高中数学必修二平面解析几何的教材分析和教学建议

高中数学必修二平面解析几何的教材分析和教学建议

一、课标要求

（1）直线与方程

①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．

②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率

的计算公式．

③能根据斜率判定两条直线平行或垂直．

④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），

体会斜截式与一次函数的关系．

⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．

⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．

（2）圆与方程

①掌握确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．

②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．

③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

（3）空间直角坐标系

①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系

刻画点的位置．

②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索得出空间两点间的距离公式．二全国卷近四年直线与圆的高考题及分析

科数学·T12)设点()0,1M x ,若在圆22:1O x y +=上存在点N ,使得

45OMN ?∠=,则0x 的取值围是

A.[－1，1]

B. 11[,]22

- C. [2,2]-

D. 22,22??-???? 圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆

C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ?的面积 2015 (2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T7)

过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y 轴于M N 、两点,则||MN A.2

B.8

C.

D.10

(2015·新课标全国卷文科Ⅰ)已知过点()1,0A 且

斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231

x y -+-=交于M N 、两点.（I ）求k 的取值围； （II ）

12OM ON ?=，其中O 为坐标原点，求MN . 2016 (2016·新课标全国卷文科ⅠT15)设直线a x y 2+=与圆022:22=--+ay y x C 相交于

B A ,两点，若32||=AB ，则圆

C 的面积为____

(2016·新课标全国卷ⅡT6) 圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距

离为1，则a = A ．43- B ．34

- C ．3 D ．2 分析以上四年全国卷，我们可以看出：

（1）文科年年都考查直线与圆的位置关系，其中2013、2014、2015年都考查了一道解答题，分值为12分，而2016年考查弱化了，只有一道选择题，分值5分，文科是否有种趋势，考查选择题；理科2013考查一道解答题，2014、2015一道选择题，,2016没有考查直线与圆.

（2）试题难度为中等难度，直线与圆的试题没有压轴题，基本都在试卷的中间，选择题考查的偏多，时而为选择的最后一个较难的题.

（3）直线与圆的综合题占主流，基本没有单纯考查直线方程的试题多数，多为直线与圆的位置关系、直线与圆中的几何度量（弦长、距离、面积等）、动点的轨迹问题，同时也强化了与其他知识（向量、不等式、函数、圆锥曲线等）的整合.

（4）注重数学思想方法的考查，如坐标法、数形结合、函数与方程、化归转化的思想，凸显用代数的方法解决几何问题的能力.

三 解析几何的基本思想方法

解析几何是几何学的一个分支，是通过坐标法运用代数工具研究几何问题的一门学科，解析几何的基本思想：用代数的方法解决几何问题．解析法，就是坐标法，解析几何就是在坐标系的基础上，用代数的

方法研究几何问题一门学科．它将形与数有机地结合起来，体现了数形结合的重要数学思想。

用解析法研究几何图形的性质，须先将几何图形置于坐标系下，对“形”进行翻译转化，将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题（把点转化为坐标、把曲线转化为方程）；然后，再将代数问题几何化------分析代数语言的几何含义，使代数语言更直观、更形象地表达出来。

曲线方程

几何特征数式和数量关系

四直线与圆的教学建议

（一）重点突出，把握教学要求

注意“解析几何”知识容的前后衔接，准确把握教学要求和难度．《必修2》的直线与方程、圆的方程，以及选修1-1（2-1）中圆锥曲线与方程、选修4-4坐标系与参数方程一起构成了经典的平面解析几何容的主干，教学时，要注意知识容的衔接，把相关容放在平面解析几何容的通盘中考虑，切实把握每部分的教学要求和难度。例如在圆的教学中，应突出圆的几何特性，回避综合性强、运算量偏大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章．

（二）思想渗透，提升数学素养；

解析法的思想是通过代数方法将几何问题的研究变成有章可循，而且能按一定的步骤或程式去推导、求解，实际上是设计了一种算法．研究直线的过程和研究圆的过程就是解析几何研究曲线的两个案例，体现了“坐标法”研究问题的一般流程．在解析几何初步的教学中，教师让不断地、反复地让学生感悟坐标法、体会数形结合思想，形成正确的数学观；对解析几何容采用的处理方式，主要是为了增进学生对几何本质的理解，培养学生对几何学习的兴趣，克服几何学习可能会造成学生两极分化的弊端．例如，对直线与圆的交点问题，教材教科书采用了通过方程求直线与圆的交点的方法，也采用比较圆心到直线的距离与半径大小的关系来判断的方法，这样，在将学生所学知识加以整合和升华的同时，也为后续容（直线和圆锥曲线的位置关系）的学习奠定了基础．

（三）联系贯通, 梳理教材体系

在教学中，让学生站在较高位置上寻找知识关系结构，体会和理解知识之间的关系，使知识结构框立体化，夯实基础，形成系统．

（四）自主探索，提高主观能动性

教学中，注意提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法. “观察”、“思考”、“探究”等栏目设置的目的之一就是让学生参与到数学活动中.

例如4.2.2中例3. 研究圆221:+2880C x y x y ++-=与圆222:4420C x y x y +---=的关系时，

把它们的方程相减，得到+210x y -=时，在边空处有要求：“画出圆1C 与2C 以及方程+210x y -=表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？”更进一步，能否说，要研究圆1C 与圆2C 的关系只要研究直线+210x y -=与1C （或2C ）的关系就可以了呢？ 教材边空处所提要求，不仅体现了“化归”的思想，而且是颇具思考价值的，因此教学中要重视用好.

（五）信息技术，感受形象直观

平面解析几何是一门典型的数与形结合的学科，信息技术在加强几何直观，促使数与形结合方面有着特殊的作用. 借助信息技术，可以形象、直观地帮助学生认识所研究的直线.在动态演示中，观察直线的性质，在直观了解的基础上，寻求形成这些性质的原因以及代数表示.通过对方程的研究，了解直线与直线的关系时，运用信息技术，可以进一步验证得到的结果，为抽象的认识增添形象的支持.

（六） 题组教学，强化思维训练

1.直线的方程：通过一次函数引进直线的“斜截式”，从而提出斜率的概念、倾斜角的概念、在y 轴的截距的概念，重点强调的是b k 、、α的变化.

【题组】（1）直线()2110x a y +++=的倾斜角得到取值围是_____.

（2）直线l 与经过()()()2

2,11A B m m R ∈，，两点，则直线l 的倾斜角的取值围为______．

2.两直线的位置关系：

通过平行和垂直问题的解决，感受用代数方法研究几何图形性质的思想． 两直线0:;0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 平行的等价条件???≠-=-00122

11221C A C A B A B A 两直线0:;0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 垂直的等价条件02121=+B B A A

【题组1】已知直线()()12:3453,:258l m x y m l x m y ++=-++=

（1）12l l ；（2）1l 与2l ；（3）1l 与2l 相交；（4）1l 与2l 垂直.

【题组2】已知直线l 经过两条直线233=0+20x y x y --+=和的交点．

（1）若直线l 与直线3+1=0x y -平行，求直线l 的方程．

（2）若直线l 与直线3+1=0x y -垂直，求直线l 的方程．

3．平行系和过定点的直线系

例：已知)25(),13(，，B A -

【题组1】（1）若直线l 与线段AB 有交点，且斜率为2，求直线l 的截距的取值围．

（2）若直线l 与线段AB 有交点，且过点)11(--，A ，求直线l 的截距的取值围.

【题组2】（1）若直线0132=+++m y x 与线段AB 有交点，求m 的取值围．

（2）若直线1-+=k kx y 与线段AB 有交点，求k 的取值围．

（3）若直线013)2()12(=-+-++m y m x m 与线段AB 有交点，求m 的取值围．

【题组3】 动点(),P x y 在线段AB 上，则

（1）y x +2的最大值．

（2）x

y 2+的取值围．

（3）2

2y x +的最小值．

（4）x y x 222++的取值围．

4.点关于直线的对称点的问题 【题组】已知点()11，

A ,直线l ：023=+-y x （1） 求点A 关于l 对称点'A ．

（2） 在l 上找一点P ，使得PO PA +最小．

（3）在x 轴上l 找一点M ,在直线l 上找一点N ,使得AMN ?周长最小.

5. 利用“待定系数法”求圆（或直线）的方程

例：已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线1l ：=2x -的右侧，若圆M 截直线1l 所得的弦长为23，

且与直线2240l x -=：相切，求圆M 的方程．

【思维程序】1.画草图；（可以建立最佳的代数关系；且可以确定解的个数等等）；

2.问什么设什么；

3. 有多少个待定系数，建立对应的代数式；

4. 准确求解、还原方程.

6.与圆有关的最值问题

【题组1】已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则

（1）

x

y 的最小值为________，最大值为________．（斜率型） （2）x y -的最小值为________，最大值为________．（截距型） （3）22y x +的最小值为________，最大值为________．（距离平方型）

【题组2】已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．

（1）求MQ 的最大值和最小值．

（2）求点M 到直线0=+y x 的距离的最大值和最小值．

（3）若M (m ，n )，求

n －3m ＋2

的最大值和最小值． 【题组 3】

（1）直线y x b =+与曲线x b 的取值围；若没有公共点呢？两个公共点呢?

（2）当曲线()24y k x x =-+有两个相异交点时，求k 的取值围．

7.动点的轨迹问题

【题组1】（1）一条线段()=2AB AB a 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求线段AB 的中点M

的轨迹方程-----定义法(借助几何画板的动态展示，点M 在运动时，保持到原点的距离为定长)

（2）已知A B 、分别在x 轴和y 轴上滑动，且OA OB OD AB ⊥⊥、，求点D 的轨迹方程．-----参数法

【题组2】已知圆22:4C x y +=上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆一点，P ，Q 为圆上的动点．

（1）点M 与两个定点()()000O A ，，2，的距离比为2

1，求点M 的轨迹方程．------直接法 引申为：点M 与两个定点()()000O A ，，2，的距离比为()0λλ>，求点M 的轨迹方程．

（2）求线段AP 中点的轨迹方程．------相关点法

（3）若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点N 的轨迹方程．------几何法

（4）过点B 的动直线与圆C 交于,E F 两，线段EF 的中点为G ，求点G 的轨迹方程．------几何法&参数法

（5）定点H (－3,4)， 以OH 、OP 为两边作平行四边形（或菱形、矩形等）HOPK ，求点K 的轨迹方程．------相关点法&几何法

8.直线与圆的动态位置关系

【题组1】（1）()()()22

2330x y r r -+-=>上到直线3+4110x y -=的距离等于1的点有3个，求r 的值．

（2）()()()222330x y r r -+-=>上到直线3+4110x y -=的距离等于1的点有两个，求r 的取值围．

【题组2】

（1）在直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有一个点到直线1250x y c -+=的距离为1，数c 值．

（2）在直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有两个点到直线1250x y c -+=的距离为1，数c 的取值围．

思考：三个点、四个点的 情况呢？

【题组3】

（1）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ．

（2）在直线0x y m ++=上存在点P 可作圆 22:1O x y +=的两条切线PA PB 、，切点为A B 、，且60APB ∠=,数m 的取值围．

（3）已知圆()()22

1114C x y -+-=：，在直线:60l x y A +-=，为直线l 上一点.若圆M 上存在两点B C 、 使得60BAC ?∠=，求点A 横坐标的取值围．