19-1含参量积分
第十九章 含参量积分
(一) 教学目的：
掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参量正常积分的求导法则． (二) 教学内容：
含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明；含参量正常积分的导数的计算． 基本要求：
(1)了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式．
(2) 较高要求：掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明． (三) 教学建议：
(1) 要求学生必须理解含参量正常积分的定义．
(2) 要求较好学生掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明
————————————————
一. 含参积分: 以实例?10
2xydy 和 ?2
22x
x
xydy 引入.
定义含参积分
?
=
d
c
dy y x f x I ),()( 和 ?
=
)()
(21),()(x y x y dy y x f x G .
含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分.
1. 含参积分的连续性:
定理 19.1 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续 , 则函数
?
=
d
c
dy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续 .
同样 ?
=
b
a
dx y x f y J ),()(在] d c, [上连续
定理 19.2 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函数)(1x y 和)(2x y 在
] , [b a 上连续 , 则函数?
=
)()
(21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上连续.
定理 19.3（可微性） 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 则函数?
=d
c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导 , 且
?
?
=
d
c
d
c
x dy y x f dy y x f dx
d ),(),(.
( 即积分和求导次序可换 ) .
证 对于],[b a 内任何一点x ，设],[b a x x ∈?+（若x 取为区间端点，则讨论单侧导数），则
dy x
x f x x f x
x I x x I d
c
?
?-?+=
?-?+)
()()
()(。
于是
dy y x f x
x f x x f dy y x f x
I d
c
x d
c
x ?
?
-?-?+≤
-
??),()
()(),(
由微分中值定理及x
f 的连ε，存在正数δ，只要δ
εθ<-?+=-?-?+|),(),(|),()
()(y x f y x x f y x f x
x f x x f x x x
其中)1,0(∈θ。结合（20）式得到
?
-
??d
c
x dy y x f x
I ),()(c d -<ε .
定理 19.4 设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函数)(1x y 和)(2x y 定义在] , [b a , 值域在] , [d c 上 , 且可微, 则含参积分
?
=
)()
(21),()(x y x y dy y x f x G
在] , [b a 上可微 , 且
()())()(,)()(,),()(112
2)()
(21x y x y x f x y x y x f dy y x f x G x y x y x '-'+=
'?
. 证 把)(x G 作为复合函数看待: ,),(),,()(21
21?
==y y dy y x f y y x H x G
其中 )(11x y y =, ).(22x y y =.
由复合函数求导法则和变动上限积分的求导得到
)
())(,()())(,(),()('
22'
11)
()
(221121
x y x y x f x y x y x f dy y x f x
y y H x
y y H x
H dx x dF x y x y x +-=
????+
????+
??=
?
定理19.5(可积性) 若),(y x f 在矩形区域 ],;,[d c b a R 上连续?
=d
c
dy y x f x I ),()(和
?
=
b
a
dx y x f y J ),()(分别在 ],[],[d c b a 和上可积。
定理19.6 若),(y x f 在矩形区域 ],;,[d c b a R 上连续，则
??
??
=
d
c
b
a
b
a
d
c
dx y x f dy dy y x f dx ),(),(
下面举例说明含参量积分求导或求积运算（或称积分号下微分法或积分号下积分法）在计算定积分中的应用。
设函数)(x f 在点0=x 的某邻域内连续 . 验证当||x 充分小时 , 函数 ?---=
x
n dt t f t x n x 0
1
)()
()!
1(1
)(φ
的1-n 阶导数存在 , 且 )()()
(x f x n =φ.
解 由于（21）中被积函数)()(),(1
t f t x t x F n --=及其偏导数),(t x F x 在原点的某个方邻
域内连续，于是由定理20。11有
??-----=
--+
---=x n n x
n dt
t f t x n x f x x n dt t f t x n n x 0
2
1
2
'
)()()!
2(1
)
()
()!
1(1)()
)(1()!
1(1
)(?
同理 ?---=
x
n dt t f t x n x 0
3
'
')()
()!
3(1
)(?
如此继续下去求得k 次导数为
?-----=
x
k n k dt t f t x k n x 0
1
)
()()
()!
1(1
)(?
特别当1-=n k 时有
?
=
-x
n dt t f x 0
)
1()()(?
于是 ).()()(x f x n =? 附带说明，当0=x 时，)(x ?及其各阶导数为
0)0()0()0()1('====-n ??? 。
利用含参量积分的可积性和可微性, 可以计算一些其他方法难以计算的积分，其思路是
1) 适当引入参量, 得到 βα≤≤=
?
t dx t x f t I b
a
,),()(
原则是 dx t x f t I b
a
x ),()(?
=
' 要容易求积
2) 利用端点条件，例如 I I I ==)(,0)(βα，即可求出 ?'=
β
α
dt
t I I )(
例 1 计算定积分 ?
++=
1
02
1)1ln(dx x
x I
解 引入参量α 和 ?
++=
1
2
1)1ln()(x
dx ax a I
显然 I I I ==)1(,0)0(, da a I a I ?'=1
)()( , 先求 )(a I '
S=sym('log(1+a*x)/(1+x^2)'); diff(S,'a')
ans =x/(1+a*x)/(1+x^2)
?++=
'1
2
)
1)(1()(dx ax x
x
a I
计算这个积分
int('x/((1+a*x)*(1+x^2))','x',0,1)
ans =1/4*(-4*log(1+a)+2*log(2)+a*pi)/(a^2+1)
)2
2ln 4
(
111)1ln()(2
2
+
++
++-
='a
a
a
a a I π
利用端点条件 I I I ==)1(,0)0( 可得
da a
a
I da a I I ??+
++
-='=
1
2
1
0)2
2ln 4
(
11
)(π
即 da a
a
I )2
2ln 4
(
112
1
2
1
+
+=
?π
int('1/2*(log(2)/2+a*pi/4)/(a^2+1)','a',0,1) ans =1/8*pi*log(2)
2ln 8
π
=
I
例3 求 ?
-=
1
ln x
x x I a
b
解 dy dx x I b
a
y
)(1
0??
=
， 因 y
x 在 ],;1,0[b a R 上连续，积分可交换积分次序 ???++=+
=
=
b
a
b
a
y
a
b dy y
dy dx x I 1
11ln
11)(
Γ 函数
先看看Γ函数图象
clf,fplot('gamma',[0.01,10]),hold on plot([-4,5],[0,0],'r',[0,0],[-10,20],'r') axis([-4,6,-15,20])
-4
-3-2-10123456
-15
-10
-5
5
10
15
20
由图象看出Γ 函数在定义域),0(∞+内连续可微，下凸，因此有唯一极小点，位于区间
)2,1(内， +∞=Γ=Γ+∞
→→)(lim )(lim 0
s s s s
Γ 函数的导函数
y=sym('x^(s-1)*e^(-x)'); y1=diff(S,'s')
y1 =x^(s-1)*log(x)*e^(-x)
?
?∞
----∞
=
?
=
Γ'0
1
1
ln )(xdx e
x
dx e
x
s
x
s x
s
diff(y1,'s')
ans =x^(s-1)*log(x)^2*e^(-x)
?
?∞
----∞
=
?
=
Γ''0
2
1
1
0)(ln )ln (dx x e
x
dx x e
x
s
x
s x
s
?∞
--=
Γ
1
)
()(ln dx x e
x
n
x
s n
Γ函数的递推公式
应用分部积分法容易证明 )()1(s s s Γ=+Γ Γ函数的延拓
利用递推公式 s
s s )
1()(+Γ=Γ 可以将Γ函数延拓到除 ,2,1,0--=s 以外的整个
数轴，其图象如下
clf,fplot('gamma',[-4,10]),hold on plot([-4,5],[0,0],'r',[0,0],[-10,20],'r') axis([-4,6,-15,20])
§ 2 含参量的反常积分
含参无穷积分: 函数),(y x f 定义在) , [] , [∞+?c b a 上 ( ] , [b a 可以是无
穷区间 ) . 以 ?
+∞
=
c
dy y x f x I ),()(为例介绍含参无穷积分表示的函数)(x I .
含参无穷积分的一致收敛性:
逐点收敛( 或称点态收敛 ) 的定义: ∈?x ] , [b a , c M >?>? , 0ε, 使
ε
+∞
M
dy y x f ),(.
引出一致收敛问题 .
定义 (一致收敛性 ) 设函数),(y x f 定义在) , [] , [∞+?c b a 上 . 若对
c
M >?>? , 0ε, 使得
ε
+∞
M
dy y x f ),( 对 ∈?x ] , [b a
成立, 则称含参无穷积分?
+∞
c
dy y x f ),(在] , [b a ( 关于x )一致收敛.
定理19.7 ( Cauchy 收敛准则 ) 积分?
+∞
=
c
dy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛,?
21, , 0 , 0A A M ?>?>?ε
,?>M ε
21
),(A A dy y x f 对 ∈?x ] , [b a 成立 .
例1 证明含参量非正常积分?
+∞
sin dy y
xy 在) , [∞+δ上一致收敛 ,
其中0>δ. 但在区间) , 0 (∞+内非一致收敛 . 3. 含参无穷积分与函数项级数的关系:
例1 计算积分 dx
x
x I ?
++=
1
2
1)1ln(.
例2 设函数)(x f 在点0=x 的某邻域内连续 . 验证当||x 充分小时 , 函数 ?
---=
x
n dt t f t x n x 0
1
)()
()!
1(1)(φ
的1-n 阶导数存在 , 且 )()()(x f x n =φ.
定理19.8 积分?
+∞
=
c
dy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛, ? 对任一数列 }{n A
)(1c A =, n A ↗∞+, 函数项级数∑
?
∑∞
=∞
=+=
1
1
1)(),(n A A n n
n n
x u
dy y x f 在] , [b a 上一致收敛.
( 证略 )
二. 含参无穷积分一致收敛判别法
1. Weierstrass M 判别法: 设有函数)(y g , 使在) , [] , [∞+?c b a 上有
)(|),(|y g y x f ≤. 若积分∞+
+∞ )( c
dy y g , 则积分?
+∞
c
dy y x f ),(在] , [b a 一致收敛.
例2 证明含参无穷积分?∞
++0
2
1cos dx
x
xy 在+∞<<∞-y 内一致收敛.
Dirichlet 判别法和Abel 判别法: 三. 含参无穷积分的解析性质
含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质. 1. 连续性: 积分号下取极限定理.
定理19.9 设函数),(y x f 在) , [] , [∞+?c b a 上连续 . 若积分?
+∞
=
c
dy
y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛, 则函数)(x I 在] , [b a 上连续. ( 化为级数进行证明或直接证明 ) 2. 可微性: 积分号下求导定理.
定理19.10 设函数f 和x f 在) , [] , [∞+?c b a 上连续. 若积分
?
+∞
=
c
dy y x f x I ),()(
在] , [b a 上收敛, 积分?+∞
c
x dy y x f ),(在] , [b a 一致收敛. 则函数)(x I 在] , [b a 上可微,
且 ?
+∞
=
'c
x dy y x f x I ),()(.
3. 可积性: 积分换序定理.
定理19.11 设函数),(y x f 在) , [] , [∞+?c b a 上连续. 若积分
?
+∞
=
c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛, 则函数)(x I 在] , [b a 上可积 , 且有
??
?
?+∞
+∞
=
b
a
c
c
b
a
dy y x f dy dy y x f dx ),(),(.
关于在) , [) , [∞+?∞+c a 上的积分换序问题. 例3 计算积分 ?
∞
+->>-=
)
, 0 ( , sin sin a b p dx x
ax
bx e
I px
[1]P342. E4
§3 Euler 积分
本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数 , 即)(s Γ和),(q p B . 它们统称为 Euler 积分. 在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数.
一. Gamma 函数 )(s Γ 考虑无穷限含参积分
?+∞
--01 dx e x x s , ) 0 (>s
当1 0<
?+∞
+1
10
来
讨论其敛散性 .
?
1
: 1 ≥s 时为正常积分 .1 0<--x s e x .利用非负函数积的Cauchy 判
别法, 注意到 , 11 , 1) (lim 110?<-=---+
→s e x x x s s x 1 0<
1
收敛 . (易见 0
=s 时, 仍用Cauchy 判别法判得积分发散 ). 因此, 0 >s 时积分?
1
收敛 .
?
+∞1
: ) ( , 0112+∞→→=?-+--x e x e x x x s x s 对∈?s R 成立,.因此积分?
+∞
1
对∈?s R 收敛.
综上 , 0 >s 时积分?+∞
--01 dx e x x s 收敛 . 称该积分为Euler 第二型积分. Euler 第
二型积分定义了) , 0 (∞+∈s 内的一个函数, 称该函数为Gamma 函数, 记为)(s Γ, 即
)(s Γ=?+∞
--01 dx e x x s , ) 0 (>s .
Γ
函数是一个很有用的特殊函数 .
2. -Γ函数的连续性和可导性:
)(s Γ在区间) , 0 (∞+内非一致收敛 . 这是因为0
=s 时积分发散. 这里利用了下
面的结果: 若含参广义积分在] , (b a y ∈内收敛, 但在点a y =发散, 则积分在] , (b a 内非一致收敛 .
但)(s Γ在区间) , 0 (∞+内闭一致收敛 .即在任何?],[b a ) , 0 (∞+上 , )(s Γ一致收敛 . 因为b a <<0时, 对积分?
1
, 有x
a x
s e
x
e
x
----≤1
1
, 而积分?--1
1 dx e x x a 收敛.
对积分?
+∞
1
, x b x s e x e x ----≤11, 而积分?
+∞
--1
1
dx e
x
x
b 收敛. 由M —判法, 它们都一致
收敛, ? 积分?+∞--0
1 dx e x x s 在区间],[b a 上一致收敛 .
作类似地讨论, 可得积分dx e x s x s )(10'--+∞
?也在区间) , 0 (∞+内闭一致收敛. 于是
可得如下结论:
)(s Γ的连续性: )(s Γ在区间) , 0 (∞+内连续 . )(s Γ的可导性: )(s Γ在区间) , 0 (∞+内可导, 且
?
?
∞
+∞
+----=
??=
Γ'0
1
1
ln )()(dx
x e
x
dx e
x
s
s x
s x
s .
同理可得: )(s Γ在区间) , 0 (∞+内任意阶可导, 且 ?
+∞
--=
Γ0
1
)
() ln ()(dx x e
x
s n
x
s n .
3. )(s Γ函数的凸性与极值:
0) ln ()(2
1
>=
Γ''?
+∞
--dx x e
x
s x
s , ? )(s Γ在区间) , 0 (∞+内严格下凸.
1)2()1(=Γ=Γ ( 参下段 ), ? )(s Γ在区间) , 0 (∞+内唯一的极限小值点( 亦为
最小值点 ) 介于1与2 之间 .
4. )(s Γ的递推公式 -Γ函数表:
)(s Γ的递推公式 : ) 0 ( ),()1(>Γ=+Γs s s s .
证 ?
?
+∞
+∞
--='-==+Γ0
)()1(dx e
x dx e
x s x
s x
s
?
?
+∞
+∞
----∞+-Γ==+-=0
1
1
)
(s s dx e
x s dx e
x s e x x
s x
s x
s .
?
?
+∞
+∞
---==
=
Γ0
1
11)1(dx e
dx e
x x
x
.
于是, 利用递推公式得:
1)1(1)11()2(=Γ=+Γ=Γ , ! 212)2(2)12()3(=?=Γ=+Γ=Γ,
! 3! 23)3(3)13()4(=?=Γ=+Γ=Γ , …………, , 一般地有 ! )1()1()()1(n n n n n n n ==-Γ-=Γ=+Γ .
可见 , 在+Z 上, )(s Γ正是正整数阶乘的表达式 . 倘定义 )1(! +Γ=s s , 易见对
1->s ,该定义是有意义的. 因此, 可视)1(+Γs 为)
, 1 (∞+-内实数的阶乘. 这样一来,
我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了) , 1 (∞+-内的所有实数上, 于是, 自然就有
1)1()10(!0=Γ=+Γ=, 可见在初等数学中规定 1!0=是很合理的.-
Γ函数表: 很多繁
杂的积分计算问题可化为-Γ函数来处理. 人们仿三角函数表、对数表等函数表, 制订了-Γ函数表供查. 由-Γ函数的递推公式可见, 有了-Γ函数在10<?s , 求得)(s Γ的值. 通常把00.200.1≤≤s 内-Γ函数的某些近似值制成表, 称这样的表为-Γ函数表 .
5. -Γ函数的延拓:
>s 时, ),()1(s s s Γ=+Γ? .)
1()(s
s s +Γ=
Γ 该式右端在01<<-s 时也有
意义 . 用其作为01<<-s 时)(s Γ的定义, 即把)(s Γ延拓到了) , 0 () 0 , 1(∞+?-内.
12-<<-s 时, 依式 s
s s )
1()(+Γ=
Γ, 利用延拓后的)(s Γ, 又可把)(s Γ延拓到
?--) 1 , 2 () , 0 () 0 , 1(∞+?-内 .
依此 , 可把)(s Γ延拓到) , (∞+∞-内除去) , 2 , 1 , 0 ( =-=n n x 的所有点. 经过如此延拓后的)(s Γ的图象如[1] P347图表21— 4.
例1 求) 85.4 (Γ, ) 85.0 (Γ, ) 15.2 (-Γ. ( 查表得) 85.1 (Γ94561.0=.) 解 ) 85.4 (Γ=Γ??=Γ?=Γ=)85.1(85.185.285.3)85.2(85.285.3)85.3(85.3 19506.1994561.085.185.285.3=???=. 85.0(85.0) 85.1 (Γ=Γ), ? 11248
.185
.094561.085.0)85.1() 85.0 (==Γ=Γ.
=
-Γ?=
--Γ?
-=
--Γ=-Γ15
.0)
85.0(15.115.21
15
.1)15.0(15
.2115.2)15.1() 15.2 (
54967
.215
.015.115.294561
.0-=??-=.
6. -Γ函数的其他形式和一个特殊值:
某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为-Γ函数 . 倘能如此, 可查-Γ函数表求得该积分的值.
常见变形有:
ⅰ> 令)0( >=p pt x , 有 )(s Γ=?+∞--0
1 dx e x x s ?+∞
--=0
1dt e t p pt s s ,
因此, ?
+∞
---Γ=0
1
)(s p dx e
x
s
px
s , ) 0 , 0 (>>s p .
ⅱ> 令,2t x = ? ?+∞
--=Γ0
122
2)(dt e t s t s .
注意到[1] P277 E7的结果?∞
+-=
2
2
π
dx e
x
, 得)(s Γ的一个特殊值
2
21=???
??Γ772454.12
20
2
≈=
?
=?
∞
+-ππ
dt e
t
.
ⅲ> 令)0( ln >-=λλt x , 得 )(s Γ?--??
?
??=1
01
1
1ln dt t
t s s
λλ
. 取1=λ, 得
)(s Γ??
---=
?
?
?
??=1
1
1
1
)
ln (1ln dt t dt t s s .
例2 计算积分 ?+∞
-0
22
dx e
x x
n
, 其中 +
∈Z n .
解 I ?∞
++--
=-=Γ-?=
+
Γ=
====0
12
12
!
)!12()21(2!)!12(21)2
1(2
12
1
2
πn n t
n x
t n n n dt e t
.
二. Beta 函数),(q p B ——Euler 第一型积分： 1． Beta 函数及其连续性：
称( 含有两个参数的 )含参积分?---1
011)1(dx x x q p ) 0 , 0 (>>q p 为Euler 第一型
积分. 当p 和q 中至少有一个小于1 时, 该积分为瑕积分. 下证对 0 , 0 >>q p , 该 积分收敛. 由于1 , 1 分成? 2 1 和?1 2 1考虑. ?21 : 1≥p 时为正常积分; 10<< p 时, 点0=x 为瑕点. 由被积函数非负, ) 0 ( , 1)1(111+---→→-x x x x q p p 和 11<-p , ( 由Cauchy 判法) ? 积分?21 0收敛 . ( 易见0=p 时积分?21 发散 ). ?1 21: 1≥q 时为正常积分; 10< ) 1 ( , 1)1()1(111----→→--x x x x p q q 和 11<-q , ( 由Cauchy 判法) ? 积分?12 1收敛 . ( 易见0=q 时积分?1 2 1发散 ). 综上, 0 , 0 >>q p 时积分?1 收敛. 设D }0 , 0 |),( {+∞<<+∞<<=q p q p , 于是, 积分? 10 定义了D 内的一个二元函数. 称该函数为Beta 函数, 记为),(q p B , 即 ),(q p B =?---1 11)1(dx x x q p ) 0 , 0 (>>q p 不难验证, -B 函数在D 内闭一致收敛. 又被积函数在D 内连续, 因此 , -B 函数 是D 内的二元连续函数. 2. -B 函数的对称性: ),(q p B ),(p q B =. 证 ),(q p B =?---1 01 1 ) 1(dx x x q p ? = -- =====---=0 1 1 1 1) 1(dt t t q p t x ? =-= --1 1 1 ),() 1(p q B dt t t p q . 由于-B 函数的两个变元是对称的, 因此, 其中一个变元具有的性质另一个变元 自然也具有. 3. 递推公式: ) , 1 (1 ) 1 , 1 (q p B q p q q p B +++= ++. 证 ? ?=-+= -= +++1 1 1 )()1(1 1 )1() 1 , 1(p q q p x d x p dx x x q p B dx x x p q dx x x p q x x p q p q p p q ??-+-++-+= -++ -+= 1 1 1 1 1 1 1 1) 1(1 ) 1(1 )1(1 1, )* 而 ?? =---= ---+1 1 1 11) 1)](1([)1(dx x x x x dx x x q p p q p ? ? ++-+=-- -= -1 1 1 )1 , 1() , 1()1() 1(q p B q p B dx x x dx x x q p q p , 代入)*式, 有 ) 1 , 1 (1 ) , 1 (1 ) 1 , 1 (+++- ++=++q p B p q q p B p q q p B , 解得 ) , 1 (1 ) 1 , 1 (q p B q p q q p B +++= ++. 由对称性, 又有) 1 , (1 ) 1 , 1 (+++=++q p B q p p q p B . 4. -B 函数的其他形式: ⅰ> 令α x y =, 有 ?? =-= --1 1 1 1 )1(1 )1(dy y y y dx x x αβ αγ β αγα ? ??? ??++= -= -+-+1 1 11 11 , 11 ) 1(1 βαγαα βα γ B dy y y , 因此得 ??? ? ??++= -1 1 , 11 )1(βαγαβαγB dx x x , 1 , 01->>+βαγ. ⅱ> 令x y cos =, 可得 ??? ? ??++= 20 21 , 21 21 cos sin π βαβαB xdx x , 1 , 1->->βα. 特别地 , ??? ? ??+= 20 21 , 2121 sin π n B xdx n , + ∈Z n . ⅲ> 令t t x += 1, 有),(q p B =?---1 1 1 ) 1(dx x x q p =? ∞ ++-+0 1 ) 1(dt t t q p p , 即 ? ∞ ++-=+0 1 ) ,() 1(q p B dt t t q p p , ) 0 , 0 (>>q p ⅳ> 令a b a a b x t -- -= , 可得 ?-+---=--b a n m n m n m B a b dx x b a x ),,()()()(111 0 , 0>>n m . ⅴ> ? += +-+--1 1 1 ),() 1(1) () 1(n m B a a dx x a x x n n n m n m , 0 , 0 ; 1 , 0>>-≠n m a . 三. -Γ函数和-B 函数的关系: -Γ函数和-B 函数之间有关系式 ) ()()(),(q p q p q p B +ΓΓΓ= , ) 0 , 0 (>>q p 以下只就p 和q 取正整数值的情况给予证明. p 和q 取正实数值时, 证明用到 -Γ函 数的变形和二重无穷积分的换序. 参阅[1] P349. 证 反复应用-B 函数的递推公式, 有 )1 , (1 12 2 11 )1,(1 1),(m B m n m n n m n n m B n m n n m B +? ?-+-? -+-=--+-= , 而 ? ? ==-1 1 , 1)1 , (m dx x m B m =--??+? ?-+-? -+-=)! 1()! 1(111 2 2 11 ),(m m m m n m n n m n n m B ) ()()()! 1()!1()!1(m n m n n m m n +ΓΓΓ= -+--= . 特别地, 0 , 0>>q p 且1=+q p 或2=+q p 时, 由于1)2()1(=Γ=Γ, 就有 )()(),(q p q p B ΓΓ=. 余元公式——-Γ函数与三角函数的关系： 对10< πp p p sin )1()(= -ΓΓ. 该公式的证明可参阅: Фихтенгалъц , 微积分学教程 Vol 2 第3分册, 或参阅余家荣编 《复变函数》P118—119 例1（ 利用留数理论证明 ）. 利用余元公式, 只要编制出2 10≤ 对 0>?s , 查表求得)(s Γ的近似值. 四. 利用Euler 积分计算积分: 例3 利用余元公式计算?? ? ??Γ21. 解 πππ== ??? ? ? - Γ??? ??Γ=?? ? ??Γ2 sin 21121212, ? π=??? ??Γ21. 例4 求积分? ∞ ++0 6 1x dx . 解 令6x t =, 有 I ? ? ∞ +∞ ++ -- =?? ? ??= += += 6 56 1 1 6 1 6 565 , 6161 )1(6 1161B dt t t dt t t 36 sin 616116161 πππ= ?=??? ?? -Γ??? ??Γ= . 例5 计算积分 ? -1 4 4 1x dx . 解 ,2 111lim 4 4 4 1 = --- →x x x 14 1<=p , ? 该积分收敛 . ( 亦可不进行判敛 , 把该积分化为-B 函数在其定义域内的值 , 即判得其收敛 . ) I ??? =-==== -?= -?= - - =1 4 14 31 4 4 3 4 1 4 4 3 3 ) 1(4 1 1)(4 1 14 dt t t x x x d x x dx x x t = =??? ??Γ??? ??Γ=??? ??= -= ?--4 sin 4143414143 , 4141 ) 1(4 110 1 4 3 1 4 1ππB dt t t 4 2π. 例6 x x x f 67cos sin )(=, 求积分 ???V dxdydz z f y f x f )()()(, 其中 V : x z x y x ≤≤≤≤≤ ≤0 , 0 , 2 0π . 解 ???? ??? ?=?? ? ??= = V x x x dx dt t f x f dz z f dy y f dx x f 2 2 2 0)()()()()(π π ????????? ? ? ?=? ?? ??=??? ??=2 03 2020 3 20)(31)(31)()(π ππ x x x dx x f dt t f dt t f d dt t f . 而 ?? =?? ? ?? =??? ??++= = 2 2 6 7 27 , 421216 , 21721 cos sin )(π π B B xdx x dx x f 5633)5.0(5.05.15.25.35.45.55.6)5.0(5.05.15.2 !321) 2 15 () 27 ()4(21.= Γ???????Γ?????=ΓΓΓ?=. 因此 , 3 3 . ) 563(9563331=??? ??=??? V . 第十九章 含参量正常积分 §19.1 含参量正常积分 教学要求： (1) 了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明 (2) 熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式． (3) 掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用 教学重点:含参量正常积分定义及其性质；掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用 教学难点：含参量正常积分的连续性，可微性和可积性； 一、含参量正常积分的概念 定义定义 设二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ?=上有定义，且对],[b a 内每一点 x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间],[d c 上可积，则定义了x 的 函数 ?=d c dy y x f x I ),()(，],[b a x ∈ （1） 设二元函数),(y x f 在区域 }),()(|),{(b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=上有定义， 函数)(x c ，)(x d 为],[b a 上的连续函数，且对],[b a 内每一点x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间)](),([x d x c 上可积，则定义了x 的函数 ? =) () (),()(x d x c dy y x f x F ，],[b a x ∈ （2） 称()(,)d c I x f x y dy =?和() () ()(,)d x c x F x f x y dy =?为含参量x 的正常积分，x 称为参变量。 类似可定义含参量y 的正常积分． 含参量积分在形式上是积分， 但积分值随参量的取值不同而变化， 因此实质上是一个函数。即含参量正常积分是以积分形式表达的函数，含参积分提供了表达函数的又一手段 . 二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性 第十九章含参量积分 一.填空题 1.若在矩形区域上_________,则 2.含参量反常积分 在____________上一致收敛. 3.设在上连续,若含参量反常积分 在上___________,则在上连续. 4. 5.在中如令, 则 6. 对于任何正实数函数与B函数之间的关系为 7. 在上不一致收敛是指______________. 8. 9. 设, 则 10. 利用函数定义, 二.证明题 1. 证明在上一致收敛. 2. 证明在上一致收敛. 3.证明若函数在连续, 则, 有 4.证明在上非一致收敛. 5.证明 6.证明在上一致收敛. 7. 证明在上不一致收敛. 8. 证明 9. 证明 10. 证明在R上连续. 计算题1. 求 2. 求 3.设. 求 4. 求 5.用函数与B函数求积分 6.用函数与B函数求积分 7.求积分 8.从等式出发, 计算积分 9.设. 求 10.求 填空题答案 1. 连续. 2. R 3. 一致收敛. 4. 5.. 6. . 7. , 有 8. 1 9. . 10. . 证明题答案: 1. 证明: , 有 , 而收敛, 则 在上一致收敛. 2. 证: , 有, 而, 则 在上一致收敛. 3证: 已知在连续, 使. 设, 有 于是, 4.证: , 有 . 即在上非一致收敛. 5.证: 设有 . 6.证: 由于反常积分收敛,函数对每个单调, 且对任何, 都有. 故由阿贝耳判别法可知 在上一致收敛. 7. 证: 因在处不连续, 而在 内连续, 由连续性定理知, 在上不一致收敛. 8. 证: 令, 则. 9. 证: 令则, . 10. 证： 含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε- 第十九章含参量积分 教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定。 教学时数：12学时 §1含参量正常积分 一. 含参积分:以实例和引入. 定义含参积分和. 含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. 1. 含参积分的连续性: Th19.5 若函数在矩形域上连续, 则函数 在上连续 . ( 证) P172 Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和 在上连续, 则函数在上连续. ( 证) P173 2. 含参积分的可微性及其应用: Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连续, 则函数在上可导, 且 . ( 即积分和求导次序可换) . ( 证) P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连续,函数和定义在, 值域在上, 且可微, 则含参积分 在上可微, 且 . ( 证)P174 例1 计算积分. P176. 例2设函数在点的某邻域内连续 . 验证当充分小时, 函数 的阶导数存在, 且. P177. §2 含参反常积分 一. 含参无穷积分: 1.含参无穷积分:函数定义在上( 可以是 无穷区间) . 以为例介绍含参无穷积分表示的函 数. 2. 含参无穷积分的一致收敛性: 逐点收敛( 或称点态收敛) 的定义: , , 使 . 引出一致收敛问题 . 定义(一致收敛性) 设函数定义在上 . 若对 , 使对成立, 则称含参无穷积分在( 关于)一致收敛. Th 19.5 ( Cauchy收敛准则) 积分在上一致收敛, 对成立 . 例1 证明含参量非正常积分在上一致收敛, 其中. 但在区间内非一致收敛 . P180 3. 含参无穷积分与函数项级数的关系: 含参量反常积分与欧拉积分 姓名：于赛楠(114942059) 司秀秀(114942004) 胡月月(114942011) 郑素丹(114942026) 田玉方(114942054) 冯娜娜(114942028) 任亚南(114942034) 班级： 11级数学与应用数学一班 成绩： 日期： 2012.11.4 i含参量反常积分与欧拉积分 1.含参量反常积分 1.1含参量积分的定义 定义1设函数定义在无界区域R=｜上，其中为一区间，若对每一个固定的反常积分 (1) 都收敛，则它的值是x在上取值的函数，当记这个函数为 称(1)式为定义在上的含参量的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分. 定义2 设在区域R=上有定义，若对的某些值,为函数的暇点，则称为含参量的无界函数反常积分，或简称为 含参量反常积分. 1.2含参量反常积分一致收敛的定义及判定 1.2.1一致收敛的定义 定义3 设含参量反常积分与函数（）对任给的正数，总存在某一实数N，使得当时，对一切，都有｜｜，即｜｜，则称含参量反常积分在一致收敛于，或简单的 说含参量积分在上的一致收敛. 定义4 对任给正数，总存在某正数d-c,使得当0时，对一切 ,都有｜｜则称含参量反常积分在上一 致收敛. 1.2.2一致收敛的柯西准则 定理1 含参量反常积分在I上一致收敛的充要条件是：对于任给的正数，总存在某一实数M c，使得当M 时，对一切x I，都有 ｜｜< . 证明必要性 若在上一致收敛，则任意存在存在 及有,因此，任意N, 充分性若任意，存在任意 ｜｜ 则令，得,这就证明了在上 一致收敛. 例 1 假设在[,=内成立不等式 , 若, 在上一致收敛, 证明在上一 致收敛且绝对收敛. 证明因为在上一致收敛,根据一致收敛的柯准则可 知对总存在某一实数使得当对一切有， ｜｜= 而｜｜｜｜, 在上收敛，即在上绝对收敛 在上一致收敛. 综上在上一致收敛，且绝对收敛. 1.2.3一致收敛的充要条件 定理1含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是：对任意趋于的 递增数列{}(其中=c),函数项级数 在上一致收敛. 例2 设为上连续非负函数在 第十九章含参量积分 目的与要求：1.掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参量正常积分的求导法则；2.掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法.3. 了解r函数与B函数的定义与有关性质 重点与难点：本章重点是含参量正常积分的连续性，可微性和可积性，含参量反常积分的一致收敛性概念，性质；难点则是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理的证明 第一节含参量正常积分 ?含参量正常积分的概念 1定义 设二元函数/(x,y)在矩形区域R = [m]x[c,d]上有定义，且对[。,用内每一点们函数f (x, y)关于)，在闭区间]上可积，则定义了尤的函数 /⑴=y)d y, xe[a,h] (i) c 设二元函数/(、,)，)在区域 G = {(%, y)\ c(x) < y < d(x\ a 间[c(x),J(x)]±可积，则定义了尤的函数 d(；) F(x)= \f(x.y)dy , A* e [a.b] (2) c由 称(1)和(2)为含参量]的正常积分.类似可定义含参量)，的正常积分. 二含参量正常积分的连续性、可微性与可积性 1连续性 定理19. 1(连续性)若二元函数/(x,y)在矩形区域R = [a,h]x\c^d]±连续，则函数d Z(x)= 在[。㈤上连续. C 证设x 6 [a.h],对充分小的Ar, ^*x4-ZLr e [a,h](若工为区间端点则考虑Ar〉0或 k<0),于是 d Z(x + Ax)- /(x)= j[/(x + Ax,y)-/(x,y)]Jy (3) c 由于f^y)在有界闭区域R上连续，从而一致连续，即对任给的正数总存在某个正数 S ,对/?内任意两点(X], )与(尤2，光)，只要 X,-X2\<3,_光|<$ 就有F3，)"-/(尤2,光』<￡⑷所以由(3) (4)可得：当|4xj < 8 , 含参量反常积分的一致收敛判别法及推广 作者：蒋碧希 指导老师：张海 摘要 本文主要介绍了含参量反常积分（含参量无穷限反常积分、含参量瑕积分）的基本概念、性 质.然后参照无穷限反常积分的方法建立了相应的含参量瑕积分的一致收敛性.最后结合例题说明其在解题中的应用. 关键词 含参量无穷限反常积分 含参量瑕积分 一致收敛 1 引言 对于含参量无穷限反常积分的基本概念、性质、一致收敛性判别法大部分教材都有详细论述.而忽视了含参量瑕积分的一致收敛性的判定,其实两者之间是同中有异的.本文主要参照无穷限反常积分的方法建立相应的含参量瑕积分的一致收敛判别法，并探究其在解题中的应用. 2 含参量无穷限反常积分的一致收敛判别法 2.1 含参量无穷限反常积分的定义 设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y a x b c y =≤≤≤≤+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? (1) 都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当这个函数为()I x 时，则有 ()(,),[,],c I x f x y dy x a b +∞ =∈? (2) 称(1)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分. 2.2 含参量反常积分的一致收敛概念 若含参量反常积分(1)与()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切[,]x a b ∈，都有 (,)()M c f x y dy I x ε- (,)M f x y dy ε+∞ ，使得当M A A >21,时，对一切],[b a x ∈，都有 2 1 (,)A A f x y dy ε?ε,0>?M ,M A A >?21,时，使得],[b a x ∈?时，有 1 (,)2A f x y dy ε+∞ ?>?M ε，当M A A >21,时， 有 2 1 (,)A A f x y dy ε，总存在某一实数c M >，使得M A A >21,时，对一切 ],[b a x ∈，都有 2 1 (,)A A f x y dy ε §2 含参量反常积分 一 一致收敛性及其判别法 设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y x I c y =∈≤<+∞上，其中I 为一区间，若对固定的x I ∈，反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? （1） 都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数，当记这个函数为()x φ时，则有 ()(,),c x f x y dy x I φ+∞ =∈? ， （2） 称（1）式为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分。 如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似。 首先引入含参量反常积分的一致收敛概念及柯西准则。 定义1 若含参量反常积分（1）与函数()x φ对任何的正数ε。总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切x I ∈。都有 (,)()c f x y dy x φε+∞ -，使得当1 2 ,M A A >时，对一切x I ∈， 都有 1 2 (,)A f x y dy A ε），但在()0,+∞内不一致收敛。 第十九章 含参量积分 一. 填空题 1. 若(,)f x y 在矩形区域[,][,]R a b c d =?上_________,则 (,)(,)b d d b a c c a dx f x y dy dy f x y dx =? ??? 2. 含参量反常积分 2 cos 1xy dx x +∞+? 在____________上一致收敛. 3. 设(,)f x y 在[,][,)a b c ?+∞上连续,若含参量反常积分 ()(,)c I x f x y dy +∞= ? 在[,]a b 上___________,则()I x 在[,]a b 上连续. 4. (1)_______.n Γ+= 5. 在1110 (,)(1),0,0p q B p q x x dx p q --= ->>? 中如令 2cos x ?=, 则 (,)_______B p q = 6. 对于任何正实数,,p q Γ函数与B 函数之间的关系为(,)________.B p q = 7. (,)c f x y dy +∞ ? 在[,]a b 上不一致收敛是指______________. 8. 1 0lim _________.y -→=? 9. 设 2(), (1,1)(1sin )dx F y y y x π π-=∈-+?, 则 ()__________.F y '= 10. 利用Γ函数定义,4 ________.x e dx +∞ --∞ =? 二.证明题 1. 证明 22 222 1 () y x dx x y +∞ -+? 在(,)-∞+∞上一致收敛. 2. 证明 2 x y e dy +∞ -? 在[,](0)a b a >上一致收敛. 3. 证明若函数()f x 在[,]a A 连续, 则[,)x a A ?∈, 有 01lim [()()]()()x a h f t h f t dt f x f a h →+-=-? 第十九章 含参量积分 总练习题 1、在区间1≤x ≤3内用线性函数a+bx 近似代替f(x)=x 2，试求a,b 使得积分?-+3 122)(dx x bx a 取最小值. 解：设f(a,b)=?-+3 122)(dx x bx a ， 由f a (a,b)=2?-+3 12)(dx x bx a =4a+8b-3 52=0, f b (a,b)=2?-+3 12)(dx x bx a x =8a+ 352b-40=0, 得驻点a=3 11 -,b=4. 又f aa =2?31dx =4, f bb =2?312 dx x =3 52, f ab =f ba =2?31xdx =8, 即f aa ·f bb -f ab 2=316>0， ∴(311-,4)是f 唯一的极小值点，即a=3 11 -,b=4时，积分取最小值. 2、设u(x)=?1 0)(),(dy y v y x k ，其中k(x,y)=???>-≤-y x x y y x y x ),1(),1(与v(y)为[0,1]上 的连续函数，证明：u ”(x)=-v(x). 证：当0≤x ≤1时，u(x)=?10)(),(dy y v y x k =?-x dy y v x y 0)()1(+?-1 )()1(x dy y v y x . 由各项被积函数及其对x 偏导函数都连续知， u ’(x)=?-x dy y yv 0 )(+x(1-x)v(x)+?-1 )()1(x dy y v y -x(1-x)v(x) = -?x dy y yv 0)(+?-1 )()1(x dy y v y . u ”(x)=-xv(x)-(1-x)v(x)=-v(x). 3、求函数F(a)=?∞ +- 2)1sin(dx x x a 的不连续点， 并作函数F(a)的图像. 解：由?+∞ sin dx x ax =2 π sgna ， §2 含参量反常积分 教学目的：掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分 的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学要求： (1)掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质，以及含参量反 常积分的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学建议： (1) 本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法．要求学生会用魏尔 斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的一致收敛性． (2) 本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与 可积性定理的证明．对较好学生在这方面提出高要求，布置有关习题；另外，由于这方面内容与函数项级数部分有类似之处，还可要求他们作比较与总结． 教学程序： 定义 设函数()y x f ,定义在无界区域R =(){}+∞<≤≤≤y c b x a y x ,,上，若对[]b a ,内每一个固定的x ，反常积分 ()?+∞ c dy y x f ,都收敛，则它的值定义了[]b a ,上一个x 的函数，记 ()x I = ()?+∞ c dy y x f ,，x ∈[]b a , （1） 称（1）式为定义在[]b a ,上的含参量x 的无穷限反常积分. 一 一致收敛概念及其判别法 1．一致收敛的定义 定义1 若含参量的反常积分（1）与函数()x I 对任给的正数ε，总存在某个实数c N >，使得当N M >时，对一切x ∈[]b a ,，都有 ()()ε<-?M c x I dy y x f , 即 ()ε，使得当M A A >21,时，对一切x ∈[]b a ,，都有 ()()ε<-?2 1 ,A A x I dy y x f 例1 证明参量的反常积分 ?+∞ sin dy y xy 含参量积分的分析性质及其应用 班级：11数学与应用数学一班 成绩： 日期：2012年11月5日 含参量积分的分析性质及其应用 1. 含参量正常积分的分析性质及应用 1.1含参量正常积分的连续性 定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ?=上连续,则函数 ()x ?=?d c dy y x f ),(在[a,b]上连续. 例1 设 )sgn(),(y x y x f -=（这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积 分?=10 ),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续. 解 因为10≤≤x ,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1. -1,x ),(+∞-∞上连续. 例2 求下列极限：（1）dx a x ? -→+1 1 220lim α; (2)?→2 20cos lim xdx x αα. 解 （1）因为二元函数22α+x 在矩形域R=[-1,1]?[-1.1]上连续,则由连续性定理得dx a x ? -+11 22在[-1,1]上连续.则 ??? --→-→==+=+1 1 22110 1 1 2201lim lim dx x dx a x dx a x αα. （2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2 ,2[]2,0[π π- ?=R 上连续,由连续 性定理得,函数?202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.3 8cos lim 202022 0==??→dx x axdx x α 例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ? +1 2 2) (的连续性,其中f （x ）在闭区间[0,1]上是正 的连续函数. 解 对任意00>y ,取0>δ,使00>-δy ,于是被积函数 2 2) (y x x yf +在],[]1,0[00δδ+-?=y y R 上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F （y ）在 区间],[00δδ+-y y 上连续,由0y 的任意性知,F （y ）在),0(+∞上连续.又因 dx y x x yf dx y x x yf y F ?? +-=+-=-10221 22)() ()(,则F （y ）在)0,(-∞上连续.当y=0处0)(0=y F .由于)(x f 为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0. y m dx y x my dx y x x yf y F 1arctan )()(10221 22=+-≥+=?? ,从而04 )(lim 0>≥+→πm y F y ,但 F(y)在y=0处不连续,所以F （y ）在),0(),(+∞+∞-∞Y 上连续,在y=0处不连续. 定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|b x a x d y x c ≤≤≤≤),()(}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= ? ) () (),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续. 例4 求? +→++α α αα 12201lim x dx . 关于含参量反常积分的证明 引言 刚开始学习数学分析这门课时，老师就说过，在数学分析这门课中，极限的)(δεN -定义和积分等知识十分重要，可以说学好了它们就学好了数学分析这门课。在第四版数学分析教材下册第十九章中向我们介绍了含参量积分的相关知识。在本文中我将对含参量积分的性质的证明做一下归纳总结，希望与大家一同分享。 一、证明过程中用到的定理 定理1（函数项级数的连续性定理）若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上一致收敛， 且每一项都连续，则其和函数在[]b a ,上也连续。 定理 2（函数项级数的逐项求积定理）若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上一致收敛， 且每一项()x u n 都连续，则()∑ ? b a n x u dx =()∑? x u n b a dx . 定理 3（函数项级数的逐项求导定理））若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上每一项都 有连续的导函数，[]b a x n ,∈为∑n u ()x 的收敛点，且()∑x u n '在[]b a ,上一致收敛，则 ()()()∑∑ =??? ??x u dx d x u dx d n n . 定理4 若()y x f ,在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上连续，则 ()()dx y x f dy dy y x f dx d c b a b a d c ? ???= ,,. 定理5 含参量反常积分()dy y x f c ? +∞ ,在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞ +的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数 ()()∑ ? ∑∞ =∞ =+= 1 1 1 ,n A A n n N N x u dy y x f 在I 上一致收敛。 二、证明思想 由于直接从含参量反常积分入手不易证明，所以我们可以利用定理5将含参量反常积分 转化为已解决的函数项级数问题，从而证得。 三、含参量反常积分性质的证明 1、连续性 设()y x f ,在[]+∞?,c I 上连续，若含参量反常积分()()? +∞ = Φc dy y x f x ,在 I 上一致收敛，则()x Φ在[]b a ,上连续。 第十九章含参量积分 【教学目的】 1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法； 2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法； 3.掌握欧拉积分的形式及有关计算 【教学重点】含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定 【教学难点】一致收敛性的判定 【教学时数】12学时 §1含参量正常积分 一、含参量积分的定义 以实例和引入. 定义含参量积分和. 含参量积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参量积分表达的函数为含参量积分. 二、含参量积分的解析性质 1. 含参量积分的连续性 Th19.5 若函数在矩形域上连续 , 则函数 在上连续 . ( 证 ) P172 Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和在 上连续 , 则函数在上连续. ( 证 ) P173 2. 含参量积分的可微性及其应用 Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连续, 则函数 在上可导 , 且 . ( 即积分和求导次序可换 ) . ( 证 ) P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连续,函数和 定义在, 值域在上 , 且可微 , 则含参量积分在 上可微 , 且 . ( 证 )P174 例1 计算积分. P176. 例2 设函数在点的某邻域内连续 . 验证当充分小时 , 函数 的阶导数存在 , 且. P177. 三、作业 §2 含参量反常积分 一、含参量无穷积分: 1. 含参量无穷积分 函数定义在上 ( 可以是无穷区间 ) . 以 为例介绍含参量无穷积分表示的函数. 2. 含参量无穷积分的一致收敛性 逐点收敛( 或称点态收敛 ) 的定义: , , 使 . 引出一致收敛问题 . 定义 (一致收敛性 ) 设函数定义在上 . 若对, 使对成立, 则称含参量无穷积分在( 关于)一致收敛. Th 19.5 ( Cauchy收敛准则 ) 积分在上一致收敛, 对成立 . 例1 证明含参量非正常积分在上一致收敛 , 其中. 但在区间 内非一致收敛 3. 含参量无穷积分与函数项级数的关系: 3. 含参量的反常积分一致收敛性判别法 Weierstrass 判别法 设函数(,)f x t 定义在 {}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈?R 中，若 （a ） 对于每个A a >，(,)f x t 在[,]x a A ∈上为R-可积的； （b ） 存在()x ?，使得 ()a x dx ?+∞ ?收敛，且 (,)(), [,)f x t x x a ?≤∈+∞； 则反常积分(,)a f x t dx +∞ ? 关于t T ∈绝对一致收敛，亦即，反常积分 (,)a f x t dx +∞ ? 关于t T ∈一致 收敛. 我们称定理中的()x ?为(,)f x t 的优函数. Abel 判别法 设函数(,)f x t 、(,)g x t 定义在 {}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈?R 中，若 （a ） 若反常积分 (,)a f x t dx +∞ ? 关于t T ∈一致收敛； （b ） (,)g x t 是x 的单调函数，且存在常数0L >（与[,)x a ∈+∞、t T ∈无关），使得 (,)g x t L ≤； 则反常积分 (,)(,)a f x t g x t dx +∞ ? 关于t T ∈一致收敛. Dirichlet 判别法 设函数(,)f x t 、(,)g x t 定义在 {}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈?R 中，若 （a ） 对于每个A a >，(,)f x t 在[,]x a A ∈上为R-可积的，且积分 (,)A a f x t dx ?关于t T ∈ 一致有界，亦即，0M ?>（与A 、t 无关），使得 第十九章 含参量积分 1. 若f(x,y)在矩形域R =[a ,b]×[c,d]上 ，则????=d c b a b a d c dx y x f dy dy y x f dx ),(),(。 2. 含参量反常积分dy xy x ?+∞+021cos 在 上一致收敛。 3. 设f(x,y)在[a ,b]×[c,+∞]上连续，若含参量反常积分I （x ）=dy y x f c ? +∞),(在 [a ,b]上 ，则I （x ）在[a ,b]上连续。 4. =+Γ)1(n 。 5. 对于任何正实数p,q,Γ函数与B 函数之间的关系为B （p,q ）= 。 6. =+?-→dx y x y 112 20lim 。 一、 证明题。 7. 证明含参量反常积分dx x e y ? +∞ -12在),[+∞a 一致收敛（a 〉0）； 8. )0(,)1(ln )(110>=Γ-?a dx x a a 二、 计算题。 9. )2 1(n +Γ； 10. )25(-Γ 答案 一、 填空题。 1. 连续； 2. R ； 3. 一致连续； 4. n!； 5. B （p,q ）= )()()(q p q p +ΓΓΓ（p>0，q ﹥0）；6. 1； 二、 证明题。 7. 证明：),[+∞∈?a y ，e e e x x x a y y 2221--≤=； ?+∞-12dx x e a 收敛，由优函数判别法知：dx x e y ?+∞-12 在),[+∞a 一致收敛。 8. 证明：令e t x t x -=?=1ln ，dt dx e t --=，010∞t x ， ??∞--=01110)1(l n t a a dx x ·（-e t -）=dt ?∞-01t a ·)(a dt e t Γ=- 三、 计算题。 9. 解：π4 3)21(2123)121(23)23(23)123()25(=Γ?=+Γ=Γ=+Γ=Γ 10．解： π π222 !)!12(1 3)52)(32)(12()21(13)52)(32)(12()212()212()25)(23)(21()2 5()25)(23)(21(]1)25[()23)(21()23()23)(21(]1)23[()21()21()21(121)21(n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n -=?---=Γ?---=--Γ-----==-Γ---=+-Γ--=-Γ--=+-Γ-=-Γ-=??????+??? ? ?-Γ=+Γ 第十八章 含参量积分 第一节 含参量正常积分 从本章开始我们讨论多元函数的各种积分问题，首先研究含参量积分.设()y x f ,是定义在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上的二元函数.当x 取[]b a ,上某定值时，函数()y x f ,则是定义在[]d c ,上以y 为自变量的一元函数.倘若这时()y x f ,在[]d c ,上可积分，则其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记它为()x I ，就有 ()()[].,,,?=d c b a x dy y x f x I （1） 一般地，设()y x f ,为定义在区域()()(){}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=,|,上的二元函数，其中()x c ，()x d 为定义在[]b a ,上的连续函数（图18-1），若对于[]b a ,上每一固定的 x 值，()y x f ,作为y 的函数在闭区间()[()]x d x c ,上可积分，则其积分值是x 在[]b a ,上取值 的函数，记作)(x F 时，就有 )(x F ()()() [].,,, b a x dy y x f x d x c ∈=? （2） 图18-1 用积分形式所定义的这两个函数（1）与（2），通常为定义在[]b a ,上的含参量x 的（正常）积分，或简称含参量积分. 下面讨论含参量积分的连续性、可微性与可积性. 定理18-1(连续性) 若二元函数()y x f ,在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上连续，则函数 ()()dy y x f d c ?=,x I 在[]b a ,上连续. 证 设[]b a x ,∈，对充分小的x ?，有[]b a x x ,∈?+（若x 为区间的端点，则仅考虑（0>?x 或0 第十九章 含参量积分 2含参量反常积分 一、一致收敛性及其判别法 概念1：设函数f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I, c ≤y<+∞}上，I 为一区间，若对每一个固定的x ∈I, 反常积分?+∞ c dy y x f ),(都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数, 记φ(x)=?+∞c dy y x f ),(, x ∈I, 称?+∞ c dy y x f ),(为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，简称含参量反常积分. 定义1： 若含参量反常积分?+∞ c dy y x f ),(与函数φ(x)对任给ε>0, 总存在某实数N>c, 使当M>N 时, 对一切x ∈I, 都有)(),(x dy y x f M c Φ-?<ε, 即?+∞ M dy y x f ),(<ε, 则称含参量反常积分在I 上一致收敛于φ(x), 简单地说含参量积分?+∞ c dy y x f ),(在I 上一致收敛. 定理19.7：(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分?+∞ c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε, 总存在某一实数M>c, 使得当A 1, A 2>M 时，对一切x ∈I, 都有?2 1 ),(A A dy y x f <ε. 定理19.8：含参量反常积分?+∞ c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是： +∞ →A lim F(A)=0, 其中F(A)=? +∞ ∈A I x dy y x f ),(sup . 例1：证明含参量反常积分?+∞ 0sin dy y xy 在[δ,+∞)上一致收敛(δ>0)，但在(0,+∞)上不一致收敛. 116 第十二章 反常积分与含参变量的积分 一、 反常积分： 内容提要： 1、 反常积分收敛的定义： ● 无穷积分： ():lim ()A a a A f x dx f x dx +∞→+∞=? ? ● 瑕积分： 0 ():lim ()b b a a f x dx f x dx δ δ+-→=?? b 为瑕点 若极限存在，则称反常积分收敛，否则称其发散. ● 绝对收敛与条件收敛： 若|()|a f x dx +∞ ?收敛，则称()a f x dx +∞? 绝对收敛. 若()a f x dx +∞ ? 收敛，但不绝对收敛则称其为条件收敛. 2、 反常积分的敛散性判别： ● 比较判别法： 若0()() [,)f x c x x a ?≤≤?∈+∞ ()a x dx ?+∞ ? 收敛?()a f x dx +∞ ? 收敛 ()a f x dx +∞ ? 发散?()a x dx ?+∞ ?发散 若0()() [,]f x c x x a b ?≤≤?∈ ()b a x dx ??收敛?()b a f x dx ? 收敛 ()b a f x dx ? 发散?()b a x dx ??发散 若()() ()a x f x g x f x dx +∞ →+∞? 收敛()a g x dx +∞ ?? 收敛 ● Dirichlet 判别发： ·若()f x 满足 () ().[,),0A a a f x f x dx M A a dx x λλ+∞ ≤?∈+∞?>? ? 收敛. ·若()f x 满足 ().[,)()(),0x b a a f x dx M x a b x b f x dx λλ≤?∈?->? ?收 敛. ● ·()f x 满足： ().[,)A a f x dx M A a x ≤?∈+∞→+∞? 时()g x 单调趋 于0 ()()a f x g x dx +∞ ?? 收敛. 第十九章含参量积分 教案目地：1.掌握含参量正常积分地概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分地概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分地形式及有关计算. 教案重点难点：本章地重点是含参量积分地性质及含参量反常积分地一致收敛性地判定；难点是一致收敛性地判定.b5E2RGbCAP 教案时数：12学时 §1含参量正常积分 和引入含参积分:. 以实例一. . 定义含参积分和含参积分提供了表达函数地又一手段 .我们称由含参积分表达地函数为含参积分. 1. 含参积分地连续性: Th19.5 若函数在矩形域上连续, 则函数 > P172 证上连续 . ( 在Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和 则函数上连续. ( 在在, 上连续证> P173p1EanqFDPw 2. 含参积分地可微性及其应用: Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连 上可导, , 则函数且在续 . ( 即积分和求导次序可换> . ( 证> P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连 上, 且可微, 和续,函数定义在则含参积分值域在, 上可微, 在且DXDiTa9E3d . ( 证>P174 计算积分. P176. 例1 例2设函数在点地某邻域内连续 . 验证当充分小时, 函数 地阶导数存在, 且. P177. §2 含参反常积分 : 含参无穷积分. 一． 1.含参无穷积分:函数定义在上( 可以是 为例介绍含参无穷积分表示地函数无穷区间> . 以.RTCrpUDGiT 2. 含参无穷积分地一致收敛性:, , 使地定义: 逐点收敛( 或称点态收敛> . 引出一致收敛问题 . 定义(一致收敛性> 设函数定义在上 . 若对 成立对, 则称含参无穷积分, 使 ( 关于在>一致收敛.5PCzVD7HxA Cauchy积分> 收敛准则Th 19.5 在上一致收( 敛, 对成立 . 证明含参量非正常积分在上一致收敛, 例1 其中. 内非一致收敛 . P180但在区间jLBHrnAILg : 含参无穷积分与函数项级数地关系 3. 积分在上一致收敛Th 19.6 , 对任一数列在函数项级数, ↗, 上一致收敛. ( 证略>xHAQX74J0X 二. 含参无穷积分一致收敛判别法: Weierstrass M 判别法: 设有函数, 1. 使在上有第十九章 含参量正常积分.
含参量积分汇总
含参量反常积分一致收敛性的判别法资料
数学分析之含参量积分
含参量积分与欧拉积分
19数学分析课件含参量积分.doc
含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总
含参量反常积分答案
第十九章含参量积分
数学分析19含参量积分总练习题(含参考答案)
含参量反常积分
含参量积分的分析性质及其应用
关于含参量反常积分的证明.
第十九章 含参量积分
含参量反常积分的一致收敛性判别法
数学分析第十九章
第十八章 含参量积分
数学分析19.2含参量积分之含参量反常积分(含习题及参考答案)
反常积分与含参变量的积分
数学分析教案华东师大版第十九章含参量积分