《概率论与数理统计》作业集及答案
第1章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件
1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ;
(2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ;
B :两次出现同一面,则= ;
C :至少有一次出现正面,则C= .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件:
(1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则
(1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则
(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .
§1 .4 古典概型
1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,
(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.
2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。
§1 .6 全概率公式
1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个
签,说明两人抽“中‘的概率相同。
2. 第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中
随机地取一个球,求取到红球的概率。
§1 .7 贝叶斯公式
1. 某厂产品有70%不需要调试即可出厂,另30%需经过调试,调试后有80%能出厂,求(1)
该厂产品能出厂的概率,(2)任取一出厂产品, 求未经调试的概率。
2. 将两信息分别编码为A 和B 传递出去,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02,
B 被误收作A 的概率为0.01,信息A 与信息B 传递的频繁程度为3 : 2,若接收站收到的信息是A ,问原发信息是A 的概率是多少?
§1 .8 随机事件的独立性
1. 电路如图,其中A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路(用T 表示)的概率。
A B L R C D
3. 甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中,相
互独立, 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。
第1章作业答案
§1 .1 1:(1)},,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH S =; (2)}3,2,
1,0{=S
2:(1)}6,5,4,3{}5,3,
1{==B A ;
(2){=A 正正,正反{},=B 正正,反反{},=C 正正,正反,反正}。 §1 .2 1: (1) ABC ;(2) C AB ;(3) C B A ;(4)C B A ??;(5) BC AC AB ??;
(6) C B C A B A ?? 或 C B A C B A C B A C B A +++;
2: (1)}41:{<<=?x x B A ;(2)}32:{≤≤=x x AB ;(3)}43:{<<=x x B A ;
(4)10:{≤≤=?x x B A 或}52≤≤x ;(5)}41:{<<=x x B A 。
§1 .3 1: (1) )(AB P =0.3, (2))(B A P = 0.2, (3) )(B A P ? = 0.7. 2:)(B A P )=0.4.
§1 .4 1:(1)103082228/C C C ,(2)(103082228922181022/C C C C C C )(++,(3)1-(10
30922181022/C C C C )+.
2: 3
344/P .
§1 .5 1:. 2/6; 2: 1/4。
§1 .6 1: 设A 表示第一人“中”,则 P(A) = 2/10
设B 表示第二人“中”,则 P(B) = P(A)P(B|A) + P(A )P(B|A ) =
10
2
9210891102=?+? 两人抽“中‘的概率相同, 与先后次序无关。
2: 随机地取一盒,则每一盒取到的概率都是0.5,所求概率为:
p = 0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.5 = 0.45
§1 .7 1:(1)94% (2)70/94; 2: 0.993;
§1 .8. 1: 用A,B,C,D 表示开关闭合,于是 T = AB ∪CD, 从而,由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性
P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)
= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)
424222p p p p p -=-+=
2: (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38; (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.
第2章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量的概念,离散型随机变量
1 一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球,从中随机地取3个,用X 表示取出的3个球 中的最大号码., 试写出X 的分布律.
2 某射手有5发子弹,每次命中率是0.4,一次接一次地射击,直到命中为止或子弹用尽为止,用X 表示射击的次数, 试写出X 的分布律。
§2.2 10-分布和泊松分布
1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布,求
(1)每分钟恰有1次呼叫的概率;(2)每分钟只少有1次呼叫的概率; (3)每分钟最多有1次呼叫的概率;
2 设随机变量X 有分布律: X 2
3 , Y ~π(X), 试求: p 0.
4 0.6
(1)P(X=2,Y ≤2); (2)P(Y ≤2); (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。
§2.3 贝努里分布
1 一办公室内有5台计算机,调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6,计算
机是否被使用相互独立,问在同一时刻 (1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少? (2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少? (3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少? (4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少?
2 设每次射击命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ?
§2.4 随机变量的分布函数
1设随机变量X 的分布函数是: F(x) = ??
?
??≥<≤--<11115.010
x x x
(1)求 P(X ≤0 ); P ()10≤ 2 设随机变量X 的分布函数是:F(x) = ??? ??≤>+0 01x x x Ax , 求(1)常数A, (2) P ()21≤ §2.5 连续型随机变量 1 设连续型随机变量X 的密度函数为:?? ?<<=他 其01 0)(x kx x f (1)求常数k 的值;(2)求X 的分布函数F(x),画出F(x) 的图形, (3)用二种方法计算 P(- 0.5 2 设连续型随机变量0≥x 的分布函数为:F(x) = ?? ? ??≥<≤ (1)求X 的密度函数)(x f ,画出)(x f 的图形,(2)并用二种方法计算 P(X>0.5). §2.6 均匀分布和指数分布 1设随机变量K 在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 42 x + 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概率。 2 假设打一次电话所用时间(单位:分)X 服从2.0=α的指数分布,如某人正好在你前面走进电话亭,试求你等待:(1)超过10分钟的概率;(2)10分钟 到20分钟的概率。 §2.7 正态分布 1 随机变量X ~N (3, 4), (1) 求 P(2 2 某产品的质量指标X 服从正态分布,μ=160,若要求P(120 §2.8 随机变量函数的分布 1设随机变量X 的分布律为; X 0 1 2 p 0.3 0.4 0.3 Y = 2X – 1, 求随机变量X 的分布律。 2设随机变量X 的密度函数为:?? ?<<-=他其0 1 0)1(2)(x x x f , 2X Y =;求随机变量Y 的密度函数。 3. 设随机变量X 服从(0, 1)上的均匀分布,X Y ln 2-= ,求随机变量Y 的密度函数。 第2章作业答案 §2.1 1: X 3 4 5 p 0.1 0.3 0.6 2: X 1 2 3 4 5 p 0.4 0.6×0.4 0.6×0.6×0.4 0.6×0.6×0.6×0.4 0.6×0.6×0.6×0.6×1 §2.2 1: (1) P(X = 1) = P(X ≥1) – P(X ≥2) = 0.981684 – 0.908422 = 0.073262, (2) P(X ≥1) = 0.981684, (3) P(X ≤1) = 1 - P(X ≥2) = 1 – 0.908422 = 0.091578。 2:(1) 由乘法公式: P(X=2,Y ≤2) = P(X=2) P(Y ≤2 | X=2)= 0.4× (222 22---++e e e )= 22-e (2)由全概率公式:P(Y ≤2) = P(X=2) P(Y ≤2 | X=2) + P(X=3) P(Y ≤2 | X=3) = 0.4×52 -e + 0.6× 3 2 17-e = 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 (3)由贝叶斯公式:P(X=2|Y ≤2)= 516.052458 .027067 .0)2()2,2(==≤≤=Y P Y X P §2.3 1: 设X 表示在同一时刻被使用的台数,则 X ~B(5, 0.6), (1) P( X = 2 ) = 32254.06.0C (2) P(X ≥3 ) = 5 44523356.04.06.04.06.0++C C (3) P(X ≤3 ) = 1 - 54456.04.06.0-C (4)P(X ≥1 ) = 1 - 5 4.0 2: 至少必须进行11次独立射击. §2.4 1:(1)P(X ≤0 )=0.5; P ()10≤ (2) X 的分布律为: X -1 1 P 0.5 0.5 2: (1) A = 1, (2) P ()21≤ §2.5 1:(1)2=k ,(2)?? ???≥<≤<=1 11000)(2 x x x x x F ; (3)P(- 0.5 4 120)(5 .00 5 .05 .05 .0= +=??? --xdx dx dx x f ; 或= F(0,5) – F(-0.5) = 4 1041=-。 2: (1)???<<=他其01/1)(e x x x f (2)2ln 1)2(-=>X P §2.6 1: 3/5 2: 422 )2()1(----e e e §2.7 1:(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5;(2) c = 3, 2:σ≤31.25。 §2.8 1: Y - 1 1 3 p 0.3 0.4 0.3 2: ?? ? ??<<-=他其010)1(1)(y y y y f Y , 3: ?????≤>=-0 002 1)(2 /y y e y f y Y ; 第3章 多维随机变量 §3.1 二维离散型随机变量 1. 设盒子中有2个红球,2个白球,1个黑球,从中随机地取3个,用X 表示取到的红球 个数,用Y 表示取到的白球个数,写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。 2. 设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为: X Y 0 1 2 试根椐下列条件分别求a 和b 的值; 0 0.1 0.2 a (1)6.0)1(==X P ; 1 0.1 b 0.2 (2)5.0)2|1(===Y X P ; (3)设)(x F 是Y 的分布函数,5.0)5.1(=F 。 §3.2 二维连续型随机变量 1. )(Y X 、的联合密度函数为:?? ?<<<<+=他其0 1 0,10)(),(y x y x k y x f 求(1)常数k ;(2)P(X<1/2,Y<1/2);(3) P(X+Y<1);(4) P(X<1/2)。 2.)(Y X 、的联合密度函数为:?? ?<<<<=他其0 0,10),(x y x kxy y x f 求(1)常数k ;(2)P(X+Y<1);(3) P(X<1/2)。 §3.3 边缘密度函数 1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下,分别求X 与Y 的边缘密度函数。 +∞<<∞-+∞<<∞-++= y x y x y x f ,) 1)(1(1 ),(222π 2. 设(X, Y) 的联合密度函数如下,分别求X 与Y 的边缘密度函数。 ?? ?<<=-他 其00),(x y e y x f x §3.4 随机变量的独立性 1. (X, Y) 的联合分布律如下, X Y 1 2 3 试根椐下列条件分别求a 和b 的值; 1 1/6 1/9 1/18 (1) 3/1)1(==Y P ; 2 a b 1/9 (2) 5.0)2|1(==>Y X P ; (3)已知X 与Y 相互独立。 2. (X,Y) 的联合密度函数如下,求常数c ,并讨论X 与Y 是否相互独立? ???<<<<=他其0 1 0,10),(2y x cxy y x f 第3章作业答案 §3.1 1: X Y 1 2 2: (1) a=0.1 b=0.3 1 0.4 0.3 0.7 (2) a=0. 2 b=0.2 2 0. 3 0. 0.3 (3) a=0.3 b=0.1 0.7 0.3 1 §3.2 1:(1) k = 1;(2) P(X<1/2, Y<1/2) = 1/8;(3) P(X+Y<1) = 1/3;(4) P(X<1/2) = 3/8。 2:(1) k = 8;(2) P(X+Y<1) = 1/6;(3) P(X<1/2) = 1/16。 §3.3 1: +∞<<∞-+=++= ?∞ +∞-x x dy y x x f X ) 1(2 )1)(1(1)(2222ππ; +∞<<∞-+= ++=? ∞+∞ -y y dx y x y f Y ) 1(2) 1)(1(1 )(2222ππ; 2: ?? ?≤>=-000 )(x x xe x f x X ; ???≤>=-0 0)(y y e y f y Y ; §3.4 1: (1)a=1/6 b=7/18; (2) a=4/9 b=1/9;(3)a = 1/3, b = 2/9。 2: c = 6, X 与Y 相互独立。 第4章 随机变量的数字特征 §4.1 数学期望 1.盒中有5个球,其中2个红球,随机地取3个,用X 表示取到的红球的个数,则EX 是: (A )1; (B )1.2; (C )1.5; (D )2. 2. 设X 有密度函数:?? ? ??=0 83)(2 x x f 他其42≤≤x , 求)1(),12(),(2X E X E X E -,并求X 大于数学期望)(X E 的概率。 3. 设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为: X Y 0 1 2 已知65.0)(=XY E , 0 0.1 0.2 a 则a 和b 的值是: 1 0.1 b 0.2 (A )a=0.1, b=0.3; (B )a=0.3, b=0.1; (C )a=0.2, b=0.2; (D )a=0.15, b=0.25。 4.设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下:求)1(,,+XY E EY EX 。 ? ??<<<<=他其02 0,10),(y x xy y x f §4.2 数学期望的性质 1.设X 有分布律: X 0 1 2 3 则)32(2 +-X X E 是: p 0.1 0.2 0.3 0.4 (A )1; (B )2; (C )3; (D )4. 2. 设),(Y X 有?????<<=他其0 1 45 ),(2y x y y x f ,试验证 )()()(Y E X E XY E =,但X 与Y 不 相互独立。 §4.3 方差 1.丢一颗均匀的骰子,用X 表示点数,求DX EX ,. 2.X 有密度函数:? ??+=04 /)1()(x x f 他其20≤≤x ,求 D(X). §4.4 常见的几种随机变量的期望与方差 1. 设)2(~πX ,)6.0,3(~B Y ,相互独立,则)2(),2(Y X D Y X E --的值分别是: (A )-1.6和4.88; (B )-1和4; (C )1.6和4.88; (D )1.6和-4.88. 2. 设)3,4(~), ,(~N Y b a U X ,X 与Y 有相同的期望和方差,求b a ,的值。 (A ) 0和8; (B ) 1和7; (C ) 2和6; (D ) 3和5. §4.6 独立性与不相关性 矩 1.下列结论不正确的是( ) (A )X 与Y 相互独立,则X 与Y 不相关; (B )X 与Y 相关,则X 与Y 不相互独立; (C ))()()(Y E X E XY E =,则X 与Y 相互独立; (D ))()(),(y f x f y x f Y X =,则X 与Y 不相关; 2.若 0),(=Y X C O V ,则不正确的是( ) (A ))()()(Y E X E XY E =;(B ))()()(Y E X E Y X E +=+; (C ))()()(Y D X D XY D =;(D ))()()(Y D X D Y X D +=+; 3.(Y X ,)有联合分布律如下,试分析X 与Y 的相关性和独立性。 X Y -1 0 1 . -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 4.)()()(Y E X E XY E =是X 与Y 不相关的( ) (A )必要条件;(B )充分条件:(C )充要条件;(D )既不必要,也不充分。 5. )()()(Y E X E XY E =是X 与Y 相互独立的( ) (A ) 必要条件;(B )充分条件:(C )充要条件;(D )既不必要,也不充分。 6. 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下:试验证X 与Y 不相关,但不独立。 ???<<=他其0 1 4/21),(22y x y x y x f 第4章作业答案 §4.1 1: B ; 2:3/2, 2, 3/4, 37/64; 3: D ; 4: 2/3,4/3,17/9; §4.2 1: D ; §4.3 1:7/2, 35/12; 2:11/36; §4.4 1:A ; 2: B ; §4.5 1:0.2, 0.355; 2:-1/144, -1/11; §4.6 1:C ; 2:C ; 3:X 与Y 不相关,但X 与Y 不相互独立;4:C ;5:A ; 第5章 极限定理 *§5.1 大数定理 §5.2 中心极限定理 1. 一批元件的寿命(以小时计)服从参数为0.004的指数分布,现有元件30只,一只在用, 其余29只备用,当使用的一只损坏时,立即换上备用件,利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年(8760小时)的近似概率。 2. 某一随机试验,“成功”的概率为0.04,独立重复100次,由泊松定理和中心极限定理 分别求最多“成功”6次的概率的近似值。 第5章作业答案 §5.2 2:0.1788; 3:0.889, 0.841; 第6章 数理统计基础 §6.1 数理统计中的几个概念 1. 有n=10的样本;1.2, 1.4, 1.9, 2.0, 1.5, 1.5, 1.6, 1.4, 1.8, 1.4,则样本 均值X = ,样本均方差=S ,样本方差=2 S 。 2.设总体方差为2 b 有样本n X X X ,,,21 ,样本均值为X ,则=),(1X X Cov 。 §6.2 数理统计中常用的三个分布 1. 查有关的附表,下列分位点的值:9.0Z = ,)5(2 1.0χ= ,)10(9.0t = 。 2.设n X X X ,,,21 是总体)(2 m χ的样本,求)(), (X D X E 。 §6.3 一个正态总体的三个统计量的分布 1.设总体),(~2 σμN X ,样本n X X X ,,,21 ,样本均值X ,样本方差2 S ,则 ~/n X σμ - , ~/n S X μ - , ∑=-n i i X X 1 2 2 )(1 σ~ , ∑=-n i i X 1 22 )(1 μσ~ , 第6章作业答案 §6.1 1.0646.0,254.0, 57.12===s s x ; 2. n b X X Cov /),(21=; §6.2 1.-1.29, 9.236, -1.3722; 2.n m X D m X E /2)(,)(==; §6.3 1.)(),1(), 1(), 1,0(22n n n t N χχ--; 第7章 参数估计 §7.1 矩估计法和顺序统计量法 1.设总体X 的密度函数为:???? ?≤≤=-他 其 10)(1 x x x f θθ,有样本n X X X ,,,21 ,求未 知参数θ 的矩估计。 2.每分钟通过某桥量的汽车辆数)(~λπX ,为估计λ的值,在实地随机地调查了20次,每次1分钟,结果如下:次数: 2 3 4 5 6 量数: 9 5 3 7 4 试求λ的一阶矩估计和二阶矩估计。 §7.2 极大似然估计 1.设总体X 的密度函数为:???? ?≤≤+=他 其 10)1()(x x x f θ θ,有样本n X X X ,,,21 ,求 未知参数θ 的极大似然估计。 §7.3 估计量的评价标准 1.设总体X 服从区间)1,(a 上的均匀分布,有样本n X X X ,,,21 ,证明=a ?12-X 是a 的无偏估计。 2.设总体X ~)(λπ,有样本n X X X ,,,21 ,证明2 )1(S a X a -+是参数λ的无偏估计