人教版二次根式单元 期末复习提高题学能测试试题
人教版二次根式单元 期末复习提高题学能测试试题
一、选择题
1．a 的值可能是（ ）
A ．2-
B ．2
C ．
32
D ．8
2．下列运算错误的是（ ）
A =
B ．=
C ．
)
2
16=
D ．
)
2
23=
3．下列各式计算正确的是（ ）
A B ．C =3 D ．
4．下列计算正确的是（ ）
A =
B ．12=
C 3=
D ．14=
5．下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A 0=
B 10=
C 2=
D 1=．
6．下列各式中，正确的是（ ）
A ．
B ．a 3 ? a 2=a 6
C ．(b+2a) (2a -b) =b 2 -4a 2
D ．5m + 2m = 7m 2
7．对于已知三角形的三条边长分别为a ,b ,c ，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：
S =，其中2
a b c
p ++=,若一个三角形的三边长分别为2,3,4，则其面积（ ）
A B C D
8．化简二次根式 ）
A B C D
9．已知a ( )
A ．0
B ．3
C ．
D ．9
10．下列说法中正确的是（ ）
A ±5
B ．两个无理数的和仍是无理数
C ．-3没有立方根.
D .
11．下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ）
A ．1a +和1a -
B ．3和13
C ．2a b 和2ab
D ．3和18
12．下列运算正确的是（ ） A ．826-=
B ．222+=
C ．3515?=
D ．2739÷=
二、填空题
13．已知2215x 19x 2+--=，则2219x 215x -++=________．
14．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．
⑴记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为
234,,,,n a a a a ，请求出234,,a a a 的值；
⑵根据以上规律写出n a 的表达式．
15．把3
1
a -
根号外的因式移入根号内，得________ 16．下面是一个按某种规律排列的数阵：
1
1第行
3
2
5 6
2第行
7
22
3 10 11 23
3第行 13
15
4 17
32 19
25
4第行
根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是 （用含 n 的代数式表示）． 17．若2x ﹣3x 2﹣x=_____．
18．已知a ，b 是正整数，若有序数对（a ，b ）使得11)a b
的值也是整数，则称
（a ，b
）是的一个“理想数对”，如（1，4
）使得=3，所以（1，4
）是的一个“理想数对”
．请写出其他所有的“理想数对”： __________．
19．已知实数m 、n 、p
满足等式
，则p =__________．
20．
x 的取值范围是______． 三、解答题
21．若x ，y 为实数，且y
1
2
．求x y y x ++2－x
y y x +-2的值．
【分析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x ≥0且4x ﹣1≥0，解得x =1
4
，此时y =
1
2
．即可代入求解． 【详解】
解：要使y 有意义，必须140410x x -≥??-≤?，即1
4
14
x x ?≤??
?
?≥
??
∴ x ＝14．当x ＝14时，y ＝12． 又∵
x y y x ++2－x y
y x +-2
＝
－
| ∵x ＝
14，y ＝1
2，∴ x y ＜y x
．
∴
+
当x ＝14
，y ＝1
2时，原式＝
．
【点睛】
（a ≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
22．观察下列各式子，并回答下面问题．
（1）试写出第n 个式子（用含n 的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？ （2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由．
【答案】（1，该式子一定是二次根式，理由见解析；（215和16之间．理由见解析． 【分析】
（1）依据规律可写出第n 个式子，然后判断被开方数的正负情况，从而可做出判断；
（2）将16n =代入，得出第16，再判断即可． 【详解】
解：（1 该式子一定是二次根式，
因为n 为正整数，2
(1)0n n n n -=-≥，所以该式子一定是二次根式
（2
15=16=，
∴1516<
<.
15和16之间． 【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的定义以及估计无理数的大小，掌握用“逼近法”估算无理数的大小的方法是解此题的关键．
23．先阅读材料，再回答问题：
因为
)
1
11=1
=；因为1=，所以
=1== （1
= ，
= ；
（2
???+的值．
【答案】（12）9 【分析】
（1）仿照例子，由
1+=
的值；由
1+=1
的值；
（2）根据（1）中的规律可将每个二次根式分母有理化，可转化为实数的加减法运算，再寻求规律可得答案． 【详解】
解：（1）因为
1-=
；
因为
1=1
（2
???+
1=+???
1=
1019=-=．
【点睛】
本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键．
24．已知x=2，求代数式（7+x 2+（2）x
【答案】2【解析】
试题分析：先求出x 2，然后代入代数式，根据乘法公式和二次根式的性质，进行计算即可.
试题解析：x 2
=（2）2
=7﹣
则原式=（7﹣+（2
=49﹣
25．计算：（1）
+
（2(33
+-
【答案】（1）2） -10
【分析】
（1）原式二次根式的乘除法法则进行计算即可得到答案；
（1）原式第一项运用二次根式的性质进行化简，第二项运用平方差公式进行化简即可．【详解】
解：（1）
+
=
=
=
（2(33
+-
=5+9-24
=14-24
=-10．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．
26．计算
(2)2
；
(4)
【答案】（1）2）9-；（3）1；（4）
【分析】
（1）根据二次根式的性质和绝对值的代数意义进行化简后合并即可；（2）根据完全平方公式进行计算即可；
（3）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；
（4）先进行乘法运算，再合并即可得到答案．
【详解】
解：
=
=
(2)
2
=22
-
=63
-
=9-
=1；
(4)
=
=
=
【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．27．计算：
（1）
0 1 2?? ?
??
（2）(4
【答案】（1）-5;（2）9
【分析】
（1）第一项利用算术平方根的定义计算，后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果；（2）利用平方差公式计算即可．
【详解】
（1）
0 1 2?? ?
??
41
=--，
5
=-；
（2）(4
167
=-
9
=．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算以及零指数幂，熟练掌握平方差公式是解题的关键．28．计算：
（1
) 11
（2
【答案】（1
2
+；（2
）
【分析】
（1）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同；
（2）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同．
【详解】
解：
) 11
31
-＝
2
3
＝
＝
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号．
29．
一样的式子，其实我
3
==
3
==
，
1
===；以上这种化简的步骤叫做分母有理
化
还可以用以下方法化简：
2
2
111
1
===
-
=
（12）化简：
2n ++
+
【答案】（1-2. 【解析】
试题分析：（12看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．
（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．
试题解析：（1）
==
=== （2）原式2n +
++
=
. 考点：分母有理化．
30．已知a ，b （1）求a 2﹣b 2的值； （2）求
b a +a
b
的值．
【答案】（1）；（2）10 【分析】
(1)先计算出a+b 、a-b 的值，然后将所求的式子因式分解后利用整体代入思想代入数值进行计算即可；
(2)先计算ab 的值，然后将所求的式子通分，分子进行变形后利用整体代入思想代入相关数值进行计算即可. 【详解】
(1)∵a b ，
∴a +b
a ﹣
b ＝，
∴a 2﹣b 2＝(a +b )(a ﹣b )＝＝；
(2)∵a b ，
∴ab ＝)×)＝3﹣2＝1，
则原式＝
22
b a
ab
+
＝
()22
a b ab
ab
+-
＝
(221
1
-?
＝10．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【详解】
∴a≥0，且a
故选项中-2，3
2
，8都不合题意，
∴a的值可能是2．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
2．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的化简、乘法、完全平方公式、平方差公式逐项判断即可得．【详解】
A
=，此项正确；
B
、=
C
、
)21516
=+=+
D
、
)
22743
=-=，此项正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简与乘法运算，熟记运算法则是解题关键．
3．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的化简进行选择即可．
【详解】
A
B、
C，故本选项正确；
D、=18，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】
A不符合题意；
∵12
=，故选项B符合题意；
C不符合题意；
∵=D不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．5．C
解析：C
【分析】
k
=的形式，再根据二次根式成立的条件逐个进行判断即可．
【详解】
解：A、x2+4=0，
此时方程无解，故本选项错误；
B10
=，
-，
1
∵算术平方根是非负数，
∴此时方程无解，故本选项错误；
C2
=，
∴x=3， 故本选项正确；
D 1=， ∴x-3≥0且3-x≥0， 解得：x=3，
代入得：0+0=1，此时不成立，故本选项错误； 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次根式的意义，能根据二次根式成立的条件进行判断是解此题的关键．
6．A
解析：A 【分析】
比较两个二次根式的大小可判别A ，根据同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算法则分别计算可判断B 、C 、D 的正误． 【详解】
A 、=，= ∵1812>，
∴>，故该选项正确； B 、3a ?25a a =，故该选项错误；
C 、()()2
2
224b a a b a b +-=-，故该选项错误；
D 、527m m m +=，故该选项错误； 故选：A ． 【点睛】
本题考查了二次根式大小的比较，同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
7．A
解析：A 【分析】
根据公式解答即可． 【详解】
根据题意，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则2+349
=222
a b c p +++=
= ∴其面积为
4
S ==
==
故选：A ．
本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键．
8．B
解析：B 【分析】
首先根据二次根式有意义的条件求得a 、b 的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可 【详解】
2
202
a a a
a a +-∴
+<∴<
-
a a ∴==?=-故选B
【点睛】
本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
9．B
解析：B 【解析】
=
，可知当（a ﹣3）
2
=0，即a=3
故选B
．
10．D
解析：D 【分析】
根据算术平方根和平方根的概念，无理数的概念立方根的概念，和二次根式的概念逐一判断即可． 【详解】
5=，故A
选项错误；
0ππ
-+=，故B 选项错误；
-3
=，故C 选项错误；
D 选项正确；
故选D ． 【点睛】
本题考查了算术平方根和平方根的区别，无理数、二次根式和立方根的概念，题目较为综合，熟练掌握相关概念是本题的关键．
11．B
解析：B
【分析】
先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可．
【详解】
解：A、是最简二次根式，被开方数不同，不是同类二次根式;
B
是同类二次根式；
3
C
D
故选B．
【点睛】
本题考查的知识点是同类二次根式的定义，解题关键是熟记同类二次根式的定义．12．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的减法法则对A进行判断；根据二次根式的加法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】
解：A=，所以A选项错误；
B=B选项错误；
C=C选项正确；
D3
=，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
二、填空题
13．【解析】
【分析】
用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．
【详解】
设m＝，n＝，
那么m?n＝2①，
m2＋n2＝()2＋()2＝34②．
由①得，m＝2
解析：13
【解析】
【分析】
用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】
设m n
那么m?n＝2①，
m2＋n2＝2＋2＝34②．
由①得，m＝2＋n③，
将③代入②得：n2＋2n?15＝0，
解得：n＝?5（舍去）或n＝3，
因此可得出，m＝5，n＝3（m≥0，n≥0）．
n＋2m＝13．
【点睛】
此题考查二次根式的减法，本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．
14．（1）a2＝，a3＝2，a4＝2；（2）an＝（n为正整数）．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°．
∴在Rt△ABC中，AC＝＝＝．同理：AE＝2，EH＝2，
解析：（1）a2，a3＝2，a4＝；（2）a n n为正整数）．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°．
∴在Rt△ABC中，AC
AE＝2，EH＝，…，
即a2a3＝2，a4＝
（2）a
n n为正整数）．
15．【分析】
根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】
解：∵，
∴，
∴．
故答案为：． 【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质
解析：
a
【分析】
根据被开方数大于等于零，可得出0a <，再根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】
解：∵31
0a
-≥， ∴0a <，
∴===
【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．
16．；． 【分析】
根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解． 【详解】 观察表
【分析】
根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解． 【详解】
观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3=
∵第（n-1， ∴第n （n ≥3且n 是整数）行从左向右数第n-2个数是
．
．
【点睛】
本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．
17．【解析】
【分析】
根据完全平方公式以及整体的思想即可求出答案．
【详解】
解：∵2x﹣1= ，
∴（2x﹣1）2=3
∴4x2﹣4x+1=3
∴4（x2﹣x）=2
∴x2﹣x=
故答案为
【点
解析：1 2
【解析】
【分析】
根据完全平方公式以及整体的思想即可求出答案．【详解】
解：∵2x﹣
，
∴（2x﹣1）2=3
∴4x2﹣4x+1=3
∴4（x2﹣x）=2
∴x2﹣x=1
2
故答案为1 2
【点睛】
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．18．（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）【解析】
试题解析：当a=1，=1，要使为整数，=1或时，分别为4和3，得出（1，4）和（1，1）是的“理想数对”，
解析：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）
【解析】
试题解析：当a =1，要使或12时，分
别为4和3，得出（1，4）和（1，1）是的“理想数对”，
当a =412，要使+或12时，分别为3和
2，
得出（4，1）和（4，4）是的“理想数对”，
当a =913，要使16时，=1，
得出（9，36）是的“理想数对”，
当a =1614，要使14时，=1，
得出（16，16）是的“理想数对”，
当a =3616，要使13时，=1，
得出（36，9）是的“理想数对”， 即其他所有的“理想数对”：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）．
故答案为：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）．
19．5 【解析】
试题解析：由题可知， ∴， ∴， ∴， ①②得，， 解方程组得， ∴． 故答案为：5.
解析：5 【解析】
试题解析：由题可知30
30m n m n -+≥??
--≥?
， ∴3m n +=，
0=， ∴35200m n p m n p +--=??
--=?①
②
，
①-②得2620m n +-=，31m n +=， 解方程组331m n m n +=??
+=?得4
1
m n =??
=-?， ∴4(1)5p m n =-=--=． 故答案为：5.
20．且 【分析】
根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得． 【详解】 由题意得：， 解得且， 故答案为：且． 【点睛】
本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分
解析：3x ≤且2x ≠- 【分析】
根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得． 【详解】 由题意得：20
30x x +≠??
-≥?
，
解得3x ≤且2x ≠-， 故答案为：3x ≤且2x ≠-． 【点睛】
本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键．
三、解答题 21．无
22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无