变系数(2+1)维Broer-Kaup方程的精确解
第20卷第1期原子与分子物理学报Vol.20，(.1200)年1月
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文章编号：1000>0)?@（200)）01>00A2>0)
变系数（2B 1）维CDoED>F * 张金良1，)，王跃明1**，王明亮1，2 ，方宗德) （1.河南科技大学数理系，河南洛阳@I10)A ；2.兰州大学数学系，甘肃兰州I)0000；).西北工业大学机电工程学院， 陕西西安I100I2）摘要：利用齐次平衡原则，导出了变系数（2B 1）维CDoED>F 维CDoED>F 文献标识码：4 1引言 本文考虑在统计物理、等离子物理及非线性光 纤通讯等领域都有广泛应用的CDoED>F H yt =α（t ）［H xxy -2（HH x ）y -2G xx ］（1）G t =α（t ）［-G xx -2（GH ）x ］ （2） 在这里，α （t ）是t 的单变元函数。对于方程（1）、（2）的常系数形式，已有很多人做过研究。文献［1～)］ 利用推广的齐次平衡原则，讨论其局域相干结构，由此得到了方程（1）、（2）的一些特殊形式的解，如多9DoOPo=解，多,GOH 解，振荡型9DoOPo=解，圆锥曲线孤子解，运动和静止呼吸子解和似瞬子解。本文首先 利用齐次平衡法 ［@Q A ］ ，推到出方程（1）、（2）的C7，然后利用所得到的C7，我们可以给出类似于文献［1］所给出的局域相干结构以及多种孤子解外，还可以借助于C7，得到其他形式的精确解。 2 非线性变换 由齐次平衡原则，设方程（1）、（2）有如下形式 的解 H =f'φx +a （x ，t ）（)）G =g"φx φy +g"φxy （@） 在这里f （φ）、g （φ）为单变元函数，φ（x ，y ，t ）、a （x ，t ）待定。将式（)）、（@）代入方程（1）、（2）的左边，经整理可得 H yt -α（t ）［H xxy -2（HH x ）y -2G xx ］ =［f （@）-2（f'f ?-f"2 ）-2g （@）］φ)x φy +m （x ，y ，t ） （N ） G t +α（t ）［G xx +2（GH ）x ］ =［g （@）+2（f"g"-f'g ?）］φ) x φ y +n （x ，y ，t ）（?） 其中m （x ，y ，t ）、n （x ，y ，t ） 是φ的各阶偏导数的低次项的多项式。令方程（N ）、（?）中φ)x φy 的系数为零，则得到关于f 、g 的19.方程 f （@） -2（f'f ?+f"2 ）-2g （@）=0（I ）g （@） +2（f"g"-f'g ?）=0 （R ） 解方程（I ）、（R ）可得到 f = g =l=φ（A ） 于是我们可有下式 ***联系人 收稿日期： 2002>0R>01基金项目：河南省自然科学基金（01110N0200）和河南省教委自然科学基金（200011000R ）资助项目 作者简介：张金良（1A??S ），男，河南省唐河县人，西北工业大学博士生，主要从事非线性数学物理问题的研究。 f'f"=-1 2 f? f'2=-f" f'g"=-1 2 f? （10） f"g'=-1 2 f? g?=f? g"=f' g'=f' （11） 将式（9）～（11）代入方程（1）、（2）的左边，经整理可得到下式 H yt-α（t）［H xy-2（HH x）y-2G xx］ =G t+α（t）［G xx+2（GH）x］ =? ?x ｛［φ（φyt+αφxxy+2aαφxy）- φy（φt+αφxx+2aαφx）］/φ2｝（12）这样我们就得到方程（1）、 （2）的BT H=f'φx+a（x，t）（3'）G=g"φxφy+g'φxy（4'）φ（φyt+α（t）φxxy+2α（t）a（x，t）φxy）- φy（φt+α（t）φxx+2α（t）a（x，t）φx） =0（13）3各种形式的精确解 3.1α（x，t）为常数 3.1.1单孤子解 显然方程（13）有如下形式的解 φ=1+exp［lx+m（y）-（2al+l2）× ∫t0α（τ）dτ+η0］（14）其中l、η0为常数，m（y）为任意函数。于是，有H=l（1+tanhω/2）+a（15） G=lm'（y） 4 sech2ω/2（16） 其中 ω=lx+m（y）-（2al+l2） ∫t0α（τ）dτ+η0 （17）由方程（1）、（2）解的形式可以看出，变系数α（t）并不改变方程孤立波解的波形及振幅。 3.1.2第二种形式的精确解 若令方程（13）有如下形式的解 φ=p（t）+exp（q（t）+m（y）+r（t）） =p+exp w（18）其中 w=q（t）+m（y）+r（t） 且q（t）、m（y）、r（t）为待定函数 将式（18）代入式（13）中，经整理得 pq't x exp w+（p（r'1+αq2+2aαq）-p't）exp w =0（19）由x exp w、exp w的线性无关性，我们可以得到下式q't=0（20） p' p= r'1+αq2+2aαq（21）于是 q=c=const（22） p（t）=c0exp× （∫t0（r'1（τ）+q2α（τ）+2aqα（τ））dτ）（23） 其中，c 、c为常数。 这样，方程（1）、（2）的解为 H=c1+tanh cx+m（y）+r（t）-ln p（t） [] 2+ a （24）G=cm'（y）sech2 cx+m（y）+r（t）-ln p（t） 2 （25） 3.1.3多孤子解 方程（1）、（2）的BT可以简化为 H=f'φx+a（x，t）（3"） G=g"φxφy+g'φxy（4"）φt+α（t）φxx+2aα（t）φx=0（26）显然，方程（26）有解 φ（x，y，t）=1+Y（y）Σ N i=1 A i× exp［δi x-（δ2i+2aδi） ∫t0α（τ）dτ+ηi］ （27） 其中A i 、δi、ηi（i=1，2，…，N）为任意常数，Y（y）为y的任意可微函数。则由此可得方程（1）、（2）的解 39 第20卷第1期张金良等：变系数（2+1）维Broer-Kaup方程的精确解 H= Y（y）ΣN i=1 A iδi exp（w i） 1+Y（y）ΣN i=1 A iδi exp（w i） +a（28） G= Y'（y）ΣN i=1 A iδi exp（w i） 1+Y（y）ΣN i=1 A iδi exp（w i []）2 （29） 其中 w i=δi x-（δ2i+2aδi） ∫t0α（τ）dτ+ηi（30）3.2a（x，t）为函数 方程（1）、 （2）的BT可以进一步简为化 H=f'φx+a（x，t）（3?）G=g"φxφy+g'φxy（4?）φt+α（t）φxx+2α（t）a（x，t）φx=0（31）于是，我们可以假设方程（26）有如下形式的分离变量解 φ=q+λ1p（x，t）+λ2q（y）+ λ3p（x，t）q（y）（32）式中p（x，t）、q（y）为任意函数，λ1、λ2、λ3为三个任意常数。 将式（32）代入式（31）中，得 a（x，t）=-p t+α（t）p xx 2αp x （33） 从而，方程（1）、 （2）有解 H= （λ1+λ3q（y））p x 1+λ1p（x，t）+λ2q（y）+λ3p（x，t）q（y）- p t+α（t）p xx 2α（t）p x （34） G=｛［λ3-λ1λ2］/［（1+λ1p（x，t）+λ2q（y）+ λ3p（x，t）q（y））2］｝（35） 用类似于文献［1～3］方法，适当的选择p（x， t）、q（y）、λ1、λ2、λ3，可以推导出方程（1）、（2）的多 Dromion解、多Iump解、振荡型Dromion解、圆锥曲线 孤子解、运动和静止呼吸子解和似瞬子解，本文限于 篇幅，不再详细写出。 参考文献 ［1］张解放，韩平.（2+1）维Broer-Kaup方程的局域相干结 构［J］.物理学报，2002，51：705～710. ［2］张解放，何宝钢.势形式破裂孤子方程的Dromion孤子解 结构［J］.原子与分子物理学报，2001，18：184～187. ［3］张解放，韩平.（2+1）维Broer-Kaup方程的广义Dromion 解结构［J］.原子与分子物理学报，2001，18：216～220. ［4］Wang M L.Solitary wave solution for variant Boussinesq equations［J］.Phys.Lett.，1995，A199：169～172. ［5］Wang M L.Exact solutions of a compund KdV-Burgers equation［J］.Phys.Lett.，1996，A213：279～287. ［6］王明亮，李志斌，周宇斌.齐次平衡原则及其应用［J］. 兰州大学学报，1999，35（3）：8～16. ［7］Wang M L，Wang Y M.A new B?cklund transformation and multi-solutions to the KdV equation with general variable coefficients［J］.Phys.Lett.，2001，A287：211～216. ［8］张金良，王跃明，王明亮.一般变系数KdV方程自-BT及 其变速孤立波解［J］.洛阳工学院学报，2000，21（3）：80～ 81. ［9］Sirendaoreji.Exact solution of the two-dimensional Burgers equation［J］.J.Phys.A：Math.Gen.，1999，32：6897～ 6900. Exact solutions to the（2+1）-dimensional Broer-Kaup equation with variable coefficients ZHANG Jin-liang1，3，WANG Yue-ming1，WANG Ming-liang1，2，FANG Zong-de3 （1.Dept.of Math.and Phys.，Henau Univ.，of Science and Technol，Luoyang471003，China； 2.Dept.of Math.，Lanzhou Univ.，Lanzhou730000； 3.School of Mach.and Elec.，Northwestern Polytechnol.Univ.Xi’an710072，China） Abstract：By using the homogeneous balance principle（HBP），authors derive a B?cklund transformation（BT）to the（2 +1）-dimensional Broer-Kaup equation with variable coefficients.Based on the BT，authors give many kinds of the exact solutions of the equation. Keywords：（2+1）-dimensional Broer-Kaup equation with variable coefficients；Homogeneous balance principle （HBP）；B?cklund transfromation（BT）；Exact solutions 49原子与分子物理学报2003年 二阶变系数线性微分方程的特解 张金战 ( 陇南师范高等专科学校, 甘肃成县 742500) 摘要: 在已知二阶变系数齐次微分方程的一个非零特解的条件下, 可以得到 该齐次微分方程和与它对应的非齐次微分方程的通解, 本文给出了在二阶变系数齐次微分方程的系数满足一定条件下的特解形式. 关键词: 线性微分方程; 特解; 通解 中图分类号: O 175.1 文献标识码: A 文章编号: 1008- 9020( 2007) 02- 014- 02 1 、引言对于方程( 2) 的特解的确定, 有以下结论: 2二阶变系数线性微分方程是指定理 1 若存在实数 a,使 a+ap(x)+q(x)=0, 则方程( 2) 有特 ax 解 y=e. 1y"+p(x)y'+q(x)y=f(x) ( 1) 2axax2ax 证明 : 设 a+ap(x)+q(x)=0, 将 y=e,y'=ae, y"=ae代入方 111y"+p(x)y'+q(x)y=0 ( 2) 2axaxaxax 2程( 2) 的左端得 : ae+aep (x)+eq (x)=e[a+ap (x)+q (x)]=0, 即其中 p( x) ,q(x),f(x)都是关于 x 的连续函数, 方程( 1) 称为 ax y=e是方程( 2) 的特解. 1二阶变系数非齐次线性微分方程, 方程( 2) 称为方程( 1) 对应 x推论1 若 q(x)+p(x)+1=0,则方程( 2) 有特解 y=e. 1的齐次微分方程. 在已知方程( 2) 的一个非零特解的条件下, - x推论 2 若 q(x)- p(x)+1=0,则方程( 2) 有 特解 y=e. 1文[1]给出了求方程( 2) 的通解的刘维尔公式, 文[2]、文[3]给出 推论 3 若 q(x)=0,则方程( 2) 有特解 y=1. 1了方程( 1) 的一个通解公式.这样将求解方程( 1) 和( 2) 的问题 2 定理 2 若 k?1 且 k(k- 1)+kxp(x)+xq(x)=0,则方程( 2) 有特就转化成了找出方程( 2) 的一个非零特解的问题 , 但求方程 k解 y=x. 1( 2) 的特解没有一般方法, 通常用观察法, 多数情况下难以操 2kk- 1证明 : 设 k (k- 1)+kxp (x)+xq (x)=0, 将 y=x,y'=kx,y"=k 变系数线性常微分方程的求解 张慧敏，数学计算机科学学院 摘要：众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数 二阶线性微分方程却很难解，至今还没有一个普遍方法。幂级数解法是一个非常有效的方法，本文重点讨论二阶变系数线性常微分方程的解法，从幂级数解法、降阶法、特殊函数法等方面探究了二阶微分方程的解法，简单的介绍了几种高阶微分方程的解法，并讨论了悬链线方程等历史名题。 关键词：变系数线性常微分方程；特殊函数；悬链线方程；幂级数解法 Solving linear ordinary differential equations with variable coefficients Huimin Zhang , School of Mathematics and Computer Science Abstract：As we know, all of ordinary differential equations of first, second order differential equations with constant coefficients are solvable. However, the linear differential equations of second order with variable coefficients are very difficult to solve. So far there is not a universal method. The method of power-series solution is a very efficient method. This article focuses on solving linear ordinary differential equations of second order with variable coefficients, and exploring the solution of in terms of power-series solution, the method of reducing orders, the method of special functions. Also, this paper applies the above methods to solve several linear differential equations of higher order and especially discusses the famous catenary equation. Key words：Linear ordinary differential equations with variable coefficients; Special Functions; catenary equation; Power Series Solution. 二阶变系数线性微分方程的一些解法 第九节 二阶变系数线性微分方程的 一些解法 常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的。本节介绍处理这类方程的二种方法 §9.1 降阶法 在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方程的求解。 考虑二阶线性齐次方程 22dx y d ＋p(x) dx dy ＋q(x)y ＝0 (9.1) 设已知其一个非零特解y １，作变量替换，令 y ＝uy 1 (9.2) 其中u ＝u(x)为未知函数，求导数有 dx dy ＝y 1dx du ＋u dx dy 1 求二阶导数有22dx y d ＝y 122dx u d ＋2dx du dx dy 1 ＋u 2 12dx y d 代入(9.1)式得 y 122dx u d ＋（2dx dy 1＋p(x)y 1）dx du ＋(212dx y d ＋p(x) dx dy 1 ＋q(x)y 1)u ＝0 (9.3) 这是一个关于u 的二阶线性齐次方程，各项系数是x 的已知函数，因为y 1是(9.1)的解，所以其中 212dx y d ＋p(x) dx dy 1 ＋q(x)y 1≡0 故(9.3)式化为 y 122dx u d ＋(2dx dy 1＋p(x)y 1) dx du ＝0 再作变量替换，令dx dy ＝z 得 y 1dx dz ＋(2dx dy 1 ＋p(x)y 1)z ＝0 分离变量 z 1dz ＝－[1 y 2 ＋p(x)］dx 两边积分，得其通解 z ＝21 2y C e －∫p(x)dx 其中C 2为任意常数 积分得u ＝C 2∫21 y 1e －∫p(x)dx dx ＋C 1代回原变量得(9.1) 的通解 y ＝y 1［C １＋C 2∫21 y 1e －∫p(x)dx dx ］ 毕业论文 题目二阶变系数齐次线性微分方程的若干解法 院系滨江学院 专业信息与计算科学 学生姓名xxx XX 学号xxxXX 指导教师XXX 职称教授 二Ｏ一二年五月二十日 目录 摘要 ...................................................................... 3 引言 . (3) 1、 用常数变易法求解二阶变系数齐次微分方程的解 (3) 1.1 已知方程的一个特解求通解 (3) 2、 化为恰当方程通过降阶法求解二阶变系数齐次微分方程的解 (5) 2.1求满足定理1的恰当方程的通解 ......................................... 5 2.2 求满足定理2的恰当方程的通解 (6) 3、 化为RICCAIT 方程求二阶变系数齐次线性微分方程的解 (6) 3.1若方程系数满足()'()p x q x =情况 ....................................... 8 3.2若方程系数满足()()1p x q x +=-情况 ................................... 9 3.3 若方程系数满足()()1p x q x -=情况 (10) 结束语 ................................................................... 11 参考文献 . (11) 二阶变系数齐次线性微分方程的若干解法 姓名 xx大学xx专业，南京 210044 摘要：二阶线性齐次微分方程无论是在微分方程理论上还是在应用上都占有重要位置。现在对于常系数的线性微分方程的解法研究已经比较完备。但对于变系数线性微分方程如何求解，却没有通用的方法，因此探求二阶变系数微分方程的解法就很有必要。本文主要讨论二阶变系数齐次线性微分方程的解法问题，通过利用常数变易法，和系数在满足特定条件下，化为恰当方程和riccati方程来求解二阶变系数齐次微分方程的解法，直接通过具体例题解决具有满足相同条件关系的二阶变系数齐次微分方程的解，从而进一步加深对二阶变系数齐次线性微分方程的解法的理解。 关键词：二阶变系数齐次线性微分方程；常数变易法；降阶法；恰当方程；riccati方程；通解； 引言：尽管由于计算数学和计算技术的迅猛发展,通过电子计算机可以迅速而且比较准确 地处理有关微分方程的求解问题。但是，在实际学习生活中对于一个常微分方程，不论从理论研究的角度，或从实际应用的角度看，都具有十分重要的地位。现在我们对于常系数线性微分方程的解法，已非常完备，但是对于理论比较完整的、有广泛应用的线性变系数微分方程至今却没有一般的求解方法，因此二阶变系数齐次微分方程的求解问题一直是人们感兴趣的研究课题。本文对系数满足特定条件的二阶变系数微分方程，通过观察其形式，巧妙利用常数变易法，化为恰当方程，和化为riccati方程来求解。主要针对不同类型的二阶变系数方程用不同的方法实现解决部分满足一定条件下的方程的解的目的。诣在通过具体例题的解法，解决系数满足特定条件下的二阶变系数齐次线性微分方程求解的问题，从而使我们能更进一步加深对二阶变系数齐次微分方程解法的理解，以便适应在工程技术的实际领域或学生在学习相关专业中的需要。 本文主要通过把方程转化为我们所熟悉形式，来讨论二阶变系数齐次微分方程 y p x y q x y ++= ''()'()0 （1）p x q x是关于x的连续函数。 的解，其中(),() 1、用常数变易法求解二阶变系数齐次微分方程的通解 1.1 已知方程一个特解求方程通解 在我们课本上所学的关于求解二阶常系数齐次线性微分方程，我们可以通过特征方程法求其线性无关的特解, 然后再利用微分方程解的相关性质从而求得其通解,对于这个方法我们已经很熟悉了。那对于二阶变系数齐次线性微分方程求解怎么进行？因为二阶变系数齐 几类二阶变系数常微分方程解法论文 二阶变系数常微分方程几种解法的探讨 胡博（111114109） （湖北工程学院数学与统计学院湖北孝感 432000） 摘要：常系数微分方程是我们目前可以完全解决的一类方程，而求变系数常微分方程的通解是比较困难的，一般的变系数常微分方程目前是还没有通用解法的。本文主要对二阶变系数常微分方程求解进行了探究，利用特解、常数变易法、变量变换等方法求出了某些二阶变系数线性微分方程的通解，并初步归纳了二阶变系数线性方程的求解基本方法及步骤。 关键词：二阶变系数线性微分方程；变换；通解；特解 To explore the solution of some ordinary differential equations of two order variable coefficient Zhang jun(111114128) (School of Mathematics and Statistics Hubei Engineering University Hubei Xiaogan 432000) Abstract:Differential equation with constant coefficients is a class of equations we can completely solve the present general solution, and change coefficient differential equations is difficult, the variable coefficient ordinary differential equation is at present there 第九节 二阶变系数线性微分方程 的一些解法 常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的。本节介绍处理这类方程的二种方法 §9.1 降阶法 在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方程的求解。 考虑二阶线性齐次方程 22dx y d ＋p(x) dx dy ＋q(x)y ＝0 (9.1) 设已知其一个非零特解y １，作变量替换，令 y ＝uy 1 (9.2) 其中u ＝u(x)为未知函数，求导数有 dx dy ＝y 1dx du ＋u dx dy 1 求二阶导数有22dx y d ＝y 122dx u d ＋2dx du dx dy 1 ＋u 2 12dx y d 代入(9.1)式得 y 122dx u d ＋（2dx dy 1＋p(x)y 1）dx du ＋(212dx y d ＋p(x) dx dy 1 ＋q(x)y 1)u ＝0 (9.3) 这是一个关于u 的二阶线性齐次方程，各项系数是x 的已知函数，因为y 1是(9.1)的解，所以其中 212dx y d ＋p(x) dx dy 1 ＋q(x)y 1≡0 故(9.3)式化为 y 122dx u d ＋(2dx dy 1＋p(x)y 1) dx du ＝0 再作变量替换，令dx dy ＝z 得 y 1dx dz ＋(2dx dy 1 ＋p(x)y 1)z ＝0 分离变量 z 1 dz ＝－[1y 2＋p(x)］dx 两边积分，得其通解 z ＝21 2y C e －∫p(x)dx 其中C 2为任意常数 积分得u ＝C 2∫21 y 1e －∫p(x)dx dx ＋C 1代回原变量得(9.1) 的通解 y ＝y 1［C １＋C 2∫21 y 1e －∫p(x)dx dx ］ 目录 1 引言 (1) 2 一阶变系数常微分方程的解法探讨 (1) 2.1 变系数一阶微分方程的几个可积类型 (1) 2.2 应用举例 (4) 3二阶变系数线性微分方程的解法探讨 (5) 3.1用求特解的方法求二阶变系数线性微分方程的解 (6) 3.1.1对变系数线性二阶微分方程特解的探索 (6) 3.1.2 确定的通解 (7) 3.1.3用常数变易法确定的特解 (8) 3.1.4应用举例 (8) 3.2二阶变系数线性微分方程的积分因子解法 (9) 3.2.1关于二阶变系数线性微分方程的积分因子的一些结论 (9) 3.2.2讨论如何求出， (10) 3.2.3应用举例 (10) 3.3二阶线性变系数常微分方程的常系数化解法 (11) 3.3.1利用自变量的变换实现常系数化 (11) 3.3.2利用未知函数的齐次线性变换实现常系数化 (12) 3.3.3 应用举例 (13) 4 三阶变系数线性微分方程的解法探讨 (14) 4.1 方程（4.1）化为常系数方程的一种充要条件 (14) 4.2 应用举例 (16) 结束语 (17) 参考文献 (17) 致谢 (17) 数学计算机学院数学与应用数学专业2013届余小艳 摘要：求变系数常微分方程的解，迄今为止没有一种确定的方法. 本文通过寻找特解和变量代换等方法得到了一些新的求解一类二阶变系数线性微分方程通解的方法，并讨论了一阶变系数线性微分方程和三阶变系数线性微分方程化为常系数方程的几个充要条件. 又举例说明了这些方法的可行性，有效扩充了变系数微分方程可解范围. 关键词：变系数常微分方程；二阶变系数微分方程；通解；变量变换 中图分类号：O175.1 Discussion on the Solution of Ordinary Differential Equation with Variable Coefficient Abstract: So far, there hasn’t been an established method on how to solve Ordinary Differential Equation (ODE) with Variable Coefficients. This paper presents some methods of solving the second order linear ODE with variable coefficients by means of searching special solution and variable transformation, etc. This paper also gives an introduction to the necessary and sufficient conditions of first order linear ODE and 3 rd order linear ODE with variable coefficient that can be translated into constant coefficients. Moreover, we give some examples to illustrate the feasibility of these methods. Hence, the results effectively extend the solvable for the variable coefficient differential equations. Key words: variable coefficients ordinary differential equations；second order differential equations with variable coefficients；general solutions；variable transformation 变系数/非线性微分方程的求解：Example1: van der Pol equation Rewrite the van der Pol equation (second-order) The resulting system of first-order ODEs is 见：vdp_solve.m及vdp.mdl vdp_solve.m vdp.mdl Example2: 2 with x(0) = 4 x (0)=0 5(5)5sin()5 +-+= x t x t x 见：exam2_solve.m及exam2.mdl exam2_solve.m exam2.mdl Example3: ODEs 函数实现及封装说明[以一阶微分方程为例] 510 w i t h (0)4 dx x x dt +==- 引言： 一步Euler 法求解[相当于Taylor 展开略去高阶项]： 11()k k k k k k k k k k k x x x Ax bu t x x t x x t Ax bu ++-==+??=+??=+??+ 补充说明1：对于任意方程/方程组可化为如下一阶形式[方程组]： x Ax Bu =+ 或者(,)(,)M t x x f t x = 补充说明2：ODEs 的解法不同之处在于 1、时间步长的选取（及导数的求解？）：有无误差控制 变步长； 2、积分方法：选用哪几个时间状态信息。 见：my_ode_rough.m[直接求解] / test_my_ode.m[按Matlab/ODEs 方式封装] my_ode_rough.m 本科毕业论文 题目：变系数线性微分方程的求解问题院（部）：理学院 专业：信息与计算科学 班级：信计081 姓名：张倩 学号：2008121191 指导教师：庞常词 完成日期：2012年6月1日 目录 摘要 (Ⅱ) ABSTRACT (Ⅲ) 1前言 1.1微分方程的发展和应用 (1) 1.2二阶变系数线性常微分方程的重要性 (2) 1.3本文的研究内容及意义 (2) 2二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系 2.1基本概念 (3) 2.2二阶变系数线性微分方程的求解定理 (3) 2.3二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系 (5) 3 微分方程的恰当方程解法 3.1恰当方程的概念 (8) 3.2恰当微分方程解法 (10) 4 微分方程的积分因子解法 4.1积分因子的概念 (14) 4.2积分因子解法 (14) 5二阶变系数微分方程可积的条件 结论 (22) 谢辞 (23) 参考文献 (24) 摘要 微分方程在数学理论中占有重要位置，在科学研究、工程技术中有着广泛的应用。在微分方程理论中，一些特殊的微分方程的性质及解法也已经有了深入的研究，它们总是可解的，但是变系数微分方程的解法比较麻烦的。 如果能够确定某一类型的二阶变系数线性微分方程的积分因子或恰当方程，则该二阶变系数线性微分方程就可以求解，问题在于如何确定积分因子和恰当方程及该类方程在何种情况下可积。 本文通过对微分方程的理论研究，用不同的方法探讨这类问题，扩展了变系数线性微分方程的可积类型，借助积分因子和恰当方程的方法求解方程。 关键词：变系数；二阶微分方程；积分因子；恰当因子 S olve For Varied Coefficient Second Order Liner Differential Equation ABSTRACT Second order liner homogeneous differential equation plays an important role in mathematics theory, and use extensively in science research and technology. In differential equation theory, some special differential equation’s solve ways have already been researched. So they can be seemed as could be solved sort of equation. But varied coefficient equation, however, this solve for this sort of equation is hard. If we can make integrating factor or exact equation of some types of second order liner different equation, and this types of second order liner different equation can be solved. The problem is how to make integrating factor and exact equation, and this type equation can be integral in which condition. This article utilizes different ways to research this problem in different equation theories, which expand could be solved type of varied coefficient second order liner differential equation. By integrating factor and exact equation make varied coefficient second order liner differential equation. Key Words: varied coefficient; second order liner differential equation; integrating factor; exact equation 第21卷第1期原子与分子物理学报 V o l .21，№.1 2004年1月 J O U R N A LO FA T O M I CA N D M O L E C U L A RP H Y S I C S J a n .，2004 文章编号：1000-0364（2004）01-0133-06 变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程的新精确解 ? 李德生 （沈阳工业大学理学院，沈阳110023 ）摘要：通过一个简单的变换，变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程被简化为人们熟知的变系数B u r g e r s 方程。利用近年来广泛使用的齐次平衡法和t a n h -函数法，获得了变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程的一些新的精确解。 关键词：变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程；齐次平衡法；t a n h -函数法；精确解中图分类号：O 175.2 文献标识码：A S o L e n e we x a c t s o l u t i o n s t o t h e （2+1）-d i L e n s i o n a l B r o e r -K a u p e q u a t i o nw i t h v a r i a b l e c o e f f i c i e n t s L I D e -S h e n g （S c i e n c e S c h o o l o f S h e n y a n g U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y ，S h e n y a n g 1 10023，P .R .C h i n a ）A b s t r a c t ：T h e （2+1）-d i m e n s i o n a l B r o e r -K a u p e q u a t i o nw i t h v a r i a b l e c o e f f i c i e n t s a r e r e d u c e d t o t h e f a m i l i a r B u r g e r s e q u a t i o nw i t h v a r i a b l e c o e f f i c i e n t s b y a s i m p l e t r a n s f o r m a t i o n .S o m e n e we x a c t s o l u t i o n s o f t h e （2+1）-d i m e n s i o n a l B r o e r -K a u p e q u a t i o nw i t hv a r i a b l e c o e f f i c i e n t s a r eo b t a i n e db y t h eu s eo f t h eh o m o g e n e o u s m e t h o d a n d t h e t a n h -f u n c t i o nm e t h o dw h i c h a r ew i d e l y u s e d t e c h n i q u e s i n r e c e n t y e a r s .K e y w o r d s ：T h e （2+1）-d i m e n s i o n a lB r o e r -K a u p e q u a t i o n w i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s ；T h eh o m o g e n e o u s m e t h o d ；T a n h -f u n c t i o nm e t h o d ；E x a c t s o l u t i o n s 1引言 本文再次考虑变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程的精确求解问题 H y t E α（t ）［H x x y -2（H H x ）y -2G x x ］G 1E α（t ）［-G x x -2（G H ）x < ╰╰］ （1 ）对于该方程的研究人们已获得了大量的结果。在文献［1~2］中，利用改进的齐次平衡法，作者深入细致地 研究了常系数方程的局域相干结构，给出了一些新的具有特殊形式的精确解，如多D r o m i o n 解，多L u m p 解，振荡型D r o m i o n 解，圆锥曲线孤子解，运动和静止呼吸子解和似瞬子解等。文献［3］进一步考虑了变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程的精确求解问题，利用王明亮于90年代中期提出的齐次平衡法［4~5］ ，导出了该方程的B T ， 并由此得到了类似于文献［1~2］中的局域相干结构和一些新的精确解。?收稿日期：2003-06-25 基金项目：国家“973“项目（批准号：1998030600）；国家自然科学基金（批准号：10072013 ）资助的课题。作者简介：李德生（1963-），男。吉林抚松县人，沈阳工业大学理学院副教授，大连理工大学在读博士生，主要从事孤立子理论与数学机械化研究。 第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2) 的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 变系数线性微分方程的解法 ... 摘 要：文章通过对一些变系数线性微分方程的经典题目总结一下解决这类问题的基本方法。 关键词：变系数线性微分方程，基本解法。 1 引 言 整体回顾了一下第三章，我想感慨一下现在数学发展得真是完备。我们学的95%以上的知识数学书上都给出了一般的解。比如说可降阶的高阶方程，我们用一个变量代换最低阶的自变量那项就可以解出所有的这类题目了；又比如说线性常系数微分方程，使用常数变易法和待定系数法也可以解决所有的题目，特别是待定系数法，实在是解决线性非齐次常系数微分方程的利器！在这几块，我觉得实在是难以补充什么了。当下我觉得最需要我们去探索和挖掘的应该是那些目前不能够有普适解法的题目，比如说接下来要讲的变系数线性微分方程。下面，我们通过几个例题来总结一下解决这类问题的基本方法。 2 几个变系数线性微分方程的基本方法 2.1 化为常系数法 2.1.1形如0222 =++x dt dx bt dt x d at 的常微分方程。 这类题目是书上明确告诉我们的解法的，其实这类方程叫欧拉方程，虽然书上讲过了，但是也是这部分很重要的一类题，这边放在第一类。 因为这类题目的形式统一，所以直接求解带未知数的微分方程了。 解：作变换u e t =，即t u ln =，则： du dx t dt du du dx dt dx 1==，)(122222du dx du x d t dt x d -= 用上式带入原方程，得0)(22=++-x du dx b du dx du x d a 这样的话我们得到了一个自变量为u,应变量为x 的一个常系数线性齐次微分方程，显 二阶变系数微分方程的●常数变易法●平移法●级数法 题型和题法系统讲座 一、二阶变系数微分方程常数变易法 已知()()()0y x p x y q x y '''++=的通解()1122Y x c y c y =+， 求()()()()y x p x y q x y f x '''++=的通解y 解答方法：令()() ()()y x p x y q x y f x '''++= 【例1】已知20x y xy y '''-+=的通解为()12ln Y x c x c x x =+，求2x y xy y x '''-+=的通解y 。 解：22111 x y xy y x y y y x x x ''''''-+=?- += 令 ()()()12ln Y x v x x v x x x =+代入2111 y y y x x x '''-+=，求得 ()1212212ln 1 1ln ln ln ln ln 11ln 11ln 1 ln ln 2 y c x c x x Y x x x x x x c x c x x x dx x x dx x x x x x x x x c x c x x x x =++? ? =+-+++=++ ? ? 已知()()()0y x p x y q x y '''++=的一个特解1y ， 求()()()( )y x p x y q x y f x '''++=的通解y 解答方法：()()()()y x p x y q x y f x '''++=可求得通解y 。 【例2】参见同济5版下册P300例4或同济6版上册P330例4。 【例3】已知1y x =是()2220x y x xy y '''-+=的一个特解，求()23222x y x xy y x '''-+=的通解y 。 解：()()1; 2y u x y u x x y xu u y u xu '''''''==?=+=+ () 21 3 2 2 * 3 120 ; u u x cx c y ux x cx c x y x y x ''=?=++?==++== 二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次，0)(0)()()()(22≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 2 122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数； 式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤： 为常数； ，其中?'''=++?=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r 二阶常系数非齐次线性微分方程 型 为常数； 型，为常数 ，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+'' 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是 ''+'+=y py qy f x () （1） 其中p q ,是常数。 方程（1）的通解为对应的齐次方程 0=+'+''qy y p y （2） 的通解Y 和方程（1）的一个特解*y 之和。即 *y Y y +=.我们已解决了求二阶常系数齐 次线性方程通解的问题，所以，我们只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解* y 的方法。 下面我们只介绍当方程（1）中的)(x f 为如下两种常见形式时求其特解*y 的方法。 一、 f x e P x x m ()()=?λ型 由于方程（1）右端函数f x ()是指数函数e x λ?与m 次多项式P x m ()的乘积，而指数 函数与多项式的乘积的导数仍是这类函数，因此，我们推测： 方程（1）的特解应为 y e Q x x *?=λ()( Q x ()是某个次数待定的多项式 ) y e Q x e Q x x x *??'=+'λλλ()() y e Q x Q x Q x x *?"=?+'+''λλλ[()()()]22 代入方程（1），得 e Q x p Q x p q Q x e P x x x m λλλλλ???''++'+++≡?[()()()()()]()22 消去e x λ?，得 ''++'+++≡Q x p Q x p q Q x P x m ()()()()()()22λλλ （3） 讨论 01、如果λ不是特征方程 r pr q 20++=的根。 即 02≠++q p λλ 由于P x m ()是一个m 次的多项式，欲使（3）的两端恒等，那未Q x ()必为一个m 次多项式，设为 Q x b x b x b x b m m m m m ()=++++--0111Λ 将之代入（3），比较恒等式两端x 的同次幂的系数，就得到以b b b b m m 01 1,,,,Λ-为未知数的m +1个线性方程的联立方程组，解此方程组可得到这m +1个待定的系数，并得到特解 y e Q x x m *?=λ() 02、如果λ是特征方程 r pr q 20++=的单根。 即 λλ20++=p q ，但 20λ+≠p 欲使（3）式的两端恒等，那么'Q x ()必是一个m 次多项式。 因此，可令 Q x x Q x m ()()=? 并且用同样的方法来确定)(x Q 的系数b b b b m m 0 11,,,,Λ-。 03、如果λ是特征方程 r pr q 20++=的二重根。 即 λλ20++=p q ，且 20λ+=p 。 欲使（3）式的两端恒等，那么''Q x ()必是一个m 次多项式 因此， 可令 Q x x Q x m ()()=?2 并且用同样的方法来确定)(x Q 的系数b b b b m m 011,,,,Λ-。 创作编号： BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理 1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则 2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 , ,,,21n k k k 使得当在该区间内有 02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关, 否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法二阶变系数线性微分方程的特解
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(整理)二阶常系数线性微分方程的解法word版.
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