导数与微分练习题.doc
第二章导数与微分
第一节导数概念一．填空题
1. 若 f ( x0 ) 存在，则 lim f ( x0 x) f ( x
)
=
x 0 x
2. 若 f (x0 ) 存在， lim f (x0 h) f ( x0 h) = .
h 0 h
lim f ( x0 3 x) f ( x0 ) =.
x 0 x
3. 设 f ( x0 ) 2 , 则 lim
x
2x) f (x0) )
x 0 f (x0
4. 已知物体的运动规律为s t t 2(米)，则物体在t 2 秒时的瞬时速度为
5. 曲线 y cosx 上点（，1
）处的切线方程为，法线方程为
3 2
6.用箭头 ? 或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系，
可微可导|
连续极限存在。
二、选择题
1．设f ( 0) 0 ,且 f (0) 存在，则lim f ( x)
= [ ]
x 0 x 1
f (0)
（A）f (x) ( B) f (0) (C) f (0) (D)
2
2. 设 f ( x) 在 x 处可导， a , b 为常数，则lim f ( x a x) f ( x b x) =
x 0 x
[ ]
（A）f (x) ( B) (a b) f ( x) (C) (a b) f ( x) (D) a b
2
f ( x)
3. 函数在点x0处连续是在该点x0 处可导的条件[ ]
（A）充分但不是必要（B）必要但不是充分（C）充分必要（D）即非充分也非必要4．设曲线y x2x 2 在点M处的切线斜率为3，则点 M的坐标为[]
（A ） (0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)
5. 设函数 f ( x) | sin x |，则 f ( x) 在 x
0处
[
]
（A ）不连续。 （ B ）连续，但不可导。
(C) 可导，但不连续。
（ D ）可导，且导数也连续。
x 2 x 1
f ( x) 在 x
1处连续且可导， a ， b 应取什
三、设函数 f ( x)
x
为了使函数
ax b
1
么值。
四、如果 f ( x) 为偶函数，且 f (0) 存在，证明 f (0) =0。
五、 证明：双曲线 xy
a 2 上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。
第二节
求导法则（一）
一、填空题
1． y (2 secx) sin x , y =
;
y
e sin x , y
= .
2．
y cos(2 x ) ， y =
;
y =
sin 2x ， y =
e
x
3．
ln tan ， =
;
r
xlog 2 x
ln 2 , r =
2
4. w
ln(sec t tan t ) , w =
.
y arccos(x 2
x) ， y
5. ( 1 x 2
)
;
(
1 x
2 c ) = .
6.
[ln tan x
] =
;
( ln( x
1 x
2 ) c
2
) =
.
二、选择题
1．已知
y=
sin x
，则 y =
[
]
x
（ A ）
x sin x cosx
x cosx sin x
sin x x sin x
x 2
(B)
2
(C)
2
x x (D) x 3
cos x
x 2 sin x
2. 已 知
y=
sin x
， 则
y
=
[
]
（A ） cos x
1
2 cos x 1
3.
已 1 cos x
(B)
1 cos x (C)
1 (D)
2cos x 1
2 cos x 1 cos x
1 cos x
1
知
y sece x
，
则
y
=
[
]
（A ） e x sece x tan e x
(B) sece x tan e x (C) tan e x
(D) e x cot e x
4.
已
知
y
ln( x 1 x 2 )
，
则
y
=
[ ]
（A ）
1 x
2 (B)
1 x 2
(C)
x (D)
x 2 1
1
1 x 2
5.
已
知
y
ln cot x
，
则
y |
=
x
4
[ ]
（A ） 1
（ B ）2
（C ）
1/ 2
(D) 2
6.
已
知
1 x ，
则
y
=
y
x
1 [ ]
（A ）
2 (B)
2 (C)
2x (D)
2x
( x 1)
2
( x 1)
2
( x 1)
2
( x 1)
2
三、计算下列函数的导数：
(1)
y ln( 3 x )
3
ln x
(2)
y
tan(ln x)
sin
2
1
3
(3) u e v
(4 )
y sec (ln x)
(5)
y ln( x
1 x 2
)
(6)
y
arctan
1
x
1 x
四、设 f (x) 可导，求下列函数
y 的导数
dy
dx
（1） y f (e x )e f (x ) (2) y f (sin 2 x) f (cos 2
x)
(3) y
arctan[ f (x)]
(4)
y f (sin x) sin[ f ( x)]
第二节
求导法则（二）
一、填空题：
x
1. y
e 2
x , y
;
y
1 ln 2
x , y
cos3 2． y
arccos 1 ， y ；
y
e arx tan x ， y
x
3． y
arcsin
2sin x 1
， y
2 sin x
4．设 y
arctane x
ln
e 2 x ，则
dy
x 1
e 2 x
1dx
x
2
5．设 y ( x e 2 ) 3 ，则 y |x 0
6 ． 设 f (x)
有连续的导数， f (0) 0 ， 且 f (0) b ，若函数
F ( x) f ( x) a sin x , x 0
x , x 0
A
在 x 0 处连续，则常数 A =
二、选择题：
1
．
设
y
f ( x)
，
则
y
[
]
（A ） f (x)
（ B ） f ( x)
（ C ） f ( x)
（D ） f ( x)
2．设周期函数 f ( x) 在 (
,
) 可导，周期为 4,
f (1) f (1 x)
1, 则曲线
又 lim
2x
x 0
y f ( x) 在点 ( 5, f (5) ) 处的切线的斜率为
[
]
（A ）
1
（B ） 0
（C ） 1 （D ） 2
2
3.
已
知
y
1
2x ，
则
arctan
1 x 2
2
[ ]
（A ） 1
1 (B)
1 x 2
(C)
1
(D)
x 2
x
2
1
4.
已
知
y
arcsin( x ln x)
，
则
[
]
（A ） ln x
(B)
x ln x (C)
1 ln x (D)
1 (x ln x)
2 1 ( x ln x) 2
y =
x 2 1
y
=
2
1 ( x ln x)
三、已知 y
f 3x
2 , f (x) arctan x 2
，求：
dy |x 0
3x 2
dx
四、设 x
0 时，可导函数 f ( x) 满足： f ( x)
2 f ( 1
) 3 ，求 f (x) ( x 0)
x x
五、已知
( x) a f 2 ( x ) ，且 f (x)
1 ，证明：
( x) 2 (x)
ln a f ( x)
六、证明：可导的奇函数的导数是偶函数。
第三节
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
一、填空题
1．设 y 1 xe y ，则 y =.
2. 设 r
tan(
r ) ，则 r = .
3. 设 ln x
2
y
2
arctan y
, 则 y =
。
x
4．设
x e t
sin t ，则 dy
=
，
dy
|
=
。
y e t cost dx
dx t
3
二、选择题
1. 由方程 sin y xe
y
0 所确定的曲线 y y(x) 在（0，0）点处的切线斜率为
[ ]
（A ） 1
（B ） 1
（C ）
1
（ D ）
1
2
2
2. 设 由 方 程
xy 2 2
所 确 定 的 隐 函 数 为
y y( x) ， 则 dy =
[ ]
（A ）
y
dx （ B ） y
dx
（ C ）
y
dx （D ） y
dx
2x
2x
x
x
3.
设 由 方 程 x
y
1
sin y 0 所
确定的隐函数为 y y(x)
， 则 dy =
2 dx
[ ]
（A ）
2
（ B ）
2
（ C ）
2 （ D ）
2
cos y
cos y
cosx
2
2 sin y
2
2
4. 设由方程
x a(t sin t )
所 确 定 的 函 数 为 y y( x) ， 则 在 t
处的导数为
y a(1
cost )
2
[ ]
（A ）
1
（B ） 1
（C ）0
1
（ D ）
2
5. 设由方程
x ln 1 t 2 所确定的函数为 y y( x) ，则
dy
[
]
y arctan t
dx
（A ） 1 t
2
（B ）
1
（C ）1
；
（D ） t .
2t
t
2t
.
dy 三、求下列函数的导数
dx
2
2
2
1． x 3
y 3 a 3 ，
3． y
x 2 y 3 ye x 1
2.
x
a cos 3 t
y a sin 3
t
4.
y
x sin x 1 e x
x e x sin 1 0 0 处的切线方程，法线方程
四、求曲线
3
在
y
2
第四节
高阶导数
一、填空题
１．设 r cos ，则 r = ,r =
.
2．设 y ln( x
1 x
2 ) , 则 y ＝
， y ＝
3 若 y
f (t 2
) , 且 f (t ) 存在，则
dy
＝
，
d 2 y =
dt
dt 2
４．设 y
1 xe y ，则 y =,
y =
x f (t) dy t
d 2 y = 。
5．设
，且
dx
2
，则
2 y t
arctgt
dx
6. 设 y x n e 2 x 1 , 则 y ( n) =
7．设 f ( x)
x(x 1)( x
2) L (x 2014) ，则 f (0) ＝
．
二、选择题
1．若 y
x 2 ln x , 则 y =
[
]
（A ） 2 ln x
（ B ） 2ln x 1
（ C ） 2 ln x 2
（ D ） 2 ln x 3
2. 设 y f (u) ，u
（A ）e 2x f (u )
3．设 y
sin 2 x 则
（A ） 2n 1 sin[ 2x
（C ） 2
n 1
sin[ 2x
4.
设
e x , 则 d 2 y =
[
]
dx 2
（ B ）u 2 f (u) uf (u)
（ C ）e 2 f (u)
（ D ）u f (u)
uf (u)
y (n)
[
]
(n 1)
] （ B ） 2 n 1 cos[2x
(n 1)
]
2
2
(n 1) ]
（D ） 2 n sin[ 2x ( n
1)
]
2
2
y xe x
， 则
y (n )
[ ]
（A ） e x (x
n)
（ B ） e x ( x n) （ C ） 2e x (x n) （ D ） xe nx
三、设 f ( x) 存在，求下列函数
y 的二阶导数 d 2
y
dx 2
1． y f (e x )
2． y
ln[ f (x)]
d 2 y
四、求下列函数
y 的二阶导数
dx 2
x a cost
1.
b sin t
y
2. arctan
y
ln x 2
y 2
x
1
五、设 y
，求 y (n )
2x 3
第五节 函数的微分
一． 已知 y x 2
x ，计算在 x 2 处
（ 1）当 x 0.1时， y
， dy =
（ 2）当
x
时 , y =
,
dy =
。
0.001
二．（ 1）函数 y
arcsin 1 x 2 在 x
1 处的一次近似式为
2
（ 2）函数 y
e x cos(x 1) 在 x 0处的一次近似式为
（ 3）计算近似值 4 83
三．填空（求函数的微分）
1 、 d (
2 2 sin ) =
2、 d (ln(cos
x )) =
d
x
3、 d (ln 2 (1
x))
=
4、 d (ln secx
tan x)
=
1
5、 d ( f (arctan )) =
6、 d(sin x)
d (cos x)
7、
d sin x = dx 2
x
8、
d
(x 3
2x 6
9
dx 3
x )
四．将适当的函数填入下列括号内 , 使等号成立。
(1).
xdx d ( );
(2).
sin( 3x 2)dx d ( );
(3).
(5).
(7).
(9). (3 x2 2x)dx d( ); (4). e 2x dx d ( );
1
dx d ( ); (6).
1
d ( );
a 2 x2
dx
2x 3
e x2 d (x 2 ) d ( ); （ 8）cos(2 x)dx d ( )
1
dx =d( ) ; (10).
ln x
d ( );
1 x
2 x
dx
五．求下列函数或隐函数的微分
(1).
x2 y 2
a 2 1,求 dy
b 2
(2). y x arctan y ，求dy
(3). y x sin x，求 dy
第二章综合练习（一）
一、填空题
f ( x h ) f ( x h )
2
1．设f (x) 存在，a 0 为常数，则 lim a h a = f ' ( x ) 。
h 0 a
2．若抛物线y x 2 bx c 在点（1，1）处的切线平行于直线y x 1 0 ,
则 b 1 ，c 1.
3. 若 f (x) 可导，且 y f (e sin ) ，则 y = .(cos e ) f ' (e sin )
4. 若x f (t ) , 且 dy 2t ,则d
2
y
= 2 2t 2 .
y ln(1 t 2 ) dx dx2
5. xy e y 20 1 y
若x
，则 dy x 2 ye y2dx.
6. 若 y ue
u则y(100 )=(u 100)e u .
二、选择题
1．若f (x) = f ( x) ，且在（0，∞）内 f ( x) >0， f ( x) < 0,则 f (x) 在（-∞，0）内[ A ]
（A ） f (x) < 0 ， f (x) < 0
（B ） f (x) < 0 ， f (x) > 0
（C ） f (x) >0， f ( x) < 0 （ D ） f (x) >0， f (x) > 0
2．设函数 f (u) 可导， y
f ( x 2 ) 当自变量 x 在 x
1 处取得增量
x 0.1 时，相应地
函数增量 y 的线性主部为，则 f (1)
[ D ]
（A ）
1
（ B ）
（C ）1
（D ）
3．设 f ( x)
( x 1) arcsin
x
[ C ]
，则
x
1
（A ） f (1) 0
（ B ） f (1) 1
（C ） f (1)
4
（ D ） f (1) 不存在
ln tan
x
4．设 y
cos x ln tan x ， 则 y =
[
B ]
2
（A ） cos x ln tan x （ B ） sin x ln tan x （ C ） sin x ln cot x
（ D ） tan x ln tan x .
三、设函数 y
y( x) 由方程 e y xy
e 所确定，求 y (0) .
解: 方程两边对 x 求导得 :
e y y' y
xy' 0
y'
y
x e
y
y' '
y' ( x e y ) y(1 e y y' )
( x e y )2
ye y
2xe y
( x e y )3
当 x 0 , 得 y 1 .
所以 y' ' (0)
1
e 2
四、求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数
dy
及二阶导数 d 2 y .
dx
2
dx
1.
x ln 1 t 2
2.
x a cos 3
y arctan t
y a sin 3
dy
1
dt 1 3a sin 2
1 t 2
解:
dy cos
tan
解:
t t dx 3a cos2 ( sin ) dx
dt
1 t 2
d 2 y d ( dy ) d (1) dt d 2 y d ( dy
) d ( tan )
d
dx 2 dx dx dt t dx dx 2 dx dx d dx
1 1 1 t
2 2 1
t 2 t t 3 sec 3acos2 sin
t 2
1
1 sec4 csc
3a
五、设 y x e x ，用对数求导法求dy
dx
解 : 函数两边取对数得:
ln y e x ln x
上式两边对x 求导得
1 y' e x ln x e x
y x
所以dy y (e x ln x e x )
dx x
x e x (e x ln x e x)
x
高等数学练习题第二章导数与微分
系专业班姓名学号
第二章综合练习（二）
一. 填空题
1. 设 f ( x) 存在，则 lim h[ f ( x
1) f ( x)] = f ' ( x ) .
h
h
2．当 a
1 时，两曲线 y ax 2
， y
ln x 相切，切线方程是 y
2e
3．若 f ( x) 在（
，
）内有一阶连续导数且 f (0)
0，当 A
f ( x)
g(x)=
x x 在（
，
）内连续。
x 0
A
x
1
e 2
f ' (0) 时，
4． y= ( a
) x
(b
)
a
( x
) b
， dy = ( a ) x (
b
)
a
( x
)b
[ln a b a
]dx b
x a
b
x
a b x
5． d ( 2x
3x
c ) =
(2 3x ln 3)dx ， d(
f (ln x ) c ) = f (ln x) dx .
x
6 ． 若 e
u v
uv ，则
dv v e u v du e u v u
=
u v
，
=
u v
。
du e
u
dv v e
二．选择题
1．设 f ( x) x x
，则其导数为
[
C ]
（A ） f ( x)
x x
（ B ） f (x)
x x ln x （ C ） f ( x)
x x (ln x 1)
（ D ） f ( x) x x 1
2. f (a)
[
C ]
( A) lim
f ( x)
f ( a) ；
( B). lim f ( a)
x a
x
a
x
f ( a x) ；
x
s s (C ). lim f (t a) f (a)
；
t 0
t
3. 设 y f (cos x) cos( f ( x)) ，且
（
A
）
f (cos x) f (cos x) cos( f ( x))
f (cos x) [ f ( a
( D ).lim
S 0
f 可导 则 y =
sin x sin( f ( x)) f ( x)
sin( f ( x))]
) f (a
)
2
2
s
[
C ]
（
B
）
（C ）
f (cos x) sin x cos( f ( x))
（D ） f (cos x) cos( f (x))
f (cos x)
f (cos x) sin( f ( x)) f ( x)
sin( f ( x)) f ( x)
4. 设 f ( x) 具有任意阶导数，且
f (x)
[ f ( x)] 2 ，当， f ( n) (x)
[ A ] (A) n![ f (x)]
n 1
(B)
n [ f ( x)] n 1
( C)
[ f ( x)] 2n
(D)
n![ f (x)] 2n
1
0,
则 f (x) 在 x 0 处
5．设函数 f (x)
x sin x , x
[
B ]
x 0,
(A) 不连续 (B)
连续，但不可导。
(C) 可导，但不连续。
(D) 可导，且导数也连
续。 三．计算题
1．设 y a x
1 a
2 x arccosa x （其中 a
0 ， a
1 为常数），试求 dy ．
解 :
dy a x ln a ( 1 a 2 x )' arccos( a x )d 1 a 2x (arccos a x )' dx
(a x ln a
1 a
2 x 2ln a arccos a x
1 a
2 x
1 a x ln a)dx
2 1 a 2 x
1 a
2 x
a 2 x
ln a arccos a x dx
1 a
2 x
2．已知 y x
x y ，用对数求导法求 dy 。
dx 解 : 方程两边取对数 , 得 :
x ln y
y ln x
上式两边对 x 求导 , 得 y
ln y x ln y y' y' ln x
x
整理得
y'
y 2 xy ln y
x 2 xy ln x
4．已知 y ln(
1 t
) , 求 y (n ) .
1 t
解 :y ln( 1 t ) ln( 1 t )
y' 1 1 1 t 1 t
y' ' (1 t ) 2 (1 t ) 2
y' ' ' 2(1 t) 3 2(1 t ) 3
y(4 ) 3! (1 t )
4
3! (1 t ) 4 依此类推 ,得
y( n ) ( 1)n 1 (n 1)! (1 t) n (n 1)! (1 t ) n (n 1)! [ ( 1) n 1
1
n
(1
n
] (1 t ) t )