人教新课标版数学高二-2015人教数学(B版)选修2-3练习 第二章《概率》基础测试

第二章知能基础测试

时间120分钟，满足150分．

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．设离散型随机变量ξ的概率分布如下：

则p 的值为( ) A.1

2 B.1

6 C.1

3 D.14

[答案] A

[解析] ∵15＋15＋1

10＋p ＝1，

∴p ＝1

2

，故选A.

2．某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率是( )

A ．0.146 2

B ．0.153 8

C ．0.996 2

D ．0.853 8 [答案] A

[解析] P ＝1－C 237

C 240

＝0.1462.故选A.

3．(2014·景德镇市高二期末)已知某离散型随机变量X 服从的分布列如图，则随机变量X 的方差D (X )等于( )

A.19 B ．29

C ．13

D ．23

[答案] B

[解析] 由m ＋2m ＝1得，m ＝13，∴E (X )＝0×13＋1×23＝23，D (X )＝(0－23)2×13＋(1－23)2×

2

3＝2

9

，故选B. 4．(2013·霍邱二中一模)设随机变量ξ等可能取值1、2、3、…、n ，如果P (ξ<4)＝0.3，那么n 的值为( )

A ．3

B ．4

C ．9

D ．10

[答案] D

[解析] ∵P (ξ<4)＝3

n

＝0.3，∴n ＝10.

5．有编号分别为1、2、3、4、5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为( )

A.521 B ．27

C ．13

D ．821

[答案] D

[解析] 从10个球中任取4个，有C 410＝210种取法，取出的编号互不相同的取法有C 45·24＝80种，∴所求概率P ＝80210＝821

.

6．在比赛中，如果运动员A 胜运动员B 的概率是2

3，那么在五次比赛中运动员A 恰有

三次获胜的概率是( )

A.40243 B ．80243

C.110243 D ．20243

[答案] B

[解析] P ＝C 35(23)3(1－23)2＝80

243

.故选B. 7．如果随机变量ξ表示抛掷一个各面分别有1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量ξ的均值为( )

A ．2.5

B ．3

C ．3.5

D ．4

[答案] C

[解析] ∵p ( ξ＝k )＝1

6

(k ＝1,2，…，6)．

∴E (ξ)＝1

6

(1＋2＋…＋6)＝3.5.故选C.

8．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )

A.512 B ．12

C ．712

D ．34

[答案] C

[解析] 由题意P (A )＝12，P (B )＝16，事件A 、B 中至少有一个发生的概率P ＝1－12×5

6＝

7

12

. 9．设随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝k )＝p k (1－p )1－

k (k ＝0,1)，则E (ξ)和D (ξ)的值分别是( )

A ．0和1

B ．p 和p 2

C ．p 和1－p

D ．p 和(1－p )p

[答案] D

[解析] 这是一个两点分布，分布列为

∴E (ξ)＝p ，D (ξ)＝p (1－p )10．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为( )

A ．0.9

B ．0.2

C ．0.7

D ．0.5 [答案] D

[解析] 设事件A 、B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P (A )＝0.4，P (B )＝0.5，事件恰有一人击中敌机的概率为P (A B ＋A B )＝P (A )·(1－P (B ))＋(1－P (A ))·P (B )＝0.5.故选D.

11．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是

3

10的事件为( )

A ．恰有1只是坏的

B ．4只全是好的

C ．恰有2只是好的

D ．至多2只是坏的 [答案] C

[解析] ξ＝k 表示取出的螺丝钉恰有k 只为好的，则

P (ξ＝k )＝C k 7C 4－k 3

C 410

(k ＝1、2、3、4)，

∴P (ξ＝1)＝130，P (ξ＝2)＝310，P (ξ＝3)＝1

2，

P (ξ＝4)＝1

6

.故选C.

12．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R 的函数：f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x 3，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为( )

A.74 B ．7720

C ．34

D ．73

[答案] A

[解析] 由于f 2(x )，f 5(x )，f 6(x )为偶函数，f 1(x )，f 3(x )，f 4(x )为奇函数，所以随机变量ξ可取1,2,3,4.

P (ξ＝1)＝C 13C 16＝1

2

，

P (ξ＝2)＝C 13C 13

C 16C 15＝310，

P (ξ＝3)＝C 13C 12C 13

C 16C 15C 14＝320，

P (ξ＝4)＝C 13C 12C 11C 13

C 16C 15C 14C 13＝120

.

所以ξ的分布列为

E (ξ)＝1×12＋2×310＋3×320＋4×120＝7

4

.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．(2014·浙江理，12)随机变量ξ的取值为0,1,2，若P (ξ＝0)＝1

5

，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝

________.

[答案] 2

5

[解析] 本题考查期望，方差的求法． 设ξ＝1概率为P .

则E (ξ)＝0×15＋1×P ＋2(1－P －1

5)＝1，

∴P ＝3

5

.

故D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)×35＋(2－1)2×15＝2

5

.

14．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．

①P (B )＝2

5；

②P (B |A 1)＝5

11

；

③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；

⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． [答案] ②④

[解析] 由条件概率知②正确．④显然正确． 而且P (B )＝P (B ∩(A 1∪A 2∪A 3)) ＝P (B ∩A 1)＋P (B ∩A 2)＋P (B ∩A 3)

＝P (A 1)·P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3) ＝510·511＋210·411＋310·411＝922. 故①③⑤不正确．

15．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数字0，两个面上标以数字1，一个面上标以数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是____________．

[答案] 4

9

[解析] 设ξ表示向上的数之积，则P (ξ＝1)＝13×13＝19，P (ξ＝2)＝C 1

2×13×16＝19，P (ξ＝

4)＝16×16＝136，P (ξ＝0)＝3

4

.

∴Eξ＝1×19＋2×19＋4×136＝49

.

16．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E (ξ)＝________(结果用最简分数表示)．

[答案] 4

7

[解析] 本题考查概率、互斥事件、数学期望，以及运用知识解决问题的能力． 由题意，ξ的可能取值为0,1,2，则P (ξ＝0)＝C 25

C 27＝1021

，

P (ξ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22

C 27＝121

.

∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望E (ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝1221＝4

7

.

三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为3

4，某班3名同学商定

明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X 的分布列．

[解析] 由题意知，用X 表示成功的人数，则X 服从n ＝3，p ＝3

4的二项分布，于是有

P (X ＝k )＝C k 3

????34k ·????1－343－k ，k ＝0,1,2,3.

所以X 的分布列为

18.(本题满分12分成功的概率分别为23和3

5，现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研

发相互独立．

(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；

(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．

[解析] (1)设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件，则事件B 为一种新产品都没有成功，因为甲，乙成功的概率分别为23，3

5

.

则P (B )＝(1－23)×(1－35)＝13×25＝2

15，

再根据对立事件概率之间的公式可得 P (A )＝1－P (B )＝13

15

，

所以至少一种产品研发成功的概率为13

15

.

(2)由题可设该企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有0,120＋0,100＋0,120＋100，即ξ＝0,120,100,220，由独立试验的概率计算公式可得：

P (ξ＝0)＝(1－23)×(1－35)＝2

15；

P (ξ＝120)＝23×(1－35)＝4

15；

P (ξ＝100)＝(1－23)×35＝1

5；

P (ξ＝220)＝23×35＝2

5；

所以ξ的分布列如下：

则数学期望E (ξ)＝0×215＋120×415＋100×15＋220×2

5

＝32＋20＋88＝140.

19．(本题满分12分)一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布和它的期望．

[解析] P (ξ＝0)＝0.52×0.62＝0.09，

P (ξ＝1)＝C 12×0.52×0.62＋C 12×0.52×0.4×0.6

＝0.3，

P (ξ＝2)＝C 22×0.52×0.62＋C 12C 12×0.52×0.4×0.6＋C 22×0.52×0.42

＝0.37，

P (ξ＝3)＝C 22C 12×0.52×0.4×0.6＋C 12C 22×0.52×0.42＝0.2，P (ξ＝4)＝0.52×0.42＝0.04.于

是得到随机变量ξ的概率分布列为

所以E (ξ)＝0×20．(本题满分12分)(2014·甘肃省三诊)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．

(1)求甲、乙两人都被分到A 社区的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；

(3)设随机变量ξ为四名同学中到A 社区的人数，求ξ的分布列和E (ξ)的值．

[解析] (1)记甲、乙两人同时到A 社区为事件M ，那么P (M )＝A 2

2C 24A 33＝1

18

，

即甲、乙两人同时分到A 社区的概率是1

18.

(2)记甲、乙两人在同一社区为事件E ，那么 P (E )＝A 33

C 24A 33＝16

，

所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是 P (E )＝1－P (E )＝5

6

.

(3)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“ξ＝i (i ＝1,2)”是指有i 个同学到A 社区，

则p (ξ＝2)＝C 24A 22

C 24A 33＝13

.

所以p (ξ＝1)＝1－p (ξ＝2)＝2

3，

ξ的分布列是：

∴E (ξ)＝1×23＋2×13＝4

3

.

21．(本题满分12分)(2014·沈阳市质检)为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有来沈的3名工人相互独立地从60个项目中任选一个项目参与建设．

(1)求这3人选择的项目所属类别互异的概率；

(2)将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．

[解析] 记第i 名工人选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i 、B i 、C i .

由题意知，P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，

P (C i )＝1060＝1

6

(i ＝1,2,3)．

(1)3人选择的项目所属类别互异的概率 P ＝A 33P (A 1B 2C 3)＝6×12×13×16＝1

6

. (2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率P ＝30＋1060＝23.

由X ～B (3，2

3

)，

∴P (X ＝k )＝C k 3(23)k (1－23)3－k

(k ＝0,1,2,3)， ∴X 的分布列为

其数学期望为E (X )＝3×23

＝2.

22．(本题满分14分)甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为2

3，乙队中3人答对

的概率分别为23，23，1

2

，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．

(1)求随机变量ξ的分布列和数学期望；

(2)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．

[解析] (1)解法1：由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且 P (ξ＝0)＝C 03×(1－23)3＝1

27， P (ξ＝1)＝C 13×23×(1－23)2＝29

，

P (ξ＝2)＝C 23×(23)2×(1－23)＝4

9， P (ξ＝3)＝C 33×(23)3＝827. 所以ξ的分布列为

即ξ的数学期望为

E (ξ)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×8

27＝2.

解法2：根据题设可知，ξ～B (3，2

3)，

因此ξ的分布列为

P (ξ＝k )＝C k 3×(23)k ×(1－23)3－k

＝C k

3×2k 3

3，k ＝0,1,2,3.

因为ξ～B (3，23)，所以E (ξ)＝3×2

3

＝2.

(2)解法1：用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB ＝C ∪D ，且C 、D 互斥，又

P (C )＝C 23

×(23)2×(1－23)×[23×13×12＋13×23×12＋13×13×12]＝10

34， P (D )＝C 33×(23)3×(13×13×12)＝4

35， 由互斥事件的概率公式得

P (AB )＝P (C )＋P (D )＝1034＋435＝3435＝34243

.

解法2：用A k 表示“甲队得k 分”这一事件，用B k 表示“乙队得k 分”这一事件，k ＝0,1,2,3.由于事件A 3B 0，A 2B 1为互斥事件，故有

P (AB )＝P (A 3B 0∪A 2B 1)＝P (A 3B 0)＋P (A 2B 1)．

由题设可知，事件A 3与B 0独立，事件A 2与B 1独立，因此P (AB )＝P (A 3B 0)＋P (A 2B 1) ＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 2)P (B 1)

＝(23)3×(132×12)＋C 2

3×2233×(12×132＋12×C 12×232)＝24243.