,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制:弧长等于半径时,所对的圆心角为1弧度的圆心角,记作1rad . 7、角度与弧度的转化:01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长:l R α=?;面积:211 22 S l R R α=?=?,注意:这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦:sin y r α=;余弦cos x r α=;正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标,r = 2、三角函数值对应表: 3、三角函数在各象限中的符号
初中三角函数知识点总结(中考复习)
初中三角函数知识点总结(中考复习)
锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图,在Rt△ABC中,∠C为直角,则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B): 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余 A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A C
切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性: 当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性: 当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。 依据:①边的关系:2 2 2 c b a =+;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。(注意:尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例:
(1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度 (坡比)。用字 母i 表示,即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tan h i l α==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:北偏东30°(东北方向) , 南偏东45°(东南方向), 南偏西60°(西南方向), 北偏西60°(西北方向)。 反比例函数知识点整理 一、 反比例函数的概念 :i h l =h l α
三角函数知识点汇总
1三角函数的概念 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、角的概念与推广 1.任意角的概念:正角、负角、零角 2.象限角与轴线角: 与α终边相同的角的集合:},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合:{|22,}2 k k k Z π βπβπ<<+∈ 第二象限角的集合:{| 22,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 第三象限角的集合:3{|22,}2 k k k Z π βππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合:3{| 222,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合:{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合:{|,}2 k k Z π ββπ=+∈ 终边在坐标轴上的角的集合:{|,}2 k k Z π ββ=∈ 要点诠释: 要熟悉任意角的概念,要注意角的集合表现形式不是唯一的,终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 三角函数的概念 角的概念的推广、弧度制 正弦、余弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系式 任意角的三角函数
考点二、弧度制 1.弧长公式与扇形面积公式: 弧长l r α= ?,扇形面积21 122 S lr r α==扇形(其中r 是圆的半径,α是弧所对圆心角的弧度数). 2.角度制与弧度制的换算: 180π=o ;18010.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=o o o o ; 要点诠释: 要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数 1. 定义:在角α上的终边上任取一点(,)P x y ,记r OP ==则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α=,cot x y α=,sec r x α=,csc r y α= 2. 三角函数线:如图,单位圆中的有向线段MP ,OM ,AT 分别叫做α的正弦线,余弦线,正切线. 3. 三角函数的定义域:sin y α=,cos y α=的定义域是R α∈;tan y α=,sec y α=的定义域是 {|,}2 k k Z π ααπ≠+ ∈;cot y α=,csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈. 4. 三角函数值在各个象限内的符号: 考点四、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系:2 2 2222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2. 商数关系:sin cos tan ;cot cos sin α α α= α= α α . 3. 倒数关系:tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α?α=αα=α?α= 要点诠释: ①同角三角函数的基本关系主要用于:(1)已知某一角的三角函数,求其它各三角函数值;(2)证明三角恒等式;(3)化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用,解决某些问题若用“1”代换,如2 2 1sin cos =α+α, 221sec tan tan 45=α-α==o L ,则可以事半功倍;同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法 及方程思想的运用. 考点五、诱导公式 1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.
高中数学三角函数知识点总结(珍藏版)
高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值: 2.角度制与弧度制的互化: ,23600π= ,1800 π= 1rad =π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°= 180 π≈0.01745(rad ) 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式:r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边上一点p (x,y ), r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号: 记忆口诀:一全正,二正弦,三两切,四余弦
sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系:s in 2α+ cos 2α=1 (2)商数关系:ααcos sin =tan α(z k k ∈+≠,2 ππ α) 6.诱导公式: 记忆口诀:把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数,概括为:奇变偶不变,符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. 口诀:函数名称不变,符号看象限. ()5sin cos 2π αα??-= ???,cos sin 2παα?? -= ??? . ()6sin cos 2π αα??+= ???,cos sin 2παα?? +=- ??? . 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. x y O — + + — + y O — + + —
三角函数的图像的变换口诀解读
三角函数的图像的变换口诀解读 变T 数倒系数议,变A 伸压 y 无疑, 变φ 要把系数提,正φ 左进负右移. 周期变换是通过改变x 的系数来实现的,即周期T 的变化只与ω有关而与φ无关.这是因为ω π 2=T ,故要使周期扩大或缩小m (m >0) 倍,则须用 x m 1去代原式中的x (纵坐标不 变),故有“变T 数倒系数议”之说. 相位φ变换实质上就是将函数的图像向左或向右平移.当先作周期变换后作相位变换时,须提出系数ω,这是因为周期变化时改变了x 的值,此时其初相位(非0初相)同时也改变相应得到改变,且改变的倍数相同.当先作相位变换后作周期变换,由于此时x 的系数为1,系数提不提无影响,为了统一记忆我们也视为提出系数“1”.因而有“变φ要把系数提”之说. 三角函数图像的周期﹑振幅﹑相位等变换的问题是历年高考中常考查的内容.对此类命题的求解,无论三种变换怎样摆设,先要弄清哪是原函数的图像,哪是新函数的图像,再据本歌诀所述,很快就可得到解决. 例1 为了得到 y =) 62sin(π-x 的图像,可以将函数 y = cos2x 的图像 (2004年高考) ( ) (A)向右平移6 π 个单位长度 (B)向右平移3 π 个单位长度 (C)向左平移 6 π 个单位长度 (D) 向左平移 3 π 个单位长度 解法1 ∵ y = cos2x =) 4 (2sin )2 2sin(π π + =+ x x , 而 y =] 3 )4 [(2sin )6 2sin(π π π - + =- x x , 由此可得 只须将函数y = cos2x 的图像向右平移3 π 个单位长度即可.故选(B). 解法2 ∵ y =)62sin(π - x ) 6 22 cos( ππ x + -=,即y ) 3(2cos π - = x , 而已知的函数为y = cos2x , 由此可得,须将函数y = cos2x 的图像向右平3 π 个单位即可.故选(B). 点评 由于当ω ?- =x 时, 相位0 =+?ω x .因而,我们可称此时的相位为零相位.由此可 见,在作相位变换时,其平移的数值与方向是由两个0相位对应的x 值的差来决定的.对于本题而言,由于两个0相位对应的x 的值分别为12 π与4 π - ,故所作的平移就是要将已知函数 的0相位对应的点) 0 ,4(π - 移到点)0 12 ( ,π 处.易知要平移的数值是: 3 )4 (12 π π π = - -,方向是向 右的.显然这一方法就是“五点作图法”中的第一零点判断法. 例2 已知函数 f (x ) =) 5 sin( 2π + x (x ∈R ) 的图像为C, 函数 y = ) 5 2sin(π - x (x ∈R ) 的图 像为C 1, 为了得到C 1,只需把C 上所有的点先向右平移 ,再将 . ( ) (A) 5 2π个单位,横、纵坐标都缩短到原来的2 1 (B) 5 2π个单位,横、纵坐标都伸
高一三角函数知识点整理
§04. 三角函数 知识要点 1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合): {} Z k k ∈+?=,360 |αββ ②终边在x 轴上的角的集合: {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合:{ } Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系: ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系: 90360± +=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式: 1rad = π180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=180 π≈0.01745 (rad ) 3、弧长公式:r l ?=||α. 扇形面积公式:211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数:设α是一个任意角,在 α的终边上任取(异于原点的)一点P (x,y )P 与原点的距离为r ,则 =αsin r x =αcos ; x y = αtan ; y x =αcot ; x r =αsec ;. αcsc 5、三角函数在各象限的符号:正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. 7. 三角函数的定义域: SIN \COS 1、 2、3、4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域16. 几个重要结论:
高一三角函数知识点梳理总结
高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角:顺时针防线旋转正角:逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合:{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合: {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合:{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:Z k k ∈-=,βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则α与角β的关系:Z k k ∈-+=,βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则α与角β的关系:Z k k ∈+=,βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则α与角β的关系:Z k k ∈++=, 90180βα 4. 弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ,则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式: 1rad =(π 180)°≈57.30° 1°=180 π 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角:? ?? ? ??∈+< 三角函数图像变换顺序详解全面
《图象变换的顺序寻根》 题根研究? 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m,其间经过4种变换: 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来,这4种变换谁先谁后都没关系,都能达到目标,只是在不同的变换顺序中,“变换量”可不尽相同,解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例,讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到? 【解法1】第1步,横向平移: 将y = sin x向右平移,得 第2步,横向伸缩: 将的横坐标缩短倍,得 第3步:纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 第4步:纵向平移: 将向上平移1,得 【解法2】第1步,横向伸缩:
将y = sin x的横坐标缩短倍,得y = sin 2x 第2步,横向平移: 将y = sin 2x向右平移,得 第3步,纵向平移: 将向上平移,得 第4步,纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 【说明】解法1的“变换量”(如右移)与参数值()对应,而解法2 中有的变换量(如右移)与参数值()不对应,因此解法1的“可靠性”大,而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换,提出如下疑问: (1)在两种不同的变换顺序中,为什么“伸缩量”不变,而“平移量”有变? (2)在横向平移和纵向平移中,为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移(增方向),而m < 0时对应下移(减方向)? (3)在横向伸缩和纵向伸缩中,为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”,而| A | >1时,对应着“扩”? 【答疑】对于(2),(3)两道疑问的回答是:这是因为在函数表达式y = A f ()+m中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f (),则x、y在形式上就“地位平等”了.
三角函数知识点归纳
三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. 角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z (2)终边与角α相同的角可写成α+k ·360°(k ∈Z ).终边与角α相同的角的集合为{} 360,k k ββα=?+∈Z (3)弧度制 ①1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. ②弧度与角度的换算:360°=2π弧度;180°=π弧度. ③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α= ④若扇形的圆心角为()α α为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+, 211 22 S lr r α==. 2.任意角的三角函数定义 设α是一个任意角,角α的终边上任意一点P (x ,y ) ,它与原点的距离为( r r = ,那么角α的正弦、余弦、 正切分别是:sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=y x .(三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦) 3.特殊角的三角函数值
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边,可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值. 例1 如图1,在△ABC 中,∠C =90°,AB =13,BC =5,则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练: 1.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB tan A 的值为( ) A B C .1 2 D .2 二、参数(方程思想)法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值,所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比,通过设定一个参数,并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长,然后结合相关条件解决问题. 例2 在△ABC 中,∠C =90°,如果tan A = 5 12 ,那么sin B 的值是 . 对应训练: 1.在△ABC 中,∠C =90°,sin A= 5 3 ,那么tan A 的值等于( ). A .35 B . 45 C . 34 D . 43 2.已知△ABC 中, 90=∠C ,3cosB=2, AC=52 ,则AB= . 3.已知Rt △ABC 中,,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B . 4.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,?=∠4 3sin AOC 求:AB 及OC 的长.
第8题图 A D E C B F 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时,可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中,利用“两锐角相等,则三角函数值也相等” 来解决. 例3 在Rt △ABC 中,∠BCA =90°,CD 是AB 边上的中线,BC =5,CD =4,则c o s ∠ACD 的值为 . 对应训练 1.如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径,若O ⊙的半径为 3 2 ,2AC =,则s in B 的值是( )A .23 B .32 C .34 D .4 3 2. 如图4,沿AE 折叠矩形纸片ABCD ,使点D 落在BC 边的点F 处.已知8AB =,10BC =, AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )A.34 B.43 C.35 D.45 3. 如图6,在等腰直角三角形ABC ?中,90C ∠=?,6AC =,D 为AC 上一点,若 1tan 5 DBA ∠ = ,则AD 的长为( ) A .2 C .1 D .4. 如图,直径为10的⊙A 经过点(05)C ,和点(00)O ,,与x 轴的正半轴交于点D ,B 是y 轴右侧 圆弧上一点,则cos ∠OBC 的值为( )A . 12 B .2 C .35 D .45 5.如图,角α的顶点为O ,它的一边在x 轴的正半轴上,另一边OA 上有一点P (3,4),则 sin α= . 6.(庆阳中考)如图,菱形ABCD 的边长为10cm ,DE ⊥AB ,3sin 5 A =,则这个菱形的面积= cm 2 . 7. 如图6,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C
高一三角函数知识点整理
§04. 三角函数知识要点 1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合):{}Z k k∈ + ? =, 360 |α β β ②终边在x轴上的角的集合:{}Z k k∈ ? =, 180 | β β ③终边在y轴上的角的集合:{}Z k k∈ + ? =, 90 180 | β β ④终边在坐标轴上的角的集合:{}Z k k∈ ? =, 90 | β β ⑤终边在y=x轴上的角的集合:{}Z k k∈ + ? =, 45 180 | β β ⑥终边在x y- =轴上的角的集合:{}Z k k∈ - ? =, 45 180 | β β ⑦若角α与角β的终边关于x轴对称,则角α与角β的关系: ⑧若角α与角β的终边关于y轴对称,则角α与角β的关系: ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:β α+ =k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系: 90 360± + =β αk 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π180°=π1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式:1rad= π 180°≈57.30°=57°18ˊ.1°= 180 π≈0.01745(rad) 3、弧长公式:r l? =| |α. 扇形面积公式:2 11 || 22 s lr r α ==? 扇形 4、三角函数:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于 原点的)一点P(x,y)P与原点的距离为r,则= α sin r x = α cos ; x y = α tan; y x = α cot ; x r = α sec;. α csc 5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余 弦) 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. 7. 三角函数的定义域: SIN\COS 1、2、3、4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域 16. 几个重要结论:
高中三角函数知识点总结(人教版)
高中三角函数总结 1.任意角的三角函数定义: 设α为任意一个角,点),(y x P 是该角终边上的任意一点(异于原点),),(y x P 到原点的距离为22y x r += ,则: )(tan ),(cos ),(sin y x x y x r x y r y ?=== 正负看正负看正负看ααα 2.特殊角三角函数值: 3.同角三角函数公式: αααααααααα αtan 1 cot ,sin 1csc ,cos 1sec 1cos sin ,cos sin tan 22= ===+= 4.三角函数诱导公式: (1))(;tan )2tan(,cos )2cos( ,sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+απααπααπα (2);tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(απααπααπα=+-=+-=+ (3);tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(αααααα-=-=--=- (函数名称不变,符号看象限) (4);cot )2 tan(,sin )2cos(,cos )2sin(απ ααπααπ α-=+-=+=+ (5);cot )2 tan(,sin )2cos(,cos )2sin( ααπ ααπααπ =-=-=- (正余互换,符号看象限) 注意:tan 的值,总为sin/cos ,便于记忆; 5.三角函数两角诱导公式:
(1)和差公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± (2)倍角公式 令上面的βα=可得:αααcos sin 2)2sin(= α αααα2222sin 211cos 2sin cos )2cos(-=-=-= α α α2tan 1tan 2)2tan(-= 6.正弦定理: △ABC 中三边分别为c b a ,,,外接圆半径为R ,则有: R C c B b A a 2sin sin sin === 7.余弦定理: △ABC 中三边分别为c b a ,,,则有:ab c b a C 2cos 2 22-+= 8.面积公式: △ABC 中三边分别为c b a ,,,面积为S ,则有:)(sin 2 1 两边与夹角正弦值C ab S = 9.三角函数图象:
三角函数图像变换顺序详解
《图象变换的顺序寻根》 题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m,其间经过4种变换: 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来,这4种变换谁先谁后都没关系,都能达到目标,只是在不同的变换顺序中,“变换量”可不尽相同,解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例,讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到? 【解法1】第1步,横向平移: 将y = sin x向右平移,得 第2步,横向伸缩: 将的横坐标缩短倍,得 第3步:纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 第4步:纵向平移: 将向上平移1,得 【解法2】第1步,横向伸缩: 将y = sin x的横坐标缩短倍,得y = sin 2x 第2步,横向平移:
将y = sin 2x向右平移,得 第3步,纵向平移: 将向上平移,得 第4步,纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 【说明】解法1的“变换量”(如右移)与参数值()对应,而解法2中有的变 换量(如右移)与参数值()不对应,因此解法1的“可靠性”大,而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换,提出如下疑问: (1)在两种不同的变换顺序中,为什么“伸缩量”不变,而“平移量”有变? (2)在横向平移和纵向平移中,为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移(增方向),而m < 0时对应下移(减方向)? (3)在横向伸缩和纵向伸缩中,为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”,而| A | >1时,对应着“扩”? 【答疑】对于(2),(3)两道疑问的回答是:这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f (),则x、y在形式上就“地位平等”了. 如将例1中的变成 它们的变换“方向”就“统一”了. 对于疑问(1):在不同的变换顺序中,为什么“伸缩量不变”,而“平移量有变”?这是因为在“一次”替代:x→中,平移是对x进行的. 故先平移(x→)对后伸缩(→)没有影响; 但先收缩(x→)对后平移(→)却存在着“平移”相关. 这