2015年高考真题——数学文(安徽卷)word解析版
一、选择题
1.设i 是虚数单位，则复数()()112i i -+=( )
（A ）3+3i （B ）-1+3i （3）3+i （D ）-1+i 【答案】C
考点：复数的运算.
2.设全集{}123456U =，，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，则()U A C B =( )
（A ）{}1256，，
， （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1234，，， 【答案】B 【解析】
试题分析：∵{
}6,5,1=B C U ∴()U A C B ={}
1 ∴选B 考点：集合的运算.
3. 设p ：x<3，q ：-1 试题分析：∵3: x p ，31: x q -∴p q ?，但p ?/q ，∴p 是q 成立的必要不充分条件，故选C. 考点：充分必要条件的判断. 4.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) （A ）y=lnx （B ）2 1y x =+ （C ）y=sinx （D ）y=cosx 【答案】D 考点：1.函数的奇偶性；2.零点. 5.已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥?? +-≤??≥? ，则z=-2x+y 的最大值是( ) （A ）-1 （B ）-2 （C ）-5 （D ）1 【答案】A 【解析】 试题分析：根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图： 令y x z +-=2?z x y --=2，可知在图中)1,1(A 处，y x z +-=2取到最大值-1,故选A. 考点：简单的线性规划. 6.下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是( ) （A ）22 14y x -= （B ）2 214 x y -= （C ）22 12y x -= （D ）2 212 x y -= 【答案】A 【解析】 试题分析：由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A. 考点：渐近线方程. 7.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为( ) （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B 考点：程序框图. 8.直线3x+4y=b 与圆2 2 2210x y x y +--+=相切，则b=( ) （A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12 【答案】D 【解析】 试题分析：∵直线b y x =+43与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴2 2 4 343+-+b ＝1?2 =b 或12, 故选D. 考点：1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式. 9.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( ) （A ）1 （B ）1+ （C ）2+ （D ） 【答案】C 考点：1.几何体的三视图；2.锥体的体积公式. 10.函数()3 2 f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是( ) （A ）a>0，b<0，c>0，d>0 （B ）a>0，b<0，c<0，d>0 （C ）a<0，b<0，c<0，d>0 （D ）a>0，b>0，c>0，d<0 【答案】A 考点：函数图象与性质. 二.填空题 （11）=-+-1)2 1 (2lg 225lg 。 【答案】-1 【解析】 试题分析：原式＝12122lg 5lg 2lg 22lg 5lg -=-=-+=-+- 考点：1.指数幂运算；2.对数运算. （12）在ABC ?中，6=AB ， 75=∠A ， 45=∠B ，则=AC 。 【答案】2 【解析】 试题分析：由正弦定理可知： 45 sin )]4575(180sin[AC AB =+-245sin 60sin 6=?=?AC AC 考点：正弦定理. （13）已知数列}{n a 中，11=a ，2 1 1+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 。 【答案】27 考点：1.等差数列的定义；2.等差数列的前n 项和. （14）在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为 。 【答案】1 2 - 【解析】 试题分析：在同一直角坐株系内，作出12--==a x y a y 与的大致图像，如下图：由题意，可知 2 1 12-=?-=a a 考点：函数与方程. （15）ABC ?是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB 2=→，b a AC +=→2， 则下列结论中正确的是 。（写出所有正确结论得序号） ①a 为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4( 。 【答案】①④⑤ 【解析】 试题分析：∵等边三角形ABC 的边长为2,a AB 2=21,故①正确； ∵+=+=2 ∴2=b BC ，故②错误，④正确；由于 b a b BC a AB 与?==,2夹角为 120，故③错误；又∵ 04)2 1 (2144)4()4(=+-????=?+=?+b a b b a BC b a ∴⊥+)4(，故⑤正确 因此，正确的编号是①④⑤. 考点：1.平面向量的基本概念；2.平面向量的性质. 三.解答题 16. 已知函数2 ()(sin cos )cos 2f x x x x =++ （1）求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间[0, ]2 π 上的最大值和最小值. 【答案】（1）π ；（2）最大值为1+0 考点：1.三角函数的性质；2.三角函数的最值. 17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50],[50,60],,[80,90],[90,100] （1）求频率分布图中a的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在[40,60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50]的概率. 【答案】（1）0.006（2）2 5 （3） 1 10 （Ⅲ）由频率分布直方图可知：在[40,50)内的人数为0.004×40×50＝2（人） 在[50,60)内的人数为0.006×10×50＝3（人） 设[40,50)内的两人分别为21,a a ；[50,60)内的三人为32,1,A A A ,则从[40,60)的受伤职工中随机抽取2人，基本事件有（21,a a ），（11,A a ），（21,A a ），（31,A a ），（12,A a ），（22,A a ），（32,A a ），（2 1,A A ），（31,A A ）， （32,A A ）共10种；其中2人评分都在[40,50)内的概率为10 1 . 考点：1.频率分布直方图；2.古典概型. 18. 已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1 1 n n n n a b S S ++= ，求数列{}n b 的前n 项和n T 。 【答案】（1）1 2 n n a -=（2） 1122 21 n n ++-- ＝1 22 2121 11 11--=--+++n n n . 考点：1.等比数列的性质；2.裂项相消法求和. 19. 如图，三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1,1,2,60PA AB AC BAC ===∠=o . (1)求三棱锥P-ABC 的体积； (2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求 PM MC 的值。 【答案】（1 （2）1 3 PM MC = 【解析】 试题分析：（Ⅰ）在ABC ?中ABC S ??＝ 2 3 .又∵P A ⊥面ABC ∴PA 是三棱锥P-ABC 的高，根据锥体的体积公式即可求出结果;（Ⅱ）过点B 作BN 垂直AC 于点N ，过N 作NM ∥PA 交PC 于M ，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可知此M 点即为所求，根据相似三角形的性质即可求出结果. 试题解析：（Ⅰ）在ABC ?中，AB ＝1,,2=AC ∠ 60=BAC ABC S ??＝ BAC AC AB ∠??sin 21 ＝2 360sin 2121= ??? . 又∵P A ⊥面ABC ∴P A 是三棱锥P-ABC 的高 ∴6 3 2313131ABC -= ??= ??ABC P S PA V ＝三棱锥 （Ⅱ）过点B 作BN 垂直AC 于点N ，过N 作NM ∥PA 交PC 于M ，则 ????⊥?? ?? ?⊥N BN MN AC MN ABC AC ABC MN ＝面面BM AC BMN BM BMN AC ⊥?? ???⊥?面面 此时M 即为所找点，在???AC CN PC CM AN ABN ＝＝中，易知2143223 ＝3 1＝MC PM ?. 考点：1.锥体的体积公式；2.线面垂直的判定定理及性质定理. 20． 设椭圆E 的方程为22 221(0),x y a b a b +=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标为(,0)a , 点B 的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 。 （1）求E 的离心率e; (2)设点C 的坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB 。 【答案】（1 （2）详见解析 . ∴a b 3 231＝5525451511052 222222=?=?=-?=?e a c a c a a b （Ⅱ）由题意可知N 点的坐标为（2 ,2b a -） ∴a b a b a a b b K MN 56 652322131==-+= a b K AB -= ∴1522 -=-=?a b K K AB MN ∴MN ⊥AB 考点：1椭圆的离心率；2.直线与椭圆的位置关系. 21. 已知函数)0,0() ()(2 >>+= r a r x ax x f （1）求)(x f 的定义域，并讨论)(x f 的单调性； （2）若 400=r a ，求)(x f 在),0(+∞内的极值。 【答案】（1）递增区间是（-r,r ）;递减区间为（-∞，-r ）和（r ，+∞）；（2）极大值为100；无极小值. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ）在（+∞,0)(x f 内的极大值为10044)(2=== r a r ar r f ）在（+∞,0)(x f 内无极小值； 所以）在（+∞,0)(x f 内极大值为100，无极小值. 考点：1.导数在函数单调性中的应用；2.函数的极值.