PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)． 同理：PE =PF ． ∴PD =PF ． ∴点P 在∠BAC 的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)． ∴△ABC 的三条角平分线相交于点P ． 在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢? （PD =PE =PF ，即这个交点到三角形三边的距离相等．） 于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 D F E M N C B A P

角平分线的性质与判定学案

§11．３ 角平分线的性质 两课时 学案 教学目标 1、能够证明角平分线的性质定理、判定定理 2、能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题 教学重点和难点 重点：角平分线的性质定理、判定定理 难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题 教学过程设计 探究： 下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ． 思考： １．用 可以截相等的线段 ２．在以上基础上，已知一角如何画出该角的平分线 一、尺规作图 1、已知：∠AOB ， 2、练习，画出下列角的平分线 求作：∠AOB 的平分线OC 3、练习，教材P19 ３．已知 ∠AOB ，OC 平分线∠AOB ，你会利用此图构造全等三角形吗 二、角平分线的性质 （1）点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。 探究： 课本２０页 如图：OP 平分∠AOB ，PE ⊥OA ，PD ⊥OB ，显然PD 的长度是 ， PE 的长度是 PE ，PD 有何关系？ 请加以证明 证明： （2） 角平分线性质定理（ 即已知角的平分线，能推出什么样的结论） 数学语言： 用符号语言来翻译这句话．请填下表： B A P O D A B P C

（老师在此补充命题证明的步骤）1）符号语言 ∵或 ∴ 思考：那么在角的内部，到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 根据下表中的图形写出已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并加以证明： 证明: 由此得角平分线的判定 三、角平分线的判定定理 定理： 符号语言 ∵ ∴或 思考：角平分线的判定和性质之间有什么联系？ 四、应用：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，?离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？ 1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质和判定有关吗？用哪一个解决这个问题？ 2．比例尺为1：20000是什么意思？ 结论：1．应该用．?集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处． 2．在纸上画图时，常用厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，?这就涉及一个单位换算问题．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中表示实际距离的意思．作图如下： 第一步： 第二步：

1.4.1角平分线导学案

1.1.4等腰三角形（第4课时） 、目标导航: 1、会证明角平分线的性质定理及其逆定理. 2、进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言.转化为符号语言、图形语言的能力. 3、经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。 二、自学检测: 1、还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗? 已知: 求证: 证明: 2、上面定理的逆命题是: 它是真命题吗？（）如果是，请证明它。 已知: 求证: 证明:

三、以学定教: 例题：在△ ABC 中，/ BAC = 60。，点D 在BC 上，AD = 10 , DE丄AB , DF丄AC,垂足分别为E, F,且DE = DF，求DE的长. 四、互动探究: 1、如图，AD AE分别是△ ABC中/A的内角平分线和外角平分线，它们有什么 关系? 2、用尺规怎样做已知角的平分线呢？并对自己的做法加以证明 作图:证明:

3、利用尺规作一个三角形三个内角的平分线，你发现了什么? 4. 如左下图,在^ ABC 中,/ ACB=90 ,BE 平分/ ABC DEI AB 于 D ,如果 AC=3cm 那么AE+DE 等于（ 5. 如右上图,已知 AB=AC AE=AF BE 与CF 交于点D,则①△ ABE^A ACF BDF^A CDE ③D 在/ BAC 的平分线上,以上结论中,正确的是（ 五、达标训练: 1.如图（1）,AD 平分/ BAC 点P 在AD 上，若PE 1AB,PF 丄AC 则PE. PF. 2.如图（2） , PD 丄AB PE ±AC ,且 PD=PE 连接 AP,则/ BAP. / CAP. 3.如图（3） , / BAC=60 , AP 平分/ BAC PD 丄 AB PE 丄 AC,若 AD=^3 ,则 PE= A.2 cm B.3 cm D.5 cm E F Q C.4 cm