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最新高考数学练习题目详解13函数的零点个数问题

【知识要点】

一、方程的根与函数的零点

（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.

（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点.

（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(

函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(

零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法

（1）二分法及步骤

对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(

第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）

第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步. 三、一元二次方程2

()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布

讨论一元二次方程2

()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组：（1）a 的符号；（2）对称轴2b

x a

=-的位置；（3）判别式的符号；（4）根分布的区间端点的函数值的符号.

四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结

函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】

【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a =+--+区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.

【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.

【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7

【例2】（2017全国高考新课标I 理科数学）已知函数2()(2)x

x f x ae a e

x =+--.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

(2) ①若0,a ≤由（1）知()f x 至多有一个零点.

②若0a >，由（1）知当ln x a =-时，()f x 取得最小值，1

(ln )1ln f a a a

-=-+. （i ）当1a =时，(ln )f a -=0，故()f x 只有一个零点. （ii ）当(1,)a ∈+∞时，由于1

1ln a a

-+>0，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点. （iii ）当0,1a ∈（）

时，1

1ln 0a a

-+<，即(ln )0f a -<. 422(2)(2)2220,f ae a e e ----=+-+>-+>故()f x 在(,ln )a -∞-只有一个零点.

00000000003

ln(1),()(2)20

ln(1)ln ,()n n n n n n f n e ae a n e n n a

a f x a

>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在（-lna,+)有一个零点.综上所述，a 的取值范围为（0,1）.

【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a ∈（）时，要先判断(,ln )a -∞的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln )0f a -<，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是4

(2)(2)2220,f a e

a e e

----=+-+>-+>要说明(2)0f ->，这里利用了放缩法，丢掉了

42ae ae --+.(3) 当0,1a ∈（）

时，要判断(ln ,)a -+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该

区间找一个函数值为正的值，它就是03

ln(1)n a

>-，再放缩证明0()f n >0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.

【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =

所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-?>-=

()()213211213f e f --<-+=-<

所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--

【点评】本题第(3)问，由于函数()f x 中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.

【反馈检测2】已知函数2

()1x e f x ax =+，其中a 为实数，常数 2.718

e =.

(1) 若1

x =

是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； (2) 当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；

(3) 当a 取正实数时，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m =有三个实数根，求a 的取值范围.

【例4】函数()lg cos f x x x =-的零点有（） A ．4 个 B ．3 个 C ．2个 D ．1个

【点评】

调性不是很方便，所以先令()lg cos 0f x x x =-=,可化为lg cos x x =,再在同一直角坐标系下画出

lg y x =和cos y x =的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活

应用.

【反馈检测3】设函数()()()2

21ln ,1,02

f x x m x

g x x m x m =

-=-+>．（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）当1m ≥时，讨论函数()f x 与()g x 图象的交点个数．

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第13讲：

函数零点个数问题的求解方法参考答案

【反馈检测1答案】C

【反馈检测2答案】（1）95a =

；（2）()f x 的单调增区间是1(1)2-，1(,12+；

()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，1(,12-，(1)++∞；

（3）a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测2详细解析】(1)222

(21)()(1)x

ax ax e f x ax -+'=+ 因为1

x =

是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，

即12910,935

a a a -+==. 而当9

5a =时，229591521(2)()()59533

ax ax x x x x -+=-+=--，

可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点.因此9

a =.

(2) 当4a =-时，222

(481)()(14)x

x x e f x x -++'=-

令()0f x '=得24810x x -++=，解得1x =，而12x ≠±.

所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是

因此()f x 的单调增区间是1(1)2，1(,12+；()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，1(,12--

，

(1)+∞；

【反馈检测3答案】（1

）单调递增区间是

)

+∞,

单调递减区间是(；（2）1．学科@网

【反馈检测3详细解析】（1）函数()f x 的定义域为()(

)(

0,,'x x f x x

+∞=．

当0x <<()'0f x <,函数()f x 单调递减，

当x >

时，()'0f x >函数()f x 单调递增，

综上，函数()f x

的单调递增区间是)

+∞,

单调递减区间是(．

（2）令()()()()2

11ln ,02

F x f x g x x m x m x x =-=-

++->,问题等价于求函数()F x 的零点个数，()()()

1'x x m F x x

--=-

,当1m =时，()'0F x ≤，函数()F x 为减函数，

综上，函数()F x 有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．

高中数学公式及常用结论大全

1. 元素与集合的关系

U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.

2.德摩根公式

();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.

3.包含关系

A B A A B B =?=U U A B C B C A ????

U A C B ?=ΦU C A B R ?=

4.容斥原理

()()card A B cardA cardB card A B =+-

()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-

5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集

有2n –2个.

6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2

()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2

()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式

()N f x M <

?|()|22

M N M N

f x +--

()0()f x N M f x ->-?11()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21

≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价0)()(21

0)(1=k f 且22211k k a b k +<-

<,或0)(2=k f 且22122k a

k k <-<+.

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数)0()(2

≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a

x 2-

=处及区间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若[]q p a b

x ,2∈-

=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a

=-=； []q p a

x ,2?-

=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a b

x ,2?-=，则()()()()

card A B card B C card C A card A B C ---+

{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.

10.一元二次方程的实根分布

依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则

（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402

p q p m ?-≥?

?->??；

（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402

f m f n p q p m n >??>??

?-≥?

?<-?或

()0

f n af m =??

>?；（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402

p q p m ?-≥?

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式

(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥?.

(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是

(,)0()man f x t x L ≤?.

(3)0)(2

4>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是0

00a b c ≥??≥??>?

或2040a b ac

12.真值表

13.常见结论的否定形式

14.四种命题的相互关系

15.充要条件

（1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件.

（3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性

(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么

[]1212()()()0x x f x f x -->?[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2121在?>--上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?<--上是减函数.

(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.

17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数

)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.

18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则

)()(a x f a x f +-=+.

20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2

a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x

b f y -= 的图象关于直线2b

a x +=

对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a

对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数

)(x f y =为周期为a 2的周期函数.

22．多项式函数1

10()n n n n P x a x a x a --=++

+的奇偶性

多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性

(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=. (2)函数()y f x =图象关于直线2

a b

x +=对称()()f a mx f b mx ?+=-()()f a b mx f mx ?+-=. 24.两个函数图象的对称性

(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b

x m

+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1

x f

y -=的图象关于直线y=x 对称.

25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线

0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.

26．互为反函数的两个函数的关系a b f

b a f =?=-)()(1

27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11

b x f k

y -=

-,并不是)([1

b kx f y +=-,而函数

)([1

b kx f

y +=-是])([1

b x f k

y -=

的反函数.

28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x

f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.

(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α

=,'

()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，

()()()()()f x y f x f y g x g y -=+

()

(0)1,lim

1x g x f x

→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；

（2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1

)(≠=

+x f x f a x f ，或1()()

f x a f x +=-(()0)f x ≠,

或

[]1

(),(()0,1)2

f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ；

(3))0)(()

1)(≠+-

=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；

(4))

()(1)

()()(212121x f x f x f x f x x f -+=

+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =?≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；

(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++

()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；

(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 30.分数指数幂

(1)m n

（0,,a m n N *

>∈，且1n >）.

(2)1

m n

=（0,,a m n N *

>∈，且1n >）.

31．根式的性质

（1

）n

a =.

（2）当n

a =；当n

||,0

a a a a a ≥?==?-

32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r

r s

a a a

a r s Q +?=>∈.

(2) ()(0,,)r s

a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r r

ab a b a b r Q =>>∈.

注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p

表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.

34.对数的换底公式

log log log m a m N

N a

(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).

推论 log log m n

a a n

b b m

(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35．对数的四则运算法则

若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a

a a M

M N N

=-; (3)log log ()n

a a M n M n R =∈.

36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42

-=?.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0

若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥?.对于0=a 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广

若0a >,0b >,0x >,1

x a ≠

,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1

(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.

(2)当a b <时,在1(0,)a 和1

(,)a

+∞上log ()ax y bx =为减函数.

推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则（1）log ()log m p m n p n ++<.

（2）2

log log log 2

a a a m n

m n +<. 38. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x

y N p =+. 39.数列的同项公式与前n 项的和的关系

11,

1,2

n n n s n a s s n -=?=?

-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).

40.等差数列的通项公式

*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；

其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=

1(1)2n n na d -=+211

()22

d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式

1*11()n n

n a a a q q n N q

-==

?∈；其前n 项的和公式为11

(1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=?或11,11,1

n n a a q

q q s na q -?≠?

-=??=?.

42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1

(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=??

=+--?≠?-?；

其前n 项和公式为(1),(1)

1(),(1)111n n nb n n d q s d q d

b n q q q q +-=??

=-?-+≠?---?

. 43.分期付款(按揭贷款)

每次还款(1)(1)1

ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式 (1)若(0,

x π

∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0,

x π

∈

，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. 45.同角三角函数的基本关系式

22sin cos 1θθ+=，tan θ=

cos sin ，tan 1cot θθ?=. 46.正弦、余弦的诱导公式

2(1)sin ,sin()2(1)s ,

n n co απαα-?

-?+=??-?

47.和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.

sin cos a b αα+

)α?+(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b

). 48.二倍角公式

sin 2sin cos ααα=.

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.

2tan tan 21tan α

αα

-. 49. 三倍角公式

3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππ

θθθθθθ=-=-+.

3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππ

θθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33

θθππ

θθθθθ-==-+-.

50.三角函数的周期公式

函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T π

=；

函数tan()y x ω?=+，,2

x k k Z π

π≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T π

. 51.正弦定理

2(1)s ,s()2(1)sin ,

n co n co απαα+?

-?+=??-?

2sin sin sin a b c

R A B C

===. 52.余弦定理

2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.

53.面积定理

(1)111

222a b c S ah bh ch =

==（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. (2)111

sin sin sin 222

S ab C bc A ca B ===.

(3)OAB S ?=

54.三角形内角和定理

在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+

222

C A B π+?

=-222()C A B π?=-+. 55. 简单的三角方程的通解

sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=?=+-∈≤.

s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=?=±∈≤. tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=?=+∈∈.

特别地,有

sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=?=+-∈.

s cos 2()co k k Z αβαπβ=?=±∈. tan tan ()k k Z αβαπβ=?=+∈.

56.最简单的三角不等式及其解集

sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤?∈++-∈. sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤?∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤?∈-+∈. cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤?∈++-∈.

tan ()(arctan ,),2

x a a R x k a k k Z π

ππ>∈?∈++∈.

tan ()(,arctan ),2

x a a R x k k a k Z π

ππ<∈?∈-

+∈.

57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理

如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．

不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示

设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ?-=.

61.a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ．

a ·

b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算

(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.

(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式

cos θ=

(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).

64.平面两点间的距离公式

,A B d =||AB AB AB =

?=11(,)x y ，B 22(,)x y ).

65.向量的平行与垂直

设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ?b =λa 12210x y x y ?-=.

a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y y ?+=. 66.线段的定比分公式

设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则

1212

11x x x y y y λλλλ+?=??+?+?=?+?

?12

1OP OP OP λλ+=+?12

(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式

△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是

123123

(

,)33

x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式

x x h x x h y y k y y k

??=+=-?????=+=-????''

OP OP PP ?=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'

PP 的坐标为(,)h k .

69.“按向量平移”的几个结论

(1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'

(,)P x h y k ++.

(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'

C ,则'

C 的函数解析式为()y f x h k =-+. (3) 图象'

C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'

C 的函数解析式为

()y f x h k =+-.

(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'

C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件

设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ?的外心2

OA OB OC ?==. （2）O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=.

（3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?.

（4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=. （5）O 为ABC ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+. 71.常用不等式：

（1）,a b R ∈?22

2a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．

（2）,a b R +

∈?

a b

+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3

33(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>

（4）柯西不等式 2

()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理

已知y x ,都是正数，则有

（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值24

1s . 推广已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(2

2+-=+

（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小. （2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.

73.一元二次不等式2

0(0)ax bx c ++><或2

(0,40)a b ac ≠?=->，如果a 与2

ax bx c ++同号，则其

解集在两根之外；如果a 与2

ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

121212()()0()x x x x x x x x x <?--><或.

74.含有绝对值的不等式当a> 0时，有

2x a x a a x a

22x a x a x a >?>?>或x a <-.

75.无理不等式

用好零点”,证明函数不等式高考数学压轴题之函数零点问题

“用好零点”，证明函数不等式类型一设而不求，应用函数零点存在定理例1.【四川省泸州市2019届高三二诊】已知函数．（1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围；（2）求证：时，．类型二设而不求，应用不等式性质例2.【广东省揭阳市2019届高三一模】已知函数（，e是自然对数的底，）（1）讨论的单调性；（2）若，是函数的零点，是的导函数，求证：．类型三代入零点，利用方程思想转化证明零点之间的关系例3.【湖南师大附中2019届高三月考试题（七)】已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性；（2）若有两个相异零点，求证：. 类型四利用零点性质，构造函数证明参数范围例4．【山东省临沂市2019届高三2月检测】已知函数． (1)判断的单调性； (2)若在(1，+∞)上恒成立，且=0有唯一解，试证明a<1． 1．【广东省揭阳市2019届高三一模】设函数，（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个零点、，求证：． 2．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】已知函数有两个零点．求实数a的取值范围；

若函数的两个零点分别为，，求证：． 3.【宁夏银川市2019年高三下学期检测】已知函数. （1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，证明：（其中为自然对数的底数）． 4．已知函数f （x ）=lnx+a （x ﹣1）2 （a ＞0）．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）在区间（0，1）内有唯一的零点x 0，证明：． 5. 已知函数f （x ）=3e x +x 2 ，g （x ）=9x ﹣1．（1）求函数φ（x ）=xe x +4x ﹣f （x ）的单调区间；（2）比较f （x ）与g （x ）的大小，并加以证明． 6. 已知函数f （x ）=lnx ﹣x+1，函数g （x ）=ax?e x ﹣4x ，其中a 为大于零的常数．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）求证：g （x ）﹣2f （x ）≥2（lna ﹣ln2）． 7.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知函数，其导函数的最大值为. （1）求实数的值；（2）若，证明： . 8．【山东省日照市2017届高三下学期一模】设(e 为自然对数的底数)，． (I)记，讨论函单调性； (II)令，若函数G(x )有两个零点． (i)求参数a 的取值范围； (ii)设的两个零点，证明． 9．已知函数()()()2 ln 10f x x a x a =+->. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，证明： 3 12 0e x e - -<<. 10．已知函数()1x f x e ax =--，其中e 为自然对数的底数， a R ∈

专题03 “用好零点”,证明函数不等式-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(原卷版)

专题三“用好零点”，证明函数不等式函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕高考压轴题中已知零点（零点个数），证明函数不等式问题，例题说法，高效训练. 【典型例题】类型一设而不求，应用函数零点存在定理例1.【四川省泸州市2019届高三二诊】已知函数．（1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围；（2）求证：时，．类型二设而不求，应用不等式性质例2.【广东省揭阳市2019届高三一模】已知函数（，e是自然对数的底，）（1）讨论的单调性；（2）若，是函数的零点，是的导函数，求证：．类型三代入零点，利用方程思想转化证明零点之间的关系例3.【湖南师大附中2019届高三月考试题（七)】已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性；（2）若有两个相异零点，求证：. 类型四利用零点性质，构造函数证明参数范围例4．【山东省临沂市2019届高三2月检测】已知函数． (1)判断的单调性； (2)若在(1，+∞)上恒成立，且=0有唯一解，试证明a<1．【规律与方法】应用函数的零点证明不等式问题，从已知条件来看，有两类，一类是题目中并未提及函数零点，二一

类是题目中明确函数零点或零点个数；从要求证明的不等式看，也有两种类型，一类是求证不等式是函数值的范围或参数的范围，二一类是求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系. 1.由于函数零点存在定理明确的是函数值满足的不等关系，所以，通过设出函数的零点，利用函数零点存在定理，可建立不等关系，向目标不等式靠近，如上述类型一；也可以利用不等式的性质，向目标不等式靠近，如上述类型二，这两类问题突出的一点是“设而不求”． 2. 当求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系时，则注意将零点代入函数式，构建方程（组），进一步确定零点之间的关系，然后在通过求导、分离参数、构造函数等手段. 【提升训练】 1．【广东省揭阳市2019届高三一模】设函数，（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个零点、，求证：． 2．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】已知函数有两个零点．求实数a的取值范围；若函数的两个零点分别为，，求证：． 3.【宁夏银川市2019年高三下学期检测】已知函数. （1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，证明：（其中为自然对数的底数）． 4．已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：． 5. 已知函数f（x）=3e x+x2，g（x）=9x﹣1．（1）求函数φ（x）=xe x+4x﹣f（x）的单调区间；（2）比较f（x）与g（x）的大小，并加以证明． 6. 已知函数f（x）=lnx﹣x+1，函数g（x）=ax?e x﹣4x，其中a为大于零的常数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：g（x）﹣2f（x）≥2（lna﹣ln2）． 7.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知函数，其导函数的最大值

函数导数压轴题隐零点的处理技巧

函数导数压轴题隐零点的处理技巧些年高考压轴题中，用导数研究函数的单调性、极值、最值及不等式问题成为命题趋势。用导数解决函数综合问题，最终都会归结于函数的单调性的判断，而函数的单调性又与导函数的零点有着密切的联系，可以说函数的零点的求解或估算是函数综合问题的核心。函数的零点是高中数学中的一个极其重要的概念，经常借助于方程、函数的图象等加以解决。根据函数的零点在数值上是否可以准确求出，我们把它分为两类：一类是在数值上可以准确求出的，不妨称之为显性零点；另一类是依据有关理论(如函数零点的存在性定理)或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点。本专题通过几个具体的例题来体会隐性零点的处理步骤和思想方法。一、隐性零点问题示例及简要分析： 1.求参数的最值或取值范围例1(2012年全国I卷)设函数f(x)=e x﹣ax﹣2． (1)求f(x)的单调区间； (2)若a=1，k为整数，且当x＞0时，(x﹣k)f′(x)+x+1＞0，求k的最大值．解析：(1)(略解)若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在R上单调递增；若a＞0，则f(x)的单调减区间是(﹣∞，ln a)，增区间是(ln a，+∞)． (2)由于a=1，所以(x﹣k)f′(x)+x+1=(x﹣k)(e x﹣1)+x+1．故当x＞0时，(x﹣k)f′(x)+x+1＞0等价于k＜ 1 1 x x e + - +x(x＞0)(*)，令g(x)= 1 1 x x e + - +x，则g′(x)= 2 (2) (1) x x x e e x e -- - ，而函数f(x)=e x﹣x﹣2在(0，+∞)上单调递增，①f(1)＜0，f(2)＞0，所以f(x)在(0，+∞)存在唯一的零点．故g′(x)在(0，+∞)存在唯一的零点．设此零点为a，则a∈(1，2)．当x∈(0，a)时，g′(x)＜0；当x∈(a，+∞)时，g′(x)＞0．所以g(x)在(0，+∞)的最小值为g(a)． ③所以g(a)=a+1∈(2，3)．由于(*)式等价于k＜g(a)，故整数k的最大值为2．点评：从第2问解答过程可以看出，处理函数隐性零点三个步骤： ①确定零点的存在范围(本题是由零点的存在性定理及单调性确定)； ②根据零点的意义进行代数式的替换； ③结合前两步，确定目标式的范围。

复合函数零点个数问题

复合函数、分段函数零点个数问题 1.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．．的是【】 A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 2、已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且 5.已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是【】 A ．13 B ．16 C ．18 D ．22 6 已知函数31+,>0()3,0x x f x x x x ??=??+≤? ，则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数不可能．．．为【】 A 3 B 4 C 5 D 6 7．已知函数f(x)＝????? ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。则下列关于函数y ＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是【】（A ）当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点（B ）当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点