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高中数学联赛常用定理

常用定理

1、费马点

（I）基本概念

定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。

(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

（II）证明

我们要如何证明费马点呢：

费马点证明图形

(1)费马点对边的张角为120度。

△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,

△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B

同理可得∠CBP=∠CA1P

由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度

同理,∠APB=120度，∠APC=120度

(2)PA+PB+PC=AA1

将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度

又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，

又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。

(3)PA+PB+PC最短

在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1

平面四边形费马点

平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。

（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。

费马点

（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。

经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：

当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。

（III）费马点性质：

费马点

（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。

特殊三角形中：

(2).三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.

(3).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.

(4)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合

二、梅涅劳斯定理和塞瓦定理

1、梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理证明

梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边

AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么

证明：做平行线即可，过程略

2、角元形式：

（1）第一角元形式的梅涅劳斯定理

如图：若E，F，D三点共线，则

(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1

即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积

该形式的梅涅劳斯定理也很实用

（2）第二角元形式的梅涅劳斯定理

在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合)

三、塞瓦定理

塞瓦定理

在△ABC内任取一点O，

直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

证法简介（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：

∵△ADC被直线BOE所截，

∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①

而由△ABD被直线COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②

②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

（Ⅱ）也可以利用面积关系证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△

COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

塞瓦定理推论

1.设E是△ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1

因为(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K为未知参数）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K为未知参数）又由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1

2.塞瓦定理角元形式

AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：

(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1

由正弦定理及三角形面积公式易证

3.如图，对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F，直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：

(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1

由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。

4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点

设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。

四、西姆松定理

西姆松定理图示

西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

西姆松定理说明

相关性质的证明

连AH延长线交圆于G,

连PG交西姆松线与R,BC于Q

如图连其他相关线段

AH⊥BC,PF⊥BC==>AG//PF==>∠1=∠2

A.G.C.P共圆==>∠2=∠3

PE⊥AC,PF⊥BC==>P.E.F.C共圆==>∠3=∠4

==>∠1=∠4

PF⊥BC

==>PR=RQ

BH⊥AC,AH⊥BC==>∠5=∠6

A.B.G.C共圆==>∠6=∠7

==>∠5=∠7

AG⊥BC==>BC垂直平分GH

==>∠8=∠2=∠4

∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==>∠9=∠10

==>HQ//DF

==>PM=MH

第二个问，平分点在九点圆上，如图：设O,G,H 分别为三角形ABC的外心，重心和垂心。

则O是,确定九点圆的中点三角形XYZ的垂心，而G还是它的重心。

那么三角形XYZ的外心O1，也在同一直线上，并且

HG/GO=GO/GO1=2，所以O1是OH的中点。

三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它们的外接圆也位似。两个圆的圆心都在OH上，并且两圆半径比为1:2

所以G是三角形ABC外接圆和三角形XYZ外接圆(九点圆)的"反"位似中心(相似点在位似中心的两边),H 是"正"位似中心(相似点在位似中心的同一边)...

所以H到三角形ABC的外接圆上的连线中点必在三角形DEF的外接圆上....

五、托勒密定理

1、定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．

证明

一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）

在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD

因为△ABE∽△ACD

所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)

而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE

所以△ABC∽△AED相似.

BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC

又因为BE+ED≥BD

（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）

所以命题得证

复数证明

用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到复数恒等式：(a ? b)(c ? d) + (a ? d)(b ? c) = (a ? c)(b ? d) ，两边取模，运用三角不等式得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、

设ABCD是圆内接四边形。在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。因此△ABK与△DBC 相似，同理也有△ABD ~ △KBC。因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD；因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA；两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA；但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。

三、

托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。①＋②得AC(BP＋DP)=AB·CD ＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC．

推论

1.任意凸四边形ABCD ，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC ，当且仅当ABCD 四点共圆时取等号。

2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、推广

托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式AC·BD≤|(a -b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 注意：

1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A 、B 、C 、D 四点共圆等价。

2.四点不限于同一平面。

六、欧拉定理：在一条线段上AD 上，顺次标有B 、C 两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD 七、重要不等式 1、均值不等式：

R n

k k

n a a a a a ∑∏==≤

+∈?1

21,,则

TIP:完全的均值不等式

√[(a^2+ b^2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b) （二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均） 2、柯西不等式

柯西不等式的一般证法有以下几种：

（1）Cauchy 不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi ，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2. 我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.

用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 于是移项得到结论。（2）用向量来证.

m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)

mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX ．

因为cosX 小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn 小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2 这就证明了不等式．

柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．

柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。 3.排序不等式

排序不等式是高中数学竞赛大纲要求的基本不等式。

设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n?1 +……+ a n b1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 +……+ a n b n 式中t1，t2，……，tn 是1，2，……，n 的任意一个排列，当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。以上排序不等式也可简记为：反序和≤乱序和≤同序和. 证明时可采用逐步调整法。

例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2 ）*（b 1 -b 2 ）≥0，这由题知成立。

依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。 4.契比雪夫不等式

切比雪夫不等式有两个

（1）设存在数列a1,a2,a3.....an 和b1,b2,b3......bn 满足a1≤a2≤a3≤.....≤an 和b1≤b2≤b3≤......≤bn 那么，∑aibi≥(1/n)(∑ai)(∑bi)

（2）设存在数列a1,a2,a3.....an 和b1,b2,b3......bn 满足a1≤a2≤a3≤.....≤an 和b1≥b2≥b3≥......≥bn 那么，∑aibi≤(1/n)(∑ai)(∑bi) 5.琴生不等式

设f(x)为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。加权形式为：

f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn),其中 ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1. 6.幂平均不等式

幂平均不等式：ai>0(1≤i≤n),且α>β，则有}

{

a n i i ∑=β

≥(∑ai^β/n)^1/β成立

iff a1=a2=a3=……=an 时取等号加权的形式：

设ai>0，pi>0(1≤i≤n)，且α>β，则有（∑pi*ai^α/∑pi)^1/α≥(∑pi*ai^β/∑pi)^1/β

iff a1=a2=a3=……=an ， p1=p2=p3=……=pn 时取等号。特例：

调和平均（-1次幂）， - 几何平均（0次幂）， - 算术平均（1次幂），， - 二次平均（2次幂） 7权方和不等式 1）

a1 ^ （m+1） / b1^m + a2 ^ （m+1） / b2^m + a3 ^ （m+1） / b3^m + …… + an ^ （m+1） / bn^m ≥ (a1+a2+a3+ …… +a n) ^ （m+1） / (b1+b2+b3+ …… +bn)^m 其中

a,b,n 为正整数，m ＞0 或 m ＜-1

当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn 时，等号成立 2）

a1 ^ （m+1）/ b1^m + a2 ^ （m+1）/ b2^m + a3 ^ （m+1）/ b3^m + …… + an ^ （m+1）/ bn^m ≤ (a1+a2+a3+ …… +an) ^ （m+1）/ (b1+b2+b3+ …… +bn)^m

其中

a,b,n为正整数，-1

当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn时，等号成立

权方和不等式的等价形式：

（Holder不等式）：∑[i=1，n]ai*bi≤（∑[i=1，n]ai^p）^(1/p) * （∑[i=1,n]bi^q)^(1/q)

上式中1/p+1/q=1,ai,bi为正实数

八、棣莫弗(de Moivre)定理

设两个复数(用三角形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),则:

Z1Z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].

证:先讲一下复数的三角形式的概念.在复数平面上,可以用向量Z(a,b)来表示Z=a+ib.于是,该向量可以分成两个在实轴,虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ,这两个分向量的模分别等于rcosθ,risinθ(r=√a^2+b^2).所以,复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ).这里θ称为复数Z的辐角.

因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),所以

Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)

=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)

=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)]

=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].

其实该定理可以推广为一般形式:

棣莫弗定理的推广

设n个复数Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),……，Zn=rn(co sθn+isinθn), 则：

Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)].

证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。

如果把棣莫弗定理和欧拉(Euler)公式“e^iθ=cosθ+isinθ”（参见《泰勒公式》，严格的证明需要复分析）放在一起看，则可以用来理解欧拉公式的意义。

利用棣莫弗定理有：

Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)]

如果可以把所有的复数改写成指数的形式，即：Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2,……，Zn=rne^iθn,

Z1Z2……Zn=r1r2……rne^i(θ1+θ2+……+θn)

这和指数的可加性一致.

在一般形式中如果令Z1=Z2=……=Zn=Z,则能导出复数开方的公式.有兴趣可自己推推看.

九、欧几里德除法

欧几里德算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有

d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

欧几里德算法（辗转相除法）求两个数的最大公约数的步骤如下：

先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；

再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；

又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；

这样逐次用后一个数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质数）。

例如求1515和600的最大公约数，

第一次：用600除1515，商2余315；

第二次：用315除600，商1余285；

第三次：用285除315，商1余30；

第四次：用30除285，商9余15；

第五次：用15除30，商2余0。

1515和600的最大公约数是15

十、裴蜀定理

在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。

简介

裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约

数d，关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：若a,b是整数,且(a,b)=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d 的倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立。

它的一个重要推论是：a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.

证明

如果a 和b 有一个是0，那么它们两个的最大公约数是0。这时定理显然成立。

以下证明a和b都不等于0的情况。不妨设a,b都大于零，a>=b.设(a,b)=d

对ax+by=d，两边同时除以d，可得(a1)x+(b1)y=1，其中(a1,b1)=1。

转证(a1)x+(b1)y=1。由带余除法：

a1=(q1)b+(r1),其中0=

b1=(q2)(r1)+(r2),其中0=

(r1)=(q3)(r2)+(r3),其中0=

.....

(rn-3)=(qn-1)(rn-2)+(rn-1)

(rn-2)=(qn)(rn-1)+(rn)

(rn-1)=(qn+1)(rn)

于是，有(a1,b1)=(b1,r1)=(r1,r2)=...=(rn-1,rn)=1

故

(rn-2)=(xn)(rn-1)+1

即1=(rn-2)-(xn)(rn-1)

由倒数第三个式子（rn-1）=(rn-3)-(xn-1)(rn-2)代入上式，得

1=[1+(xn)(xn-1)](rn-2)-(xn)(rn-3)

然后用同样的办法用它上面的等式逐个地消去(rn-2),...(r1),

可证得1=(a1)x+(b1)y。

n个整数间的裴蜀定理

设a1,a2,a3......an为n个整数，d是它们的最大公约数，那么存在整数x1......xn使得x1*a1+x2*a2+...xn*an=d。

特别来说，如果a1...an互质(不是两两互质），那么存在整数x1......xn使得x1*a1+x2*a2+...xn*an=1。

任意主理想环上的情况

裴蜀可以推广到任意的主理想环上。设环A是主理想环，a和b 为环中元素，d是它们的一个最大公约元，那么存在环中元素x和y使得：

ax + by = d

这是因为在主理想环中，a和b的最大公约元被定义为理想aA + bA的生成元。

定理

在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：

ax + by = m

有解当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解x、y都称为裴蜀数，可用辗转相除法求得。

例如，12和42的最大公因子是6，则方程12x + 42y = 6有解。事实上有(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1)×42 = 6。

特别来说，方程ax + by = 1 有解当且仅当整数a和b互素。

裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义：d其实就是最小的可以写成ax + by形式的正整数。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。

推广

以上定理可推广到n个，n≥2

如1st IMO 1959第1题：证明对任意自然数n，(21n+4)/(14n+3)为既约分数。证明：很容易看出3(14n+3)-2(21n+4)=1，由裴蜀定理，21n+4与14n+3互质，故(21n+4)/(14n+3)为既约分数。Q.E.D.

另如：5x+4y+3z可表示全部整数.因为3，4，5互质，所以5x+4y+3z可以等于1，则必定可以等于其他任意整数

十一、费马小定里

费马小定理的证明

一、准备知识：

引理1．剩余系定理2

若a,b,c为任意3个整数，m为正整数，且(m,c)=1,则当ac≡bc(mo d m)时，有a≡b(mod m)

证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质，c可以约去，a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)

引理2．剩余系定理5

若m为整数且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]为m个整数，若在这m个数中任取2个整数对m不同余，则这m个整数对m 构成完全剩余系。

证明：构造m的完全剩余系（0,1,2,…m-1），所有的整数必然这些整数中的1个对模m同余。取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i-1,1

引理3．剩余系定理7

设m是一个整数，且m>1，b是一个整数且(m,b)=1。如果a1,a2,a3,a4,…am是模m的一个完全剩余系，则ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也构成模m的一个完全剩余系。

证明：若存在2个整数ba和ba[j]同余即ba≡ba[j](mod m)，根据引理2则有a≡a[j](mod m)。根据完全剩余系的定义和引理4（完全剩余系中任意2个数之间不同余，易证明）可知这是不可能的，因此不存在2个整数ba和ba[j]同余。由引理5可知ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]构成模m的一个完全剩余系。

引理4．同余定理6

如果a,b,c,d是四个整数，且a≡b(mod m),c≡d(mod m),则有ac≡bd(mod m)

证明：由题设得ac≡bc(mod m),bc≡bd(mod m)，由模运算的传递性可得ac≡bd(mod m)

二、证明过程：

构造素数p的完全剩余系P={1,2,3,4…(p-1)}，因为(a,p)=1，由引理3可得A={a,2a,3a,4a,…(p-1)a}也是p的一个完全剩余系。令W=1*2*3*4…*(p-1)，显然W≡W(mod p)。令Y=a*2a*3a*4a*…(p-1)a,因为{a,2a,3a,4a,…(p-1)a}是p的完全剩余系，由引理2以及引理4可得a*2a*3a*…(p-1)a≡1*2*3*…(p-1)(mod p)即W*a^(p-1)≡W(modp)。易知(W,p)=1，由引理1可知a^(p-1)≡1(modp）十二、欧拉定理

初等数论中的欧拉定理

定理内容

在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则

a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

证明

首先证明下面这个命题：

对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)}

则S = Zn

1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于n互质，因此

任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素

2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj

则a*xi(mod n) ≠ a*xj(mod n)，这个由a、n互质和消去律可以得出。

所以，很明显，S=Zn

既然这样，那么

（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)

= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)

= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)

考虑上面等式左边和右边

左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)

右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)

而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质

根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：

a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)

费马定理:

a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。

同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a (mod p)

平面几何里的欧拉定理

定理内容

设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr．

证明

O、I分别为⊿ABC的外心与内心．

连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分ÐBAC，故D为弧BC的中点．

连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径．

由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明）

但DB=DI（可连BI，证明ÐDBI=ÐDIB得），

故只需证2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r 即可．

拓扑学里的欧拉公式

V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。

V+F-E=2的证明

方法1：（利用几何画板）

逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E

先以简单的四面体ABCD为例分析证法。

去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1

（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。

（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。

以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。

对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。

方法2：计算多面体各面内角和

设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和Σα

一方面，在原图中利用各面求内角总和。

设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：

Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度]

= (n1+n2+…+nF -2F) ·180度

=(2E-2F) ·180度= (E-F) ·360度（1）

另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。

设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n 个顶点处的内角和为(V-n)·360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度。

所以，多面体各面的内角总和：

Σα = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度

=（V-2）·360度（2）

由(1)(2)得：(E-F) ·360度=（V-2）·360度

所以V+F-E=2.

方法3 用拓朴学方法证明欧拉公式

图

尝试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。

欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末

F-E+V=2。

证明如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）：

（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。

（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。

（3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。

（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。

（5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。

（6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。

（7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。

（8）如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。

即F′-E′+V′=1

成立，于是欧拉公式：

F-E+V=2

得证。

复变函数论里的欧拉公式

定理内容

e^ix=cosx+isinx

e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

将公式里的x换成-x，得到：

e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：

sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.

这两个也叫做欧拉公式。

“上帝创造的公式”

将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：

e^i∏+1=0.

这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

欧拉定理的运用方法

（1）分式：

a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

当r=0,1时式子的值为0

当r=2时值为1

当r=3时值为a+b+c

（2）复数

由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：

sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i

cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2

（3）三角形

设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：

d＾2=R＾2-2Rr

（4）多面体

设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则

v-e+f=2-2p

p为欧拉示性数，例如

p=0 的多面体叫第零类多面体

p=1 的多面体叫第一类多面体

(5) 多边形

设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有：

V+Ar-B=1

(如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8)

(6). 欧拉定理

在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。

其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。

使用欧拉定理计算足球五边形和六边形数

问：足球表面由五边型和六边型的皮革拼成，计算一共有多少个这样的五边型和六边型？

答：足球是多面体，满足欧拉公式F－E＋V＝2，其中F,E,V分别表示面,棱,顶点的个数

设足球表面正五边形(黑皮子)和正六边形(白皮子)的面各有x个和y个，那么

面数F＝x＋y

棱数E＝(5x+6y)/2（每条棱由两块皮子共用）

顶点数V＝(5x+6y)/3（每个顶点由三块皮子共用）

由欧拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，

解得x＝12。所以，共有12块黑皮子

所以，黑皮子一共有12×5＝60条棱，这60条棱都是与白皮子缝合在一起的

对于白皮子来说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起。

所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的

那么白皮子就应该一共有60×2＝120条边，120÷6＝20

所以共有20块白皮子

（或者，每一个六边形的六条边都与其它的三个六边形的三条边和三个五边形的三条边连接；每一个五边形的五条边都与其它的五个六边形的五条边连接

所以，五边形的个数x=3y/5。

之前求得x=12，所以y=20）

【同余理论中的"欧拉定理"】

设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(f(m))≡1(mod m)

(注:f(m)指模m的简系个数)

十三、孙子定理

今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”

十四、组合

圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式；

组合计数，组合几何；

抽屉原理；

容斥原理；

极端原理；

图论问题；

集合的划分；

覆盖；

平面凸集、凸包及应用*。

高级中学数学公式定理汇总

高中数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式 (3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式 4切线式：。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。 8.闭区间上的二次函数的最值二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若，则；，，. (2)当a<0时，若，则，若，则，. 9.一元二次方程＝0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或； 2方程在区间内有根的充要条件为或或； 3方程在区间内有根的充要条件为或 . 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如，，不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。

(3) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是。 (4) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是。对于参数及函数.若恒成立，则；若恒成立，则；若有解，则；若有解，则；若有解，则 . 若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论 11.真值表 12.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有个小于不小于至多有个至少有个对所有，成立存在某，不成立或且对任何，不成立存在某，成立且或ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假

高中数学《立体几何》重要公式、定理

高中数学《立体几何》重要公式、定理 1．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 2．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 3．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 4．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 5．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 7.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ． (2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ． 8.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a=λb ． P A B 、、三点共线?||AP AB ?AP t AB =?(1)OP t OA tOB =-+. ||AB CD ?AB 、CD 共线且AB CD 、不共线?AB tCD =且AB CD 、不共线. 9.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的?存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论空间一点P 位于平面MAB 内的?存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++. 10.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 11.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1 k ≠

高中数学课本中的定理公式结论的证明

数学课本中的定理、公式、结论的证明数学必修一第一章集合（无）第二章函数（无）第三章指数函数和对数函数 1．对数的运算性质：如果 a > 0 ， a 1， M > 0 ，N > 0，那么（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log -log a a a M M N N =；（3）log log ()n a a M n M n R =∈．根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =，由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴p q p q MN a a a +=?=， ∴log ()a MN =p q +，即证得log log log a a a MN M N =+．证明：（性质2）设log a M p =，log a N q =，由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴ q p q p a a a N M -==， ∴q p N M a -=log ，即证得log log -log a a a M M N N =．证明（性质3）设log a M p =，由对数的定义可得 p M a =， ∴n np M a =， ∴log n a M np =，即证得log log n a a M n M =．

第四章函数应用（无）数学必修二第一章立体几何初步直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明． 1、直线与平面平行的判定定理若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行． 2、平面与平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

高中数学公式及定理

高中数学公式及定理Newly compiled on November 23, 2020

1.乘法与因式分解 a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a- b(a^2+ab+b^2) 2.三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 3.一元二次方程的解 -b+√(b^2-4ac)/2a -b-√(b^2-4ac)/2a 4.根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式 b^2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b^2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b^2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 5.三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 6.倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 7.半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 8.和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB; 9.某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9++n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15++(2n- 1)=n2 _ 2+4+6+8+10+12+14++(2n)=n(n+1) 5 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2++n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+n^3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7++n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 10.正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径 11.余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程 (x- a)^2+(y-b)^2=^r2 注：(a,b)是圆心坐标 _ 圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注：D^2+E^2-4F>0 12.抛物线标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 13.直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h'

高中数学定理公式大全

抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。（二）椭圆面积计算公式椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T 推导演变而来。常数为体，公式为用。椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高三角函数：两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota

高中数学公式大全由易到难

乘法与因式分解 a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) ? a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解-b+√(b^2-4ac)/2a -b-√(b^2-4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式 b^2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b^2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b^2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

2020高中数学概念公式大全

高中数学概念公式大全一、三角函数 1、以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则 sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 22=+αα， αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ；倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα；相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如： =-)23sin(απαcos -，)215(απ -ctg =αtg ， =-)3(απtg αtg -。 4、函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是 B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频率是π ω 2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线 )(2 Z k k x ∈+ =+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、三角函数的单调区间：

x y sin =的递增区间是?????? +-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是?? ???? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22， )(Z k ∈，tgx y =的递增区间是?? ? ? ?+ - 22 πππ πk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)cos(βαβαβαsin sin cos cos μ = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?±μ1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 212tg tg -。 8、三倍角公式是：sin3α=αα3 sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43 - 9、半角公式是：sin 2α=2cos 1α-± cos 2α=2 cos 1α +± tg 2α=α αcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +。

高中数学公式及定理

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1.乘法与因式分解 a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a- b(a^2+ab+b^2) 2.三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 3.一元二次方程的解 -b+√(b^2-4ac)/2a -b-√(b^2-4ac)/2a 4.根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式 b^2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b^2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b^2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 5.三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 6.倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 7.半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 8.和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB; 9.某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9++n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15++(2n- 1)=n2 _ 2+4+6+8+10+12+14++(2n)=n(n+1) 5 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2++n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+n^3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7++n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 10.正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径 11.余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程 (x- a)^2+(y-b)^2=^r2 注：(a,b)是圆心坐标 _ 圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注：D^2+E^2-4F>0 12.抛物线标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 13.直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 14.锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L

高中数学常用公式及定理

高中数学常用公式及定理 1．熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，防止解题易误点的产生，对提升数学成绩将会起到很大的作用。 2．所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记，且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记。 1.元素与集合的关系：U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式：();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ????U A C B ?=Φ()U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n －1个；非空子集有2n －1个；非空的真子集有2n －2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠； (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠； (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式：()N f x M <

初中高中数学定理公式大全(超全)

. 初中高中数学定理公式大全（超全） 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 错角相等，两直线平行 11 同旁角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，错角相等 14 两直线平行，同旁角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形角和定理三角形三个角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

高中数学公式定理定律大全

高中数学公式大全 (最全面，最详细) 高中数学公式大全抛物线： y = ax *+ bx + c 就是 y 等于 ax 的平方加上 bx 再加上 c a > 0 时开口向上 a < 0 时开口向下 c = 0 时抛物线经过原点 b = 0 时抛物线对称轴为 y 轴还有顶点式 y = a ( x+h) * + k 就是 y 等于 a 乘以( x+h)的平方 +k -h 是顶点坐标的 x k 是顶点坐标的 y 一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程 :y^2=2px 它表示抛物线的焦点在 x 的正半轴上 , 焦点坐标为 (p/2,0) 方程为 x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴 , 故共有标准方程准线y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积 =4/3(pi )(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b )是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注： D2+E2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式椭圆周长公式： L=2πb+4(a -b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长 (2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长( a)与短半轴长( b)的差。 (二)椭圆面积计算公式椭圆面积公式： S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长 ( a)与短半轴长( b)的乘积。以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率 T，但这两个公式都是通过椭圆周率 T 推导演变而来。常数为体，公式为用。椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI* 高三角函数：两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-

(完整版)高中数学学考公式大全

高中数学学考常用公式及结论必修1：一、集合 1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性（2）集合的分类；有限集，无限集（3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法 2、集合间的关系：子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。记作A B ? 真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集，记作A ≠ ?B 集合相等：若：,A B B A ??,则A B = 3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：? 空集：φ 4、集合的运算：并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为 A B U 交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B I 补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，记为U C A 5．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个； 6.常用数集：自然数集：N 正整数集：* N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 二、函数的奇偶性 1、定义：奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域） 2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；（2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形；（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；（4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．二、函数的单调性 1、定义：对于定义域为D 的函数f ( x )，若任意的x 1, x 2∈D ，且x 1 < x 2 ① f ( x 1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ② f ( x 1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减三、二次函数y = ax 2 +bx + c （0a ≠）的性质 1、顶点坐标公式：??? ? ??--a b ac a b 44,22，对称轴：a b x 2-=，最大（小）值：a b ac 442- 2.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.

记忆方法：高中数学知识点公式定理记忆口诀

本文集资料共4个分类：学习方法、记忆方法、快速阅读、潜能开发。每个分类都有多个资料，可在百度文库、新浪爱问共享、豆丁文库中直接搜索：“学习方法：”“记忆方法：”“快速阅读：”“潜能开发：”，即可找到更多资料。高中数学知识点公式定理记忆口诀（转）《集合与函数》内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。指数与对数函数，两者互为反函数。底数非１的正数，１两边增减变故。函数定义域好求。分母不能等于０，偶次方根须非负，零和负数无对数；正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Ｙ＝Ｘ是对称轴；求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。《三角函数》三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字１，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。

计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；１加余弦想余弦，１减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集；优秀经验分享：太多的人总是抱怨学不进去，记不住，思维转得慢，大脑不好使，吸取知识的能力太差，学习效率太低。读书的学习不好，经商的赚钱不多！作者本人以前也和读者有着同样的困惑，在我考上公务员，然后后来又转行经商，然后再读MBA，后来再考托福，一路的高压力考试中，从开始就学习了很多的学习方法，记忆方法，包括各种潜能开发培训班都上过一些，还有吃补脑的药也有一些，不过感觉上懂了理论，没有太多的实践，效果不太明显，吃的就更不想说了，相信太多的人都吃过，没有作用。06年的时候，无意间在百度搜索到一个叫做“精英特快速阅读记忆训练软件”的产品，当时要考公务员，花了几百块钱买了来练，开始一两个星期没有太明显的效果，但是一个月的训练之后，效果非常理想，阅读速度和记忆能力在短时间内提高很多，思维这些都比以前更敏捷，那个时候一两个小时可以看完一本书，而且非常容易记住书中的内容。这个能力在后来的公务员考试、MBA、托福以及生活中都很大程度上成就了我，这也是我今天要推荐给诸位的最有分享价值的好东西（想学的朋友可以到这里下载，我做了超链接，按住键盘左下角Ctrl键，然后鼠标左键点击本行文字即可连接。）基本上30个小时就够用了。非常极力的推荐给正在高压学习的朋友们，希望你们也能够快速高效的学习，成就自己的人生。最后，经常学习的同学，我再推荐一个学习商城“爱贝街”，上面的产品非常全，有一个分类是潜能开发，里面卖的产品比市场上便宜很多哦~（按住键盘左下角Ctrl键，然后鼠标左键点击本行文字即可连接。）《不等式》解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。证不等式的方法，实数性质威力大。求差与０比大小，作商和１争高下。直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法。

[整理]年高中数学定理汇总

124推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 125切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 126圆的外切四边形的两组对边的和相等 127弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 128推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 129相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 130推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 131切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 132推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 133如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 134①两圆外离d﹥r+r ②两圆外切d=r+r ③两圆相交r-r﹤d﹤r+r(r﹥r) ④两圆内切d=r-r(r﹥r) ⑤两圆内含d﹤r-r(r﹥r) 135定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 136定理把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 137定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 138正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°/n 139定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 149正n边形的面积sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长 141正三角形面积√3a²/4( a表示边长) 142如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为 360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为（n-2）(k-2)=4 143弧长计算公式：l=nπr/180 144扇形面积公式：s扇形=nπr2/360=lr/2 145内公切线长= d-(r-r) 外公切线长= d-(r+r) 146等腰三角形的两个底角相等 147等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 148如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 149三条边都相等的三角形叫做等边三角形 150两边的平方的和等于第三边的三角形是直角三角形编辑本段数学归纳法（—）第一数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：（1）证明当n取第一个值时命题成立（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。（二）第二数学归纳法：第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，如果：

高中数学学业水平必背公式定理知识点默写

高中数学学业水平测试必背公式定理知识点 1、空集定义：_____________________________________；空集是任何集合的______________。 N ____________ Z __________ Q ___________ R ___________（常用集合字母表示） 2、含n 个元素的集合其子集个数为_____________________。 3、函数定义：对定义域内任意x ，都有___________y 值与之对应，称y 是x 的函数。 4、求函数定义域三种基本形式： ①分式要求：__________________； ②根式，开偶次方根，则_______________________； ③对数式则要求__________________________。 5、①指数函数定义：__________________________________________；其定义域为_____________；值域为_________________；当_______________时函数单调递增；当_______________函数单调递减。其图像恒过定点______________。 ②对数函数定义：__________________________________。其定义域为_____________；值域为_________________；当_______________时函数单调递增；当_______________函数单调递减。其图像恒过定点______________。 ③幂函数定义：_______________________________________。当0>α时，图像恒过______________和_______________；在第一象限内单调_________；当0<α时，图像恒过______________；在第一象限内单调_________； 6、如果函数是奇偶函数，其定义域一定关于_______________对称；如果对定义域内任意x ，当________________时，函数为奇函数；如果对定义域内任意x ，当________________时，函数为偶函数； 7、函数单调性定义：在区间D 内任取两个值1x 、2x ，设21x x <，如果______________，则函数在此区间内单调递增；如果______________，则函数在此区间内单调递减。 8、空间两直线位置关系：_____________、________________、_________________；空间两平面位置关系：________________、______________；空间直线与平面位置关系_____________、_____________、___________________； 9、空间两直线所成角的范围：____________________；直线与平面所成角的范围：____________________；两异面直线所成角的范围：_____________________； 10、线面平行判定定理：_________________________________________________________；线面平行性质定理：_________________________________________________________；线面垂直判定定理：_________________________________________________________；线面垂直性质定理：_________________________________________________________；面面平行判定定理：_________________________________________________________；面面平行性质定理：_________________________________________________________；面面垂直判定定理：_________________________________________________________；

高中数学重要公式、定理与结论(精品)

高中数学重要公式、定理与结论第一章集合与常用逻辑用语 1.集合对A x ∈?，都有B x ∈，则 B A ?. 2.①如果“若p ，则q ”，那么p 是q 成立的充分条件； ②如果“若q ，则p ”，那么p 是q 成立的必要条件. 3.①命题的否命题：“若p ，则q ” 的否命题为“若p ?，则q ?” ②命题的否定：“若p ，则q ” 的否定为“若p ，则q ?” ③命题的否定：?的否定为?，?的否定为?，≤的否定为> 第二章函数 1.增函数对?∈?D x x 2 1,定义域I ，当21x x <时，都有?<)()(21x f x f )(x f 为增函数 0)(0) ()(1 212>'?>--? x f x x x f x f 2.奇偶性 ①设)(x f 定义域D 关于原点对称，若D x ∈?，有 ?-=-)()(x f x f )(x f 为奇函数；又有?==-|)(|)()(x f x f x f )(x f 为偶函数 ②x x y -+=11lg ，)1(log 2 x x y a -+=，| 2|212 +--=x x y 均为奇函数 ③奇函数的图象关于原点对称；奇函数的偶次项系数为0 ④偶函数的图象关于 y 轴对称；偶函数的奇次项系数为0 ⑤奇±奇=奇偶±偶=偶奇?偶=奇 3.对称性 ①点),(y x P 关于x 轴、y 轴、原点对称的点分别为),(y x Q -、),(y x R -、),(y x S -- ②点)3,2(A 关于1-=x y 的对称点是)1,4(B 点)3,2(A 关于1--=x y 的对称点是)3,4(--C ③ )(x f 关于a x =对称?)()(x a f x a f +=-?)()2(x f x a f =-（2014山东文科9题） )(x f 关于)0,(a A 对称?)()(x a f x a f +-=-?)()2(x f x a f -=- 4.周期性 ①对 )(x f ，若?常数0≠T ，对∈?x 定义域D ，都有)()(x f T x f =+?)(x f 的周期为T ②若 )()1(x f x f -=+，则2=T 若) (1 )2(x f x f = +，则4=T 证明： ③若 ) (1 )3(x f x f - =+，则6=T 若)5()4(-=+x f x f ，则9=T

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