立体几何复习(三)
点线面位置关系
——空间中的平行与垂直
一、空间线面位置关系的判断
1、l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
( )
A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3?l 1∥l 3
B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3?l 1⊥l 3
C ．l 1∥l 2∥l 3?l 1，l 2，l 3共面
D ．l 1，l 2，l 3共点?l 1，l 2，l 3共面
2、设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是
( )
A ．若l ⊥m ，m ?α，则l ⊥α
B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α
C ．若l ∥α，m ?α，则l ∥m
D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m
3、(2013·广东)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的( )
A ．若α⊥β，m ?α，n ?β，则m ⊥n
B ．若α∥β，m ?α，n ?β，则m ∥n
C ．若m ⊥n ，m ?α，n ?β，则α⊥β
D ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β 4、平面α∥平面β的一个充分条件是
( )
A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β
B ．存在一条直线a ，a ?α，a ∥β
C ．存在两条平行直线a ，b ，a ?α，b ?β，a ∥β，b ∥α
D ．存在两条异面直线a ，b ，a ?α，b ?β，a ∥β，b ∥α
5、（泰安市2017届高三第一轮复习质量检测（一模））设m 、n 是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）
A ．若//,//,//m m αβαβ则
B ．若//,//,//m m ααββ则
C ．若,,m m αβαβ?⊥⊥则
D ．若,,m m ααββ?⊥⊥则
二、平行、垂直的判定及性质应用 （一）线线、线面的位置关系
1、如图，在四棱锥P —ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，P A ＝2AB .
（1）若F 为PC 的中点，求证：PC ⊥平面AEF ； （2）求证：EC ∥平面P AB .
2、如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝BB 1，D 为AC 的中点． （1）求证：B 1C ∥平面A 1BD ；
（2）若AC 1⊥平面A 1BD ，求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1； （3）在(2)的条件下，设AB ＝1，求三棱锥B －A 1C 1D 的体积．
3、在四棱锥中，底面，， ，060=∠ABC
，是的中点．求证：
（1） （2）平面
4、（2016年全国III 卷高考）如图，四棱锥中，平面，，
P ABCD -PA ⊥ABCD AD AB ⊥CD AC ⊥BC AB PA ==E PC CD AE ⊥PD ⊥ABE P ABC -PA ⊥ABCD AD BC
A
C
D
P
E
，，为线段上一点，，为的中
点．
（1）证明平面； （2）求四面体的体积.
（二）面面的位置关系
1、如图，在几何体ABCDE 中，AB ＝AD ＝2，AB ⊥AD ，AE ⊥平面ABD ，M 为线段BD 的中点，MC ∥AE ，AE ＝MC ＝ 2. （1）求证：平面BCD ⊥平面CDE ；
（2）若N 为线段DE 的中点，求证：平面AMN ∥平面BEC .
2、如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． （1）证明：平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE ；
（2）在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．
3、如图所示，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，
3AB AD AC ===4PA BC ==M AD 2AM MD =N PC MN PAB N BCM
-
F 为CD 的中点．
求证：（1）AF ∥平面BCE ； （2）平面BCE ⊥平面CDE .
4、（2015年全国I 卷）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，
（1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；
（2）若120ABC ∠= ，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -.
三、图形的折叠问题
1、如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图(2)． （1）求证：DE ∥平面A 1CB ； （2）求证：A 1F ⊥BE ；
（3）线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由．
2、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。
若F 为PD 的中点，（1）求证：AF ⊥面PCD ； （1）证明：BD ∥面PEC ； （2）求三棱锥E PBC -的体积。
3、如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图(2)所示的三棱锥A －BCF ，其中BC ＝
2
2. （1）证明：DE ∥平面BCF ； （2）证明：CF ⊥平面ABF ；
（3）当AD ＝2
3
时，求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG .
4、（2016年全国II 卷高考） 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O
，点E 、F
A
B E P
C
正视图
侧视图 俯视图
分别在AD ，CD 上，AE CF =，EF 交BD 于点H ，将DEF ?沿EF 折到'D EF ?的位置.
（1）证明：'AC HD ⊥；
（2）若5
5,6,,'4
AB AC AE OD ===
=求五棱锥D ABCEF '-体积.
四、距离问题
1、如图将边长为1的正方形纸板ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ACB ⊥平面ACD ，然后放在桌面上，使点B 、C 、D 落在桌面，这时点A 到桌面的距离为________．
2、在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∠ADC ＝90°，且AA 1＝AD ＝DC ＝2，M ∈平面ABCD ，当D 1M ⊥平面A 1C 1D 时，DM ＝________.
3、如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，
∠BCD ＝90° （1）求证：PC ⊥BC
（2）求点A 到平面PBC 的距离．
4、（广东省2016届高三3月适应性考试）如图所示，在直三棱柱ABC DEF -中，底面ABC 的棱AB BC ⊥，且2AB BC ==．点G 、H 在侧棱CF 上，且1CH HG GF ===. （1）证明：EH ⊥平面ABG ； （2）求点C 到平面ABG 的距离．
五、探究类问题
1、如图，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A =AB ，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC =∠BAD =90°，P A =BC =
.2
1
AD （I ）求证：平面P AC ⊥平面PCD ；
（II ）在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，请确定E 点的位置；若不存在，请说明理由.
2、如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE
上的点，且
H
A
C
B D
E
F
G
BF ⊥平面ACE ．
（1）求证：AE ⊥BE ；（2）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB,试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE.
3、如图，已知在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ＝2.
（1）求证：DB ⊥平面B 1BCC 1；
（2）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使得D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由．
4、（红色七校2017届高三第二次联考）如图，四边形ABCD 是梯形，AB //CD ，四边形CDEF 是矩形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，∠BAD =∠CDA ，AB=AD=DE =22
1
CD ，M 是线段AE 上的动点．
（1）试确定点M
的位置，使
AC //平面MDF ，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，求平面MDF 将几何体ADE —BCF 分成的较小部分与较大部分的体积比．
课后作业
一、选择题
1． 已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确的是
( )
A ．若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α
B ．若l 上有两个点到α的距离相等，则l ∥α
C ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β
D ．若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β
2． 已知直线m ，n 和平面α，则m ∥n 的必要不充分条件是
( ) A ．m ∥α且n ∥α B ．m ⊥α且n ⊥α C ．m ∥α且n ?α
D ．m ，n 与α成等角
3． 如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB
沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A －BCD .则在三棱锥A －BCD 中，下列命题正确的是
( )
A ．平面ABD ⊥平面ABC
B ．平面AD
C ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDC
D ．平面ADC ⊥平面ABC
4． 下列命题中，m 、n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．
①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；④若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ. 正确的命题是
( )
A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．②④
5． 一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，
使截面平行于棱VB 和AC ，若木块的棱长为a ，则截面面积为( ) A.a 2
2
B.a 23
C.a 24
D.a 25
6． 在正三棱锥S －ABC 中，M ，N 分别是SC ，BC 的中点，且MN ⊥AM ，
若侧棱SA ＝23，则正三棱锥S －ABC 外接球的表面积是 ( ) A ．12π B ．32π C ．36π
D ．48π
二、填空题
7． 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC
为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .
8． 如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线P A 垂
直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：
①P A ∥平面MOB ； ②MO ∥平面P AC ； ③OC ⊥平面P AC ； ④平面P AC ⊥平面PBC .
其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．
三、解答题
9．(2013·重庆)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝23，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3
.
（1）求证：BD ⊥平面P AC ；
（2）若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积．
10．(2012·广东)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝1
2AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．
（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；
（2）若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； （3）证明：EF ⊥平面P AB .
11．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2BC ＝4，∠ABC ＝120°，E ，M 分别为AB ，DE
的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ′DE ，F 为A ′C 的中点，A ′C ＝4. （1）求证：平面A ′DE ⊥平面BCD ； （2）求证：FB ∥平面A ′DE .
12．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.
已知 （1）证明：
（2）若为的中点，求三菱锥的体积.
13．（广东佛山市2016届高三二模）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，
60,,BAD AB BD BC CD
∠=== ． （1）求证：平面11ACC A ⊥平面1A BD ；
（2）若BC CD ⊥,12AB AA ==,求三棱锥11B A BD -的体积．
P ABCD -ABCD 60BAD ∠=
2,PB PD PA ===PC BD ⊥E PA P BCE
-A
B
C D
A 1
C 1
B 1
D 1
O
M
D
B
A
14．（广东广州市2016届高三二模） 如图，在多面体ABCDM 中，△BCD 是等边三角形，
△CMD 是等腰直角三角形， 90CMD ?
∠=，平面CMD ⊥平面BCD ，
AB ⊥平面BCD ，点O 为CD 的中点，连接OM . （1） 求证：OM ∥平面ABD ；
（2） 若2AB BC ==，求三棱锥A BDM -的体积.
15．（广东深圳市2016届高三二模）如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，四边形ABCD 为
菱形，四边形ADEF 为矩形，
M 、N 分别是EF 、BC 的中点,2AB AF =，60CBA ∠=
． （1）求证：DM ⊥平面MNA ； （2）若三棱锥A DMN -
A 到平面DMN 的距离．
16．（广东珠海市2016届高三二模）如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是等腰梯形，其中//AB CD ， 1
32
AB CD =
=，且60BCD ∠= E 为CD 中点，4PA PB PC PD ====．
（1） 求证：AD PE ⊥． （2） 求四棱锥P ABCD -的体积
B C
D
A
E
F
M
N
17．（惠州市2016届高三第三次调研）如图，已知等腰梯形中，
是的中点，
AE BD M = ,将沿着翻折成．
（1）求证：CD ⊥平面1B DM ；
（2）若101=C B ，求棱锥1B CDE -的体积
18．（肇庆市2016届高三第二次统测（期末））如图3，正方形ABCD
的边长为E 、
F 分别是DC 和BC 的中点，H 是正方形的对角线AC 与EF 的交点，N 是正方形两对角
线的交点，现沿EF 将CEF ?折起到PEF ?的位置，使得PH AH ⊥，连结P A ，PB ，PD （如图4）．
（1）求证：BD ⊥AP ； （2）求三棱锥A BDP -的高.
ABCD 1
//,2,2
AD BC AB AD BC E ==
=BC BAE ?AE 1B AE ?A
D
C
E
M
A
M
1
B D E
C
小学六年级总复习之立体几何
一、习题精选。 1、一堆小麦堆成圆锥形，底面周长是18. 84米，高1.8米，这堆小麦的体积是（）。 2、用边长为1分米的小正方体，拼成一个较大的正方体，至少需要（）个这样的小正方体，把这些小正方体排成一行，它的长度是（）分米。 3、一个圆柱体比和它等底等高的圆锥体体积大18立方厘米，那么圆柱体和圆锥体体积的和是（）。 4、一根长3米，底面半径5厘米的圆柱形木料锯成两段，表面积增加（）平方厘米或（）平方厘米。 5、一个长方形长15厘米，宽10厘米，以长边为轴旋转一周，会得到一个圆柱形，它的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。 6、一个用立方块搭成的立体图形，淘气从前面看到的图形是，从上面看是，那么搭成这样一个立体图形最少要（）个小立方块。 7、一个半圆的周长是12.56厘米，将这个半圆扩大2倍，它的面积是（）平方厘米。 8、把一个棱长是0.5米的正方体钢坯，锻成横截面面积是10平方分米的长方体钢材。锻成的钢材长度为（）。 9、把一个高为18厘米的圆锥形容器盛满水，将这些水全部倒入和这个圆锥形容器等底的圆柱形容器里，水的高度是（）厘米。 二、判断题 1、圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍。（） 2、一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的体积和圆锥的体积比2：1. （） 3、一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差21立方厘米，圆锥的体积是7立方厘米（） 4、正方体的棱长缩小一半后,体积比原来少一半。（） 5、一个长方体和一个圆柱，它们的体积和高都相等，那么，它们的底面积也相等。（） 三、选择题。 1、甲圆柱形容器底面半径是乙圆柱形容器底面半径的2倍(容器直立放置)。现以相同的流量同时向这两个容器内注入水，经过一定的时间，甲、乙两个容器内水面的高度的比是？(容器内的水都未加满) （） A.1∶2 B.2∶1 C.4∶1 D.1∶4 2、.如果一个长方体的长、宽、高都扩大3倍，则它的体积扩大( )倍。 A.3 B.9 C.27 3、一个长方体油箱，里面长60厘米，宽50厘米，高40厘米，这个油箱可以装油（） A.120升 B. 12升 C. 1.2升
理科数学2010-2019高考真题分类训练专题八立体几何第二十二讲空间几何体的三视图、表面积和体积答案
专题八 立体几何初步 第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积 答案部分 2019年 1.解析 该模型为长方体1111ABCD A B C D -，挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，6cm AB BC ==， 14cm AA =， 所以该模型体积为： 1111311 664(46432)314412132(cm )32 ABCD A B C D O EFGH V V ---=??-??-????=-=， 3D 打印所用原料密度因为为30.9g /cm ，不考虑打印损耗， 所以制作该模型所需原料的质量为：1320.9118.8(g)?=． 2.解析 因为长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点， 所以11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=??=，所以三棱锥E BCD -的体积： 111332E BCD BCD V S CE BC DC CE -=??=????=V 11 1012 AB BC DD ???=. 3.解析 由题可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱锥的高为2. 因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，则圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于 1 2 ，由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半，为1. 所以该圆柱的体积为2 1124V Sh π?? ==π?= ??? . 4.解析：由PA PB PC ==及ABC △是边长为2的正三角形可知，三棱锥P ABC -为正三棱锥，
立体几何复习知识点汇总(全)
立体几何知识点汇总（全） 1．平面 平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。 （1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。 （2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。 （3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合 2. 空间直线. （1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等） ②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交 ③若直线a、b异面，a平行于平面α，b与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一．点．向这个平面所引的垂线段和斜线段） ⑦b a,是夹在两平行平面间的线段，若 a,的位置关系为相交或平行或异面. a=，则b b ⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平 面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是
异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线） （2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 （直线与直线所成角]90,0[??∈θ）（向量与向量所成角])180,0[οο∈θ 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. （3）. 两异面直线的距离：公垂线段的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. [注]：21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能 叫1L 与2L 平行的平面） 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直. （1）. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内. （2）. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行?线面平行”） [注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） ③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之） ④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内） ⑤平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面） ⑥直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交） （3）. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行?线线
立体几何练习题及答案
… 数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体－A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为 A 1 B 和上 的点，A 1M ＝＝，则与平面1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形沿对角线折起，使平面⊥平面，E 是中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 ] 3．，，是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线 与平面所成的角的余弦值为（ ） A ．12 B 。 3 C 。 3 D 。 6 4．正方体—A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是1与1的中点，则直线与D 1F 所成角的余弦值是 A ．15 B 。13 C 。12 D 。 3 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面的中心，E 、 F 分别是1CC 、的中点，那么异面直线和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ． 5 10 B ．32 C ． 5 5 D ． 5 15
6．在正三棱柱1B 1C 1中，若2，A A 1=1，则点A 到平面A 1的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 33 D ．3 ： 7．在正三棱柱1B 1C 1中，若1,则1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） o B. 90o o D. 75o 8．设E ，F 是正方体1的棱和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对 角线中，与截面A 1成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体－A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱1和1的中点，则 〈CM ，1D N 〉的值为. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面的距离是 . 11．正四棱锥的所有棱长都相等，E 为中点，则直线与截面所成的角为 ． 12．已知正三棱柱1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则 直线与平面B 1所成角的正弦值为 . ： 13．已知边长为的正三角形中，E 、F 分别为和的中点，⊥面， 且2，设平面α过且与平行，则与平面α间的距离 A B | D C
《立体几何综合复习》教学设计
高三立体几何综合复习》教学设计 一、教材分析立体几何是高中数学的重要概念之一。最近几年高考对立体几何的要求发生了很大的变化，注重空间的平行与垂直关系的判定，淡化空间角和空间距离的考查，因此立体几何的难度和以往相比有大幅度的降。因此依据考试说明的要求在高三复习中制定以下目标： 1. 高度重视立体几何基础知识的复习，扎实地掌握基本概念、定理和公式等基础知识。 2. 复习过程中指导学生通过网络图或框图主动建构完整的知识体系，尤其要以线线、线面、面面三种位置关系形成网络，能够熟练地转化和迁移。 3. 重视模型复习，强化学生的“想图、画图、识图、解图”的能力，重视图形语言、文字语言、符号语言转化的训练。尤其重视对所画的立体图形、三视图与真实图形思维理解上的一致性。 4. 在完成解答题时，要重视培养学生规范书写，注意表述的逻辑性及准确性，要注意训练学生思考的严谨性，在计算相关量时应做到“一作、二证、三算” 。 做好本节课的复习，对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有重要的意义。 二、学情分析在传统的高中数学立体几何的学习中，采取的基本方法：面面俱到的知识点整理，典型的例题解答，课堂的跟踪训练，灌输解题规律，这种模式由于缺乏新意，学生思维难以兴奋，发散性思维受到抑制，创新意识逐渐消弱，学习的效果可想而知。因此立体几何的学习只有深入到学科知识的内部，充分调动学生的思维，触及学生的兴奋点，这样才能达到高效学习的目的。 三、设计思想在新课程理念下，在立体几何教学中我进行了研究性学习的尝试，所谓研究性学习就 是 应用研究性学习的理念、方法去指导立体几何，学生在教师的引导下尽可能地采取自主性、探究性的学习方式，不仅要注意基础知识的学习，更应该关注自身综合素质、创新意识的提高。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。 四、媒体手段 利用电子白板，幻灯片课件，几何画板软件。让学生分组自己动手利用几何画板绘制立体图形，分组讨论得出结论，充分调动学生的学习的积极性主动性，自主的发现问题，找到解决问题的方法。五、教学目标 1知识与技能
高中数学立体几何三视图专题资料讲解
高中数学立体几何三 视图专题
主视图 左视图 俯视图 3 4 2 俯视图 主视图 左视图 《三视图》 1.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如左图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 2.一个几何体的三视图如右图所示，其中，主视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为 3.知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何 体的体积是___________cm 3． （第4题） 4（山东卷6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 5四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如右图，则四棱锥P ABCD - 的表面积为__ ▲ . 3 4 2 俯视图 主视图 左视图 2 2 主视图 2 4 左视图 俯视图 （第3图） 主视图 左视图 （第7题
（第6题） 6一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 7一个几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图均为上底为2，下底为4，腰为5 的等腰梯形，俯视图为一圆环，则该几何体的体积为 ． 8.（课本改编题，新增内容）右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 9据图中尺寸（单位：cm ），可知这个几何体的表面积是 （第9题） （第8题） 10图是一个空间几何体的三视图，其主视图、左视图均为正三角形，俯视图为圆，则该几何体的侧面积为 ▲ . 2 2 2 C 2 3 1 3 （第7 主视图 左视图 俯视图 2 2 （第6
立体几何题型归类总结
立体几何题型归类总结(总8 页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除
立体几何专题复习 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ① ???????? →???????→?? ??? 底面是正多形 棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为正方形 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★② r =d 、 球的半径为R 、截面的半径为r ） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.
注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式：2 3 44,3 S R V R ππ== 球球（其中R 为球的半径）
俯视图 二、【典型例题】 考点一：三视图 1．一空间几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为_________________. 第1题 2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________. 第2题 第3题 3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 . 4．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图4所示，则此几何体的体积是 . 第4题 第5题 2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视 3 俯视图 1 1 2 a
空间立体几何建系教学设计
教学设计《向量法解决几何问题的综合应用》 教材分析: 向量法的好处在于克服传统立体几何以纯几何解决问题带来的高度的技巧性和随机性.向量法可操作性强.运算过程程序化,公式化,有效地突破了立体几何教学和学习中的难点,是解决立体几何问题的重要工具,充分体现出向量法的优越性.本节课的主要内容是在已给的条件下准确建系，之后正确求角。 学情分析： 本节课之前,学生已经掌握了利用向量法求空间中各种角的基本方法,但在没有已知的三垂直下建系会存在一定的困难 教学重点:准确建系 教学难点: 建系前的证明 教学过程： 引入：前面几节课我们以向量作为工具研究了空间中各种角的求法。其基本步骤可分为哪几步? (生: 分为三步: 一建系,写坐标 二.进行向量运算. 三将向量运算的结果翻译成几何意义)如果我们认为向量法的前提是“向量运算”，那前提就是“建系”而建系的条件是三垂直。之前，我们给的题目都有明显的三垂直，目的是让大家掌握求角的方法，所以容易建系。现在我们可以再上一个台阶。请看练习： 例一：如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面 ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，F 是AD 的中点. 提问1 ：如果给出线段长，之后让求角。那需要我们作什么工作？ 建系 提问2：有现成的三垂直吗？ 引导：如果我们完成这两个证明之后，能否建系呢？ 求证：（1）BF ⊥平面PAD ；（2）若PA=PD,求证: 平面PF ⊥平面ABCD 补充（3）若PA=AB=2，在（2）的条件下建系，写出P 、A 、B 、D 四点的坐标 变式：如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面 ABCD ，若PA=PD ，FC BF ⊥， F 是AD 的中点，试建立恰当的坐标系。（不用写坐标） 设计意图： 1.若题目给出面面垂，必然由此得到线面垂，强化面面垂直的性质定理，并明确书写的规范程
专题：立体几何三视图
专题：空间几何体的结构及其三视图 高考中对空间几何体的三视图，主要考查同学们识图、画图的能力、空间想象能力以及运算求解能力等基本能力。因此，首先要熟练掌握三视图的概念和画图要求，其次要熟悉柱、锥、台、球各种基本几何体和它们组成的简单组合体，第三要熟练各种几何体的表面积、体积的计算公式和方法，最后要熟悉如下几种基本题型。 知识纵横 1、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 2、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变； ②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。 直观图与原图面积之比为1： 3、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式： V Sh =柱 1 3 V Sh =锥 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343 R π ； S 球面=24R π 考点剖析 一．明确要求 1.了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征． 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，会用斜二测画法画出它们的直观图． 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图或直观图，了解空间图形的不同表示形式． 4.能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直观图的联系，并能进行转化. 二．命题方向 1.三视图是新增加的内容，是高考的热点和重点，几乎年年考． 2.柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质是本节内容的重点，也是难点．
立体几何复习3
张家港高级中学2010~2011学年第一学期 高二年级网校培训数学学案1 1. 如图，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE是边长为a的正三角形，ABCD为矩形，F是AB的中点，EC与平面ABCD成30 角. （1）求证：EA⊥CD； （2）求四棱锥E-AFCD的体积； （3）求二面角E-FC-D的大小； （4）求点D到平面EFC的距离. （1） 平面ADE⊥平面ABCD 平面ADE?平面ABCD=AD CD⊥AD 且CD?平面ABCD ∴CD⊥平面ADE EA?平面ADE ∴EA⊥CD
为矩形，F 是AB 的中点，EC 与平面ABCD 成30 角. （1）求证：EA ⊥CD ； （2）求四棱锥E-AFCD 的体积； （3）求二面角E-FC-D 的大小； （4）求点D 到平面EFC 的距离. （2）在面ADE 内作EH ⊥AD 于点H ，连CH 由平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ?平面ABCD=AD 得EH ⊥平面ABCD ∴∠ECH 为EC 与平面ABCD 所成的角，即30 △ADE 为边长为a 的正三角形 ∴2 ∴CH= 32 a ∴ ∴S 四边形AFCD =2 1)2 2 4 a a a +?= ∴23 13428 E AFC D V a -=?=
为矩形，F 是AB 的中点，EC 与平面ABCD 成30 角. （1）求证：EA ⊥CD ； （2）求四棱锥E-AFCD 的体积； （3）求二面角E-FC-D 的大小； （4）求点D 到平面EFC 的距离. （3）RT △EAF 中 2 2 a == 又 2C F = 2 2 2 EF FC EC ∴+= ∴CF ⊥EF 又由EH ⊥平面ABCD 得CF ⊥EH EF ?EH=E EF 、EH ?平面EFH ∴CF ⊥平面EFH FH ?平面EFH ∴CF ⊥FH ∴∠EFH 就是二面角E-FC-D 的平面角
建立空间直角坐标系-解立体几何题
建立空间直角坐标系，解立体几何高考题 立体几何重点、热点： 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等． 常用公式： 1 、求线段的长度： 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离： PN = ，（N 为垂足，M 为斜足，为平面α的法向量） 3、求直线l 与平面α所成的角：|||||sin |n PM ?= θ，(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角：cos = θ 5、求二面角的平面角θ：|||||cos |21n n ?= θ，（ 1n ，2n 为二面角的两个面的法向量） 6、求二面角的平面角θ：S S 射影 = θ cos ，（射影面积法） 7、求法向量：①找；②求：设, 为平面α内的任意两个向量，)1,,(y x =为α的法向量， 则由方程组?????=?=?0 n b n a ，可求得法向量．