比例线段与相似三角形性质(20201230185149)

比例线段与相似三角形性质

1. 相似定5C,性质，判定，应用和位似

2. 相似的判定和证明

3. 相似比的转化

生活中几个有趣的黃金分割点

报热员应站在舞台宽度的0?618处的地方报幕最佳.

将高清晰度电視屏幕的长与宽组成一条线段，取这条线段的黄金分割点，将线段分成两条线段，則 屏幕的长与宽刚好接近：16:9?

人体有很多神秘的黄金分割点：肚脐刚好就是整个人体的黄金分割点：喉头刚好是头顶到肚脐的黄 金分割点，膝关节是肚脐到脚的黄金分割点，肘关节是手指到肩部的黄金分割点?

当人生活在正常体温37,5x0.618 = 23.175度吋，身体会感觉最舒服.

国旗上的五角星是很美的几何图形，而其中由五条线段和交的五个点刚好是这条线段的黄金分割点.

这些生活中的黃金分割点都是学者在日常生活中去探索.发现的，你是否也能给出几例你自己脸证了 得生活中的黄金分割点呢？

内容

基本要求

略离要求

较高要求

相似

了解比例的基本性质，了解线段 的比、成比例线段，会判断四条 线段是否成比

例，会利用线段的 比例关系求未知线

段：了解黄金 分割：知道相似多边形及

其性质： 认识现实生活中物体的相似；

了 解图形的位似关系

会用比例的基本性质解决有关 问題；

会用相似多边形的性质解 决简单的问

題：能利用位似变换 将一个图形放大或

缩小

相似三角形

了解两个三角形相似的槪念

会利用相似三角形的性质与判 定进行

简单的推理和计算：会利 用三角形的柏似解决实际问题

相似多边形

知道相似多边形及其性质；认识 现实生活中物体的相似

会用和似多边形的性质解决简 单问题

【难度】2星

模块一比例的性质

1, 2. t = ￡oM=处 这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; h d

-=-<=>-=-（反比定理）； h d a e

3. 比定理）;

4.

(合比定理);

b d '

' 5. h d 亠￡o 口 = □份比定理）; 6. h d

亠￡0凹=旦（合分比定理）; h d a —h c —d

7.

m .

■

、

" + c + …+ m —=—=…=—(b + d ------- H H 0) O ----------

b + d ---

=￥ （等比定理）.

【例1】 若x ：y = 2:3.则下列各式不成立的是

C-

X _ 1

2?"3 jf + 1 3

D- 7+1"4

【难度】I 星

【解析】根据比例的性履公式：A 討&村

c + cl cf

Z' — d

「^可知A ?B,C 正确，只有D 错 d

?u

庆.

【答案】D

【巩周】若守=牛沖，则2* 一

【难度】 【解析】

^ = k(k^0)Mx = 2k,y = 3k.z = Ak 【答案】

所以有,

13

2x + 3y 4k+9k

13

4k

【巩固】若“：b = 3：2.

h.e = 5A.则a.h ：c=( A ? 3:2:4

B. 6:5:4 C, 15:10:8 D. 15:10:12

可以把两个比中的b 所占的份数变成相同的.“:"=3:2 = 15:10, h ：c = 5:4 = 10:8,即可 求.：方= 3:2 = 15:10, b ：Q = 5:4 = 10:8,

“：b ：Q = 15:10:8 ?

故选C

f2 、

2 5

???原式=+ := - + ! = -

成―看成3,然后代入直接算（此类方法只适用选择和填空）

法二：瑞斗肿看【答案】C

【巩固】如畔岭那么

【难度】2星

a+b 3+2 5

故选C

【答案】C 【拓展】若彳吟则上咋于（

D.

【难度】2星

【解析】

【答案】

【例2】

等于（

【难度】2星

【解析】因哺岭

所以2釦代入求解即可.法-：r,"釦

13

A. 3:2

B ? 2:3 C. 3:5 D ? 5:3

【解析】根据题意比例的合比性质,

即可得出结果.

设2吉7 ,那么a-3k, b-lk,然后代入所求的代数式即可求出结果.

A a-3k. h-lk.

■ b -a Ik-3k 4 ?

怎 3

【答案】

【难度】2星 【解析】根据比例的等比性质直接即可得解.

? ? " _ C _ 2 ? 了 _万_3' ? d _ -c _ 2 ? ?—=—=—. h -a 3

a-c _2 h-J~3

【答案】A

【难度】2星 【解析】根据比例的等比性质计舞即可得出结果，注意条件的限制.

分情况进行：当“+b+cH0时，根据等比性质，得+加+ %_2： c + a + b 当《+Z>+c ? = O 时，则 d+b=—c, k=—\

【答案】

己知一张地图的比例尺是1:5000,若A 、B 两地的实际距离为250川，则画在地图上的距离

【难度】

【解析】

【拓展】 已知匸

【例3】^―=—=— e

.b *则《的值为（

A ?2

B* — C ?2或-1 D-不存在

【巩固】

【解析】根据公式：：?比例尺=图上距离：实际距离，设图上距离为/

【答案】5cni

【难度】2星 【解析】分情况讨论:

【难度】2星 【解析】先根据等式求出f 的值，从而得到一次函数的解析式，再根据一次函数的性质分析经过的象限即

可.（注意有两种情况）.

【答案】由已知得(〃+c)f =初：(c+a)f = b : (￡/+/?)/ = c ?三式相加得：2(d + b + c)f = "+b + c ,

①当（（+/>+心0时，/ =- ②当《+b + c ? = 0 时，a+h = —c , / = 一次函数 y=tx + r 为 y = —x+1 或 y = —x + —

V >'= -x+lii 第一、二、四象限; yp “才过第一、二、三象限;

?：-次函数y = Zx + r 的图象必定经过的象限是第一、二象限.

?* ^500^=250

/ = ^(w) = 5(cw)

【巩固】已知—=—=

h+e a+c

广

市*则直线EZ-建经过（

B-第2，3象限

C-第3, 4象限 D ?第1, 4彖限

根据比例的等比性质，得：k=

2(d + b + c) 2

此时直线为尸矿+1,直线

一定经过I, 2, 3象限.

当 a+h+e = Q^寸，即a+h = —e,則 A =—1,此吋直线为 y = —x —2 , 即直线必过2, 3, 4象限.

综合两种情况，则直线必过第2, 3象限.

【答案】B

【拓展】若亠=丄=亠=八则一次函数）=u ? + r 的图彖必定经过的象限是（

e+a a+b 二象限

B.第一、二、三象限 C ?第二、 三、四象限

D.第三、四象限

故选A

【拓展】某校每位学生上、下学期齐选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例-若该

校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正 确？（

D.舞蹈社增加，溜冰社不变

【难度】2星

【答案】由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下:

如图，若线段上一点C 把线段肋分成两条线段AC^BC （AC>BC ）,且使AC 是初和BC 的 比例中项（即AC'=AB ?EC ）则称线段初被点C 黃金分割，点C 叫线段初的黄金分割点. 设AC=x,則BC = AB-X.即有一元二次方程JEI 据公式法解得:

A.舞蹈社不变, 溜冰社减少

B.舞蹈社不变,

溜冰社不变 C.舞蹈社增加,

溜冰社减少

【解析】若甲：乙：丙则甲占全部的

—-—,乙占全部的一-—,丙占全部的一￡— a + h + c a + h + c a + h + c

???舞蹈社增加，溜冰社不变.

【答案】 Cf = 3-5/5

^^-

AB±ylAB - + 4AB-

因为

所以有兀=迈二即人匚=迺二1人5?^0.618/18,

亠 2 2

BC = AB-AC = ^AB.0.3.2AB, AC 与 AB 的比叫做黄金比.

【巩固】E 为平行四边形MCD 的边 Q 延长线上的一点，且D 为胚的黄金分割点，即

【难度】 【解析】

.DE _3-y/5 AE 2

又??? DC//AB ?詈篇AB? ??? DF = 2y/5-4

:.CF = 3-忑

【例4】 如图所示，在黄金分割矩形MCD

FC

中，分出一个正方形求而

【难度】 【解析】

…AB ^5-1

? BC _ 2

?疋二丁’ ??丽

BC-AB _2-4?十1 AB " V5-I

?: BC-AB = BC-BF = FC, AB = CD .FC _yj5-}

CD 2 【答案】

FC _怎_\ CD " 2

AD 卑 AE, BE 交 5.

已知=

求CF 的长.

F C

E D

初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 则 …………a c e m b d f n a b m n k ++++++++=== 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项， 叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =

相似三角形知识点总结

相似三角形知识点总结 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =? = ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比 例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定： ①两角对应相等，两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 ⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

相似三角形的判定和性质

相似三角形的判定和性质 知识讲解 1. 比例线段：对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等， 即a c b d =（或a:b=c:d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项． 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项． 比例的性质 （1）基本性质 ①a ：b=c ：d ad=bc ②a ：b=b ：c （2）更比性质（交换比例的内项或外项） （交换内项） （交换外项） （同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）： （4）合比性质： （5）等比性质： b a n f d b m e c a n f d b n m f e d c b a =++++++++?≠++++==== )0( 黄金分割 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= AB 0．618AB c b b a =?a c b =?2 d b c a =?= d c b a a c b d =a b c d =c d a b d c b a =?=d d c b b a d c b a ±=±?=2 1 5- ≈

如图，若AB PB PA ?=2 ，则点P 为线段AB 的黄金分割点． 2. 平行线分线段成比例定理： ① 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3． AB BC =DE EF ;AB AC =DE DF ; BC AC =EF DF . ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 3. 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 4. 相似三角形的概念：对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形． 5. 相似三角形的性质 （1）对应角相等，对应边的比相等； （2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； （3）相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方． 6. 相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似． 7. 相似三角形的判定定理： (1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：

相似三角形判定与性质

相似三角形专讲 【知识要点】 1．对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 2．相似三角形的判定： ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 ②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。 ③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 3．相似三角形具有下述性质： ①相似三角形对应角相等、对应边成比例； ②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比； ④相似三角形面积的比等于相似比的平方。 4．熟悉如图中形如“A ”型，“X ”型，“子母型”等相似三角形。 5.射影定理 AC 2=AD ·BD BC 2=BD ·BA CD 2=AD ·BD 6.位似：如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做 位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比. 【典型例题】 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36o，BD 平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD 相似 三角形是（ ）。 A ．△ABC B ．△DAB C ．△ADE D ．△BDC 2．如图2，AB ∥CD ∥EF ，则图中相似三角形的对数为（ ）。 A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 3．如图3，已知在△ABC ，P 为AB 上一点，连结CP ，以下各条件中不能判定△ACP ∽△ABC 的是（ ）。 A ．∠ACP ＝∠ B B ．∠AP C ＝∠ACB C ． AC AP ＝AB AC D ． AC AB ＝CP BC

九年级数学上册第四章相似三角形4.1比例线段第2课时比例线段随堂练习含解析新版浙教版

4.1__比例线段__ 第2课时 比例线段 1．[xx·西固区校级模拟]下列线段中，能成比例的是( D ) A ．3 cm ，6 cm ，8 cm ，9 cm B ．3 cm ，5 cm ，6 cm ，9 cm C ．3 cm ，6 cm ，7 cm ，9 cm D ．3 cm ，6 cm ，9 cm ，18 cm 2．在相同时刻的物高与影长成比例，小明的身高为1.5 m ，在地面上的影长为2 m ，同时一古塔在地面上的影长为40 m ，则古塔高为( C ) A ．60 m B ．40 m C ．30 m D ．25 m 【解析】 设古塔高为x (m)，则有x 40＝1.52 ，解得x ＝30.故选C. 3．已知四条线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，即a b ＝c d ，下列各式错误的是( C ) A ．ad ＝bc B.a ＋c b ＋d ＝a b C.a －b b ＝c －b d D.a 2b 2＝c 2 d 2 4．已知A ，B 两地的实际距离AB ＝5 000 m ，画在地图上的距离A ′B ′＝2 cm ，则这张地图的比例尺是( D ) A ．2∶5 B ．1∶25 000 C ．25 000∶1 D ．1∶250 000 5．已知P 是线段AB 上一点，且 AP PB ＝25，则AB PB 等于( A ) A.75 B.52

C.27 D.57 【解析】 由AP PB ＝25，则可设AP ＝2k ，PB ＝5k ，∴AB ＝7k ，∴AB PB ＝7k 5k ＝75 .故选A. 6．四条线段a ，b ，c ，d 成比例，其中b ＝3 cm ，c ＝2 cm ，d ＝6 cm ，则线段a 的长为__1__cm.

相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式

相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式 【知识疏理】 一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！ 若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。 二， 相似三角形证明的变式 1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如： 例1、 已知：如图1，BE 、DC 交于点A ，∠E=∠C 。求证：DA ·AC=BA ·AE 图2 题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。 2，对特殊图形的认识 例2、已知：如图3，Rt △ABC 中，∠ABC=90o，BD ⊥AC 于点D 。 图3 （1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ （2） 用语言叙述第（1）题的结论。 （3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。 总结： （1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似； （2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等； A B C A'B'C'图（4）图1 B A C

双垂直图形中的BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。在此基础上，将双垂直图形转化 为“公边共角”，讨论、探究， A B C 得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD ∽△ACB ，则AB 2=AD ·AC 。 【课堂检测】 一选择题 1、一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则后一个三角形的面积为（ ） A 、3100 B 、20 C 、54 D 、25 108 2、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，如果S △ODC ：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值是（ ） A 、 51 B 、61 C 、71 D 、9 1 D C Ａ Ｄ O Ｐ A B Ｂ Ｃ （第2题图） （第4题图） 3、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1：4，则两底的比是（ ） A 、1：2 B 、1：4 C 、1：8 D 、1：16 4、已知，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=900，对角线AC ⊥BD ，垂足为P ，已知AD ：BC=3：4，则BD ：AC 的值是 （ ） Ａ、3：２ Ｂ、２：３ Ｃ、3：３ Ｄ、３：４ 5、如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（ ） A 、AE BC AD A B = B 、AD B C AE AC = C 、AE BC DE AB = D 、AD AB AE AC =

相似三角形知识点梳理

相似三角形知识点大总结 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称 比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =． ②()a c a b c d b d ==在比例式 ：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2 b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点， （4）其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为：1 2 长短＝＝全长 注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)： ()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=． （4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=?=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

相似三角形知识点归纳(全)

《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题 知识点１ 有关相似形得概念 (1)形状相同得图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单得就是相似三角形、 (２)如果两个边数相同得多边形得对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形、相似多边形对应边长度得比叫做相似比(相似系数)、 知识点2 比例线段得相关概念、比例得性质 (1)定义: 在四条线段中,如果得比等于得比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段、 注:①比例线段就是有顺序得,如果说就是得第四比例项,那么应得比例式为:、 ② 核心内容: (2)黄金分割:把线段分成两条线段,且使就是得比例中项,即,叫做把线段黄金分割,点叫做线段得黄金分割点,其中≈0、618、即 简记为: 注:①黄金三角形:顶角就是３６０ 得等腰三角形 ②黄金矩形:宽与长得比等于黄金数得矩形 (３)合、分比性质:。 注:实际上,比例得合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比得前项,后项之间 发生同样与差变化比例仍成立、如:等等、 （4）等比性质:如果, 那么、 知识点3 比例线段得有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 已知A Ｄ∥BE ∥C Ｆ, 可得 AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF ===== 或或或或等。 特别在三角形中: 由ＤE ∥B Ｃ可得: 知识点４ 相似三角形得概念 (1)定义:对应角相等,对应边成比例得三角形,叫做相似三角形、相似用符号“∽”表示,读作“相似于” 。相似三角形对应边得比叫做相似比(或相似系数)、相似三角形对应角相等,对应边成比例、 注:①对应性:即把表示对应顶点得字母写在对应位置上 ②顺序性:相似三角形得相似比就是有顺序得。 ③两个三角形形状一样,但大小不一定一样、 ④全等三角形就是相似比为１得相似三角形、 (2)三角形相似得判定方法 B

相似三角形的性质与判定知识点总结+经典题型总结(学生版)

板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 相似三角形 了解相似三角形 掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型 会运用相似三角形相关的知识解决有关问题 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． 知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定

A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线， 则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平 分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B ' C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．

九年级相似三角形知识点总结

图形的相似 知识点总结 知识点一 1.相似图形：把具有相同形状的图形称为相似图形。 2.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。 知识点二：比例线段 1.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即d c b a =（或a ：b=c ： d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 （注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） 2.比例性质的基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=??， 交换内项，交换外项．同时交换内外项 4.合比性质：d d c b b a d c b a ±=±?=（分子加（减）分母,分母不变） 5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ΛΛ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ΛΛ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． 知识点三：黄金分割 1. 定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC BC AB AC =，即AC 2=AB×BC，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。其

初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习2(附答案详解)

初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习2（附答案详解） 1．已知线段2a cm =，8b cm =，它们的比例中项c 是（ ） A ．4cm B ．4cm ± C ．16cm D ．16cm ± 2．下列各组线段（单位：cm ）中，成比例线段的是（ ） A ．1、2、2、3 B ．1、2、3、4 C ．1、2、2、4 D ．3、5、9、13 3．如果a ：b ＝3：2，且b 是a 、c 的比例中项，那么b ：c 等于（ ） A ．4：3 B ．3：4 C ．2：3 D ．3：2 4．下列四条线段能成比例线段的是（ ） A ．1，1，2，3 B ．1，2，3，4 C ．2，2，3，3 D ．2，3，4，5 5．点 P 是长度为 1 的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（ ） A 51- B ．5 C 35- D 56．已知线段a=2，b=8，线段c 是线段a 、b 的比例中项，则c=（ ） A ．2 B ．±4 C ．4 D ．8 7．若23 a b =，则32a b a b -+的值是（ ） A ．75 B ．23 C ．125 D ．0 8．以下四组线段，成比例的是（ ） A ．2,3,4,6cm cm cm cm B ．2,4,6,8cm cm cm cm C ．3,4,5,6cm cm cm cm D ．4,6,6,8cm cm cm cm 9．有以下命题： ①如果线段d 是线段a ，b ，c 的第四比例项，则有a c b d =； ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB ．BC 的比例中项； ③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项； ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC ＞BC ，且AB=2，则5． 其中正确的判断有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10．如图,线段1AB =,点1P 是线段AB 的黄金分割点(11AP BP <),点2P 是线段1AP 的黄金分割点(212AP PP <),点3P 是线段2AP 的黄金分割点(323AP P P <),..,依此类推,则线段

相似三角形及黄金分割

相似三角形知识点 一、☆内容提要 1、比例的有关性质： ()b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++?≠+++===ΛΛΛΛ等比性质：0 的比例中项是c a b c a b c b b a ,2??=?= 应用变形: 已知 d c c b a a d c b a +=+=:,求证，d kd c b kb a ±= ±。 证明:（1）∵d c b a = ∴c d a b = ∴c d c a b a +=+ ∴d c c b a a += + （2）d c b a =Θ k d c k b a ±=±∴ d kd c b kb a ±= ±∴ 2、黄金分割的定义： 在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果 AC BC AB AC = （整段大线段 大线段 小线段=）,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中 2 1 5-＝AB AC ≈0.618. A B C 推导黄金比：设AB=1，AC=x ，则BC=1-x ，所以 x x x -= 11，即x x -=12，用配方法解得x=215-≈0.618 特别提示：1、一条线段有2个黄金分割点，它们关于原点对称。 2、黄金比并不为黄金分割所专有，只要任两条线段的比值满足这一常数，就称这两条线段的比为黄金比。黄金比没有单位。 例：若矩形的两邻边长度的比值约为0.618，这个矩形称为黄金矩形；若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形仍是黄金矩形。 3、必须满足位置和数量两个条件，才能判断一个点是一条线段的黄金分割点。 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。 c d a b = d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±= ± ?=?=bc ad d c b a （比例基本定理）

相似三角形的判定与性质以及应用

相似三角形的判定与性质以及应用 考点一：相似三角形的判定与性质 1．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上． （1）求证：△BDE∽△CEF； （2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC． 2．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC；

（2）若AD=3，AB=5，求的值． 3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO． （1）已知BD=，求正方形ABCD的边长； （2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

4．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B．若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长． 5．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E． （1）求证：△ABD∽△CBE； （2）若BD=3，BE=2，求AC的值．

6．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AG⊥BD分别交BD、BC 于点G、E． （1）求证：BE2=EG?EA； （2）连接CG，若BE=CE，求证：∠ECG=∠EAC． 动点问题： 1.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t （秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．

相似三角形——比例线段

教学过程 一、课堂导入 1、举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形。 如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。

2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。你知道0.618这个比值的来历吗？

二、复习预习 1、什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？ 2、比与比例有什么区别？ 3、用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项的概念吗？ 答案：1、2：（—3）=—2 3；—4：6=—4 6=— 2 3； 2 —3= —4 6，2，—3，—4，6四个数 成比例。注意四个数字的书写顺序。 2、比是一个值；比例是一个等式。 3、a:b=c:d 即a b= c d，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项。

三、知识讲解 考点 1 比例线段 一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。 注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．如d c b a ＝ 是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例。

a c a k b c k d b d b d ++=?=考点2 比例的性质 1、比例的基本性质： 比例式化积、积化比例式。 bc ad d c b a =?= 2、合比性质：分子加（减）分母,分母不变。 (k=1、2、3…) 3、等比性质：分子分母分别相加，比值不变。 若)0(≠+???+++=???===n f d b n m f e d c b a 则 b a n f d b m e c a =+???++++???+++。 4、比例中项：若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项。

相似三角形判定与性质(10.23)

专题1 相似三角形判定与性质（10.23） 专题知识回顾 1．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 2．三角形相似的判定方法: （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。 （4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。 3．直角三角形相似判定定理: ①以上各种判定方法均适用 ②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 ③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 4．相似三角形的性质: （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长的比等于相似比 （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 专题典型训练题

一、选择题 1.（2019年广西玉林市）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（） A．3对B．5对C．6对D．8对 2.（2019年内蒙古赤峰市）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB ＝6，AC＝4，则AE的长是（） A．1B．2C．3D．4 3.（2019·广西贺州）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE△BC，若 AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（） A．5B．6C．7D．8 4.（2019?广西贵港）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD ＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为（） A．2B．3C．2D．5 5.（2019?黑龙江哈尔滨）如图，在?ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，

相似三角形之比例线段

课后作业 一、选择题 1.已知一矩形的长a =1.35m ，宽b =60cm ，则a ∶b 的值为（ ） (A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶4 2.下列线段能成比例线段的是（ ） (A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,22cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm 3.如果线段a =4，b =16，c =8，那么a 、b 、c 的第四比例项d 为（ ） (A)8 (B)16 (C)24 (D)32 4.已知32=b a ，则b b a +的值为（ ） (A)23 (B)34 (C)35 (D)5 3 5.已知x ∶y ∶z =1∶2∶3，且2x+y -3z = -15，则x 的值为（ ） (A)-2 (B)2 (C)3 (D)-3 6.在比例尺为1∶38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为7cm ，它的实际长度约为（ ） (A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km 7.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ） (A)12米 (B)11米 (C)10米 (D)9米

8.已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB=4cm ，则AC 的长为（ ） (A)(2 5 –2)cm (B)(6-2 5 )cm (C)( 5 –1)cm (D)(3- 5 )cm 9.若D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，且AD AB =AE AC ，那么下列各式中正确的是（ ） (A)AD DB =DE BC (B)AB AD =AE AC (C)DB EC =AB AC (D)AD DB =AE AC 10.若b a c a c b c b a k 222-=-=-=，且a +b +c ≠0，则k 的值为（ ） (A)-1 (B)2 1 (C)1 (D)- 12 二、填空题 1.若4x=5y,则x ∶y ＝ . 2.若 3x ＝4y ＝5z ，则y z y x +-∶x x z y -+＝ . 3.已知13y x -＝7y ，则y y x +的值为 . 4.已知b a ＝43，那么b b a +＝ . 5.若b a ＝d c ＝f e ＝3，且b+d+ f ＝4，则a+c+e ＝ . 6.若(x+y)∶y ＝8∶3，则x ∶y ＝ . 7.若b a b +＝53，那么b a ＝ . 8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 . 9.已知△ABC 和△A ′B ′C ′，''B A AB ＝''C B BC ＝''A C CA ＝2 3，且A ′B ′+B ′C ′+C ′A ′＝16cm. 则AB+BC+AC ＝ .

相似三角形性质与判定专项练习题有答案

相似三角形性质和判定专项练习30题（有答案） 1．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠CDG=∠BAD． （1）求证：=； （2）当GC⊥BC时，求证：∠BAC=90°． 2．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足． （1）求证：AC2=AF?AD； （2）联结EF，求证：AE?DB=AD?EF． 3．如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC． （1）求证：△APC∽△ACB； （2）若AP=2，PC=6，求AC的长． 4．如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．

（1）求证：△ABF∽△EAD； （2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长． 5．已知：如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC． 求证：AB?BC=AC?CD． 6．已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S，说明AF?BE=2S 的理由． 7．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P． （1）若AE=CF；

①求证：AF=BE，并求∠APB的度数； ②若AE=2，试求AP?AF的值； （2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长． 8．如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：=． 9．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG?DF=DB?EF． 10．如图，△ABC、△DEF都是等边三角形，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H 两点，BC=2，问E在何处时CH的长度最大？

相似三角形-比例线段

一、课堂导入 1、举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形。 如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。 2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。你知道0.618这个比值的来历吗？

二、复习预习 1、什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？ 2、比与比例有什么区别？ 3、用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项的概念吗？ 答案：1、2：（—3）=—2 3 ；—4：6=— 4 6 =— 2 3 ； 2 —3 = —4 6 ，2，—3，—4，6四个数 成比例。注意四个数字的书写顺序。 2、比是一个值；比例是一个等式。 3、a:b=c:d 即a b = c d ，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项。

三、知识讲解 考点 1 比例线段 一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。 注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．如 d c b a ＝是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例。

a c a k b c k d b d b d ++=?=比例的性质 1、比例的基本性质： 比例式化积、积化比例式。 bc ad d c b a =?= 2、合比性质：分子加（减）分母,分母不变。 (k=1、2、3…) 3、等比性质：分子分母分别相加，比值不变。 若)0(≠+???+++=???===n f d b n m f e d c b a 则b a n f d b m e c a =+???++++???+++。 4、比例中项：若c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项。

第一讲：相似三角形——比例线段

第一讲 相似三角形——相似与比例线段 第一课时 一．放缩与相似 1. 相似形的概念 一般地，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。我们把形状相 同的两个图形叫做相似形。 2. 相似形的特征 (1) 相似三角形的特征 ∠A' =∠A ; ∠B'=∠B; ∠C' =∠C BC C B AC C A AB B A 111111===K (2) 相似多边形的特征 推论：如果两个多边形相似，他们必定同为n 边形，而且各角对应相等，各边对应成比例。 【典型例题】 1. 如果一张地图的比例尺为1:3000000，在地图上量得大连到长春的距离为25cm ，那么长 春到大连的实际距离为 千米。 【同类变式】 2. 在地图上，都标有比例尺。现在一张比例尺为1:5000的图纸上，量得?ABC 的三边： AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,求这个图纸所反映的实际?A'B'C'的周长是多少米？ 3. 某两地在比例尺为1:5000000的地图上的距离是30cm ，两地的实际距离是多少？如果在 该地图上A 地（正方形场地）面积是3cm 2 ,问该地实际面积是_________ 4. 下列说法正确的有（ ）个 （1）有一个角是100o 的等腰三角形相似 （2）有一个角是80o 的等腰三角形相似 （3）所有的等腰直角三角形相似 （4）所有的正六边形都相似 （5）所有的矩形都相似 （6）所有的正方形都相似 A ．2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

5. 一张长方形纸片对折后所得的长方形与原长方形是相似形，求原长方形的长与宽之比。 【同类变式】 6. E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB=1。求 矩形ABCD 的面积。 7. 在相同时刻的物高和影长成正比例，如果在某时，旗杆在地面上的影长为10m 此时身高 是1.8米，小明的影长是1.5米，求旗杆的高度。 8. 把一个矩形截去一个正方形后，所剩的矩形与原矩形是否相似？若相似说明理由；若不 相似，问矩形的短边与长边之比为多少时一定能相似？ 二．比例线段 (1) 线段的比：我们把两条线段的长度叫做线段的比。记作a:b 或b a 。 (2) 比例线段：在四条线段a b c d 中，其中两条线段a, b 的比等于两条线段c,d 的比, 即 d c b a =，那个这四条线段叫做比例线段。其中，a b c d 叫做成比例的项。 (3) 比例外项，比例内项，第四比例项 (4) 比例中项：如果比例内项的两条线段是相等的，即a:b =b:c ,那么线段b 叫做线段的比例 中项。 ★比例的性质 (1) 比例的基本性质 d c b a =a d =bc (运用等式的基本性质) 特别地，a:b =b:c ，那么b 2 =ac ,反之亦然 (2) 合比,分比性质