2015北大 高校自主招生数学试题及解答

2015北大

一.选择题

1.整数x,y,z 满足xy+yz+zx=1，则(1+2x )(1+2y )(1+2z )可能取到的值为（）

A ．16900

B ．17900

C ．18900

D ．前三个答案都不对

2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（）

A ．3524

B ．3624

C ．3724

D ．前三个答案都不对

3.已知x ∈[0,

2π]，对任意实数a ，函数y=2cos x ?2a cosx+1的最小值记为g(a )，则当a 取遍所有实数时，g(a )的最大值为（

）A ．1B ．2

C ．3

D ．前三个答案都不对4.已知2010?202是2n

的整数倍，则正整数n 的最大值为（

）A ．21B ．22C ．23D ．前三个答案都不对5.在凸四边形ABCD 中，

BC=4，∠ADC=60°，∠BAD=90°，四边形ABCD 的面积等于2

AB CD BC AD ?+?，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（）

A ．6.9

B ．7.1

C ．7.3

D ．前三个答案都不对

二.填空题6.满足等式120151

11+(1)2015

x x +=+（的整数x 的个数是_______．7.已知a ,b,c,d ∈[2,4]，则2

2222()()()

ab cd a d b c +++的最大值与最小值的和为___________

8.对于任意实数x ∈[1,5],|2x +px+q|≤2,__________

9.设x=2222b c a bc +-,y=2222a c b ac +-,z=2222b a c ba

+-,且x+y+z=1，则201520152015x y z ++的值为___10.设12,,...,n A A A 都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集，已知|i A |为奇数，1≤i ≤n,|i j A A ?|为偶数，1≤i ≠j ≤n ，则n 的最大值为____________

三．解答题

11.已知数列{n a }为正项等比数列，且3412a a a a +--=5,求56a a +的最小值

12.已知f (x)为二次函数，且a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))成正项等比数列，求证：f (a )=a

13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐角△ABC 的三边满足a >b>c ，求证：这个三角形内接正方形边长的最小值为sin sin ac B a c B

+14.从O 出发的两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于A 、B 两点，且AOB S ?=c(c 为定值),记AB 的中点为X ，求证：X 的轨迹为双曲线

15.已知i a (i=1,2,3,…,10)满足：1210...a a a +++=30，1210...a a a <21，求证：i a ?，使得i a <1

##Answer##

1．1+2x =xy+yz+zx+2x =(x+y)(x+z)，同理1+2y =(y+z)(y+x),1+2

z =(z+x)(z+y)(1+2x )(1+2y )(1+2z )=2

[()(y z)(z x)]x y +++，对照前三个答案，只有A 是一个完全平方数

检验，不妨取x+y=2,y+z=5,z+x=13,有解x=5,y=?3,z=8.选A

2.考虑将1,2,?,99这99个正整数分成如下50组(1,99),(2,98),?,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50，则必有2个数位于(1,99),(2,98),?,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组，不合题意．所以这50个不同的正整数中必有50，而(1,99),(2,98),?,(47,53),(48,52),(49,51)中，每组有且只有一个数被选中．因为50+49=99，所以(49,51)中选51；因为51+48=99，所以(48,52)中选52；以此类推，可得50,51,52,?,98,99是唯一可能的选法．经检验，选50,51,52,?,98,99满足题意，此时50+51+?+98+99=3725。故选D ．

3.令t=cosx ，令h(t)=2t ?2a t+1,t ∈[0,1],g(a )=2(1)22,1()1,01(0)1,0h a a h a a a h a =-≥??=-+<

作图象知最大值为1，选A

4.2010?202=202(205-1)=202(105+1)(105-1)=202(105+1)(55+1)(5-1)(432

555+++5+1),

432555+++5+1是奇数，5-1=4是22，55+1=54+1（）+1被4除余数为2，同理105+1被4除余数也是2，于是n 的最大值为24，选D

5.设四边形ABCD 的面积为S ，直线AC,BD 的夹角为θ，则

7.设a =(a ,d),b =(b,c)，二者夹角为θ，则所求为2||||a b a b ??? ??? =2cos θ，如图

0≤θ≤∠AOB ?1≥cos θ≥cos ∠AOB=||||OA OB OA OB ? =45?1625≤2cos θ≤1。填41258.设y=f (x)=2x +px+q,x ∈[1,5]，它可以由y=2x ,x ∈[-2,2]平移得到，y=2x 最值之差为4，根据|2

x +px+q|≤2，只能平移到顶点在(3,-2)处，有232424

p q p ?-=???-?=±???67p q =??=-?；同理67p q =-??=?也满足条件，22p q +89，不超过它的最大整数为9.填9

9.x+y+z=1?222222222

()()()2c a b c b a c b a b c a abc +-++-++-=32223232()(2)0

a b c a b c bc a c bc b b c ?-+-+-+-+-=3222()()()(b c)0

a b c a b c a b c ?-+--+-+=?22[()]()()0a a b c b c a b c -+----=?(a -b-c)(a -b+c)(a +b-c)=0

不妨设a ≤b ≤c ，则c=a +b ，于是x=222()2b c c b bc

+--=1，同理y=1,z=-1，于是201520152015x y z ++=1，填110.每个元素当做一个子集，就满足要求；填9

11.设数列{n a }的公比为q,由已知12a a +=25

1q ->0,则

56a a +=(12a a +)4

q =4251q q -210q t -=>设25(1)t t +=5(t+1t +2)≥5×12t t ?+)=20，等号成立当且仅当t=1t

?t=1?2,故56a a +的最小值为2012.(方法一)设f (x)=m 2x +nx+t(m ≠0),a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))公比为q(q>0)

则22222223()(())()()()((()))()(()f a ma na t

aq f f a f aq m aq n aq t aq f f f a f aq m aq n aq t aq ?=++=?==++=??==++=?①

②

) ③

①-②并化简得到：m a (1-2q )+n(1-q)=q(1-q),②-③并化简得到：m a q(1-2q )+n(1-q)=q(1-q)从而q=1,f (a )=a

(方法二)由已知()f a a =(())()f f a f a =((()))

(())f

f f a f f a ，假设f (a )≠a 则(())()()f f a f a f a a --=((()))(())

(())-()f f f a f f a f f a f a -?A(a ,f(a )),B(f (a ),f (f (a )),C(f (f (a)),f (f (f (a ))))，

AB k =BC k ?A,B,C 三点共线?一条直线与抛物线交于三个点，矛盾

故f (a )=a

13.证明：设正方形的边长为x ，△ABC 外接圆半径为R

，当内接正方形如图所示时11sin sin c B x x c B a -=?1x =sin sin ac B a c B +=22b ac R

b

a c R +=2abc

Ra bc

+同理其他情况，内接正方形的边长分别为2x =2abc Rb ac +，3x =2abc Rc ba

+1x -2x =2abc

Ra bc +-2abc Rb ac +=()(2)(2)(2)abc

a b c R Ra bc Rb ac --++<0?1x <2x ,

同理1x <1

x 于是1x 最小，从而这个三角形内接正方形边长的最小值为sin sin ac B

a c B

+14.证明：设2θ为12,l l 的夹角，以O 为原点，12,l l 的角平分线为x 轴，建立直角坐标系，如图

设X(x,y),|OA|=a ,|OB|=b ，则A(a cos θ,a sin θ),B(bcos θ,-bsin θ)

cos 2sin 2

a b x a b y θθ+?=???-?=??，于是22x y -=a b 因AOB S ?=12a bsin2θ=c,于是a b=2sin 2c θ，X 的轨迹方程为22x y -=2sin 2c θ

,轨迹是双曲线15.(反证法)假设i ?，i a ≥1，设i a =1+i b (i b ≥0),1210...a a a +++=30?1210...b b b +++=201210...a a a =1210(1)(1)...(1)b b b +++=1+(1210...b b b +++)+1213b b b b ++…≥21与1210...a a a <21矛盾故i a ?，使得i a <1

【精品】2021年全国高校自主招生数学模拟试卷含答案15

2021年全国高校自主招生数学模拟试卷十五 含答案 一．选择题(每小题5分，共30分) 1．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx=0}，N={(x ，y )|x 2+y 2 ≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ） (A )4 (B )5 (C )8 (D )9 2．已知f (x )=a sin x +b 3 x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是（ ） (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值 3．集合A ，B 的并集A ∪B={a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（ ） （A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）27 4．若直线x =π 4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的 弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( ) (A ) π4 (B ) π3 (C ) π 2 (D )π 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h ，则sin C －A 2 +cos C +A 2 的值是( ) (A )1 (B ) 12 (C ) 1 3 (D )-1 6．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1，F 2为焦点)是( ) 二、填空题（每小题5分，共30分） 1．二次方程(1-i )x 2 +(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根的充分必要条 (A) (B) (C) (D)

2015北大自主招生数学试题

一.选择题 1.整数x,y,z 满足xy+yz+zx=1，则(1+2x )(1+2y )(1+2z )可能取到的值为（ ） A ．16900 B ．17900 C ．18900 D ．前三个答案都不对 2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（ ） A ．3524 B ．3624 C ．3724 D ．前三个答案都不对 3.已知x ∈[0,2 π]，对任意实数a ，函数y=2cos x ?2a cosx+1的最小值记为g(a )，则当a 取遍所有实数时，g(a )的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．前三个答案都不对 4.已知2010?202是2n 的整数倍，则正整数n 的最大值为（ ） A ．21 B ．22 C ．23 D ．前三个答案都不对 5.在凸四边形ABCD 中，BC=4，∠ADC=60°，∠BAD=90°，四边形ABCD 的面积等于 2AB CD BC AD ?+?，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（ ） A ．6.9 B ．7.1 C ．7.3 D ．前三个答案都不对 二.填空题 6.满足等式120151 11+)(1)2015 x x +=+（的整数x 的个数是_______． 7.已知a ,b,c,d ∈[2,4]，则2 2222()()() ab cd a d b c +++ 的最大值与最小值的和为___________ 8.对于任意实数x ∈[1,5],|2x +px+q|≤2,的最大整数是__________ 9.设x=2222b c a bc +-,y=2222a c b ac +-,z=222 2b a c ba +-,且x+y+z=1，则201520152015x y z ++的值为___ 10.设12,,...,n A A A 都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集，已知|i A |为奇数，1≤i ≤n,|i j A A ?|为偶数，1≤i ≠j ≤n ，则n 的最大值为____________ 三．解答题 11.已知数列{n a }为正项等比数列，且3412a a a a +--=5,求56a a +的最小值 12.已知f (x)为二次函数，且a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))成正项等比数列，求证：f (a )=a 13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐角△ABC 的三边满足a >b>c ， 求证：这个三角形内接正方形边长的最小值为sin sin ac B a c B + 14.从O 出发的两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于A 、B 两点，且AOB S ?=c(c 为定值),记AB 的中点为X ， 求证：X 的轨迹为双曲线 15.已知i a (i=1,2,3,…,10)满足：1210...a a a +++=30，1210...a a a <21，求证：i a ?，使得i a <1 ##Answer## 1．1+2x =xy+yz+zx+2x =(x+y)(x+z)，同理1+2y =(y+z)(y+x),1+2 z =(z+x)(z+y)

自主招生数学试题

自主招生试题选讲(清华、北大、交大等) 清华大学、上海交通大学、中国科学技术大学、南京大学、西安交通大学五所顶尖大学自主招生上强强联手，掀开了国内高招史上的新篇章 自主招生试题特点：试题难度高于高考，有的达到竞赛难 度，试题灵活，毫无规律可寻，但各个学校有自己命题风 格。一般说来，各高校对后续性的知识点：如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。 应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，基础题目分数比例大约占60-70% 2、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围 3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。 几个热点问题 方程的根的问题： 1.已知函数，且没有实数根．那么是否有实数根？并证明你的结 论．（08交大） 2.设，试证明对任意实数： （1）方程总有相同实根； （2）存在，恒有．（07交大） 3.（06交大）设 （05复旦）在实数范围内求方程：的实数根． 5.（05交大）的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数， 求a,b,c的值． 6. 解方程：．求方程（n重根）的解．(09交大) 凸函数问题 1. (2009复旦) 如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x，y都满足 ，则称这个函数时下凸函数，下列函数 （1）（2） （3）（） （4） 中是下凸函数的有-------------------。 A．(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 2. （06复旦）设x1,x2∈（0，），且x1≠x2，下列不等式中成立的是：(1)

（tanx1+tanx2）>tan; (2) （tanx1+tanx2）sin; (4) （sinx1+sinx2）0，a，b，c是x，y，z的一个排列。求证：。 12.求所有3项的公差为8的自然数数列，满足各项均为素数。 13.求所有满足 的非直角三角形（这里表示不超过的最大整数）

大学清华大学等名校自主招生个人陈述自荐信优秀

大学清华大学等名校自主招生个人陈述自荐信 优秀 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

北京(清华)大学自主招生 优秀原创范文 （自主招生个人陈述自荐信） 希望这篇原创范文能助同学们一臂之力！ ============================================ 尊敬的北京（清华）大学招生老师： 您好！ 我叫某某某，今年××岁，是来自××省××市××中学的一名高三学生。我出生在一个朴素（农民/工人/干部/职工）的家庭，勤劳、诚实、质朴父母的谆谆教诲，让我养成了吃苦耐劳精神。在××中学三年的熏陶，让我形成了稳重踏实的作风、严谨求学的态度；同时学习生活中所遭遇的挫折与不幸，磨练了我积极乐观的人生态度。 在××中学三年时光里，我积极参加各种学科竞赛，并获得过多次奖项。其中：××××××（列举有代表性的获奖证书）。在高中各项学科竞赛中我养成了求真务实、努力拼搏的求学精神，并在社会实践活动中加强自己的创新能力和实际操作动手能力。 在学习上，我刻苦进取、兢兢业业，无论是高一高二月考、期中考、期末考，还是高三联考，我的成绩都能在年级名列前茅。（这里列举有代表性的考试名次和高中学业水平考试或会考的成绩）在平时，我自学一些关于×××专业相关知识（表现大学某专业的兴趣），并在实践中锻炼自己。在班级工作上，我曾担任过班级班长、学生会×××、××协会等职务，从中锻炼自己的组织管理能力。

我喜欢文学，（这里阐述自己的个性特长兴趣爱好）对文学的爱好让我的眼界更宽广，让我的思维更加广阔。在全国××××××（列举有代表性的获奖证书）。在浩瀚的文学海洋中，我读懂了人生真谛。自嘲“职业是生病，写作是业余”的史-铁生，他字里行间透露出对生命和生活的思索给予我深深的 感动，他的坚忍不拔精神使我在遭遇生活挫折与不幸时亦能从容淡定。读《鲁滨逊漂-流记》，我沉醉于生命与自然的完美契合，读《钢铁-是怎样炼成的》，我动容于保尔·柯察金的钢铁般意志……? 北京大学一直是我心目中向往的象牙塔。北京大学有着悠久的历史，深厚的文化底蕴，丰富的教学资源，良好的学术氛围，为社会培养出许多杰出人才，（阐述自己所认识的北京大学历史背景，以及自己向往的北京大学具体专业，发展方向）。我期望成为北京大学的一名学生，希望在北京大学深造，渴望成为一名对社会、对祖国有用的人才，希望成为北京大学光荣历史的见证人。我母校××中学许多学长学姐都不约而同的选择北京大学为第一志愿。我也非常渴望能在××年夏天拿到贵校的录取通知书，我希望这次北京大学自主招生考试能够改变我的人生轨迹，让我投入到贵校的怀抱，我希望能被贵校录取。 我的人生座右铭是——“有志者，事竟成,破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴”！不断的刻苦进取造就我扎实的知识，求学路上的艰辛磨砺出我坚忍不拔的品质，传统生活的熏陶塑造我朴实的作风，青春的朝气赋予我满怀的信心热情。此时此刻，我手捧菲薄自荐之书，心怀自信诚挚之念，期待北京大学的老师能给我一个机会，我将会用行动证明自己。 我相信：今天我以北京大学为荣，明天北京大学将以我为傲！感谢北京大学老师从百忙之中抽出时间来惠览我的自荐信！

高中自主招生数学试题

2019数学试题 考试时间 100分钟 满分100分 说明：（1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！ （2）请在背面的答题纸上作答。另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！ 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）。每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里，不填、多填或错填都得0分。 1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图．图中A 点表 示十月的平均最高气温约为15C o ，B 点表示四月的平均最低气温约为5C o ．下面叙述不 正确的是 A ．各月的平均最低气温都在0C o 以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均气温高于20C o 的月份有5个 2．上图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集为 A ．1x <-或5x > B ．5x > C ．15x -<< D ．无法确定 第2题 20C o 15C o 10C o 5C o A 十月 四月 三月 二月 一月十二月 十一月 九月 八月 七月 六月 五月 B 平均最低气温 平均最高气温

3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是,,M I N 中的一 个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ． 115 B ． 815 C ．18 D ． 130 4．在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若22245b c b c +=+-且 222a b c bc =+-，则ABC ?的面积为 A B C D 5．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积．．． （表面面积，也叫全面积）为 A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 参考公式：圆锥侧面积S rl π=，圆柱侧面积2S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长． 6．如下图，在ABC ?中，AB AC =，D 为BC 的中点， BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =， 则AE = A B C D 7．ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =，2c =，2cos 3 A =，则b = A B C ．2 D ．3 8．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短．．路径条数为 A ．9 B ．12 C ．18 D ．24 E G F g g g 正视图 g 侧视图 俯视图 第5题图

清华大学自主招生自荐信范文：3篇

清华大学自主招生自荐信范文：3篇 清华大学自主招生自荐信范文篇一：尊敬的清华大学招生办领导、老师们： 您好，我叫**，是****市**中学高三文科(11)班的一名学生，非常感谢您耐心看完我的个人申请材料。我知道，一封短信无法全面地展示自我，但我仍然会坚持实事求是，尽量言简意赅。 当我以一个孩童的视角捕捉到“清华”这个字眼时，只觉得她是一个好听的名字，大人们向往的眼神让我在懵懂中产生了好奇。随着年龄的增长，对她渐深的了解让我产生了想拥抱她的那种清新而强烈的感觉。愈了解她的历史，愈觉文化之博深;愈了解她的精神，愈觉人性之纯朴;愈了解她的宗旨，愈觉前路之浩荡。“自强不息，厚德载物”这信奉了十年的座右铭一直伴随着我，铺开了我的成长之路。 自强不息篇 我由衷地热爱生命，感谢生活孕育出我乐观、开朗、坚韧不拔的性格。我原想收获一缕春风，她却给了我整个春天!于是，我挥动乒乓球拍、羽毛球拍为她增添活力，用钢琴叮咚的乐声为她伴奏，用横笛的悠远和葫芦丝的淳厚为她添一缕安静的气息。远离了空虚，我为生命自强不息! 从来没有被迫读过书，对知识的渴求皆兴趣使然。自从记忆抽芽，浩瀚的知识所闪耀的人类智慧的光辉就让我迷醉。曾经，

对理科浓厚的兴趣让我执意去体会往头上扔苹果的“万有引力”，然而疼痛的感觉让我懂得了感性的冲动并不能代替自然科学严密的逻辑思维和推理。当倾向感性的我以高二文科生的身份看待理科并尝试从哲学的高度去思索时，我豁然开朗了：原来文、理科中居然蕴涵着如此多的神奇的共性，文、理科根本就是人类为了方便研究社会和自然更加精细化、专业化的分工而已。从那时起，我立志做一个文理兼通的人。我相信，文科的感性和理科的逻辑思维会让我坐拥蓝天，笑看云起云落，我也为自己选择清华这样一所工科见长的大学里攻读文科找到了合理的理由。 我深知我的幸福在遥远的苍穹，而我对于学习尤其是哲学的质疑与思考似乎在不断丰满着我的羽翼。我曾私下翻阅了《西方哲学史》等书籍，粗略地了解了一些哲学流派，提出了一些毫无顾忌的观点，并且坚持追求我的“真理”。徜徉于学海，我为学习自强不息! 厚德载物篇 德行是灵魂的力量和生气，做一个有道德的善良的人一直是我丈量人生尺度的标尺。我们祖国不仅需要精通科研的高新人才，而且更需要一批撑起华夏脊梁的“钢筋水泥”!这是真正的中华美德的沉淀，真正的民族凝聚力!我曾为学校的爱心大使深入残疾人社区，他们身体的残缺与精神的坚韧牵动了我的每一根心弦，帮助他们，我的责任!也曾作为市流动献血车的义务宣传员为汶川受灾的人们尽一份绵薄之力，默默祈祷天佑四川;而在孝敬父母的“五个一”活动中，触碰到妈妈老茧密布的脚丫的一刹，极力忍住泪水，我暗暗发誓：我要用一生来回报您我的母亲，来世让我

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2 一．选择题（36分，每小题6分） 1、 函数f(x)=)32(log 22 1--x x 的单调递增区间是 (A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x 2-2x-3>0?x<-1或x>3，令f(x)=u 2 1log , u= x 2-2x-3，故选A 2、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 解：B 3、 函数f(x)= 22 1x x x -- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解：A 4、 直线134=+y x 椭圆 19 162 2=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 解：设P 1(4cos α,3sin α) (0<α<2 π )，即点P 1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P 1AOB 的面积S 。 S=11 O BP O AP S S ??+=ααcos 432 1 sin 3421??+??=6(sin α+cos α)=)4sin(26πα+ ∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6 ∴626)(max 1-=?AB P S ∵626-<3 ∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ，故选B 5、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的 每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有 (A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 49 99C 解：不妨设b 1

北大自主招生试题及答案

北大自主招生试题及答案 2008北京大学自主招生语文试题及答案 一共五大题。 一、写出一个四字短语，要求：偏旁相同。 二、用十个字写一句语义明确的话，要求：声母都是卷舌音，即zh,ch,sh,ri. 三、用文言写一段话，字数50以内。要求：至少出现三个“之”，每个之的意思用法都不相同。 四、默写一首五言律诗。再在每句适当的地方添加两个字，使之成为一首七言绝句。意境不必相同。 五、某官员贪污腐败被人检举，在单位的职工大会上作了检讨。请你模拟想象该官员的心理与口气，写一份检讨书。要求：检讨看似深刻，实际上毫无悔改之心，堆砌词藻，敷衍了事。字数600-700。 参考答案： 1、江河湖海波涛汹涌汹涌澎湃魑魅魍魉琴瑟琵琶 2、这是成人日，仍属正常处。（怎么说怎么别扭） 3 、（1）本日，百数人齐聚京师之考场，为大学之自主招生，全国瞩目之。有人捧卷，久之，叹息搁笔。（就地取材。第一个“之”是“的”。第二个是“的”。第三个是代词。第四个是音节助词。） （2）翌日，各路英雄好汉齐聚长春大学之综合楼，摩拳擦掌，跃跃欲试。忽闻一兄台曰：科举考试，听之任之，如是而已。呜呼，真英雄耳！ 4、春晓

春眠不觉晓，处处闻啼鸟。夜来风雨声，花落知多少。 悠悠春眠不觉晓，时时处处闻啼鸟。漫漫夜来风雨声，家家花落知多少。 5、这个题有点怪，好像不教人学好。为什么要让学生写这种假惺惺的文章？ 人活着是为了生活快乐幸福，我却把生活当成了战场。我的生活主旋律是不满足也不幸福，因为贪婪占有的心是永远满足不了的，永远体验不到真正的幸福，永远在苦苦地追求更大的权力、更高的地位、更多的金钱，在恶性循环中耗尽生命之能。 回想我没有出事前，常常感到疲惫不堪，暴躁易怒，匆忙急躁，活得很累。一年来我反复思考这个问题，寻找原因。如今我感到，最根本的一点，是因为把自己看得太重要了，把权力、地位、金钱看得太重要了。总以为自己比别人强，总想得到更多人的尊重羡慕，总想得到更大的名声；总怕自己的自尊和面子受到伤害；总想得到更大的权力、更高的地位、更多的财富。按常理，追求这些很正常，但我太过分了、扭曲了、变态了。一个目标刚实现，立刻又有了新的目标，马不停蹄，费尽心机，精疲力尽、暴躁易怒。 我现在感到，追求事业首先不应有贪婪占有思想，应当客观根据自身的条件、能力，以平和的心态做事，要把做事本身作为目的，把过程作为目的。 在这种拜金主义思想的支配和影响下，金钱左右了我的价值取向、思想行为，使我失去了宝贵的自由。现在我知道，与自由相比，金钱一文不值。这种动机与结果的关系，细想让人感到真是莫大的讽刺。每个人都希望拥有幸福，但拜金主义不会给人带来幸福，只能使人走向贪婪。贪婪的人永远不满足，因此，可能抢占、囤积了许多财物，但精神永远是空虚不幸福的。我曾以为可以通过追求权力、地位、财富使自己获得幸福，没想到成了没有自由的最不幸福的人。 考生乙答案（回忆版） 1 魑魅魍魉 2 忍失人生志，执之只是痴

清华大学高考自主招生领军计划历年面试真题(2015年—2018年)

清华大学高考自主招生领军计划历年面试真题(2015年—2018年) 同样，小北也为大家准备了清华近4年的综合评价招生面试真题。清华也是从2015年才 开始在全国范围开展综合评价招生！ 清华大学2018年领军计划面试题 学科面试：1.建筑系：7位考官面试一个学生，不仅考查学生的综合素质，还考查他们对于各省市建筑的理解和表达。 2.数学系：给出4道题目让考生现场在黑板上作答，考官根据考生的解答思路或提问或追问。清华大学2017年领军计划面试题 1.材料阅读：影响你选择大学以及专业志愿的有哪些因素？请列举出来并说明理由。 可以借鉴但不局限于所给三则材料：第一则选择大学更重要还是选择专业更重要，第二则选 择专业有哪些影响因素，第三则大学排名，包括US NEWS、泰晤士、QS、软科世界大学排名、毕业生就业力排名等等。 2.对人才培养的看法 3.对清华理念的理解 清华大学2016年领军计划面试题 1.时政题是南京一个母亲盗窃超市为给自己的女儿过儿童节，警察赶到后宽大处理并帮助筹 集善款，你怎么看？反映了什么社会问题？ 2.如果你在清华创立社团，你会创建什么社团？怎样让它发展得更好？ 3.大学应该无微不至地照顾学生，宽容对待他们的小错误还是应该训练学生适应社会？ 4.关于考生个人，被问到为什么选择这个专业 清华大学2015年领军计划面试题 1.你对“中国式过马路”怎么看? 2.你对“中国梦”怎么理解? 3.2012年度的五大新闻是什么，如果你是新闻评论员，请对这些新闻事件作出评论。 4.你对“钓鱼岛事件”怎么看? 清华大学与北大相似，题目涉及范围较广，与经济、社会的各个方面相关。童鞋们在做 好充分准备的同时也要大方主动的展示自己的想法，不要太过于谨慎，甚至羞于表达。

全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总

全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一．集合与命题 (2) 二．不等式 (9) 三．函数 (20) 四．数列 (27) 五．矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率统计 (31) 六．排列组合，二项式定理，概率统计（续）复数 (35) 七．复数 (39) 八．三角 (42)

近年来自主招生数学试卷解读 第一讲集合与命题 第一部分近年来自主招生数学试卷解读 一、各学校考试题型分析： 交大： 题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单； 考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项 式定理、解析几何和立体几何 复旦： 题型：试题类型全部为选择题（四选一）； 全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）； 试题难度：基本相当于高考； 考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等； 考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等 同济： 题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：基本上相当于高考； 考试知识点分布：常规高考内容 二、试题特点分析： 1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。

关键步骤提示： 2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。 关键步骤提示： ()()() 42432 22342(2)(2)(1)(2)(1) f a x x a x x x x x x a x x x =--++-=+-+++-1 1 1 (,),(,),(,)n n n i i i i i i i i i i i d u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质，

最新完美版清华大学自主招生数学试题

2015年清华大学自主招生数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ?=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ） A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：αβ ，m α?，n β?，A α∈，B β∈，且AB 与α 所成的角为4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3 π ，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ， 过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F

近十年清华北大自主招生试题汇总

1.（2007清华） 对于集合2 M R ?（表示二维点集），称M 为开集，当且仅当0,0P M r ?∈?>，使得{}2 P R PP r M ∈?与集合{}(,)0,0x y x y ≥>?是否为开集，并证明你的结论。 2，（2009北大） 已知,cos cos 21x R a x b x ?∈+≥-恒成立，求max ()a b + 3，（2009清华） 已知,,0x y z >，a 、b 、c 是x 、y 、z 的一个排列。求证： 3a b c x y z ++≥。 4，（2006清华） 已知a ，b 为非负数，44M a b =+，a+b=1，求M 的最值。 5，（2008北大） 实数(1,2,i i a i b i ==满足123a a a b b b ++=++，122313122313a a a a a a bb b b bb ++=++，123123min(,,)min(,,)a a a b b b ≤。求证：12312m a x (,, )m a x (,,)a a a b b b ≤。 6，（2009清华） 试求出一个整系数多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++…，使得()0f x =有一根为 7，（2009清华） x>0,y>0,x+y=1,n 为正整数，求证：222112n n n x y -+≥ 8，（2007北大） 已知22()5319653196f x x x x x =-++-+，求f(1)+f(2)+…＋f(50)。 9，（2006清华） 设正三角形1T 的边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内

最新全国高校自主招生数学模拟试卷一

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥 P ?ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A ?PB ?C 的平面角的余弦值为（ ） A. 7 1 B. 7 1- C. 2 1 D. 2 1- 2. 设实数a 使得不等式|2x ?a |+|3x ?2a |≥a 2 对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]3 1,31[- B. ]21,21[- C. ]3 1,41[- D. [?3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全 相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A. 81 52 B. 81 59 C. 81 60 D. 81 61 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x ?c )=1对任意实数x 恒 成立，则 a c b cos 的值等于（ ） A. 2 1- B. 21 C. ?1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是 （ ） 6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (?3，0)，B (1，?1)，C (0，3)，D (?1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。 8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=?+?，则与的夹角的余弦值等于________。 9. 已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心， 3 3 2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。 10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d ， b 1=d 2 ，且3 212 3 2221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。 11. 已知函数)45 41(2)cos()sin()(≤≤+-= x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方 格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） D P

北大清华自主招生方案出炉五大变化更公平.doc

根据意见，“考核由试点高校单独组织，不得采用联考方式或组织专门培训。充分发挥学科专家的作用，探索完善科学、有效、简便、规范的考核方式”，并对自主招生的笔试科目做了限制，“如需笔试，考试科目原则上一门、不超过两门。” 2015年北京大学自主招生简章中对考核方式尚未明确发布，但表示“考核方式包括(但不限于)笔试、面试、实验操作、作品答辩、现场创作等，具体以测试通知为准”，清华大学自主招生的笔试科目仍为数学与逻辑、物理探究或阅读与表达，共两门，具体科目选择将根据专业大类不同而有所区分。 凸显专家作用体现学校特点特色 北大招生办公室介绍，今年北大将探索多种招考方式，以全面了解考生学科特长和创新潜质，不再只限于传统的笔试、面试。例如，对具有特殊天赋和才能的学生将量身定制测试方式，组织专家组对考生所提供作品进行评估并确定不同的考核方式，如实验操作、作品答辩、现场创作等。 “能背诵‘四书’(《大学》《中庸》《论语》《孟子》)，以及《周易》《诗经》中的一种；有初步的文字学基础，学习过《说文解字》，能用篆书默写540部首，能简单讲解‘六书’”，出现在清华大学学科／专业特长生选拔项目当中，体现出考核方式与内容的创新。 降分幅度更加明确认定结果将公示

两校的自主招生简章显示，今年两校对降分幅度的规定较去年更加具体明确。2015年清华大学自主认定的优惠分值为20／30／40／50／60分，对部分特别优秀的学生可获得降至一本线的录取优惠，并可被邀请参与以下某些后续特殊培养环节，包括清华大学创新人才培养计划；赴海外知名大学交换学习；专业导师配备；优先推荐参加科技创新团队等。北京大学的优惠分值为20／30／40／60分或降至一本线录取。 今年自主招生的认定结果将根据《意见》中“加强信息公开公示”的要求，在两校本科招生网及教育部阳光高考平台进行公示。 清华大学招生办公室主任于世洁表示，今年自主招生将更加充分发挥相关学科专家的作用，增强专业评判，不仅限于笔试，采取更加多元的考核形式，尤其考察学生在学科素养与创新能力方面的表现。招生由粗线条向精细化的改变也带来了新的挑战，如学生自荐、自招时间的压缩、体现学校特色的选拔方式等都对高校招生提出了更高要求。

2013清华北大自主招生测评试题数学自主招生数学与逻辑测评试题.docx

2013 清华北大自主招生 测评试题 数学 自主招生数学与逻辑测评试题 （考试时间： 90 分钟，总分 100 分） 一、选择题：本大题共 6 小题．每小题 6 分，共 36 分．在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设 z 1,z 2 为一对不相等的共轭复数，且 z 1 = 3, z 12 为实数，则 z 1-z 2 的值为 z 2 （ ） A ． 3 B ． 6 C ．3 D ．23 2. 若点 P 在曲线 y=-x 2 -1上，点 Q 在曲线 x=1+y 2 上，则 PQ 的最小值为 （） A ．3 2 B ．3 2 C ． 3 2 D ． 3 2 2 4 8 3. 在 ABC 中，三边和三角满足 a cos B-b cos A= 3 c 则 tan A = （ ） 5tan B A 。3 B 。4 C 。5 D 。6 4. 如图，在正四棱锥 P-ABCD 中，∠ APC =60 °，则二面角 A-PB-C 的平面角的余弦值为（ ） A. 1 B. 1 7 7 C. 1 D. 1 P 2 2 D M C A B 5. 设 P 是函数 y=x+ 2 x>2 图像上任意一点，过点 P 分别向直线 y=x 和 y x 轴作垂线，垂足分别为 A 、B ，则 PA PB = （ ） A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-2 6. 某情报站有 A 、B 、C 、D 四种互不相同的密码，每周使用一种，且每

周都是从上周没使用的三种密码中等可能的随机选用一种，设第一周使 用 A 密码，则第七周也使用 A 密码的概率为（）（用最简分数表示） A．43 B． 61 C． 48 D． 61 8124324381 选择题答题处： 1.() 2.() 3.() 4.()5.()6.( )二、解答题 (每题 16 分,共 64 分) 7. 设函数f n x =x n1-x2在1 ,1上的最大值为 a n n=1,2,3, 2 （1）求数列 a n的通项公式； （2）求证：对任何正整数 n n 2 ，都有 a n1成立； 2 n+2 （3）设数列 a n的前 n 项和为S n，求证：对任意正整数 n ，都有S n<7 成16 立。

历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题（每小题５分，共50分) １．设函数 () f x 满足 2(3)(23)61 f x f x x +-=+,则 ()f x = . 2.设,,a b c 均为实数，且364a b ==,则11a b -= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ． 4．设扇形的周长为６,则其面积的最大值为 . 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?= . ６.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为 . ７ . 设 函 数 ()x f x x = ,则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= ． 8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ,则a = ． 9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10.已知函数121 ()1 x f x x -= +,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若 355()()f x f x =，则28()f x = . 二、计算与证明题(每小题10分，共50分)

１1.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当 10,4r mm h mm ==时，R 的值． 1２.设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像． １３．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标. 参考答案:

2019清华大学自主招生试题(含答案)

一、选择题 1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2 11 1-1z z + -=（ ） (A)0 (B)1 (C) 12 (D)32 2.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2 x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( ) (A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22 (C)直线AB 过抛物线y=2 x 焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =( )1x y f xy ++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数 5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)?kx 有（ ） (A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C= 3 π ，且sinC+sin(B ?A)?2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3△ABC 23(D)△ABC 23 7.设函数2 ()(3)x f x x e =-，则（ ） (A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b> 36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0