薛定谔方程与它的基本意义

薛定谔方程

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薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程[1]，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。就好像牛顿定律在经典力学的地位，薛定谔方程在量子力学里占有中心的地位。

薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的几率幅。而几率幅的绝对值的平方，就是事件发生的几率密度。薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。量子尺寸的

粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述(path integral formulation) 。薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。

目录

[隐藏]

? 1 含时薛定谔方程

? 2 不含时薛定谔方程

? 3 历史背景与发展

4 含时薛定谔方程导引

4.1 启发式导引

? 4.1.1 假设

? 4.1.2 波函数以复值平面波

来表达波函数

o 4.2 薛定谔的导引

5 特性

5.1 线性方程

? 5.1.1 证明

o 5.2 实值的本征态

5.3 幺正性

? 5.3.1 证明

o 5.4 完备基底

? 6 相对论性薛定谔方程

?7 解析方法

8 实例

o8.1 自由粒子

o8.2 一维谐振子

8.3 球对称位势

?8.3.1 角部分解答

?8.3.2 径向部分解答

?9 参阅

?10 参考文献

?11 外部链接

[编辑] 含时薛定谔方程

虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。理论上，我们可以直接地将这方

程当作一个基本假定。在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为

；(1)

其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。

类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为

。(2)

假若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置空间。用方程表达，

。

其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。所以，第个粒子的位置是。

[编辑] 不含时薛定谔方程

不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。

应用分离变量法，猜想的函数形式为

；

其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．

代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程(1) 会变为不含时薛定谔方程：

。

类似地，方程(2) 变为

。

[编辑] 历史背景与发展

爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子，光波的粒子；也就是说，光波具有粒子的性质，一种很奇奥的波粒二象性。他建议光子的能量与频率成正比。在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。

1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。电子也有这种性质。电子是一种波动，是电子波。电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。1927年，克林顿·戴维孙和雷斯特·革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。然后，测量反射的强度，探测结果与X射线根据布拉格定律(Bragg's law) 计算的衍射图案相同。戴维孙-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。

薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反应这特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。于是，薛定谔试着寻找一个波动方程。哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地暗藏于一个察觉里。这察觉就是，在零波长极限，实际光学系统趋向几何光学系统；也就是说，光射线的轨道会变成明确的路径，遵守最小作用量原理。哈密顿相信，在零波长极限，波传播会变为明确的运动。可是，他并没有设计出一个方程来描述这波行为。这也是薛定谔所成就的。他很清楚，经典力学的哈密顿原理，广为学术界所知地，对应于光学的费马原理。借着哈密顿-雅可比方程，他成功地创建了薛定谔方程。薛定谔用自己设计的方程来计算氢原子的谱线，得到了与用玻尔模型计算出的能级相同的答案。

但是，薛定谔对这结果并不满足，因为，索末菲似乎已经正确地计算出氢原子光谱线精细结构常数的相对论性的修正。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程（现今称为克莱因-高登方程），可以描述电子在库仑位势内的量子行为。薛定谔计算出这方程的定态波函数。可是，相对论性的修正与索末菲的公式有分歧。虽然如此，他认为先前非相对论性的部分，仍旧含有足够的新结果。因此，决定暂时不发表相对论性的修正，只把他的波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文。1926年，正式发表于物理学界[2]。从此，给予了量子力学一个新的发展平台。

薛定谔方程漂亮地解释了的行为，但并没有解释的意义。薛定谔曾尝试解释

代表电荷的密度，但却失败了。1926年，就在薛定谔第四篇的论文发表之后几天，马克斯·玻

恩提出几率幅的概念，成功地解释了的物理意义[3]。可是，薛定谔本人一直不承认这种

统计或几率的表示方法，和它所伴随的非连续性波函数坍缩。就像爱因斯坦的认为量子力学是基本为确定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年，他写给马克斯·玻恩的一封信内，薛定谔清楚地表明了这看法。

[编辑] 含时薛定谔方程导引

[编辑] 启发式导引

含时薛定谔方程的启发式导引，建立于几个假设：

[编辑] 假设

(1) 一个粒子的总能量可以经典地表达为动能与势能的和：

；

其中，是动量，是质量。

特别注意，能量与动量也出现于以下两个关系方程。

(2) 1905年，爱因斯坦于提出光电效应时，指出光子的能量与对应的电磁波的频率成正比：

其中，是普朗克常数，是角频率。

(3) 1924年，路易·德布罗意提出德布罗意假说，说明所有的粒子都具有波的性质，可以用一

个波函数来表达。粒子的动量与伴随的波函数的波长有关：

；

其中，是波数。

用矢量表达，。

[编辑] 波函数以复值平面波来表达波函数

1925年，薛定谔发现平面波的相位，可用一个相位因子来表示：

。

他想到

，

因此

。

并且相同地由于

，

故

。

因此得到

。

再由经典力学的公式，一个粒子的总能为，质量为，在势能处移动：

。

薛定谔得到一个单一粒子在一维空间有位能之处移动时的方程：

。

[编辑] 薛定谔的导引

思考一个粒子，运动于一个保守的位势。我们可以写出它的哈密顿-雅可比方程

；

其中，是哈密顿主函数。

由于位势显性地不相依于时间，哈密顿主函数可以分离成两部分：

；

其中，不相依于时间的函数是哈密顿特征函数，是能量。

将哈密顿主函数公式代入粒子的哈密顿-雅可比方程，稍加运算，可以得到

；

哈密顿主函数随时间的全导数是

。

思考哈密顿主函数的一个常数的等值曲面。这常数的等值曲面在空间移动的方程为

。

所以，在设定等值曲面的正负面后，朝着法线方向移动的速度是

。

这速度是相速度，而不是粒子的移动速度：

。

我们可以想像为一个相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，试着给予粒子一个相位与

成比例的波函数：

；

其中，是常数，是相依于位置的系数函数。

将哈密顿主函数的公式代入波函数，成为

。

注意到的量纲必须是频率，薛定谔突然想起爱因斯坦的光电效应理论；

其中，是约化普朗克常数，是角频率。设定，粒子的波函数变为

；

其中，。

的波动方程为

。

将波函数代入波动方程，经过一番运算，得到

。

注意到。稍加编排，可以导引出薛定谔方程：

。

[编辑] 特性

[编辑] 线性方程

主条目：态叠加原理

薛定谔方程是一个线性方程。满足薛定谔方程的波函数拥有线性关系。假若与

是某薛定谔方程的解。设定

，

其中，与是任何常数。

则也是一个解。

[编辑] 证明

根据不含时薛定谔方程(1) ，

，

。

线性组合这两个方程的解，

。

所以，也是这含时薛定谔方程的解，证明含时薛定谔方程是一个线性方程。类似地，我们可以证明不含时薛定谔方程是一个线性方程。

[编辑] 实值的本征态

不含时薛定谔方程的波函数解答，也符合线性关系。但在这状况，线性关系有稍微不同的意

义。假若两个波函数与都是某不含时薛定谔方程的，能量为的解答，则这

两个不同的波函数解答为简并的。任何线性组合也是能量为的解答。

。

对于任何位势，都有一个明显的简并：假若波函数是某薛定谔方程的解答，则其共轭函

数也是这薛定谔方程的解答。所以，的实值部分或虚值部分，都分别是解答。我们

只需要专注实值的波函数解答。这限制并不会影响到整个不含时问题。

转移焦点到含时薛定谔方程，两个复共轭的波，以相反方向移动。给予某含时薛定谔方程的

解答。其替代波函数是另外一个解答：

。

这解答是复共轭对称性的延伸。称复共轭对称性为时间反转。

[编辑] 幺正性

在量子力学里，对于任何事件，所有可能产生的结果的几率总和等于1 ，称这特性为幺正性。薛定谔方程能够自动地维持幺正性。用波函数表达，

。(3)

为了满足这特性，必须将波函数归一化。假若，某一个薛定谔方程的波函数尚

未归一化。由于薛定谔方程为线性方程，与任何常数的乘积还是这个薛定谔方程

的波函数。设定；其中，是归一常数，使得

。

这样，新波函数还是这个薛定谔方程的解答，而且，

已经被归一化了。在这里，特别注意到方程(3) 的波函数相依于时间，而随着位置的积分仍旧可能相依于时间。在某个时间的归一化，并不保证随着时间的演化，波函数仍旧保持归一化。薛定谔方程有一个特性：它可以自动地保持波函数的归一化。这样，量子系统永远地满足幺正性。所以，薛定谔方程能够自动地维持幺正性。

[编辑] 证明

总几率随时间的微分表达为

。(4)

思考含时薛定谔方程，

。

其复共轭是

。

所以，

代入方程(4) ，

在无穷远的极限，符合物理实际的波函数必须等于0 。所以，

。

薛定谔方程的波函数的归一化不会随时间而改变。

[编辑] 完备基底

能量本征函数形成了一个完备基底。任何一个波函数可以表达为离散的能量本征函数的线性组合，或连续的能量本征函数的积分。这就是数学的谱定理(spectral theorem) 。在一个有限态空间，这表明了厄米算符的本征函数的完备性。

[编辑] 相对论性薛定谔方程

主条目：相对论量子力学

薛定谔方程并没有将相对论效应纳入考虑范围内。对于伽利略变换，薛定谔方程是个不变式；可是对于洛伦兹变换，薛定谔方程的形式会改变。为了要包含相对论效应，必须将薛定谔方程做极大的改变。试想能量质量关系式，

；

其中，是光速，是静止质量。

直接地用这关系式来推广薛定谔方程：

。

或者，稍加编排，

；

其中，，是达朗贝尔算符。

这方程，称为克莱因-高登方程，是洛伦兹不变式。但是，它是一个时间的二阶方程。所以，不能成为波函数的方程。并且，这方程的解答拥有正频率和负频率。一个平面波函数解答遵守

；

其中，是角频率，可以是正值或负值。

对量子力学来说，正负角频率或正负能量，是一个很严峻的问题，因为无法从底端限制能量的最低值。虽然如此，加以适当的诠释，这方程仍旧能够正确地计算出相对论性的，自旋为零的粒子的波函数。

保罗·狄拉克发明的狄拉克方程，是时间的一阶微分方程，一个专门描述自旋-?粒子量子态的波函数方程：

，

其中，是自旋-?粒子的质量，与分别是空间和时间的坐标。

狄拉克方程方程仍旧存在负能量的解答。为了要除去这麻烦的瑕疵，必须用到多粒子图案，把波动方程当作一个量子场的方程，而不是一个波函数的方程。因为，相对论与单粒子图案互不相容。一个相对论性粒子不能被局限于一个小区域，除非粒子的数量变为无穷多。

假若，一个粒子被局限于一个长度为的一维盒子里，根据不确定性原理，动量的不确定

性。假若，因为粒子的动量足够的大，质量可以被忽略，则能量的不确定

性大约为。当盒子的长度等于康普顿波长时，能量的不确定性

等于粒子的质能。当盒子的长度小于康普顿波长时，我们无法确定盒子内只有

一个粒子。因为，能量的不确定性，足够从真空制造更多的粒子。我们用来测量盒子内粒子位置的机制，也可以从真空制造更多的粒子。

[编辑] 解析方法

一般来说，解析薛定谔方程会用到下述这些方法：

?量子微扰理论(perturbation theory (quantum mechanics)) 。

?变分原理(variational principle) 。

?量子蒙特·卡罗方法(Quantum Monte Carlo methods) 。

?密度泛函理论。

?WKB 近似(WKB approximation) 与半经典扩展。

对于某些特殊的状况，可以使用特别方法：

?有解析解量子系统列表(List of quantum mechanical systems with analytical solutions) 。

?哈特里-福克方法与越哈特里-福克方法。

?离散delta 位势方法(Discrete delta-potential method) 。

[编辑] 实例

[编辑] 自由粒子

主条目：自由粒子

当位势为0 时，薛定谔方程为

。

解答是一个平面波：

，

其中，是波矢量，是角频率。

代入薛定谔方程，这两个变量必须遵守以下关系：

。

由于粒子存在的几率必须等于1 ，波函数必须先归一化，然后才能够表达出正

确的物理意义。对于一般的自由粒子而言，这不是一个问题。因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。

在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数可以表示为一个波包的函数。：

；

其中，积分的区域是所有的-空间。

为了简化计算，只思考一维空间，

；

其中，因子是由傅里叶转换的常规而设定，振幅是线性叠加的系数函数。逆反过来，系数函数可以表达为

；

其中，是波函数在时间的函数形式。

所以，知道波函数在时间的形式，借由傅里叶转换，我们可以推演出

波函数在任何时间的形式。

[编辑] 一维谐振子

主条目：量子谐振子

能量最低的八个束缚本征态的波函数表征(）。横轴表示位置。此图未经归一化。

在一维谐振子问题中，一个质量为的粒子，受到一位势。此粒

子的哈密顿算符为

；

其中，为位置。

为了要找到能阶以相对应的能量本征态，我们必须找到本征能量薛定谔方程：

。

我们可以在座标基底下解这个微分方程，用到幂级数方法。可以见到有一族的解：

。

最先八个解（n = 0到5）展示在右图。函数为厄米多项式(Hermite polynomials) ：

。

相应的能阶为

。

值得注意的是能谱，理由有三。首先，能量被“量子化”(quantized)，而只能有离散的值，即

乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。这是许多量子力学系统的特征。再者，可有的最低能量（当

n = 0）不为零，而是，被称为“基态能量”或零点能量。在基态中，根据量子力学，一振子执行所谓的“零振动”，且其平均动能是正值。这样的现象意义重大但并不那么显而易见，因为通常能量的零点并非一个有意义的物理量，因为可以任意选择；有意义的是能量差。虽然如此，基态能量有许多的意涵，特别是在量子引力。最后一个理由式能阶值是等距的，不像玻尔模型或盒中粒子问题那样。

[编辑] 球对称位势

主条目：球对称位势

一个单粒子运动于球对称位势的量子系统，可以用薛定谔方程表达为

；

其中，是普朗克常数，是粒子的质量，是粒子的波函数，是位势，是径向距离，是能量。

采用球坐标，将拉普拉斯算子展开：

。

满足薛定谔方程的本征函数的形式为：

，

其中，，，，都是函数。与时常会合并为一个函数，

称为球谐函数，。这样，本征函数的形式变为：

。

[编辑] 角部分解答

相依于天顶角和方位角的球谐函数，满足角部分方程

；

其中，非负整数是角动量的角量子数。（满足）是角动量对于z-

轴的（量子化的）投影。不同的与给予不同的球谐函数解答：

；

其中，是虚数单位，是伴随勒让德多项式，用方程定义为

；

而是阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为

。

[编辑] 径向部分解答

将角部分解答代入薛定谔方程，则可得到一个一维的二阶微分方程：

。

设定函数。代入方程。经过一番繁杂的运算，可以得到

。

径向方程变为

；

其中，有效位势。

这正是函数为，有效位势为的薛定谔方程。径向距离的定义域是从到

。新加入有效位势的项目，称为离心位势。为了要更进一步解析，我们必须知道位势的形式。不同的位势有不同的解答。

[编辑] 参阅

?量子数

?薛定谔的猫

?类氢原子

[编辑] 参考文献

1^薛定谔, 埃尔温, An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules (PDF), Phys. Rev.. December 1926, 28 (6): 1049–1070, doi:10.1103/PhysRev.28.1049, 英文版本

2^薛定谔, 埃尔温, über das Verh?ltnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen, 79, Annalen der Physik, (Leipzig). 1926[德文原稿]

3^Moore, Walter John, Schr?dinger: Life and Thought, England: Cambridge University Press. 1992: pp. 219-220, ISBN0-521-43767-9（英文）

?David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics. 2nd edition, Benjamin Cummings.

2004

?David Halliday, Fundamentals of Physics. 8th edition, Wiley. 2007

?Serway, Moses, and Moyer, Modern Physics. 3rd edition, Brooks Cole. 2004

?Walter John Moore, Schr?dinger: Life and Thought, Cambridge University Press. 1992 [编辑] 外部链接

?EqWorld: The World of Mathematical Equations 的线性薛定谔方程。

?EqWorld: The World of Mathematical Equations 的非线性薛定谔方程。

最新薛定谔方程及其解法

关于薛定谔方程 一．定义及重要性 薛定谔方程（Schrdinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提 出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定， 其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合 建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都 有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式 以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基 本假定，它的正确性只能靠实验来检验。 二．表达式 三．定态方程 ()() 2 2 2 V r E r m η ψψ + ?? -?= ?? ?? 所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。 其中，E是粒子本身的能量；v(x，y，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。

2 2 22222 z y x ??????++=? 可化为 d 0)(222 =-+ψψv E h m dx 薛定谔方程的解法 一． 初值解法；欧拉法，龙格库塔法 二． 边值解法；差分法，打靶法，有限元法 龙格库塔法（对欧拉法的完善） 给定初值问题 ). ()()((3) ) ,(),()( ,,(2) )(),( 311212 2111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b t a y t f dt dy i i i i i i i i =-???????++==++==?????=≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法的值及确定常数ββα βα

清华大学大学物理习题库量子物理

清华大学大学物理习题库：量子物理 一、选择题 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为??。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) 0λhc (B) 0λhc m eRB 2)(2+ (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ ［ ］ 3．4383：用频率为??的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用 频率为2??的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ??- E K (C) h ??- E K (D) h ??+ E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量?与反冲电子动能E K 之比??/ E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［ ］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 ［ ］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［ ］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和 3.4 eV ［ ］ 9．4241： 若?粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则?粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh ［ ］ 10．4770：如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 ［ ］

波函数和薛定谔方程-力学量算符

波函数和薛定谔方程-力学量算符 1．一维运动的粒子处在 的状态，其中，求： （1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子动量的平均值。 [解]首先将归一化，求归一化系数A。 （1）动量的几率分布函数是 注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有 令 代入上式得 （2） 动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论： ①一维的傅里叶变换的系数是而不是。 ②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时， 即相当于的情况，变换式的形式保持不变。

③不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。 2．设在时，粒子的状态为 求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。 [解]方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单色平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照 求平均值。 在时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取 ，而，粒子动量的平均值为 A可由归一化条件确定 故 粒子动能的平均值为 。 方法二：直接积分法

根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有 而 则有及。 讨论：①由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。 ②本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展开，即 这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分，得到函数。 ③在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函数讲 授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。 3．一维谐振子处在 的状态，求： （1）势能的平均值； （2）动量的几率分布函数； （3）动能的平均值 [解]先检验是否归一化。 是归一化的。 （1） . 其中应用及 （2）由于是平方可积的，因此可作傅氏变换求动量几率分布函数

实验三 定态薛定谔方程的矩阵解法

实验三 定态薛定谔方程的矩阵解法 一．实验目的 1．掌握定态薛定谔方程的矩阵解法。 2．掌握几种矩阵特征值问题数值解法的原理，会调用相应的子程序求解具体问题。 二．实验内容 1．问题描述 以/2ω/()m ω为长度单位，一维谐振子的哈密顿量为 2 202d H x dx =-+, 其本征值为21n E n =+，本证波函数为 2 /2)()n n x H x ?=-， 其中()n H x 为厄米多项式，满足递推关系 11()2()2()n n n H x xH x nH x +-=-。 用矩阵方法求 2 22d H x x dx =-++ 的本证能量和相应的波函数。 2．问题分析 H E ψψ= 0()|j j j t c ψ?∞ ==>∑ 0||i i j i j i j c E c x Ec ??∞ =+<>=∑ 11|j j j x ???-+>=>>

11||||j j j j x x ????-+<>= <>= 0010010 112111,211,11,1 n n n n n n n n n n n n E x c c x E x c c E x E x c c x E c c -------?????????????????????????=??????????????????????? ? 3．程序编写 子程序及调用方法见《FORTRAN 常用算法程序集（第二版）》第三章 徐士良，P97 4．实验要求 ◆用恰当的算法求解以上实对称三对角矩阵的特征值问题。 ◆取n=8，给出H 的全部特征值和相应的特征向量。 5．实验步骤 ● 启动软件开发环境Microsoft Developer Studio 。 ● 创建新工作区shiyan03。 ● 创建新项目xm3。 ● 创建源程序文件xm3.f90，编辑输入源程序文本。 ● 编译、构建、运行、调试程序。 6．实验结果 程序设计：

大学物理-一维定态薛定谔方程的应用

一维定态薛定谔方程 的应用 授课人： 物理科学与技术学院

势 阱 日常生活中的各种井（阱） 物理学中研究微观粒子运动状态时常用的模型，因其势能函数曲线的形状如同井而得名 水井 窨井 陷阱 U x O a U

() U x x O a ∞ ∞00()0 , x a U x x x a ≤≤?=?∞<>? 这是一个理想化的物理模型， 应用定态薛定谔方程求解波函数， 有利于进一步理解在微观系统中 能量量子化和概率密度等概念 这样的势能函数称为 一维无限深势阱

建立定态薛定谔方程并求解 假设微观粒子质量为 ，由 m 22 2d ()()()2d U x x E x m x ψψ??-+=???? x a U x 0()0≤≤=阱内( ) ： 22 2d ()()2d x E x m x ψψ-= x x a U x 0 , ()<>→∞ 阱外( )： 令： 2 22mE k =得通解： ()sin() x A kx ψ?=+ 微观粒子的能量不可能达到 无穷大，所以粒子不可能在阱外出现，或者说粒子在阱外出现的概率为零。 ()0 x ψ≡222 d 0d k x ψψ+=

利用标准条件确定 和 k ?因 在整个 轴上必须连续 x ()x ψsin() 0()0 0 0 A kx x a x x x ?ψ+≤≤?=? <>?，(0)sin 0 A ψ?== a A ka ()sin()0 ψ?=+=求归一化的波函数 一维无限深势阱中 微观粒子的波函数 2220π()d sin d a n x x A x x a ψ+∞-∞=??221 A a =?= 2A a = n a x x a x a x x a π2sin 0()00 , ψ? ≤≤?=??<>?() π ()sin 1,2,3n x A x n a ψ==??， 0?=π n k a =()1,2,3n =???，

清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题解读

清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题解读

一、选择题 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上， 测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波 长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金 属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现 有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷 的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为 R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) (B) (C) (D) ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金 属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频 率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电 子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光 波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量 ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 0λhc 0λhc m eRB 2)(2+0λhc m eRB +0λhc eRB 2+

5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光(B) 两种波长的光(C) 三种波长的光(D) 连续光谱［］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV，当氢原子从能量为－0.85 eV的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV，10.2 eV和1.9 eV (D) 12.1 eV，10.2 eV和 3.4 eV ［］ 9．4241：若 粒子(电荷为2e)在磁感应

波函数和薛定谔方程

波函数和薛定谔方程 一、波函数的统计解释、叠加原理和双缝干涉实验 微观粒子具有波粒二象性<德布罗意假设）； 德布罗意关系<将描述粒子和波的物理量联系在一起） 物质波<微观粒子—实物粒子） 引入波函数<概率波幅）—描述微观粒子运动状态 对于微观粒子来说，如果不考虑“自旋”一类的“内禀”态，单值波函数是其物理状态的最详尽描述。至少在目前量子力学框架中，我们不能获得比波函数更多的物理信息。b5E2RGbCAP 微观粒子的状态用波函数完全描述 ——量子力学中的一条基本原理 该原理包含三方面内容：粒子的状态用波函数表示、波函数的统计解释和对波函数性质的要求。 要明确“完全”的含义是什么。按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述体系的量子态，若已知单粒子<不考虑自旋）波函数，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如动量等粒子的其它力学量的概率分布也均可通过波函数而完全确定。由此可见，只要已知体系的波函数，便可获得该体系的一切物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述。p1EanqFDPw 必须强调指出，波函数给出的有关粒子的“信息”本质上是统计性质的。例如，在适当条件下制备动量为p的粒子，然后测量其空间位置，我们根本无法预言测量的结果，我们只能知道获得各种可能结果的概率。DXDiTa9E3d

很自然，人们会提出这样的疑问：既然量子力学只能给出统计结果，那就只需引入一个概率分布函数<象经典统计力学那样），何必假定一个复值波函数呢？RTCrpUDGiT 事实上，引入复值波函数的物理基础，乃是量子力学中的又一条基本原理——叠加原理。 这条原理告诉我们，两种状态的叠加，绝不是概率相加，而是带有相位的复值波函数的叠加<数学求和）。正因如此，在双缝干涉实验中，我们才能看见屏上的干涉花纹。5PCzVD7HxA 实物粒子双缝干涉实验分析 我们首先只打开一条狭缝，根据粒子的波动性，可以预言屏上将显示波 长<为粒子动量）的单缝衍射花纹。但是，根据粒子的微粒性， 它们将是一个一个打上去的，怎样将这两种性质的描述调和起来呢？为此，我们想象将入射粒子束强度降低，直到只一个粒子通过狭缝，这时屏上会出现很微弱的衍射花纹吗？当然不会！单个粒子只能作为一个不可分割的整体打到屏上的一个点，从而出现一个小斑点。如果让这种微弱的粒子束<几乎让粒子一个一个地通过狭缝）长时间照射狭缝<相当于一个粒子的多次行为），结果发现，屏上一个一个斑点逐渐增加，最后形成一种接近连续的分布，它恰恰就是单缝衍射花纹！<单个粒子具有波动性的有力证明）jLBHrnAILg 这提示：粒子的波动性只是一种“概率波”，或者干脆说只是一种概率分布而已。这种看法对吗？这种说法容易造成误解，因为它忽略了叠加原理的要求。xHAQX74J0X 为了说明这一点，我们继续分析双缝干涉实验。

固体物理学 1-5-薛定谔方程应用举例II

薛定谔方程应用举例II---原子系统
? 氢原子 ? 电子自旋 ? 多电子原子
1

氢原子的定态薛定谔方程
?原子由一个原子核和核外电子构成，属于多粒子体系。多粒 子体系的总能量等于每一个粒子的能量与粒子间相互作用能量 之和。
?氢原子包括一个原子核和电子，库仑场是各向同性的，哈密 顿量可记作（绝热近似）：
H?
=
?
h2 2me
?2
+
qeU(r)
me为电子质量，qe是电子电荷。U(r)为原子核静电场中的库 仑势，记作：
U(r) = ? Zqe = ? Z h2
4πε0r a1meqer
Z为核的电荷数，a1 = 4πε0?2/(meqe2) = 0.529?，为氢原子的第
一波尔轨道半径。
2

??? ?
h2 2me
?2
?
Zh 2 a1meqer
??ψ
?
(r)
=
E
?ψ
(r)
中心力场问题，采用球坐标，薛定谔方程为：
? ?? ??
h2 2me
?
????
1 r2
? ?r
r2
? ?r
?
L?2 r2
???? ?
Zh2
?
?ψ (r,?,θ ) =
a1mer ??
E ?ψ (r,?,θ )
用分离变量法求解，令：
ψ (r,θ ,φ) = R(r) ?Y (?,θ )
分别求解径向波函数R(r)和角向波函数Y(?,θ)。
3

薛定谔方程及其解法

关于薛定谔方程 一． 定义及重要性 薛定谔方程（Schrdinger equation ）是由奥地利物理 学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。 二． 表达式 三． 定态方程 ()()2 22V r E r m ηψψ+??-?=???? 所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。 其中，E 是粒子本身的能量；v(x ，y ，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。

2 2 22222z y x ?? ????++=? 可化为d 0)(222=-+ψψ v E h m dx 薛定谔方程的解法 一． 初值解法；欧拉法，龙格库塔法 二． 边值解法；差分法，打靶法，有限元法 龙格库塔法（对欧拉法的完善） 给定初值问题 ).()()((3) ) ,() ,() ( ,,(2) )() ,( 3112122111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b t a y t f dt dy i i i i i i i i =-???????++==++==????? =≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法 的值及确定常数ββα βα

薛定谔方程对氢原子的应用

（16.4.4） （16.4.5） (图16.4a )球极坐标 薛定谔方程对氢原子的应用 （一）氢原子的薛定谔方程 前一节讨论一维运动自由粒子的薛定谔方程及 其定态解．本节要讨论氢原子中电子的运动，这与 前一节有两点不同： （1）氢原子电子作三维空间运动，因此，薛定 谔方程（16.3.3）中的波函数ψ（x,t ）应换成ψ（x,y,z,t ） 或ψ（r ,t ）,而22x ??应换成=??+??+??222222z y x ▽2．此▽2称为拉普拉斯算符或拉氏算符． ??????<<的薛定谔方程三维运动自由粒子)c (v 222222222z y x )m 2/(t i ??+??+??=?=?ψ?-=?ψ? （16.4.1） （2）氢原子的电子不是自由粒子，它受到氢核的库仑力，此力的作用可用它们的电势能E p 表示．因此，氢原子电子的薛定谔方程可表示如下??，见〔附录16D 〕． ??????<<的薛定谔方程氢原子电子)c (v p 2p k p 22E )m 2/p (E E E E )m 2/(t i +=+=ψ+ψ?-=?ψ? （16.4.2） *（二）氢原子的定态薛定谔方程 定态解是解决氢原子各种问题的基础．参照（16.3.4）至（16.3.6）式，可把（16.4.2）式中的波函数ψ（r ,t ）分离为空间部分u （r ）和时间部分f （t ），并参照（16.3.10）式写出氢原子的定态薛定谔方程，见〔附录16E 〕． ψ（r ,t ）=u （r ）f （t ）， f （t ）=C /iEt e - （16.4.3） ??????<<的定态薛定谔方程氢原子电子)c (v r 4e E 0u )E E )(/m 2(u 02p p 22πε-==-+? 氢核的质量比电子的大得多，可认为氢核不动，电子绕核转动．其电势能可表成E p =－e 2/4πε0r ．此势能E p 只与电子至氢核的距离r 有关，而与方向无关，即具有球对称性，应用球极坐标较为方便．如（图16.4a ）,O 表氢核，e 表电子，r 为e 至O 的距离．θ为r 与z 轴的夹角，θ称天顶角或极角．?为r 在xOy 平面的投影与x 轴的夹角．故有 x=rsin θcos ?； y=rsin θsin ?； z=rcos θ （16.4.6） 拉氏算符 2222222z y x ??+??+??=?改用球坐标（r,θ,?）表示如下：?? ()() 22222222sin r 1sin sin r 1r r r r 1???θ+θ??θθ ??θ+????=?(16.4.7) 将此▽2算符代入（16.4.4）式，便得到以球坐标表示的氢原子定态薛定谔方程． ? 郭敦仁《量子力学初步》18—19，34—35页，1978年版. ? 程守洙、江之永编，王志符、朱讠永春等修订《普通物理学》第3册177—180页，1982年修订本. ? 郭敦仁《量子力学初步》35—45页，1978年版. ? 周世勋编《量子力学》59—72页，1961年版.

第二章波函数和薛定谔方程

第二章波函数和薛定谔方程 ●§2.1 波函数的统计解释 ●§2.2 态叠加原理 ●§2.3 薛定谔方程 ●§2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律●§2.5 定态薛定谔方程 ●§2.6 一维无限深势阱 ●§2.7 线性谐振子 ●§2.8势垒贯穿

本章主要介绍了波函数的统计解释、薛定谔方程的建立过程、用定态薛定方程处理势阱问题和线性谐振子问题。

§2.1 波函数的统计解释（一）波函数 （二）波函数的解释 （三）波函数的性质

?? ????-?=ψ)(exp Et r p i A ?3个问题？ 描写自由粒子的 平面波 ),(t r ψ?如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波 描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为： 描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。 称为de Broglie 波。此式称为自由粒子的 波函数。 (1) ψ是怎样描述粒子的状态呢？ (2) ψ如何体现波粒二象性的？ (3) ψ描写的是什么样的波呢？ （一）波函数

电子源感 光 屏（1）两种错误的看法 1. 波由粒子组成 如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。 这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增 加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀 了粒子的波动性的一面，具有片面性。 P P O Q Q O 事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子 （只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。

大学物理量子力学习题附答案

1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) 0λhc (B) 0 λhc m eRB 2)(2+ (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［ ］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 ［ ］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［ ］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和 3.4 eV ［ ］ 9．4241： 若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh ［ ］ 10．4770：如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 ［ ］ 11．4428：已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： a x a x 23cos 1)(π?= ψ ( - a ≤x ≤a )，那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) a 2/1 (D) a /1 ［ ］ 12．4778：设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定 粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？

薛定谔方程

薛定谔方程（Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。 1定义 薛定谔方程 薛定谔方程（Schrodinger equation）又称薛定谔波动方程（Schrodinger wave equation）在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x,t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定，因此波函数成为量子力学研究的主要对象。力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一，在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来确定。 2方程概述 量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。 薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。当涉及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。.薛定谔提出的量子力学基本方程。建立于1926年。它是一个非相对论的波动方程。它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V（r，t）中运动的薛定谔方程为。在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。当势函数V不依赖于时间t时，粒子具有确定的能量，粒子的状态称为定态。定态时的波函数可写成式中Ψ（r）称为定态波函数，满足定态薛定谔方程，这一方程在数学上称为本征方程，式中E为本征值，是定态能量，Ψ（r）又称为属于本征值E的本征函数。 薛定谔方程是量子力学的基本方程，它揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，就像牛顿定律在经典力学中所起的作用一样，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具，在原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域中被广泛应用。 3提出历史 当法国物理学家德布罗意的“微观粒子也像光一样具有波粒二象性”的假说被美国物理学家

求解非线性薛定谔方程的一类数值解法

求解非线性薛定谔方程的一类数值解法 张艳敏,刘明鼎 (青岛理工大学琴岛学院,山东青岛266106) 摘要:利用非标准有限差分方法构造了求解非线性薛定谔方程的两个非标准有限差分格式。对于离散后的差分格式,把关于时间和空间的步长函数作为分母逼近导数项。对于非线性项,通过非局部的离散方法计算了这两个非标准有限差分格式的局部截断误差。数值实验结果验证了非标准有限差分格式的有效性。关键词:非线性薛定谔方程;局部截断误差;数值解法中图分类号:O241.82 文献标识码:A 文章编号:2095-7726(2019)03-0008-03 薛定谔方程是物理学中量子力学的一个重要方程,可以用于研究深水波浪理论。柱(球)非线性薛定谔方程常用于描述单色波的一维自调适、光学的自陷现象、固体中的热脉冲传播和等离子体中的Langnui 波[1–5],因此对于此类方程的研究具有非常重要的意义。 薛定谔方程有线性和非线性两种,在本文中,我们研究的是非线性薛定谔方程。非线性薛定谔方程解的解析表达式是很难得到的,因此求解此类方程最常用的就是数值解法。求非线性薛定谔方程数值解的方法主要有差分方法、配置谱方法[6]、有限元方法[7]和平均离散梯度方法[8]等。在本文中,我们利用非标准有限差分方法研究了非线性薛定谔方程的数值解,这种方法已在求解偏微分方程中得到了广泛的应用[9],其优点是对非线性项作非局部离散,对导数项作离散后用步长函数作分母,这样不仅能保持差分方程的数值解与原方程的解析解具有相同的正性,而且能保持较好的数值稳定性。 1非标准有限差分格式的构造 现在我们利用文献[10-12]给出的方法构造非线 性薛定谔方程的两种非标准有限差分格式,要考虑的非线性薛定谔方程为 (1)相应的初边值条件为 其中:为虚数单位;、、和均为连续函数;和均为正数。 为了得到非线性薛定谔方程的差分格式,需要对式 (1)进行离散。首先,需要利用网格对区域进行分割,取空间步长时间步长其 次,在网格点处,定义数值解其中,且下面将分别构造式(1)的两种非标准有限差分格式。 1.1第一种非标准有限差分格式的构造 为了构造式(1)的第一种非标准有限差分格式,我们利用R.E.Mickens 提出的构造非标准有限差分格式的原理[10]和文献[13-14]中提到的方法,并利用给定的记号,对式(1)进行离散。离散后的差分方程为 其中,和为分母函数,且,且分母是通过步长函数逼近得到的。 从式(4)可以看出,和分别取代了和分母函数的选择依据了薛定谔方程解的性质[4]。 记对式(4)进行整理,可得第36卷第3期Vol.36No.3 新乡学院学报 Journal of Xinxiang University 2019年3月Mar.2019 收稿日期:2018-12-21 基金项目:山东省高校科技计划项目(J17KB053);青岛理工大学琴岛学院教育教学研究重点项目(2018003A)作者简介:张艳敏(1981—),女,山东东营人,副教授,硕士,研究方向:偏微分方程数值分析。通信作者:刘明鼎(1982—),男,辽宁大连人,副教授,硕士,研究方向:偏微分方程数值分析。 222 (,)(,) (,)(,)(,),i u x t u x t u x t u x t g x t t x ??=++??(,0)(), u x f x =(2) 01(0,)(), (,)()u t p t u L t p t =ìí =?。 (3)0,0;x H t T <￡<￡i (,)g x t ()f x 0()p x 1()p x H T [0,][0,]H T ′,h H M =Δt T N =。(,)m n x t (,),n m m n u u x t =(0,1,2,,),m x mh m M ==L Δ(0,1,2,,),n t n t n N ==L ,M N ++??Z Z 。111212 2(),i n n n n n m m m m m n n n m m m u u u u u u u g D D ++---+=++(4) 1D 2D 12exp(Δ)1,D t D =-=24sin ()2 h 1D 2D Δt 2,h 11122 ,,D R D R D ==

大学物理练习题 氢原子理论 薛定谔方程

练习二十三 氢原子理论 薛定谔方程 一、选择题 1. 已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19eV ，若氢原子从能量为?0.85eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A ) 2.56eV 。 (B ) 3.41eV 。 (C ) 4.25eV 。 (D ) 9.95eV 。 2. 氢原子光谱的巴耳末系中波长最长的谱线用λ1表示，其次波长用λ2表示，则它们的比值λ1/λ2为 (A ) 9/8。 (B ) 19/9。 (C ) 27/20。 (D ) 20/27。 3. 根据氢原子理论，氢原子在n =5的轨道上的动量矩与在第一激发态的轨道动量矩之比为： (A ) 5/2。 (B ) 5/3。 (C ) 5/4。 (D ) 5。 4. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布几率将 (A ) 增大D 2倍。 (B ) 增大2D 倍。 (C ) 增大D 倍。 (D ) 不变。 5. 一维无限深势阱中，已知势阱宽度为a 。 应用不确定关系估计势阱中质量为m 的粒子的零点能量为： (A ) ?/(ma 2)。 (B ) ?2/(2ma 2)。 (C ) ?2/(2ma )。 (D ) ?/(2ma 2)。 6. 由于微观粒子具有波粒二象性，在量子力学中用波函数Ψ(x ，y ，z ，t )来表示粒子的状态，波函数Ψ (A ) 只需满足归一化条件。 (B ) 只需满足单值、有界、连续的条件。 (C ) 只需满足连续与归一化条件。 (D ) 必须满足单值、有界、连续及归一化条件。 7. 反映微观粒子运动的基本方程是 (A ) 牛顿定律方程。 (B ) 麦克斯韦电磁场方程。 (C ) 薛丁格方程。 (D ) 以上均不是。 8. 已知一维运动粒子的波函数为 ()()?? ???==?0e x cx x kx ψψ00<≥x x 则粒子出现概率最大的位置是x =

薛定谔方程及其解法

一． 定义及重要性 薛定谔方程（Schrdinger equation ）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。 二． 表达式 三． 定态方程 ()()2 22V r E r m ηψψ+??-?=???? 所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。 其中，E 是粒子本身的能量；v(x ，y ，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。 可化为 薛定谔方程的解法 一． 初值解法；欧拉法，龙格库塔法

二．边值解法；差分法，打靶法，有限元法 龙格库塔法（对欧拉法的完善） 给定初值问题 有限元方法 有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。 有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。

浅谈薛定谔方程

浅谈薛定谔方程 对于量子力学，这应该是我第一次接触到。它是我们学习其它化学的基础，通过这门学科，以前学习无机和有机化学遗留的一些问题也得到了解释。学了这大半学期，回想起来，让我印象最深地应该就是薛定谔方程，下面就简单介绍下我对这个著名方程的一些见解。 薛定谔方程是量子力学的基本方程，它揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，就像牛顿定律在经典力学中所起的作用一样，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具，在原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域中被广泛应用。 在经典力学中，体系运动状态随时间的变化遵循牛顿方程。牛顿方程是关于变量t的二阶全微分方程，方程的系数只含有粒子的内禀物理量—质量。一旦初始条件给定，方程将唯一地决定以后任何时刻的运动状态。 在量子力学中，体系的运动状态由波函数Ψ（r,t）描述。和经典力学类似，也可以建立一个决定Ψ(r,t)随t变化规律的方程式。从物理上看，这个方程必须满足下述条件： (1)由于波函数满足态叠加原理，而态叠加原理对任何时间都成立，因此描写波函数随时间变化的方程必然是线性方程。 (2)方程的系数必须仅含有诸如质量m，电荷e等内禀物理量，不应含有和个别粒子运动状态的特定性质有关的量，比如动量P等。另外，方程的系数应含有普

朗克常数，以表征这一方程确是描述普朗克常数起决定作用的微观世界中粒子的运动方程。 (3)因为波函数Ψ的变数是r, t，因此它必然是个关于r和t的偏微分方程。我们要求这个微分方程不高于二阶，以便一旦初始条件和边界条件给定后，方程能唯一地确定以后任何时刻的波函数。 (4)由于经典力学是量子力学的极限情况，因此这个方程必须满足在一定条件下也符合牛顿定理。 (5)对于自由粒子这一特殊情况，方程的解应是平面波。 当然，只有这些条件，不足以惟一地决定所需要的描述随时间变化的方程。上面的这些条件，只为建立方程提供了一些必要的条件，给建立方程以启迪。 1926年，薛定谔即提出了这个著名方程： 此式即为薛定谔方程，它是决定体系能量算符的本征值和本征函数的方程。它是一个非相对论的波动方程，反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律式中Ψ不含时间，这种本征态给出的概率密度不随时间而改变，称为定态。这个本征态对应的本征值就是该状态的能量。 同时也可以证明，对一个微观体系，自轭算符?给出的本征函数组是个正交且归一的函数组。 量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只

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薛定谔方程 一． 定义及重要性 薛定谔方程（Schrdinger equation ）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。 二． 表达式 三． 定态方程 ()()2 22V r E r m ηψψ+??-?=???? 所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。 其中，E 是粒子本身的能量；v(x ，y ，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。

2 2 22222z y x ?? ????++=? 可化为d 0)(222=-+ψψ v E h m dx 薛定谔方程的解法 一． 初值解法；欧拉法，龙格库塔法 二． 边值解法；差分法，打靶法，有限元法 龙格库塔法（对欧拉法的完善） 给定初值问题 ).()()((3) ) ,() ,() ( ,,(2) )(),( 3112122111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b t a y t f dt dy i i i i i i i i =-???????++==++==????? =≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法 的值及确定常数ββα βα