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Jacobi矩阵(Jacobian

p.38 Jacobi 矩陣（Jacobian matrix ）（2006.4.14）

本書中出現幾個Jacobi 矩陣，所謂Jacobi 矩陣是指一個向量對另一個向量的導數。例1 流體力學方程平流項中的u ?，其中u 為三維速度向量。這個矩陣的第(i , j )個元素是i j x u ??/。因此平流項u u ??若用矩陣表示就是u u T )(?。令T )(u C ?≡，則平流項可寫為Cu ，矩陣C 的第(i , j )個元素是j i x u ??/。

例2 求解非線性方程的Newton-Raphson 疊代法（第38頁）。考慮非線性方程組0x f =)(，其中x 為待求向量。設想現在已求出第n 次疊代值n x ，令第n +1次疊代值為δx x +=+n n 1，其中δ為微小的修正向量。假設這個新的疊代值已滿足非線性方程組，即

0δx f =+)(n (1)

將上式左邊對n x 做Taylor 級數展開，有

0δx F x f δx f =++=+L )()()(n n n (2)

其中T ]/[)()(x f x f x F ??≡′≡為)(x f 對x 的Jacobi 矩陣，這是方形矩陣，它的第(i , j )個元素是j i x f ??/。將(2)式中高階項省略掉，得到)()(1n n x f x F δ??=，於是Newton-Raphson 疊代方案為

)()(11n n n n x f x F x x ?+?= (3)

例3 牛頓下降法（第39頁）。求目標函數)(x J 的極小值，相當於求解非線性方程0x =?)(J 。令)()(n n x J ?≡x f ，則有

ij j

i i j j i ij G x x J x J x x f F ≡???=????=??=2 因此，F 就是Hesse 矩陣G 。於是極小化問題的牛頓疊代方案為

n n n n g G x x 11?+?= (8)

1.3節中已指出，若1?n G 是對稱正定矩陣，則n n g G 1??是下降方向。只

2要Hesse 矩陣繼續保持非奇異的（nonsingular ），而且是對稱正定的矩陣，則牛頓疊代方案似乎沒有問題。例4 非線性觀測模式r

o εx h y +=)(（第214頁）。將)(x h 對b x 做Taylor 級數展開，有

r b b r b b b o εx x H x h εx x x h x h y ++?+=++?′+=L L )()())(()( 其中

b b x x x x h x h H = ??≡′≡)()( 矩陣H 的第),(j i 個元素是j i x h ??/，其中i h 和j x 分別為單行向量h 和x 的第i 和第j 個元素。假設h 和x 分別為L ×1和M ×1矩陣，若將H 完整寫出來，就是

??????????????????=M L L L M M x h x h x h x h x h x h x h x h x h L M O M M L L

21222121211

1H 例5 非線性預報模式)(11,??=n n n n x x M （第300頁）。將這個式子取變分，得到

111,111,)()(??????≡′=n n n n n n n n

n x x M x x x δδδM 其中

n n n n n n n n n ??≡′≡??????111,11,1,)()(x x x M M M 上式中矩陣1,?n n M 的第),(j i 個元素是j n i n n n x )(/)]([111,?????x M ，在這裡i n n n )]([11,??x M 和j n )(1?x 分別為單行向量)(11,??n n n x M 和1?n x 的第i 個和第j 個元素。

实现稀疏矩阵(采用三元组表示)的基本运算实验报告

实现稀疏矩阵（采用三元组表示）的基本运算实验报告一实验题目: 实现稀疏矩阵（采用三元组表示）的基本运算二实验要求: （1）生成如下两个稀疏矩阵的三元组 a 和 b；（上机实验指导 P92 ）（2）输出 a 转置矩阵的三元组；（3）输出a + b 的三元组；（4）输出 a * b 的三元组；三实验内容: 稀疏矩阵的抽象数据类型: ADT SparseMatrix { 数据对象:D={aij| i = 1,2,3,….,m; j =1,2,3,……,n; ai,j∈ElemSet,m和n分别称为矩阵的行数和列数} 数据关系: R={ Row , Col } Row ={ | 1≤i≤m , 1≤j ≤n-1} Col ={| 1≤i≤m-1,1≤j ≤n} 基本操作:

CreateSMatrix(&M) 操作结果：创建稀疏矩阵 M PrintSMatrix(M) 初始条件：稀疏矩阵M已经存在操作结果：打印矩阵M DestroySMatrix(&M) 初始条件：稀疏矩阵M已经存在操作结果：销毁矩阵M CopySMatrix(M, &T) 初始条件：稀疏矩阵M已经存在操作结果：复制矩阵M到T AddSMatrix(M, N, &Q) 初始条件：稀疏矩阵M、N已经存在操作结果：求矩阵的和Q=M+N SubSMatrix(M, N, &Q) 初始条件：稀疏矩阵M、N已经存在操作结果：求矩阵的差Q=M-N TransposeSMatrix(M, & T) 初始条件：稀疏矩阵M已经存在操作结果：求矩阵M的转置T MultSMatrix(M, N, &Q) 初始条件：稀疏矩阵M已经存在