初中数学竞赛辅导资料
第一篇 一元一次方程的讨论
第一部分 基本方法
1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。
2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后，
讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =
a
b ； 当a =0且b ≠0时，无解；
当a =0且b ＝0时，有无数多解。（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立）
3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解
当a ｜b 时，方程有整数解；
当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；
当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b
第二部分 典例精析
例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解？②无解？
③有无数多解？④是正数解？
例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？
例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。问a和b应满足什么关系？
例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？
第三部分典题精练
1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：
① (x +1)=0, ②x 2=9, ③|x |=9， ④|x |=－3,
⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x
2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________
3. 在方程a (a －3)x =a 中，
当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；
当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。
4. k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？
① x =k
4 ②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k 5. k 取什么值时，方程x －k =6x 的解是 ①正数？ ②是非负数？
6. m 取什么值时，方程3（m +x ）=2m －1的解 ①是零？ ②是正数？
7. 己知方程
2
21463+=+-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系？
8. m 取什么整数值时，方程m m x 321)13(
-=-的解是整数?
9. 己知方程ax x b 2
31)1(2=++有无数多解，求a 、b 的值。
第二篇 二元一次方程的整数解
第一部分 基本方法
1. 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax +by =c 中，
若a ,b 的最大公约数能整除c ,则方程有整数解。即
如果（a ,b ）|c 则方程ax +by =c 有整数解
显然a ,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x +5y =1, 5x －2y =7, 9x +3y =6都有整数解。
返过来也成立，方程9x +3y =10和 4x －2y =1都没有整数解，
∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a ,b ）中的a ,b 实为它们的绝对值。
2. 二元一次方程整数解的求法：
若方程ax +by =c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。k 叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x +11y =1的整数解
解：x =
5111y -=y y y y 25
15101--=-- (1) , 设k k y (51=-是整数），则y =1－5k (2) , 把（2）代入（1）得x =k －2 (1－5k )=11k －2
∴原方程所有的整数解是?
??-=-=k y k x 51211（k 是整数） 方法二，公式法：
设ax +by =c 有整数解???==00y y x x 则通解是?
??-=+=ak y y bk x x 00（x 0,y 0可用观察法） 1， 求二元一次方程的正整数解：
① 出整数解的通解，再解x ,y 的不等式组，确定k 值
② 用观察法直接写出。
第二部分 典例精析
例1 求方程5x －9y =18整数解的能通解
例2 求方程5x+6y=100的正整数解
例3 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？
第三部分典题精练
1. 求下列方程的整数解
①公式法：x+7y=4, 5x－11y=3 ②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4
2.求方程的正整数解：①5x+7y=87, ②5x+3y=110
3.一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？
4.兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。
5. 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：（填编号）
③4x＋2y=11, ②10x－5y=70, ③9x+3y=111,
④18x－9y=98, ⑤91x－13y=169, ⑥120x+121y=324.
6.一试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？
7. 用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：
第三篇二元一次方程组解的讨论
第一部分基本方法