湍流模型概述

创作编号：

GB8878185555334563BT9125XW

创作者：凤呜大王*

大多数飞行器都是在高Re数下飞行，表面的流态是湍流。为了准确地确定湍流流态下的摩阻、热流，湍流成为一个重要而困难的研究课题。

（一）DNS

目前处理湍流数值计算问题有三种方法，第一种方法即所谓直接数值模拟方法（DNS方法），直接求解湍流运动的N-S方程，得到湍流的瞬时流场，即各种尺度的随机运动，可以获得湍流的全部信息。随着现代计算机的发展和先进的数值方法的研究，DNS方法已经成为解决湍流的一种实际的方法。但由于计算机条件的约束，目前只能限于一些低Re数的简单流动，不能用于工程应用。目前国际上正在做的湍流直接数值模拟还只限于较低的需诺数(Re～200)和非常简单的流动外形，如平板边界层、完全发展的槽道流，以及后台阶流动等。用直接数值模拟方法处理工程中的复杂流动问题，即使是当前最先进的计算机也还差三个量级。

（二）LES

另一种方法称做大涡模拟方法（LES方法）。这是一种折衷的方法，即对湍流脉动部分直接地模拟，将N-S方程在一个小空间域内进行平均（或称之为滤波），以使从流场中去掉小尺度涡，导出大涡所满足的方程。小涡对大涡的影响会出现在大涡方程中，再通过建立模型（亚格子尺度模型）来模拟小涡的影响。由于湍流的大涡结构强烈地依赖于流场的边界形状和边界条件，难以找出普遍的湍流模型来描述具有不同的边界特征的大涡结构，宜做直接模拟。相反地，小尺度涡对边界条件不存在直接依赖关系，而且一般具有各向同性性质。所以亚格子模型具有更大的普适性，比较容易构造，这是它比雷诺平均方法要优越的地方。自从1970年Deardorff第一次给出具有工程意义的LES计算以来，LES方法已经成为计算湍流的最强有力的工具之一，应用的方向也在逐步扩展，但是仍然受计算机条件等的限制，使之成为解决大量工程问题的成熟方法仍有很长的路要走。

（三）RANS

目前能够用于工程计算的方法就是模式理论。所谓湍流模式理论，就是依据湍流的理论知识、实验数据或直接数值模拟结果，对Reynolds应力做出各种假设，即假设各种经验的和半经验的本构关系，从而使湍流的平均Reynolds方程封闭。随着计算流体力学的发展，湍流模式理论也有了很大的进步，有了非常丰硕的成果。从对模

式处理的出发点不同，可以将湍流模式理论分类成两大类：一类称为二阶矩封闭模式，另一类称涡粘性封闭模式。

（1）雷诺应力模式

所谓二阶矩封闭模式，是从Reynolds 应力满足的方程出发，将方程右端未知的项（生成项，扩散项，耗散项等）用平均流动的物理量和湍流的特征尺度表示出来。典型的平均流动的变量是平均速度和平均温度的空间导数。这种模式理论，由于保留了Reynolds 应力所满足的方程，如果模拟的好，可以较好地反映Reynolds 应力随空间和时间的变化规律，因而可以较好地反映湍流运动规律。因此，二阶矩模式是一种较高级的模式，但是，由于保留了Reynolds 应力的方程，加上平均运动的方程整个方程组总计15个方程，是一个庞大的方程组，应用这样一个庞大的方程组来解决实际工程问题，计算量很大，这就极大地限制了二阶矩模式在工程问题中的应用。

（2）涡粘性模式

在工程湍流问题中得到广泛应用的模式是涡粘性模式。这是由Boussinesq 仿照分子粘性的思路提出的，即设Reynolds 应力为，

ij ij k k i j j i T j i k U U U u u δδν3

2

)32(,,,+++-= （） 这里j i u u k 2

1

=

是湍动能，T ν称为涡粘性系数，这是最早提出的基准涡粘性模式，即假设雷诺应力与平均速度应变率成线性关系，当平均速度应变率确定后，六个雷诺应力只需要通过确定一个涡粘性系数T ν就可完全确定，且涡粘性系数各向同性，可以通过附加的湍流量来模化，比如湍动能k ，耗散率ε，比耗散率ω以及其它湍流量

ετ/k =，ε/2/3k l =，k q =，根据引入的湍流量的不同，可以得到不同的涡

粘性模式，比如常见的ε-k ，k-w 模式，以及后来不断得到发展的τ-k ，q -w ，k-l 等模式，涡粘性系数可以分别表示为 ενμ/2

k C T =，ω

νμ

k

C T =，τνμk C T =，ω

νμ

2

q C T =，.l k C T μν=

为了使控制方程封闭，引入多少个附加的湍流量，就要同时求解多少个附加的微分方程，根据求解的附加的微分方程的数目，一般可将涡粘性模式划分为三类：零方程模式，半方程模型，一方程模式，两方程模式。 1） 零方程模式

所谓零方程模式是试图直接用平均流动物理量模化T ν，而不引入任何湍流量（如

ε,k 等）。例如，Prandttl 的混合长理论就是一种零方程模式：

y

U

l T ??∝2

ν （5.7）

式中l 称为混合长。

在零方程模式的框架下，得到最为广泛应用的是Baldwin-Lomax 模式

[22]

。该模式

是对湍流边界层的内层和外层采用不同的混合长假设。这是因为靠近壁面处，湍流脉动受到很大的抑制，含能涡的尺度减小很多，因此长度尺度减小很多；另一方面，在边界层外缘，湍流呈间歇状，质量、动量和能量的输运能力大大下降，即湍流的扩散能力减小。这样，应用混合长理论来确定涡粘性系数在这两个不同的区域应该有不同的形式。Baldwin-Lomax 模式的具体数学描述如下。

??

?>≤=c

ont

T c inn

T T y y y y )()(ννν （5.8）

这里c y 是ont inn )()(T T νν=的离壁面最小距离y 值。 对于内层，即c y y ≤，有

Ω=2

T )(l inn ν

（5.9）

Ω是涡量，l U j k ijk ,

,ε=Ω是长度尺度

))/(1(+

+

--=A y exy ky l （5.10）

其中k=0.4是Karman 常数，A +

是模化常数，+

y 是无量纲法向距离：

w y U y ντ/=+

而τu 是摩擦速度，其含义为

,w

y

U u ??=ν

τ

此处下标w 表示壁面。 对于外层，即c y y >，有

)(()(T y F F kleb wake out =ν （5.11） 其中

)/,min(max 2

max max max F U y C F y F dif wk wake =

max F 是下列函数的最大值： ))/ex p(1()(++--Ω=A y y y F

而m ax y 是)(y F 达到最大值的位置。kleb F 是所谓的Klebanoff 间歇函数：

1

6max )(5.51)(-???

?

???+=y y C y F kleb kleb dif U 是平均速度分布中最大值和最小值之差。

几个模化常数的值如下：

.4.0;,0.1;3.0;

02668.0;

0.26=====+

K C C C A wk kleb

由上述模化关系中可以看出，Reynolds 应力完全地由当时当地的平均流参数用代数关系式所决定。平均流场的任何变化立刻为当地的湍流所感知，这表明零方程模式是一个平衡态模式，假定湍流运动永远处于和平均运动的平衡之中。实际上对大多数湍流运动而言，并非如此，特别是对平均流空间和时间有剧烈变化的情形，再有因为坐标y 显式地出现在湍流模式中，零方程模式不具有张量不变性，当将它应用到复杂几何外形的流动的数值模拟会带来困难。当流动发生分离时，Baldwin-Lomax 模式会遇到困难，这是因为在分离点和再附点附近，摩擦速度τu 为零，此时要引入一些人为的干涉来消除这些困难。

计算实践表明，只要流动是附体的，零方程模式一般都可以较好地确定压强分布，但是摩阻和传热率的估算不够准确，特别是当流动有分离和再附时。这是因为附体流压强分布对湍流应力不敏感。总之，对附体流动，如果只关心压强分布，应用零方程模式通常可以给出满意的结果，而且模式应用起来十分简便。但是对于我们计算摩阻的需求，零方程模式是不能满足要求。对于有分离、再附等复杂流动，零方程模式是不适用的。 2） 半方程模式

为了能计算具有较强压强梯度，特别是较强逆压梯度的非平衡湍流边界层,Johnson-King 于1985年提出了一个非平衡代数模型，该模型仍采用涡粘性假设，把涡粘性的分布与最大剪切应力联系在一起，内层涡粘性与外层涡粘性分布用一个指数函数作光滑拟合，外层涡粘性系数作为一个自由参数，由描述最大剪切应力沿流向变化的常微分方程来确定，此常微分方程是由湍流动能方程导出的，故此模型又称为半方程模型。JK 模型虽然仍采用涡粘性假设，却包含有雷诺应力模型的特点。由于求解常微分方程比一方程，二方程模型中求解偏微分方程要简单，省时的多，故用JK 模型的工作量只略高于通常平衡状态的零方程代数模型的工作量

JK 模型后又经不断修正，发展了JK1990A ，JK1990J 以及JK1992等改进型 3） 一方程模式

Baldwin-Barth(BB) 模型是在二方程模型中，将某一导出的应变量作为基本物理量而得到的，应用此一方程模型可避免求解两方程时会遇到的某些数值困难。BB 一方程模型所选择的导出应变量为“湍流雷诺数”Rt 。BB 模型对计算网格的要求低，壁面的网格可以与采用BL 代数模型的相当，而不象两方程k-e 模型那样要求壁面网格很细，这样就避免了在k-e 模型中流场求解的刚性问题。

Spalart-Allmaras(SA)模型与BB 模型不同，不是直接利用k-e 模型两方程模型加

于简化而得，而是从经验和量纲分析出发，由针对简单流动在逐渐补充发展而适用于带有层流流动的固壁湍流流动的一方程模型，模型中选用的应变量是与涡粘性T

ν相关的量ν~，除在粘性次层外，ν~与T

ν是相等的。 上述两种一方程模型具有相似的特点，它们不象代数模型那样需要分为内层模型，外层模型或壁面模型，尾流模型，同时亦不需要沿法向网格寻找最大值，因此易于用到非结构网格中去；但由于在每个时间步长内，需要对整个流场求解一组偏微分方程，故比BL 和JK 模型更费机时 4） 两方程模式 2.1 k-ε两方程模式 2.1.1 标准k-ε两方程模式

k-ε模式是最为人所知和应用最广泛的两方程涡粘性模式，为积分到壁面的不可压缩/可压缩湍流的两方程涡粘性模式，各种不同版本的k-ε模式常见于各种文献中，选择Jones-Launder 模式作为一般性介绍。

k-ε模式最初的发展是为了改善混合长(mixing-length)模式和避免复杂流动中湍流长度尺度(turbulent length scale)的代数表示(algebraic prescription)。它求解两个湍流标量k 和ε的输运方程。k 方程表示湍动能输运方程，ε方程表示湍动能的耗散率。

创作编号：

GB8878185555334563BT9125XW

创作者： 凤呜大王*

该模式对较小压力梯度(relatively small pressure gradients)下的自由剪切流(free-shear-layer flows)具有较好的结果。对于壁面流动(wall bounded flows)，在零或者小平均压力梯度下，模式结果和实验结果符合得较为一致，但是对大的逆压梯度(adverse pressure gradients)，其结果就不太正确了。另外，在壁面附近，该模式需要壁面衰减函数(wall-damping functions)和较好的网格分布。 a. 模式方程

雷诺应力的涡粘性模型为

32)3(2ij ij nn ij t j tij k S S u u δρδμρτ--=-=

这里t μ为涡粘性(eddy viscosity)，ij S 为平均速度应变率张量(mean-velocity strain-rate tensor)，ρ:A∑??，k 为湍动能，ij δ为克罗内克算子(Kronecker delta)。涡粘性定义为湍动能k 和湍流耗散率ε的函数

ερμμμ2k f c t =

基于量纲分析，涡粘性由流体密度ρ，湍流速度尺度 (turbulent velocity scale)

2k 和长度尺度 (length-scale) ε23k 来标度，衰减函数μf 由湍流雷诺数εμρ2Re k t =来模化。

湍流输运方程可表示成以下形式 湍流能量输运方程

k ij tij j

k j j j

S x k

x k u x t k φ+-=???

?

?

??????? ??

+-????

+??ρετσμμρρτ

能量耗散输运方程

εεεετ

ερτεε

σμμερρεφ2221+-=???

?

?

??????? ??

+-??

+??k f c S k c x u x t ij tij j

j j

这里右端项分别表示生成项(production term)耗散项(dissipation term)和壁面项(wall term)。 b. 模式常数和参数

模式中各常数的定义为

09.0=μc 45.11=εc 92.12=εc

0.1=k σ 3.1=εσ 9.0Pr =t

近壁衰减函数

)

Re exp(3.01))Re 02.01(4.3exp(222

t t f f --=+-=μ 和 με

ρ2Re k t =

壁面项

2

2φ???? ????=y

k

k μ 和 2

222φ???

?

????=y u s t ρμμε 这里s u 为平行于壁面的流动速度。

c. 边界条件

积分到壁面的无滑移边界条件为

0=k 0=ε

2.1.2 可实现性ε-k 模式

上述标准ε-k 模式，对于高平均切变率流动会出现非物理的结果（例如当

7.3/>εSk 时，其中ij ij S S S 2=）。为了保证模式的可实现性，模式函数μC 不应

该是常数，而应当是平均庆变率的函数。实验表明，对边界层流动和均匀切变流，μC 的值是非常不同的。为此人们根据可实现性对模式的约束条件，建议采用以下形式的

μC （Reynolds, 1987, Shih, 1994）

ε

μk

U A A C s *

01+=

（5.19）

式中

k

ijk ij ij k

ijk ij ij ij

ij ij ij S S U ωεωε-Ω=Ω-Ω=ΩΩΩ+=2**

**

而ij Ω是在以角速度k ω旋转的旋转坐标系中得到的平均旋转速率。

.

~,~)

6(cos 3

1

,cos 631ij ij ki jk ij s S S S S

S S S W w A ====-??

（5.20）

上述关系式中唯一未确定的系数是A 。为简单起见，可以设其为常数。对边界层流动。可以取A 0 = 4.0。对其他流动，A 0的数值可以调节。 2.1.3 低Reynolds 数ε-k

上述几种ε-k 模式适用于高Reynolds 数情形。但是对近壁区，湍流需诺数很低，对湍流动力学而言粘性效应非常重要，此时湍流Reynolds 数的效应必须加以考虑。我们研究摩阻的计算关注的恰恰是近壁区，因此低Reynolds 数ε-k 模式的研究是十分重要的。

现将有关结果整理如下：

低Reynolds 数下的涡粘性和ε-k 模式方程为

ε

ενρμμμ)

(+=k k f c T

（5.22）

)

23.5()()()(,,,,,ρε

ρσμ

μρρ--??????+=+j i j i j

j k T i i t U u u k k U k j

j T j

j T i i t S S C k f C S f c U ,,32

2211,,,,)()()(ρμμενερερεσμμερερε++-+??????+=+

式中

)

3

2

(32)(2

1

,2,,,,,ij k k i j j i T ij j i i j j i ij ij ij U U U k u u U U S S S S δμδρρ-++-=-+=

=

所有模化常数如下：

(

){}

(){}

?

??

?

??--='+'+'+'+'--=++++--=-==

ΩΩ+=

====??

?

?

??+=+=

36exp 22.01exp 1exp 13

1,2

.1,0.10

.1,9.15,43.0max 4122554433

2

2

1

1

554433221,*

***

321*

t ij

k k ij ij ij ij ij ij k s R f R a R a R a R

a R a f R a R a R a R a R a f U S S Sk

S S U C C C k

U A C μεμδε

ησσηηε

其中

ε

νε

νεν2

2

32

1,

)

(k R k k R t =

+=

此处μf 和21,f f 称为阻尼函数，是一个经验公式用来反映近壁区低雷诺数效应，系数i i a a '和列表如下：

I

1 2 3 4 5 i a 3.3×10-3

-6.0×10-5

6.6×10-7

-3.6×10-9

8.4×10-12

i a '

2.53×10-3

-5.7×10-5

6.55×10-7

-3.6×10-9

8.3×10-12

2.1.4 常见k-ε两方程模式

在文献中有许多种ε-k 涡粘性模式。为了便于比较，我们将几种常见的ε-k 模式作一归类。它们的主要区别一是在ε和k 的方程及其边界条件，另一方面是阻尼函数μf 的取法。

作编号：

GB8878185555334563BT9125XW 作者： 凤呜大王*

模 式 代 号

作 者

Ch Chien, 1982 LB Lam and Bremhorst, 1981 NT Nagano and Tagawa, 1990 LS Launder and Sharma, 1974 MK Myong and Kasagi, 1988 YS Yang and Shih, 1991 S&L Shih and Lumley, 1993 CMOTT

Zhu and Shih, 1995

所有上述八种模式都可以用一个统一的方程组表示：

Γ=k f C t ρμμμ (5)

D x U x k x dt k d j i

tij i k t

i

+-??+???

??????????? ?

?+??

=ρετσμμρ (6)

E f C x U f C x x dt d j i tij i t i

+Γ-??Γ+???

??????????? ??+??=ε

ρτεσμμεεεε22111 (7) 有关的项，D ，E ，T 列表如下：

Model

T

D

E

Ch

εk

2

2y k ν-

)5.0ex p(22+

--

y y

εν LB εk

NT ε

k 0 0

LS

εk

2

2???

? ?

???-y

k ν

2

2

22???

? ?

???y U T νν

MK ε

k

YS

εε

ν+k

2

22?

??? ????y U T νν

S&L εk

0 2

22?

??? ????y U T νν

CMOTT ε

k 0 2

22?

??

? ????y U T νν

阻尼函数21,f f f 和μ对不同的模式有不同的表示式。

Model

μf

1f

2f

Ch

)115.0ex p(1+

--y

作编号：GB8878185555334563BT9125XW 作者： 凤呜大王*

)36

ex p(22.12

t R --

1

LB

)5.201()1(2

165.0t

R R e

k

+--

3

05.1???

? ??+μf

)ex p(12t R --

NT

???

?

??+?????

????? ??--+4/32

1

.4126ex p 1t R y 1

2

2

)]

6

ex p(1[)])5.6(

ex p(3.1[+--?--y R t

LS

???

? ??+-2)50/1(4.3exp t R

1

)ex p(3.12t R --

MK

))70exp(1)(45

.31(+

--+y R t

1

2

2)]

5

exp(1[)]

36

exp(92

1[+--?--y R t

YS

)

825004.ex p(14

3

2

8

6

5+-+-+-+-+---y e y

e y e y 1

)36ex p(22.12

t R --

S&L

)

825004.ex p(1432

8

6

5+-+-+-+-+---k

k

k k R e R

e R e R 1

)36ex p(22.12

t R --

CMOTT

)

825004.ex p(1432

8

6

5+-+-+-+-+---k

k

k k R e R

e R e R 1

)36

ex p(22.12

t R --

式中t k R y R 和+

,定义为

.,,2

ε

νν

ν

τk R y

u y y

k R t k =

=

=

+

模式中出现的模化常数分别为

Model μC

1εC

2εC

k σ

εσ

Ch .09 1.35 1.80 1.0 1.3 LB .09 1.44 1.92 1.0 1.3 NT

.09

1.45

1.90

1.4

1.3

LS .09 1.44 1.92 1.0 1.3 MK .09 1.40 1.80 1.4 1.3 YS .09 1.44 1.92 1.0 1.3 S&L .09

1.44 1.92 1.0 1.3 CMOT T

q E (5.19)

1.44

1.92

1.0

1.3

对不同的模式有不同的处理连界条件的方法：

Model

w k for C B ..

w for C B ε..

Ch

LB 0

22y k ??ν

NT 0 2

2y k ??ν

LS 0

MK 0

2

2y k ??ν

YS 0

2

2???

? ?

???y k ν

S&L

2

25.0τ

u ?

ν

τ4

251.0u ?

CMOTT

2

25.0τ

u ?

ν

τ4

251.0u ?

2.2 其它双方程模式

涡粘性系数的量纲为速度×长度，当用ε,k 来模化时，它们之间的关系为

ενμ/2k C T =。我们注意到，对标准ε-k 模式的ε方程，在固壁上有奇点问题（壁

面上湍动能0=k ），这是因为模式不尽合理带来的非物理的奇点。此外在计算中由于ε,k 在壁面附近变化剧烈，必须在物面附近将网格划分得非常小，才能得到合理的

结果。为了克服这些困难，人们试图寻找其它的湍流量来代替ε,k 。可能的选择有

,,/,/,/2/3k q k l k k ====εετεω相应地，涡粘性系数可表示成：

.,,,2

l k C q C k C k

C T T T T μμ

μμ

νω

ντνω

ν====

现在就来介绍几种典型的模式： 2.2.1 k-w 两方程模式 (Wilcox)

k-ω模式是最为人所知和应用最广泛的两方程涡粘性模式，为积分到壁面的不可压缩/可压缩湍流的两方程涡粘性模式，最主要文献来自Wilcox 。

求解湍动能k 和它的,,/,/,/2/3k q k l k k ====εετεω (specific

dissipation rate)的对流输运方程

已经证明Wilcox k-ω模式在粘性子层比k-ε具有更好的数值稳定性。由于壁面附近，ω值较大，模式不象k-ε模式或者其它两方程模式，它不需要显式的壁面衰减函数。对于比较缓的逆压梯度流动，该模式在对数区域给出的结果和实验数据较为符合。 a. 模式方程

雷诺应力的涡粘性模型为

32)3(2ij ij nn ij t tij k S S δρδμτ--=

这里t μ为涡粘性(eddy viscosity)，ij S 为平均速度应变率张量(mean-velocity strain-rate tensor), ρ:A∑??, k 为湍动能, ij δ为克罗内克算子(Kronecker delta)。涡粘性定义为湍动能k 和比耗散率ω的函数

ωρμk t =

k 和ω的输运方程为

k -S )(*ij *ρωβτμσμρρtij j t j j x k k u x t k =???

?

?

?

??+-??

+?? 2ij -S )(βρωτωαωσμμωρρωtij j t j j

k x u x t =???

?

?

?

??+-??

+?? b. 模式常数和参数

模式中各常数的定义为

95=

α 403=β 100

9*

=β

5.0=σ 5.0*=σ 9.0Pr =t

c. 边界条件

对边界层流动，壁面无滑移边界条件为

0=k 和 2

1)

(610

y βρμ

ω= 这里y 1为离开壁面第一个点的距离，且y 1+

<1。

对称边界条件采用零梯度条件，各种附加的边界条件将在具体流动中讨论。 2.2.2 SST 两方程模式(Menter)

k-ω SST 剪切应力输运(shear-stress-transport)模式在近壁处采用Wilcox k-ω! (≠ΛB≠ (boundary layer edges)和自由剪切层(free-shear layers)采用k-ε! ( k-ωβ ) ?? ? *? ?π(blending function )ε?! ⊥?积分到壁面的不可压缩/可压缩湍流的两方程涡粘性模式。

为了有效结合k-ω?k-ε模式，统一写成k-ω形式 a. 模式方程

涡粘性定义为

()

211;max F a k

a T Ω=

ων 这里Ω是涡量的绝对值，31.01=a ，2F 是混合函数。

??

????????????

????????=2

22500,99.02max tanh ωρμωy y k F

T ν的形式解决了湍流剪切应力在逆压梯度边界层的输运。k 和ω由相应的模式输

运方程得到。

湍动能输运方程

k S x k k u x t k ij tij j t k j j

ρωβτμσμρρ*-=???

?

??

??+-??+??)( 湍流比耗散率方程

j j j t j j

x x k F P x u x t ????-+-=???

?

?

?

??+-??

+??ωωρσβρωωμσμωρρωωωω212)1(2)( 上式中最后一项代表交错扩散项(cross-diffusion term)， 生成项

()232Ω≈-=γρδωγρωij ij nn ij S S S P

b. 模式常数和参数

??

????????????

????????????????=2

22214,500,99.0max min tanh y CD k y y k F k ωωρσωρμω 这里 ???

?????????=-20

210,2max j j k x x k CD ωωρσωω

这里ωk CD 代表k-ω模式中的交叉扩散(cross-diffusion)。 SST 模式常数

31.01=a 09.0*=β 41.0=κ

模式参数ωσσγβ,,,k 由φ来表示，用21,φφ分别表示原始k-ω模式系数和转化的k-ε模式系数

()21111φφφφ-+=F 这里 {}γβσσφω,,,k =

? Inner model 系数:

85.01=k σ 5.01=ωσ 075.01=β

553.0*2

1*11=-=βκσββγω

? Outer model 系数:

0.12=k σ 856.02=ωσ 0828.02=β

440.0*2

2*22=-=βκσββγω

2.2.3 τ-k 模式

方程为

τσννk U u u k Dt Dk j i j i i

i k T --?????????? ??+=,,, (5.29) 2,1,,,,2C U u u k

C Dt

D j i j i i i T i i T ++???? ??+-?????????? ??+=ττττσνντσνντττ (5.30)

模化常数为

.5.1,4.0,92.0,12

2221==≈???

? ??--=T T k e C k C C σσμ

对低雷诺数流动有

???

?

?

?+=k k f C T τ

ντνμμ (5.31)

{}

)(exp 133221 +++--=R a R a R a f μ (5.32)

其中

1

)]36/exp(22.01[92.1)(22---=+???

? ??+=t p R C u u k R τντντ 在τ-k 模式的框架下，Speziale(1990)[33]

提出了下列的模式：

ε

ττνμμk

k f C T =

=,

(5.33)

τ

σννk U u u k Dt Dk j i j i i i k T --?????????? ??+=,,, (5.34)

)1()1(2222,1,,1,,2,,2-+-+???? ?

?++

???

?

?

?

+-?????????? ?

?

+=f C U u u k C k k Dt D j i j i i i T i i T i i T ττσννττσννττσννττττ

(5.35)

模化常数及参数分列如下：

Model

k σ

1τσ

2τσ

C 1 C 2

μC

SAA 1.36

1.36

1.36

1.44

)]36

ex p(92

1[83.12t R --

0.09

2f

μf

???

? ??--+

9

.4exp 1y ??

?

??????? ??--???

? ??++70ex p 145.31y R t

2.2.4 ω-q 模式

Coakley(1983)

[24]

建议采用如下的ω-q 涡粘性模式：

k q k

q f C T ==

=,,2

ε

ωω

νμμ

(5.39)

22,,,ωσννq U q u u q Dt Dq j i j i i

i q T --???????????? ??+

= (5.40)

22,,,1,,)(ωωσννωμωC U U U C C Dt D j i i j j i i i T -++?????????? ?

?+= (5.41)

Model

q σ ωσ

μC

C 1 C 2

μf

Co

1.0

1.3

.09

045

.405.+μf .92

)

0065.ex p(1k R --

2.3 双尺度两方程模式

选择两个长度尺度，一个是典型大涡的尺度，用下标p 表示，一个是小涡尺度，

用下标t 表示。大涡的p k ~和p

ε~输运方程为 12~~)~(]~

)[(~

fc y u y k y t

D k D p T p k T p

p

+-??+??+??=ερμσμμρ (5) 2222

1~~~)~(~~]~)[(~fc k Cp y u k Cp y y t D D p p T p p p T p

p

+-??+??+??=ερμεεσμμερε

(6)

大涡的输运方程反映了大涡对涡动能产生的贡献，由于它是大尺度的，它和边界条件有关，与平均流的应变率密切相关，直接受到可压缩性的影响。这些在大涡输运方程的模化平均应加以考虑。其中1fc 为湍动能和内能之间的交换，Sarkar 等得到p t T t M y

u M fc εραμα~)~(23221+??-=，a k k M t p t ~)]

~~(2[2

1+=为湍流马赫数，

2.0,15.032==αα，2fc 是由于小激波产生的能谱输运的增加。最后有p k ~和p

ε~输运方程为

p

t T t p

k T p M y u M y k y t

D k D p

εραμασμμρ~)1()~()1(]~)[(~

2322~--??-+??+??= (7)

p p t T p p p T p

k M Cp Cp y u k Cp y y t D D p ~~)()~(~~]~)[(~22

3221~ερμεεσμμερε--??+??+??= (8)

小涡t k ~和t

ε~输运方程为 t

p t k T t y k y t

D k D t

ερερσμμρ~~]~

)[(~~-+??+??= (9) t

t

t

t p t T t

k Ct k Ct y y t D D t

~~~

~~]~)[(~221~ερεερ

εσμμερε-+??+??= (10)

小涡的主要贡献是湍动能的耗散。可以注意到，（9）式中右端p

ε~是大涡的能量耗散，它恰好成为小涡湍动能的来源，反映了湍流能量的级串效应。

双尺度模式的涡粘性系数采用了大涡和小涡的平均值，为 p

t p t p T k k k k ul ερρμ~)~~()~~(~2

321++≈≈ 模式参数21)1(Cp Cp αβαβ+-

=，n

n Cp 1

2+=

，ββ2111Ct Ct +-=，1

1~~

~~22-++-=

p

t p

t k k k k Cp Ct β

βββ，其中n =1.2，α=2.2，β=1.05。

创作编号：

GB8878185555334563BT9125XW

创作者： 凤呜大王*